Skkn giúp học sinh lớp 12 trường thpt nguyễn du học tốt hơn chương iii giải tích 12 thông qua các sai lầm thường gặp khi tính tích phân

  • Số trang: 32 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU HỌC TỐT HƠN CHƯƠNG III GIẢI TÍCH 12 THÔNG QUA CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN” A- Phần Mở Đầu I. Lý Do Chọn Đề Tài.  Bài toán tính tích phân là bài toán quan trọng trong các kỳ thi. Tuy nhiên, qua nhiều năm dạy lớp 12, tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường mắc phải một số sai lầm “ấu trĩ” khi tính toán. Để giúp học sinh lớp 12 học tốt hơn và không mắc phải những sai lầm kiểu như vậy, tôi tổng hợp và viết đề tài : “Giúp Học Sinh Lớp 12 Trường THPT Nguyễn Du Học Tốt Hơn Chương III Giải Tích 12 Thông Qua Các Sai Lầm Thường Gặp Khi Tính Tích Phân”. II. Mục Đích và Phương Pháp Nghiên Cứu 1.Mục đích Đối với học sinh (Hs).  Giúp Hs hiểu sâu lý thuyết tích phân, nắm bắt được các sai lầm thường gặp. Qua đó nâng cao khả năng tính toán các bài toán tính tích phân.  Đặc biệt, đối với Hs khối 12 sẽ có thêm một tài liệu tham khảo tốt để luyện thi đại học. Đối với giáo viên  Có thêm một tài liệu tham khảo hay và bổ ích. Qua đó nâng cao chất lượng dạy và học.  Thông qua đề tài, trao đổi nâng cao chuyên môn giữa các Thầy cô. 2. Phương pháp  Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng sử dụng phương pháp tính tích phân. Đặc biệt là các sai lầm mà học sinh thường gặp.  Phương pháp tổng hợp: sử dụng tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn ra trên lớp, cùng với đóng góp của quý thầy cô.  Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những kết quả thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ , với học sinh.  Phương pháp phân tích, thống kê số liệu: điều tra, khảo sát và phỏng vấn học sinh lớp thực nghiệm. III. Giới Hạn Của Đề Tài  Đề tài được áp dụng cho học sinh khối 12 trong việc tránh các sai lầm trong quá trình tính tích phân. IV. Các Giả Thiết Nghiên Cứu  Nếu không áp dụng được sáng kiến thì nhiều học sinh sẽ mắc nhiều sai lầm trong tính tích phân, mất nhiều thời gian hơn trong quá trình phát hiện các sai lầm.  Nếu được áp dụng, phần lớn học sinh sẽ nhận ra những sai lầm đó, giảm đi thời gian học và đạt được kết quả tốt trong các kỳ thi. V. Cơ Sở Lý Luận và Cơ SỞ Thực Tiễn 1. Cơ sở lý luận khoa học  Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần tư duy.  Trong khoa học nói chung, toán học nói riêng, Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh 2. Cơ sở thực tiễn  Bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần là một dạng toán quan trọng, luôn xuất hiện trong các kỳ thi. Tuy nhiên, trong quá trình làm toán tích phân, học sinh thường mắc phải rất nhiều sai lầm. Sai lầm trong quá trình tính toán, công thức và cả trong tư duy. VI. Kế Hoạch Thực Hiện  Mỗi năm học đều được áp dụng cho các lớp 12 và hoàn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các sai lầm mà học sinh thường hay gặp.Trao đổi chuyên môn cùng quý Thầy cô trong tổ, trong và ngoài trường.  