Tài liệu Skkn hình học giải trong không gian với maple

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN 1. Họ và tên TRẦN VĂN TOÀN 2. 3. 4. 5. 6. Ngày tháng năm sinh: 10 – 09 – 1 972 Giới tính: Nam Địa chỉ: 22 tổ 91, khu phố 13, phường Hố Nai, Biên Hoà, Đồng Nai. Điện thoại: 0917907948 Chức vụ: Giáo viên 7. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO  Trình độ chuyên môn cao nhất: Thạc sĩ Toán.   Năm nhận bằng: 2007 Chuyên ngành đào tạo: Toán Giải tích III.    KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Phần mềm Toán học Số năm có kinh nghiệm: 14 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Cách giải đơn giản cho bài toán quen thuộc (2007 - 2008); Một số cách giải phương trình, bất phương trình (2008 - 2009); Vài dạng bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối (2009 - 2010); Bài tập Mặt cầu (2010 2011)  1 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Lương Thế Vinh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI Năm học 2011 2012 Tên đề tài: HÌNH HỌC GIẢI TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE Họ và tên tác giả: TRẦN VĂN TOÀN Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Tổ Toán Phương pháp dạy học bộ môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Tính mới  Có giải pháp hoàn toàn mới  Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 2. Hiệu quả  Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao    Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 3. Khả năng áp dụng  Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách Tốt  Đạt Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống Tốt  Khá Khá Đạt Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Tổ trưởng chuyên môn THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu) 2 LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, với sự trợ giúp của các phần mềm toán học, người giáo viên đã giảm bớt công việc của mình trong việc soạn hệ thống bài tập. Hình học giải tích, nói chung và Hình giải tích trong không gian, nói riêng ngoài việc suy luận ta cần phải tính toán rất nhiều. Maple là phần mềm Toán hỗ trợ cho môn học này rất tốt. Đề tài này được viết cách nay tám năm, nhưng viết dưới dạng đơn giản. Cách đây ít tháng, tôi có tham gia vào diễn đàn Mapleprimes và học hỏi được rất nhiều từ diễn đàn này. Một bài toán lớn, với nhiều bước tính toán, sau khi được viết mã, thì kết quả của nó sẽ được hiển thị bằng một lần bấm Enter. Hơn thế nữa, ta có thể thay thế giả thiết của bài toán một cách tuỳ ý và dễ dàng nhận được đáp số một cách nhanh chóng. Tác giả của đề tài này đã dùng nó để soạn hệ thống bài tập cho cả cuốn sách và thu được kết quả thật tuyệt vời. Nhờ nó, mà đáp số của từng bài toán được soạn gọn hơn. Maple đã được nhiều tác giả viết sách, nhưng viết cho phần Hình học giải tích thì không thấy có sách nào giới thiệu. Ở một số bài toán, đề toán được trích nguyên văn bằng tiếng Anh mà tôi đặt câu hỏi tại diễn đàn Mapleprimes. Chắc chắn không thể có sai sót. Mong quý thầy cô và các em học sinh