Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT CHƯƠNG 3
HÌNH HỌC LỚP 12
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong năm học 2010 – 2011 tôi đã thực hiện đề tài này và đã áp dụng đối
với các lớp 12A1, 12A2, 12B9 mà tôi giảng dạy , tôi nhận thấy rằng kết quả của
việc kiểm tra chương cũng như các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập
cũng như một dạng toán trong thi tốt nghiệp , đại học đa số học sinh đều giải
được. Năm học 2011 – 2012 tôi tiếp tục áp dụng đề tài này đối với các lớp tôi
giảng dạy 12B7 và 12B10 đồng thời các thầy cô dạy toán 12 trong tổ cũng đã
vận dụng đề tài này trong giảng dạy trên lớp.
Trong năm học 2011 – 2012 tôi có bổ sung thêm một số dạng toán khác nhằm
từng bước hoàn thiện đề tài và có thể áp dụng rộng rãi và lâu dài trong tổ Toán
của Trường THPT Đoàn Kết.
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một
phương pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phương pháp đều có những
ưu, nhược điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi học sinh phải nắm
được các khái niệm , định lý, tính chất cơ bản nhất để giải , đồng thời phải biết
vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và đề ra được phương pháp giải cho
từng bài cụ thể.
Với học sinh lớp 12, bước sang học kỳ 2 các em đã được làm quen với
phương pháp toạ độ trong không gian và các bài tập là đa dạng.Đa số học sinh
hiện nay là yếu môn Hình học nói chung và Hình học giải tích nói riêng, lúng
túng về vận dụng kiến thức đã học và lựa chọn phương pháp giải . Để phần nào
giúp cho học sinh bớt lúng túng trong khi giải toán “ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN” tôi đã tổng hợp và đưa ra một số bài toán quen thuộc
trong chương trình và hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải cơ bản nhất mà
học sinh có thể tiếp thu và vận dụng tốt trong khi giải toán, đồng thời từ đó học
sinh có thể hiểu rõ và vận dụng vào các bài tập nâng cao,gợi mở cho học sinh
những hướng phát triển, mở rộng .
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận.
- Toán học là môn khoa học cơ bản , học toán đòi hỏi người học ngoài việc
phải nắm vững các khái niệm, định lý, tính chất còn đòi hỏi phải biết vận dụng
linh hoạt các kiến thức đó vào các bài toán cụ thể để giải , không thể chỉ đơn
thuần là thuộc.
- Trong quá trình học toán và giải toán lại không có phương pháp chung nào
để có thể giải được các bài toán, mỗi bài khác nhau thì có thể vận dụng các
phương pháp giải khác nhau.
- Phân loại các dạng toán cơ bản , phân tích tìm phương pháp giải để từ đó rút
ra kinh nghiệm giải đồng thời có thể vận dụng các kinh nghiệm , kiến thức đó
GV: Đinh Quang Minh
trang
1
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
để giải các bài toán khác là cần thiết và hữu ích cho các đối tượng học sinh.
2. Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
2.1. Thuận lợi:
- Được sự quan tâm và chỉ đạo của Ban lãnh đạo nhà trường về công tác đổi
mới phương pháp giảng dạy.
- Các em học sinh ngoan và có ý thức học tập.
2.2. Khó khăn:
- Điều kiện học tập chưa tốt, cơ sở vật chất còn hạn chế.
- Là một trường ở miền núi nên mặt bằng kiến thức chưa đồng đều giữa các
học sinh với nhau, còn nhiều học sinh có hoàn cảnh gia đình khó khăn , các em
phải phụ giúp gia đình kiếm từng bữa ăn nên thời gian cho học tập quá ít dẫn
đến học yếu là tất nhiên.