Đề tài được thực hiện trong năm học 2013-2014 với kế hoạch cụ thể như sau: Stt Thời gian 1 Xác định đề tài Từ Kế hoạch thực hiện nghiên cứu. 01/ Xây dựng đề 8/2 cương chi tiết. 01 3 đến 01/ 11/ 20 13 Từ 02/11/2013 Thu thập tư liệu lý luận dạy học và nghiên cứu đề 2 đến 31/01/2014 5 Từ 01/02/2014 tài. Hoàn thiện đề tài. đến 01/04/2014 Tiến hành điều tra khảo sát và đánh giá kết quả. B- Phần Nội Dung. I. Thực Trạng Và Những Mâu Thuẫn  Trước đây, khi dạy học sinh lớp 12, tôi thường nhận ra các em mắc phải những sai lầm rất ngớ ngẩn: áp dụng sai công thức, hiểu sai bản chất,… Và phần lớn để nhận ra những sai lầm đó, học sinh phải trả giá cho kết quả trong các kỳ thi và không còn cơ hội để khắc phục.  Do vậy, nhằm giúp học sinh đạt kết quả tốt hơn trong các kỳ thi, đề tài này được triển khai cho các lớp 12. Khi đó, học sinh cảm thấy tự tin hơn trong tính tích phân và thường không phải mắc các sai lầm kiểu ngớ ngẫn như vậy nữa.  Thuận lợi: Phần lớn học sinh trường THPT Nguyễn Du đều có học lực khá và chịu khó học tập nên chỉ cần thực hiện là học sinh đã nhận ra và tránh được các sai lầm đó.  Khó khăn: Do thời lượng chương trình nặng nên không có những buổi ngoại khóa để áp dụng với học sinh toàn khối 12 mà chỉ áp dụng được với một số lớp 12 mà tôi trực tiếp giảng dạy. II. Các Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân:  Sai lầm 1: Vận dụng nhầm bảng nguyên hàm cơ bản 1 I �  2 x  1 dx VD 1: Tính tích phân: 4 0 1 * Sai lầm thường gặp: I  �  2 x  1 4  2 x  1 dx  5 1  5 0 242 5 0 * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh vận dụng công thức 1 * Lời giải đúng: I  �  2 x  1 dx  4 0 1 x n 1 x dx  C � n 1 4 1 2 x  1 d  2 x  1    � 20 n  2 x  1 5 0 * Cách khắc phục: Học sinh phải vận dụng công thức VD 2: Tính tích phân:  ax  b   ax  b  dx  1a n  1 �  4 I� cos 2 xdx 0 * Sai lầm thường gặp:  4  I� cos 2 xdx  sin 2 x 04  1 0  10 (Có thể dùng phương pháp đổi biến) n 1 n 1 C 121 5 * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh vận dụng công thức * Lời giải đúng:  4 cos xdx  sin x  C �  sin 2 x 4 1 I� cos 2 xdx   2 0 2 0 (Có thể dùng phương pháp đổi biến) * Cách khắc phục: Học sinh phải vận dụng công thức cos nxdx  � sin nx C n  Sai lầm 2: Nhớ nhầm tính chất tích phân 1 x.e x dx VD 3: Tính tích phân: I  � 0 * Sai lầm thường gặp: 1 1 x2 e 1 I � x .e dx  � xdx � e dx  .ex  0 2 0 2 0 0 0 1 x 1 1 x f ( x ).g( x )dx  � f ( x )dx.� g( x )dx * Nguyên nhân sai lầm:Học sinh vận dụng công thức � * Lời giải đúng: Đặt 1 � � ux du  dx , ta � � � � c � � \ dv  e x dx v  ex � � x.e dx  x.e Vậy I  � 0 x x 1 0 1 1 � e x dx  e  e x  1 0 0 * Cách khắc phục: Học sinh phải vận dụng công thức tích phân từng phần udv  uv  � vdu �  Sai lầm 3: Sai lầm khi đổi biến số  2 VD 4: Tính tích phân: I  � cos x.esin x dx 0 * Sai lầm thường gặp: Đặt t = sinx => dt = cosx.dx  2   Vậy I  � et dt  et 2  e 2  1 0 0 * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận. * Lời giải đúng: Đặt t = sinx => dt = cosx.dx Đổi cận : 1 x 0  2 t 0 1 1 et dt  et  e  1 Vậy I  � 0 0 * Cách khắc phục: Học sinh thực hiện đầy đủ các bước phương pháp tích phân đổi biến. 1  2 x  1 dx VD 5: Tính tích phân: I  � 3 0 * Sai lầm thường gặp: Đặt t = 2x+1 Đổi cận : x 0 1 t 1 3 3 t4 t dt   20 Vậy I  � 41 1 3 3 * Nguyên nhân sai lầm:Học sinh đổi biến, đổi cận nhưng không tính vi phân dt. * Lời giải đúng: Đặt t = 2x+1 => dt =2dx Đổi cận : x 0 1 t 1 3 3 1 3 t4 t dt   10 Vậy I  � 21 81 3 * Cách khắc phục: Học sinh thực hiện đầy đủ các bước phương pháp tích phân đổi biến. Giúp học sinh tạo thói quen kiểm tra lại kết quả nhờ máy tính bỏ túi.  