sửa chữa cho tôi. Đồng Nai, 2012 Trần Văn Toàn 3 HÌNH GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN Truôùc khi laøm vieäc vôùi hình giaûi tích trong khoâng gian ta phaûi baét ñaàu baèng leänh with(geom3d); I. VAØI CAÙCH NHAÄP THOÂNG DUÏNG 1) Nhaäp moät ñieåm. Ñeå nhaäp ñieåm M(x; y; z), ta nhaäp nhö sau: point(M, x, y, z); 2) Nhaäp maët phaúng Ñeå nhaäp phöông trình maët phaúng P : Ax + By + Cz + D = 0, ta nhaäp : Plane(P, A*x + B*y + C*z + D = 0, [x, y, z]); 3) Nhaäp moät ñöôøng thaúng . a) Neáu phöông trình ñöôøng thaúng d coù daïng tham soá  x x0  ta1 ,   y y0  ta2 ,  z z  ta .  0 3 Khi nhaäp vaøo maple, ta laøm nhö sau: line(d, [x0 + t*a1, y0 + t*a2 , z0 + t*a3], t ); b) Neáu phöông trình ñöôøng thaúng d coù daïng chính taéc x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3  Giaû söû d ñi qua ñieåm M(x0; y0; z0) vaø coù veùctô chæ phöông laø a (a1; a2 ; a3 ) , khi nhaäp vaøo maple, ta nhaäp nhö sau: line(d,[point(M, x0; y0; z0),[a1,a2,a3]],t); c) Neáu phöông trình ñöôøng thaúng d coù daïng toång quaùt :  a1x  b1y  c1z  d1 0,   a2 x  b2 y  c2 z  d2 0. d laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng: P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 vaø P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 khi nhaäp vaøo maple, ta nhaäp nhö sau: [> plane(P1, [a1*x + b1*y + c1*z + d1 = 0 [x, y, z]): plane(P2, [a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, [x, y, z]): 4 line(d,[P1, p2]; 4) Khai baùo moät vectô khi bieát toaï ñoä hai ñieåm ta duøng cuù phaùp sau: dsegment(AB,[A,B]) Ñeå nhaäp vectô u = (x; y; z), ta nhaäp : u:=([x, y, z]);  5) Tích voâ höôùng vaø tích coù höôùng cuûa hai vectô.   Ñeå tính tích voâ höôùng vaø tích coù höôùng cuûa hai vectô u vaø v . Tröôùc heát, ta phaûi môû goùi [> with(linalg); Sau ñoù, ta duøng leänh : crossprod(u,v); ñeå tính tích coù höôùng vaø leänh dotprod(u,v); ñeå tính tích voâ höôùng.   Ví duï : Cho caùc vectô u = (1; 2; 3) vaø v = (3; 5; 7).  Tìm u . v vaø [ u , v ]    [> u:=([1,2,3]),v:=([3,5,7]); u := [ 1, 2, 3 ] v := [ 3, 5, 7 ] [> with(linalg); [> crossprod(u,v); [ -1, 2, -1 ] [> dotprod(u,v); 34 6) Moät soá leänh kieåm tra Teân leänh Cuù phaùp Chöùc naêng AreCollinear AreCollinear(P, Q, R, cond) Kieåm tra tính thaúng haøng cuûa ba ñieåm P, Q, R. AreConcurrent AreConcurrent(l1, l2, l3, cond ) Kieåm tra tính ñoàng quy cuûa ba ñöôøng thaúng l1, l2, l3. *AreCoplanar(A, B, C, D) * Kieåm tra tính ñoàng phaúng cuûa boán ñieåm A, B, C, D. * Kieåm tra tính ñoàng phaúng cuûa hai ñöôøng thaúng l1 vaø l2. AreCoplanar *AreCoplanar(l1, l2 ) * AreParallel(l1, l2, cond) * Kieåm tra tính song song cuûa hai ñöôøng thaúng l1, l2. * Kieåm tra tính song song cuûa ñöôøng 5 * AreParallel(l1, p1, cond) AreParallel thaúng l1 vaø maët phaúng P1. Kieåm tra tính song song cuûa hai maët phaúng p1 vaø p2. * * AreParallel(p1, p2, cond) * ArePerpendicular(l1, l2, cond) * Kieåm tra tính vuoâng goùc cuûa hai ñöôøng thaúng l1, l2. * Kieåm tra tính vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng l1 