2.3. Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:
- Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán quen thuộc và phương pháp giải
- Phạm vi nghiên cứu: Hình học lớp 12
Chương trình 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập và chuyên đề của học sinh lớp 12A1 ,
12A2 , 12B9 năm học 2010 – 2011
2.4. Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài:
- Đa số học sinh chưa nắm vững về các khái niệm, định lý…
- Vận dụng kiến thức vào giải toán còn hạn chế.
- Lúng túng trong chọn phương án giải.
- Kết quả còn thấp.
- Chưa thực sự ham thích học toán với lý do không giải được bài tập.
Kết quả kiểm tra: ( kiểm tra lớp 12A1 , 12A2 và 12B9 với 124 học sinh)
Lớp SS
0296
7754
3127
61.3
612A
1 40
12B9 40
44
11.5
22.5
33.5
44.5
55.5
66.5
77.5
0
2
0
4
3
8
6
5
6
6
4
7
7
5
GV: Đinh Quang Minh
88.5
5
3
99.5
6
0
10 >=TB
3
0
%
31
21
trang
77.5
52.5
2
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
12A2
Tổng 124
2
6
20
17
19
18
17
12
9
4
79 63.71
Đề bài đã ra:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;1;0),B(1;0; 2),C(2; 2;0) .
a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng.
b. Lập phương trình mặt phẳng (ABC)
c. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(0; 2;1) và tiếp xúc mặt phẳng (ABC)
- Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán còn yếu.
- Học sinh không nắm rõ :
+ Khái niệm vecto cùng phương.
+ Khái niệm khoảng cách,công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
+ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
+ Kỹ năng tìm tích có hướng của hai vecto
2.5 Các biện pháp thực hiện đề tài:
Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức.
Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình, phân tích và cùng học sinh xây dựng
phương pháp giải
Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập tương ứng cho học sinh thông qua
một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển,
mở rộng .
NỘI DUNG
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/ Hệ trục toạ độ.
Cho ba rtrục
toạ độ x’Ox, yOy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại điểm
r r
O. Gọi i, j , k là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, yOy, zOz.
Hệ ba trục toạ độ như vậy gọi là hệ
z
trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz hoặc
đơn giản là toạ độ Oxyz.
+ Trục Ox gọi là trục hoành.
r r
+ Trục Oy gọi là trục tung.
k j
y
+ Trục Oz gọi là trục cao.
+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ.
rO
2/ Tọa độ Vectơ , tọa độ điểm.
i
x
a. Cho
hệ
toạ
độ
Oxyz
r
r
r r r
v (x; y;z) � v xi y j zk .
uuur
r r r
M(x; y;z) � OM xi y j zk
GV: Đinh Quang Minh
trang
3
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
+ Với hai điểm M1 x1, y1,z1 và M2 x 2 , y 2 ,z 2 thì:
uuuuur
M1M2 x 2 x1, y 2 y1,z 2 z1
uu
r
uur
b. Nếu có hai vectơ v1 (x1,y1,z1) và v 2 (x 2, y 2,z 2 ) thì:
b1
b2
b3
b4
b5
uu
r uur
v1 v 2 x 1 x 2, y1 y 2 ,z1 z 2
uu
r uur
v1 v 2 x 1 x 2 , y1 y 2 ,z1 z 2
uu
r
kv1 (kx1,ky1,kz1 )
uu
r uur
v1.v 2 x 1.x 2 y1.y 2 z1.z 2
uu
r uur
v1 v 2 � x1x 2 y1y 2 z1z 2 0
x1 x 2
�
uu
r uu
r
�
v1 v 2 � �
y1 y 2
b6
�
z1 z2
�
uur
uu
r
3. Tích có hướng của hai vectơ v1 (x1,y1,z1 ) và v 2 (x 2, y 2 , z 2 ) là một
uur uuu
r
u
r �y1
r
�
�
v
,v
v
vectơ v được xác định bởi: �1 2 � �
�y
�2
z z
1 1
,
z z
2 2
x x
1 1
,
x x
2 2
y �
1�
y �
2�
Ứng dụng của tích có hướng của hai vecto.