Sai lầm 4: Vận dụng không đúng định nghĩa tích phân 2 dx �x VD 6: Tính tích phân: I = 2 2 * Sai lầm thường gặp: I = dx �x  ln x 2 2 2 * Nguyên nhân sai lầm :Hàm số y = không liên tục trên   2;2  ln 2  ln 2  0 1 x không xác định tại x= 0    2;2 suy ra hàm số nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên. 1 x * Lời giải đúng: Hàm số y = tục trên   2;2 không xác định tại x=0    2;2 suy ra hàm số không liên do đó tích phân trên không tồn tại. b * Cách khắc phục: Khi tính  f ( x) dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên  a; b a không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính 2 dx VD 7: Tính tích phân: I = (x  1) 2 2 2 * Sai lầm thường gặp: I = dx  2  2 (x  1) 2 = d ( x  1)  2  2 ( x  1) 2 1 4  = x  1 2 3 * Nguyên nhân sai lầm :Hàm số y = số không liên tục trên   2;2 1 ( x  1) 2 không xác định tại x= -1    2;2 suy ra hàm nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Lời giải đúng: Hàm số y = không liên tục trên   2;2 1 ( x  1) 2 không xác định tại x= -1    2;2 suy ra hàm số do đó tích phân trên không tồn tại. b * Cách khắc phục: Khi tính  f ( x) dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên  a; b a không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1/ dx  4 0 (x  4) 1 2 3 5 . 2/ x( x  1) dx . 2 2  2 3/  14 dx x 0 cos 1  x 3 .e x  x 2 dx 4/  x3 1  Sai lầm 5: Hàm số trong đổi biến không tồn tại  dx VD8 :Tính tích phân: I = 1  sin x 0 x * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tg 2 thì dx = 2dt 1 2 ; 1  t 1  sin x 1 t2 = (1  t ) 2  2dt dx 1  sin x = (1  t ) = 2(t  1) d(t+1) = 2 t 1 2 2   I= do tg  2 dx  0 1  sin x =  2 x tg  1 2  0 = +c  2 2  tg  1 - tg 0  1 2 không xác định nên tích phân trên không tồn tại *Nguyên nhân sai lầm: x x Đặt t = tg 2 x  0;   tại x =  thì tg 2 không có nghĩa. * Lời giải đúng:  dx I = 1  sin x = 0 x  d   dx x  2 4  tg       x  2 4 0 1  cos x   0 cos 2    2  2 4    0  = tg 4    tg   4   2 .  * Cách khắc phục: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên  a; b . *Một số bài tập tương tự:  Tính các tích phân sau: 1/ dx  sin x 0  dx 2/ 1  cos x 0  Sai lầm 6: Sai lầm trong việc bỏ dấu trị tuyệt đối 4 VD9: Tính I =  x 2  6x  9 dx 0 * Sai lầm thường gặp: 4 4  x  3 2 2       x  3 dx  x  3 d x  3  =  4 I=  x 2  6x  9 dx 0 0 2 0 4 0 1 9    4 2 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi  x  3 2 x  3 với x   0;4 là không tương đương. * Lời giải đúng: 4 I=  x 2  6x  9 0 =-  x  3 2 2 3 0  4 4 0 0 2 dx =   x  3 dx x   x  3 2 2 4 3 b a 2n 4 0 3 9 1   5 2 2 * Cách khắc phục: Ta có : I = 2 n  f  x   3 3 d  x  3   x  3 d  x  3   x  3 d  x  3 2n  f  x   2n  f  x  n 1, n  N  b   f  x  dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên  a; b rồi dùng tính chất tích a phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau : 1/ I =  2 3  1  sin 2 x 0 3 dx 2/ I =  2 x  2x  x 0  dx 3/ I =   x 2 1 2  1   2 2 x  dx  Sai lầm 7: Sử dụng công thức trong sách tham khảo cũ 0 VD9: Tính I = x 2 1 dx  2x  2 0 d  x  1 0 * Sai lầm thường gặp:I =  x  1 2  1 arctg  x  1  1 arctg1  1  arctg 0  4 * Nguyên nhân sai lầm :Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tgt    dx  1  tg 2 t dt Đổi cận :  4 x -1 0 t 0  4  4 Khi đó I = 1  tg t dt dt t 0 2 tg t  1 0  4 0   4 * Cách khắc phục: Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp b 1 dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng 1  x 2 dx ta dùng phương a b pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;  