vaø maët phaúng p1 ArePerpendicular *ArePerpendicular(l1, p1, cond) * Kieåm tra tính vuoâng goùc cuûa hai maët phaúng p1 vaø p2 . * ArePerpendicular(p1, p2, cond) IsEquilateral IsEquilateral(ABC, cond ) IsOnObject(f, obj, cond) Kieåm tra xem ñieåm hoaëc taäp hôïp ñieåm f coù thuoäc obj hay khoâng ? Trong ñoù, obj coù theå laø ñöôøng thaúng, maët phaúng hay maët caàu. IsRightTriangle(ABC, cond ) Kieåm tra tính vuoâng goùc cuûa tam giaùc ABC. IsOnObject IsRightTriangle Xeùt xem tam giaùc ABC coù ñeàu hay khoâng ? MAËT PHAÚNG plane(p, [A, dseg1]) plane(p, [dseg1, dseg2]) Moät maët phaúng trong Maple coù theå ñöôïc khai baùo vôùi cuù phaùp vaø chöùc naêng nhö sau: Cuù phaùp plane(P, [A, v] ) Chöùc naêng Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua ñieåm A vaø coù phaùp vectô laø v. 6 plane(p, [A, dseg1]) Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua ñieåm A vaø coù ñoaïn thaúng ñònh höôùng 1. plane(p, [dseg1, dseg2]) Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua ñieåm A vaø coù hai ñoaïn thaúng ñònh höôùng dseg1 vaø dseg2 plane(P, [l1, l2] ) Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua hai ñöôøng thaúng l1 vaø l2. plane(P, [A, B, C] ) Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C. plane(P, [A, l1, l2] ) Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua ñieåm A vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng l1 vaø l2. Plane(P,a*x + b*y +c*z + d = 0,[x, y, z] Khai baùo P laø maët phaúng coù phöông trình a*x + b*y +c*z + d = 0. Parallel(P, M, alpha) Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi maët phaúng alpha. Parallel(P, M, l) Khai baùo P laø maët phaúng ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi ñöôøng thaúng l. Parallel(P, l1, l2) Khai baùo P laø maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng l1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng l2. parallel(w, u, v) Parameters w - name of the object to be created u - point or a line v - line or plane; v can be a plane only if u is a point Description  If u is a point and v is a line (or plane), the parallel(w, u, v) function defines w as the line (or plane) that passes through u and is parallel to v.  If u is a line, and v is a line, the parallel(w, u, v) function defines w as the plane that contains u and is parallel to v. Moät vaøi caùch xaùc ñònh vector phaùp tuyeán cuûa maët phaúng: 1. Cho maët phaúng (P) coù phöông trình ax + by + cz + d = 0. vector phaùp tuyeán cuûa (P) xaùc ñònh baèng leänh > NormalVector(P); 2. Maët phaúng (P) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A, B. Thì vector phaùp tuyeán cuûa (P) laø vector chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng AB. Ñeå xaùc ñònh vector chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng coù teân laø AB, ta duøng leänh > ParallelVector(AB); 7 Ví du 1. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng AB vaø phöông trình cuûa maët phaúng ñi qua ñieåm A vaø nhaän vector AB laøm vector phaùp tuyeán. > point(A,1,2,3); A > point(B,4,5,6); B > v:=dsegment(AB,[A,B]); v := AB > line(Delta,[A,v],t);  > Equation(Delta); [ 1 3 t, 2 3 t, 3 3 t] > plane(P,[A,v]); P > Equation(P,[x,y,z]);  18 3 x 3 y 3 z 0 Ví duï 2. Vieát phöông trình cuûa maët phaúng ñi qua ñieåm M0(1; – 2; 1) vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng  x  2y  z  3 0,   x  y  z  2 0. Chuù yù raèng vector chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng laø vector phaùp tuyeán cuûa maët phaúng. Leänh [>ParallelVector(D); ñeå xaùc ñònh vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng D. [> plane(P1, x-2*y + z - 3 = 0, [x, y, z]); [> plane(P2, x + y – z + 2 = 0, [x, y, z]), point(M0,1,-2,1); P1, P2, M0 [> line(D, [P1, P2]); D [> v:=ParallelVector(D); v := [ 1, 2, 3 ] [> Equation(plane(P, [M0, v], [x, y, z])); 8 x 2 y 3 z 0 Ví duï 3: Vieát phöông trình cuûa maët phaúng ñi qua ba ñieåm A(3; – 1; 2), B(4; – 1; – 1) vaø C(2; 0; 2). [> point(A, 3, -1, 2), point(B, 4, -1, -1), point(C, 2, 0, 2); A, B, C [> plane(ABC,[A,B,C],[x,y,z]); ABC [> Equation(ABC);  8 3 x 3 y z 0 Ví duï 4 :Vieát phöông trình cuûa maët phaúng ñi qua ñöôøng thaúng  x 3t  1,   y 2t  3,  z  t  2   2 x  y  z  3 0, vaø song song vôùi ñöôøng thaúng   x  2y  z  5 0. ÑS. 13x – 14y + 11z + 51 = 0. [> line(L1,[3*t+1,2*t+3,-t-2],t): plane(P1,2*x-y+z-3=0,[x,y,z]): plane(P2,x+2*y-z-5=0,[x,y,z]): line(L2,[P1,P2]): parallel(P,L1,L2): Equation(P); Ví duï 5. Vieát phöông trình cuûa maët phaúng ñi qua ñieåm M1(1; 2; – 3) vaø song song vôùi caùc ñöôøng thaúng x  1 y 1 z  7 x  5 y  2 z  3   ,   2 3 3 3  2 1 ÑS. 9x + 11y + 5z – 16 = 0. [> line(D1, [point(A, 1, -1, 7), [2,-3,3]]); [> line(D2, [point(B, -5, 2, -3), [3,-2,-1]]); [> point(M1, 1, 2, -3); D1, D2, M1 [> plane(P, [M1, D1, D2]); 9 P [> Equation(P, x, y, z]);  16 9 x 11 y 5 z 0 Ví duï 6: Chöùng minh raèng boán ñieåm A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) naèm treân cuøng maët phaúng. Prove that the four points A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) lies in the same plane. * Caùch 1: [> point(A, 1, 2, -1), point(B, 0, 1, 5), point(C, -1, 2, 1), point(D, 2, 1, 3); A, B, C, D [> AreCoplanar(A,B,C,D); true * Caùch 2: [> point(A,1,2,-1), point(B,0,1,5), point(C,-1,2,1), point(D,2,1,3); A, B, C, D [> plane(P,[A,B,C],[x,y,z]); P [> Equation(P); 202 x10 y2 z 0 [> IsOnObject(D,P); true Leänh IsOnObject(D, P) ; ñeå kieåm tra xem ñieåm P coù naèm treân maët phaúng P hay khoâng ? Ví duï 7 : Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa l vaø m deå hai maët phaúng coù phöông trình sau laø song song nhau: mx + 3y – 2z – 1 = 0, 2x – 5y – lz = 0. [> plane(P1,m*x+3*y-2*z-1=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x-5*y-l*z=0,[x,y,z]); P1 , P2 [> AreParallel(P1,P2,'cond'); FAIL [> cond; &and (  3 l10 0,  4 m l 0,  5 m6 0) 10 [> solve({-3*l-10 = 0,-4+m*l = 0,-5*m-6 = 0},{m,l}); -6 -10 { m , l } 5 3 Ví dụ 8. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ñieåm A(1,2,3) vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (P1): x+ y + z – 1 = 0 vaø (P2): 2x + 3y + 4z - 1 = 0 [> point(A, 1, 2, 3 ); A [> plane(P1, x+ y + z - 1 = 0, [x, y, z]); P1 [> plane(P2, 2*x + 3*y + 4*z - 1 = 0,[x,y,z]); P2 [> v1:= NormalVector(P1); v1 := [ 1, 1, 1 ] [> v2:= NormalVector(P2); v2 := [ 2, 3, 4 ] [> with(linalg); [> v:=crossprod(v1,v2); v := [ 1, -2, 1 ] [> plane(P,[A,v],[x,y,z]); P [> Equation(P); x2 y z 0 Ví dụ 9. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua hai ñieåm A(1, 2, 3), B(-2,5,6) vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng alpha: x - y + z - 1 = 0. > restart; with(geom3d); > point(A, 1, 2, 3); A > point(B,-2,5,6); B > line(AB, [A,B],t); 11 AB > a:=ParallelVector(AB); a := [ -3, 3, 3 ] > plane(alpha, x - y + z - 1 = 0,[x,y,z]);  > n:=NormalVector(alpha); n := [ 1, -1, 1 ] > with(linalg); > v:=crossprod(a,n); v := [ 6, 6, 0 ] > plane(P,[A,v],[x,y,z]); P > Equation(P);  186 x 6 y 0 ÑÖÔØNG THAÚNG Maple cho pheùp khai baùo ñöôøng thaúng theo caùc caùch sau: Cuù phaùp Chöùc naêng line(l, [A, B] ) Khai baùo ñöôøng thaúng l ñi qua hai ñieåm A vaø B. line(l, [A, u] ) Khai baùo ñöôøng thaúng l ñi qua ñieåm A vaø coù VTCP laø u . line(l, [A, p1] ) Khai baùo ñöôøng thaúng l ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng p1. line(l, [p1, p2] ) Khai baùo l laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng p1 vaø p2.  line(l, [a1+b1*t, a2+b2*t, a3+b3*t ], t) Khai baùo ñöôøng thaúng l laø ñöôøng thaúng coù phöông trình tham soá x = a1+b1*t, y = a2+b2*t, z = a3+b3*t parallel(l, A, d) Khai baùo ñöôøng thaúng l ñi qua ñieåm A song song vôùi ñöôøng thaúng d. Ví duï 1 : Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(3; – 1; 2) vaø B(4; – 1; –1). 12 [> point(A,3,-1,2),point(B,4,-1,-1),line(l,[A,B]); A, B, l [> Equation(l,t); [ 3 t, -1, 23 t ] Chuù yù: Ñaùp soá cho phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng l laø  x 3  t,   y  1,  z 2  3t.  Ví duï 2: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua M(5; – 2; 3) vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng 2x – 3y + z – 1=0 [> point(M,5,-2,3),plane(P,2*x-3*y+z-1=0,[x,y,z]); M, P [> Equation(line(l, [M,P])); enter name of the independent variable > t; [ 5 2 t,  23 t, 3 t] Ví duï 3: Vieát phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng : 2 x  3y  4 z  5  0, � � 5x  4 y  4z  5  0 � [> plane(P1,2*x-3*y+4*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,5*x+4*y-4*z+5=0,[x,y,z]), line(D,[P1,P2]); P1, P2, D [> Equation(D); enter name of the independent variable > t;  5 4 t,  35 28 t, 23 t   23 23   [> FixedPoint(M,D); M [> coordinates(M);  5 , -35, 0   23 23  Chuù yù: Leänh FixedPoint(M,D); cho ta moät ñieåm M coá ñònh thuoäc ñöôøng thaúng ñaõ cho. 13 Ví duï 4 : Vieát phöông trình ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc ABC vôùi A(2; – 3; 4), B(3; 2; 7) vaø C( – 2; 5; 5). [> with(geom3d); [> triangle(ABC,[point(A,2,-3,4),point(B,3,2,7), point(C,-2,5,5)]), altitude(AH,A,ABC); ABC, AH [> Equation(AH,t); 29 89 61  2 t,  3 t, 4 t   19 19 19  KHOAÛNG CAÙCH Trong Maple cho pheùp tính caùc khoaûng caùch