r r
r r
r �
ca
�
a,b � c � �
r r
a. �
� �
cb
�
r r
r
r r
�
�
a,b 0
b. a,b cùng phương � �
�
r r r
r rr
a,b �c 0
c. a,b,c đồng phẳng � �
� �
r r
r r
r r
�
�
a,b a . b sin(a,b)
d. �
�
4/ Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điểm M1 x1, y1,z1 và M2 x 2 , y 2 , z2 , thì khoảng cách d giữa M 1
uuuuur
và M 2 là độ dài của vectơ M1M2 :
uuuuur
2
2
2
d M1M2 x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 .
5/ Góc giữa hai vectơ
uur
uu
r
Góc giữa hai vectơ v1 (x1, y1,z1 ) và v 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) xác định bởi:
cos
x1.x 2 y1.y 2 z1.z2
x11 y11 z11 . x 22 y 22 z 22
6/ Hai vectơ cùng phương
GV: Đinh Quang Minh
.
trang
4
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
uu
r
r
uur
Hai vectơ v1 (x1, y1,z1 ) �0 và v 2 (x 2 , y 2,z 2 ) cùng phương với nhau
uur
uu
r
khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho v 2 kv1
uu
r uu
r
r
uur
uu
r
�
�
v1 ,v2 0 .
Chú ý: v 2 kv1 � �
�
7/ Phương trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.r r
Một vectơ n �0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )
r
nếu giá của n vuông góc với ( ) .
Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm M 0 �( ) và
một vectơ pháp tuyến của nó.
b. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
r
+ Ax By Cz D 0 (A 2 B2 C2 0) có VTPT n (A;B;C)
r
+ Mặt phẳng qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z0 ) có VTPT n (A;B;C)
có phương trình: A(x x 0 ) B(y y 0 ) C(z z 0 ) 0
8/ Phương trình đường thẳng
r
r
a. Định nghĩa: Vectơ a �0 và có giá là đường thẳng d.
d / /
r r
�
a �0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng � �
d �
�
b. Phương trình của đường thẳng:
r
Đường thẳng d qua M(x0;y0;z0) có VTCP u (a;b;c)
�x x 0 at
�
a2 b2 c 2 �0 �
�
có phương trình tham số �y y 0 bt
�
�
t �IR
�
�
�
z z0 ct
�
Nếu abc �0 khử tham số t được phương trình:
x x 0 y y 0 z z0
( gọi là phương trình chính tắc)
a
b
c
9/ Phương trình mặt cầu
a. Mặt cầu tâm I(a;b;c) , bán kính R>0 có phương trình:
(x a)2 (y b)2 (z c)2 R2
b. Phương trình: x 2 y 2 z2 2ax 2by 2cz d 0 (1)
Nếu a2 b2 c 2 d 0 thì phương trình (1) là phương trình mặt cầu có
tâm I( a; b; c) , bán kính R a2 b2 c 2 d
10. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
GV: Đinh Quang Minh
trang
5
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
(P) : Ax By Cz D 0 (A 2 B 2 C2 �0) M(x 0;y 0;z 0 )
d(M,(P))
Ax 0 By 0 Cz0 D
A 2 B 2 C2
11. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu:
Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính R
Mặt phẳng (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P)
(S) �(P) �� d(I,(P)) R
(S) �(P) H � d(I,(P)) R ( mp(P) tiếp xúc mặt cầu tại H)
(S) �(P) (C) � d(I,(P)) R
Với (C) là đường tròn tâm H , bán kính r R2 IH2
B. NỘI DUNG CỤ THỂ:
1. Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng:
- Học sinh cần nắm + Khái niệm vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
r r
r r
r �
ca
�
a,b � c � �
r r
+ Tính chất của tích có hướng �
� �
cb
�
r
uuur uuur
�
n
AB, AC �
- Định hướng VTPT của mặt phẳng đi qua 3 điểm A,B,C là
�
�
Ví dụ 1: Lập phương
trình mặt uphẳng
(P) đi qua A( 1;1;2),B(1; 1;0),C(2; 1;2) .
uuur
uur
Giải: Ta có AB (2; 2; 2),AC (3; 2;0) .