a 1 1 x2 dx thì đặt x = sint hoặc x = cost *Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau : 8 1/ I =  4 1 1 2 x  16 dx x 2/ I = 2x 3  2x  3 dx  x2 1 0 3 3/ I =  0 x 3 dx 1  x8  Sai lầm 8: Đổi biến nhưng không đổi cận được 1 4 VD10:Tính :I =  0 x3 1 x2 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint => dx = costdt Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 với x= 1 4 thì t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x2 thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = được chính xác t = ? 1 4 không tìm * Lời giải đúng: Đặt t = 1 x2 x  dt = 1 x2 Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 1 4 x 3 I � 2 0 1 x 15 4 1  dx =  1 2  t tdt  t 15 4  1  t dt  t  2  1 1 4 t3 3 dx  tdt  xdx thì t = 15 4  415  15 15 15  2 33 15 2   1   4  192   3  192  3    * Cách khắc phục: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x2 thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác. *Một số bài tập tương tự: 7 Tính các tích phân sau :1/ I =  0 x3 1 x2 2 dx 2/I =  x 1 dx x2 1  Sai lầm 9: Biến đổi biểu thức có nghĩa về biểu thức vô nghĩa trong đoạn 1 VD11: tính I = x2  1 dx  4 1  x 1 1   1 1  2  1 2 x   x  dx   2 1 2 1   1  1 x x   2 x2 x  1 * Sai lầm thường gặp: I = 1 � a; b � � � 1 Đặt t = x+ x  1   dt 1  2  dx x   Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; 2 I 2 dt = t 2  2 2 = ln = ( 2 2 2 2 2 1 t 2  ln  1 t  2 2  2 2 2 2 ln 2 2 2 2 1 2 * Nguyên nhân sai lầm: )dt =(ln t 1 x2 x 1  1 1 x4  x2 2 x 2  -ln t  2 ) là sai vì trong   2 2 ln 1;1 t 2 t 2 2 2 chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được * Lời giải đúng: 1 1 1 � x 2 1 x2 1 1 � 2x  2 2x  2 dx  dx  dx  dx � � �2 2 �2 �2 4 có: � � 2 2� 1 1  x 1 x  1  2 x 1 x  2 x  1 �1 x  2 x  1 � 1 Ta   1 x2 1 1 x2  x 2 1 1 2 2 ln  ln Do đó I  � 4 dx  2 2 x 2  x 2  1 1 2 2 2 1 1  x 1 * Cách khắc phục: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . III/ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:  Thực nghiệm sư phạm được tiến hành đối với đối tượng học sinh khối 12 trường THPT Nguyễn Du. Mẫu nghiên cứu được chọn là 73 học sinh ở hai lớp 12A9(lớp TN) và 12A8(lớp ĐC) năm học 2013-2014.  Đề tài đã được áp dụng trong các giờ luyện tập và tự chọn theo đúng phân phối chương trình.  Qua thực tế khi áp dụng đề tài cho lớp 12A9 tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn. Và các em tự tin hơn khi gặp các bài tập tích phân.  Trước tác động, tiến hành kiểm tra 15 phút phần tính nguyên hàm cho c ả hai l ớp trên, nội dung đề kiểm tra hai lớp giống nhau và phù hợp với chuẩn ki ến th ức k ĩ năng môn Toán, sau đó tính điểm trung bình và đánh giá sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của lớp TN và lớp ĐC. Lớp Điểm 12A9 (TN) trung M1 = 6.94118 12A8 (ĐC) Kết quả M2 = 7.17949 M1 < M2 bình trước tác động Bảng 1: Xác định chênh lệch điểm trung bình của lớp TN và lớp ĐC  Từ kết quả trên chúng tôi nhận xét: Qua kiểm tra 15 phút (trước tác động), điểm trung bình lớp thực nghiệm (6.94118) nhỏ hơn một ít so với điểm trung bình lớp đối chứng (7.17949). Vậy lực học của lớp thực nghiệm yếu hơn một ít.  Kiểm tra đánh giá kết quả học tập sau khi đã áp dụng sáng kiến với lớp 12A9. Giáo viên tiến hành đánh giá kết quả học tập của hai lớp được chọn nghiên c ứu b ằng cách cho làm bài kiểm tra 15 phút. Kết quả như sau:
- Xem thêm -