sau: Cuù phaùp Chöùc naêng distance(A, B) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A vaø B. distance(l1, l2) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng l1 vaø l2. distance(p1, p2) Tính khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng p1 vaø p2. distance(A, p1) Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng p1. distance(A, l1) Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng l1. distance(l1, p1) Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng l1 vaø maët phaúng p1. Ví duï : Cho caùc ñieåm A(1; 2; 3), B( – 1; 4; -7); caùc maët phaúng P : 2x + 3y – 9z + 1 = 0 vaø Q : 2x + 3y – 9z + 9 = 0 �x  3t  1, � vaø ñöôøng thaúng l : �y  4t  6, �z  t. � Tính : 14 1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A vaø B. 2) Khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng P. 3) Khoaûng caùch töø ñieåm B ñeán ñöôøng thaúng l. 4) Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø l. 5) Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng P vaø Q. 6) Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng AB vaø maët phaúng Q. [> point(A,1,2,3), point(B,-1,4,-7),plane(P,2*x+3*y-9*z+1=0,[x,y,z]),line(l,[3*t-1,4*t+6,t],t),plane(Q,2*x+3*y-9*z+9=0,[x,y,z]); A, B, P, l, Q [> distance(A,B); 6 3 [> distance(A,P); 9 94 47 [> distance(B,l); 9 17 26 26 [> line(AB,[A,B]); AB [> Equation(AB,t); [ 12 t, 2 2 t, 310 t ] [> distance(AB,l); 27 74 74 [> distance(P,Q); 4 94 47 [> distance(AB, Q); Error,(in geom3d/distancelp)the line and plane intersect Löu yù : Ñöôøng thaúng AB vaø maët phaúng Q caét nhau. HÌNH CHIEÁU VAØ ÑOÁI XÖÙNG 15 Vaán ñeà HÌNH CHIEÁU Cuù phaùp Chöùc naêng projection(Q, A, l ) Tìm hình chieáu Q cuûa ñieåm A leân ñöôøng thaúng l. projection(Q, A, P) Tìm hình chieáu Q cuûa ñieåm A leân maët phaúng P projection(Q, l, P) Tìm hình chieáu Q cuûa ñöôøng thaúng l leân maët phaúng P. Q - the name of the object to be created P - a geometric object ÑOÁI XÖÙNG reflection(Q, P, c ) c - a point, a line, or a plane Ví duï 1 : Tìm hình chieáu Q cuûa ñieåm P(2; –1; 3) leân ñöôøng thaúng  x 3t,  D:  y  7  5t ,  z t.  [> with(geom3d); [> point(P,2,-1,3),line(D,[3*t,-7+5*t,2+2*t],t); P, D [> projection(Q,P,D); Q [> coordinates(Q); [ 3, -2, 4 ] Ví duï 2 .Tìm hình chieáu H cuûa ñieåm P(5; 2; –1) leân maët phaúng Q: 2x – y + 3z + 23 = 0 [> with(geom3d); [> point(P,5,2,-1), plane(Q,2*x- y+3*z+23=0,[x,y,z]); P, Q [> projection(H,P,Q); H [> coordinates(H); 16 [ 1, 4, -7 ] Ví duï 3 . Tìm hình chieáu cuûa ñieåm C(3; – 4; – 2) treân maët phaúng ñi qua hai ñöôøng thaúng song song x  5 y  6 z 3 x  2 y  3 z 3   ,   13 1  4 13 1  4 [> point(C,3,-4,-2),line(D1,[point(M,5,6,-3),[13,1,-4]]),line(D2,[point(N,2,3,-3),[13,1,-4]]),plane(P, [D1,D2],[x,y,z]); C, D1, D2, P [> Equation(P); 120 12 x12 y 36 z 0 [> projection(H,C,P); H [> coordinates(H); [ 2, -3, -5 ]  5x  4 y  2z  5 0, Ví duï 4 . Tìm hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng   x  2z  2 0 leân maët phaúng 2x – y + z – 1 = 0. Giaûi : [> plane(p1,5*x-4*y-2*z-5=0,[x,y,z]), plane(p2,x+2*z-2=0,[x,y,z]),line(l,[p1,p2]); p1, p2, l [> plane(Q,2*x-y+z-1=0,[x,y,z]); Q [> projection(R,l,Q); R [> Equation(R,t);  178 t, 3712 t,  7  4 t   12 24 24  Ví duï 5 .Tìm ñieåm M1 ñoái xöùng vôùi ñieåm M2(8; – 9) qua ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(3; – 4) vaø B( – 1; – 2). Giaûi [> point(M2,8,-9),point(A,3,-4),point(B,-1,-2); M2, A, B 17 [> line(AB,[A,B],[x,y]); AB [> Equation(AB);  102 x4 y 0 [> reflection(M1,M2,AB); M1 [> coordinates(M1); [ 10, -5 ] Ví duï 6 .Tìm ñieåm Q ñoái xöùng vôùi ñieåm P( 4; 1; 6) qua ñöôøng thaúng  x  y  4z 12 0,   2 x  y  2z  3 0. [> with(geom3d); [>point(P,4,1,6),plane(P1,x-y-4*z+12=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x+y-2*z+3=0,[x,y,z]); P, P1, P2 [> line(l,[P1,P2]); l [> reflection(Q,P,l); Q [> coordinates(Q); [ 2, -3, 2 ] Ví duï 7. Tìm ñieåm Q ñoái xöùng vôùi ñieåm P( 2; –5; 7) qua ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm M1( 5; 4; 6) vaø M2( – 2; – 17; – 8). [>point(P,2,-5,7),point(M1,5,4,6),point(M2,-2,-17,-8),line(M1M2,[M1,M2]); P, M1, M2, M1M2 [> reflection(Q,P,l); Q [> coordinates(Q); [ 8, -1, 3 ] 18 Ví duï 8. Tìm ñieåm Q ñoái xöùng vôùi ñieåm P(1; 3; –4) qua maët phaúng 3x + y – 2z = 0. [> point(P,1,3,-4),plane(anpha,3*x+y-2*z=0,[x,y,z]); P, anpha [> reflection(Q,P,anpha); Q [> coordinates(Q); [ -5, 1, 0 ] Ví duï 9. Tìm ñieåm Q ñoái xöùng vôùi ñieåm P(3; –4; –6) qua maët phaúng ñi qua caùc ñieåm M1( –6; 1; –5), M2(7; –2; –1), M3(10; –7; 1). [> point(P,3,-4,-6), point(M1,-6,1,-5), point(M2,7,-2,-1), point(M3,10,-7,1), plane(anpha, [M1, M2, M3], [x,y,z]); P, M1, M2, M3, anpha [> reflection(Q,P,anpha); Q [> coordinates(Q); [ 1, -2, 2 ] [> detail(anpha); name of the object: anpha form of the object: plane3d equation of the plane: -182+14*x-14*y-56*z = 0 Ví duï10 . Tìm ñieåm Q ñoái xöùng vôùi ñieåm P(–3; 2 ; 5) qua maët phaúng ñi qua caùc ñöôøng thaúng  x  2y 3z 5 0, 3x  y 3z7 0,    x  2y  4z3 0; 5x  3y 2z5 0. [> point(P,-3,2,5), plane(P1,x-2*y+3*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,x-2*y-4*z+3=0, [x,y,z]), plane(P3,3*x+y+3*z+7=0, [x,y,z]), plane(P4, 5*x-3*y+2*z+5=0, [x,y,z]), line(L1, [P1, P2]), line(L2, [P3,P4]); P, P1, P2 , P3, P4 , L1, L2 19 [> plane(anpha,[L1,L2],[x,y,z]); anpha [> Equation(anpha); 9898 x 196 y 49 z 0 [> reflection(Q,P,anpha); Q [> coordinates(Q); [ 1, -6, 3 ] GOÙC Cuù phaùp Chöùc naêng FindAngle(l1, l2) Tìm goùc cuûa hai ñöôøng thaúng l1 vaø l2. FindAngle(p1, p2) Tìm goùc cuûa hai maët phaúng p1 vaø p2. FindAngle(l1, p1) Tìm goùc cuûa ñöôøng thaúng l1 vaø maët phaúng p1. FindAngle(A, T) Tìm soá ño goùc trong ôû ñænh A cuûa tam giaùc T. > assume(a<>0, b<>0, c<>0); > point(P, [a, b, c]): > point(o, 0, 0, 0), point(X, 1, 0, 0), point(Y, 0, 1, 0), point(Z, 0, 0, 1): > plane(oxz, [o, X, Z]), plane(oxy, [o, X, Y]): > projection(M, P, oxz): projection(N,P,oxy): > plane(p,[o,M,N]); > Equation(p,[x,y,z]); > line(OP, [o,P]): > FindAngle(OP,p); Ví duï 1 : Tìm goùc taïo bôûi hai ñöôøng thaúng: ( Find the acute angle between the lines: ) 20