(P) qua A
�
(P) qua A
�
�
�
r
uuur uuur
(P) qua B � �
�
�
�
(P)cóVTPTn
AB,
�
�
� AC � ( 4; 6;2)
(P)
qua
C
�
Phương trình mp(P):
4(x 1) 6(y 1) 2(z 2) 0 � 2x 3y z 1 0
2. Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d
- Học sinh cần hiểu đường thẳng d có 2 điểm
uuurphân biệt A,B thuộc mp(Q) thì
đường thẳng d chứa trong mp(Q). ( khi đó AB là một VTCP của d).
- Bài toán trở thành lập phương trình mp đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Học sinh định ra được PP giải.
uuur
PP: - Lấy điểm A �d ( điểm cụ thể) � MA
GV: Đinh Quang Minh
trang
6
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
r
r uuur
�
�(với ur là vtcp của d)
n
u,MA
- mp(Q) qua M có VTPT
�
�
Ví dụ 2: Lập PT mp(Q) qua M( 1;1;2) và chứa đường
thẳng d : x 2 t , y 2t , z 1 3t
r
uuur
Giải: d có VTCP u (1;2;3), A(2;0;1) �d � MA (3; 1; 1)
(Q)quaM( 1;1;2)
(Q)quaM �
�
�
r
r uuur
��
Ta có: �
�
(Q)cóvtptn �
u,MA �
(Q) �d
�
�
� (1;10; 7)
(Q) : 1(x 1) 10(y 1) 7(z 2) 0 � x 10y 7z 5 0
3. Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc mp(P).
- Học sinh cần nắm được
+ Dạng của phương trình mặt cầu.
+ Điều kiện để mp và mặt cầu tiếp xúc nhau.
+ Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mp.
PP. - Tìm bán kính mặt cầu: R d(I,(P))
- Mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có phương trình:
(x a)2 (y b)2 (z c)2 R2
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm A( 2;1; 3) và tiếp xúc
mp(P): 2x y 2z 4 0
4 1 6 4
Giải: Ta có bán kính R d(A,(P))
5
3
Phương trình mặt cầu: (x 2)2 (y 1)2 (z 3)2 25
4. Loại 4: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Q).
- Học sinh cần hiểu được khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm lên
mặt phẳng
�
MH (Q)
- H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Q) � �
H �(Q)
�
PP: - Lập PT đường d qua M và vuông góc với mp(Q) ( thỏa tính vuông góc)
- Khi đó H d �(Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H �(Q) )
Ví dụ 4: Tìm tọa đô điểm H hình chiếu vuông góc của M(4; 2; 2) lên mặt
phẳng (Q) : 2x y 3z 2 0
r
Giải: mp(Q) có VTPT n (2;1; 3)
�x 4 2t
dquaM(4; 2; 2) �
dquaM
�
�
r r � �y 2 t
��
Đ. thẳng d: �
d
(Q)
d
có
v
tcpu
n
�
�
�z 2 3t
�
GV: Đinh Quang Minh
trang
7
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
�x 4 2t
�y 2 t
�
H d �(Q) � �
�
z
2
3t
�
�
2x y 3z 2 0
�
t 1
�
�x 2
�
� H(2; 3;1)
�
y
3
�
�
z 1
�
5. Loại 5: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d
- Học sinh cần hiểu được khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm lên
đường thẳng
MH d
�
H �d
�
- H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d � �
Từ khái niệm dẫn đến xây dựng PP giải
Cách 1 : - Lập PT mp(Q) qua M và vuông góc với d
( thỏa tính vuông góc)
- Khi đó H d �(Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H �d )
Cách 2 - Lấy điểm H �d ( dạng tham số)
( thỏa tính thuộc H �d )
uuur r
uuur
- Tìm MH , MH d � MH.u 0 Giải tìm tham số
( thỏa tính vuông góc)
- Thay tham số vào H
Ví dụ 5: Tìm tọa đô điểm H hình chiếu vuông góc của M( 1;2; 2) lên đường
thẳng d :
x y 1 z 1
,
2
1
2
Giải: ( cách 2)
r
đường thẳng d có VTCP u1 (2; 1;2)
uuur
Ta có H(2t;1 t; 1 2t) �d � MH (1 2t; 1 t;1 2t)
uuur r
MH d � MH.u 0 � 2(1 2t) 1( 1 t) 2(1 2t) 0
�t
5
9
� 10 14 19 �
� H�
; ; �
9 �
� 9 9
6. Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) và tiếp xúc mặt cầu ( S)
- Học sinh cần nắm được hai mp song song nhau thì VTPT mp này cũng là
VTPT của mp kia.
- Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu khi khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mp(P)
bằng bán kính mặt cầu.
- Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ 6: Lập PT mp(P). Biết (P)// (Q): 2x + y - 2z - 4 = 0 và tiếp xúc mặt cầu
2
2
2
(S) : x + y + z - 2x + 4y - 6z - 2 = 0
Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) , bán kính R = 4
GV: Đinh Quang Minh
trang
8
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
(P) : 2x + y - 2z + D = 0 (D
-
(P) / /(Q)
-
(P) tiếp xúc (S) � d(I, (P)) R �
-4) ( có cùng VTPT)
2 2 6 D
3
�
D 6
4 � �
(thỏa
D 18
�
ĐK) Vậy (P 1) : 2x + y - 2z - 6 = 0, (P2 ) : 2x + y - 2z + 18 = 0
7. Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng (d) và tiếp
xúc với hai mp(P) , mp(Q)
PP: - Lấy điểm I �(d) ( dạng tham số )
- Mặt cầu (S) tiếp xúc 2 mp � d(I,(P)) d(I,(Q))
- Giải tìm tham số và thay vào tìm tâm I và bán kính
x 1 y z 1
Ví dụ 7 : Lập PT mặt cầu (S) có tâm I �d :
và tiếp xúc
1
1
2
(P): 2x + y - 2z+ 4 = 0, (Q): x - 2y + 2z - 5 = 0
Giải:
Ta có I(1 t;t;1 2t) �d
Mặt cầu (S) tiếp xúc (P),(Q) � d(I,(P)) d(I,(Q))
2(1 t) t 2( 1 2t) 4
(1 t) 2t 2( 1 2t) 5
�
3
3
� t 8 3t 6 � t 1 �t 7 / 2
t 1 � I(0; 1; 3),R 3 � x 2 (y 1)2 (z 3)2 9
7
9 7
3
9
7
9
t � I( ; ;6),R � (x )2 (y )2 (z 6)2
2
2 2
2
2
2
4
8. Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa
a. (Q) chứa đường thẳng d1 và (Q)// d2.
b. (Q) // d1 và (Q)// d2.
( d1 , d2 là hai đường thẳng chéo nhau)
uu
r uu
r
- Học sinh cần nắm được đường thẳng d1,d2 lần lượt có VTCP u1,u2
r
uu
r uur
�
�
mp(Q)
ch
�
�
a
d
và
mp(Q)
/
/d
�
mp(Q)
co
�
VTPT
n
u
+
1
2
�1,u 2 �
r
uu
r uur
�
VTPT n �
u1,u2 �
+ mp(Q) / / d1và mp(Q) / /d2 � mp(Q) co�
�
x 1 y
z2
x y 1 z 1
d2 :
1
2
3
1
1
2
a.Lập PT mp(Q) chứa d1 và song song d2
b.Lập PT mp(Q) song song d1,d2 và tiếp xúc với mặt cầu (S):
(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 9
r
r
Giải: d1 có VTCP u1 (1;1;2) , d2 có VTCP u2 ( 1; 2;3)
(Q)quaA(0;1; 1) �d1
�
(Q)chöùad1
�
�
r r r
a. �
��
(Q)
/
/d
(Q)có
vtpt
n
u1,u2 (7; 5; 1)
�
2
�
� (Q) : 7x 5(y 1) 1(z 1) 0 � 7x 5y z 4 0
Kiểm tra: B( 1;0;2) �d2,B �(Q) . Vậy PT (1) là PTmp(Q)
Ví dụ 8: Cho đường thẳng d1 :
GV: Đinh Quang Minh
trang
9
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
r r r
b.(Q) / / d1,(Q) / /d2 � (Q)có vtpt n u1,u2 (7; 5; 1)
� (Q) : 7x 5y z D 0
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;1) , bán kính R = 3
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu (S) � d(I,(Q)) R
�
D 15 3 4
7 10 1 D
�
3� �
75
D 15 3 4
�
(Q1 ) : 7x 5y z 15 3 4 0 (Q2 ) : 7x 5y z 15 3 4 0
Kiểm tra A(0;1; 1) �d1,B( 1;0;2) �d2 đều không thỏa (Q1 ),(Q2 )
Vậy phương trình (Q1 ),(Q 2 ) là 2 PT mặt phẳng cần tìm.
9. Loại 9: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc
với hai đường thẳng d1 , d2 ( d1,d2 chéo nhau hoặc cắt nhau)
dquaM
�
dquaM
�
�
��
r r r
PP: �
d cóvtcpu �
u1,u2 �
d d1,d d2
�
�
�
�
Ví dụ 9: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 1;2) và vuông góc với 2 đường
x y 1 z 1
x 1 y
z2
,d2 :
thẳng d 1:
1
1 r 2
1
2 r 3
Giải: d1 có VTCP u1 (1;1;2) , d2 có VTCP u2 ( 1; 2;3)
dquaM(1; 1;2)
�
dquaM
�
�
��
r r r
�
d d1,d d2
d cóvtcpu �
u1,u2 �
�
� (7; 5; 1)
�
�
x 1 y 1 z 2
� d:
7
5
1
10. Loại 10: : Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M , vuông góc với d1
và cắt d2
- Học sinh cần hiểu E �d2 thì tọa độ điểm đó thỏa phương trình đường thẳng.
- Đường thẳnguu
qua
ur uu
rM, E đã thỏa điều kiện cắt d2.
- ME d1 � ME.u2 0
PP: - Lấy điểm E �d2 ( dạng tham số)
uuur uu
r
uuur
- Tìm ME , ME d1 � ME.u1 0 Giải tìm tham số
uuur
- Khi đó d qua M có VTCP ME
Ví dụ 10: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 1;2) và vuông góc với
x 1 y
z2
x y 1 z 1
d 1:
, cắt d2 :
2
3
1
1
2
uuur 1
E( 1 t; 2t;2 3t) �d2 � ME ( 2 t;1 2t;3t)
uuur r
1
ME d1 � ME.u 0 � ( 2 t) (1 2t) 6t 0 � t
3
GV: Đinh Quang Minh
trang 10
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
uuur � 7 1 � 1
uuur
� ME �
; ;1� 7;1;3 . Đường thẳng d qua M có VTCP ME Có
�3 3 � 3
x 1 y 1 z 2
phương trình:
7
1
3
11. Loại 11: Gọi d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q). Viết phương
trình tham số của d
PP: Cách 1
uu
r
uur
- mp(P) có VTPT n1 và (Q) có VTPT n2
uu
r uu
r
�
n1,n2 �
- Tìm �
�và điểm A �(P) �(Q)
r
uu
r uu
r
�
n
,n
- Khi đó đường thẳng d qua A và có VTCP u �
�1 2 �
Cách 2 – Tìm A �d (Q) �(P) , B �d (Q) �(P)
- Đường thẳng d đi qua A,B viết được dạng tham số.
Cách 3: Đặt x = t dẫn đến giải hệ tìm y , z theo t
Ví dụ 11: Gọi d là giao tuyến của hai mp (P) : 2x y z 1 0 và
(Q) : x 3y 2z 2 0 . Viết phương trình tham số của d
Giải: cách 1 uu
r
uu
r
mp(P) có vtpt n1 (2;1; 1) , mp(Q) có vtpt n2 (1; 3;2)
r
uu
r uu
r
�
�u �
n1,n2 �
� ( 1; 5; 7)
2x y z 1 0
�
d (P) �(Q) � �
� A(1;1;2) �d
�x 3y 2z 2 0
�x 1 t
dquaA(1;1;2)
�
�
�
r
uu
r uu
r
� PT : �y 1 5t
Ta có : �
�
�
d
co
�
vtcp
u
n
,n
(
1;
5;
7)
�
�
�1 2 �
z 2 7t
�
Cách 2:
2x y z 1 0
�
d (P) �(Q) � �
� A(1;1;2) �d,B(0; 4; 5) �d
�x 3y 2z 2 0
�x 1 t
dquaA
�
dquaA
�
�
uuur
��
� PTTS : �y 1 5t
�
dquaB
d co�
vtcp AB ( 1; 5; 7)
�
�
�
z 2 7t
�
12. Loại 12: lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng lên mp(Q)
PP: (Cách 1)
- Lấy trên hai điểm cụ thể A,B
- Tìm A’ , B’ là hình chiếu vuông góc của A,B lên mp(Q)
GV: Đinh Quang Minh
trang 11
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
- Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’
( Lưu ý: nếu d �(Q) M thì chỉ cần tìm thêm một điểm A �M )
(Cách 2) - Ta có d (P) �(Q)
(P)quaA �
�
�
r
uur uu
r
�
(P)
(Q)
- Với (P) là mp chứa và
�
�
�
(P)
co
�
vtpt
n
u
,n
�
� q �
- chuyển PT đường thẳng d về tham số
x 2 y 3 z 1
Ví dụ 12: Cho mp(Q) : x 2y 3z 3 0 , :
1
2
1
Lập PT tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của lên mp(Q)
Giải: ( Cách 1)
Ta có �(Q) M � M(1;1;2) ( giải hệ để tìm tọa độ điểm M)
A(2;3;1) � . Tìm tọa độ A’ là hình chiếu vuông góc của A lên mp(Q) được
10 13 19 � uuuur �3 6 5 � 1
�
A ' � ; ; �� MA ' � ; ; � (3;6;5)
�7 7 7 �
�7 7 7 � 7
uuuur �3 6 5 � 1
Đường thẳng d qua M(1;1;2) có vtcp MA ' � ; ; � (3;6;5)
�7 7 7 � 7
�x 1 3t
�
Có phương trình tham số d: �y 1 6t
�
z 2 5t
�
( Cách 2)
uur
uu
r
Đường thẳng có vtcp u (1;2; 1) , mp(Q) có vtpt n1 (1;2; 3)
Ta có d (P) �(Q) Với
(P)quaA(2;3;1) �
�
(P) �
�
�
r
uur uu
r
�
�
�
�
�
(P)
co
�
vtpt
n
u
,n
(P)
(Q)
�
�
� 1 � ( 4;2;0)
� (P) : 4(x 2) 2(y 3) 0(z 1) 0 � 2x y 1 0
�
�x 3t
2x y 1 0
�
�
Khi đó d : �
chuyển về dạng tham số �y 1 6t
�x 2y 3z 3 0
� 1
�
z 5t
� 3
13. Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt 2 đường thẳng
chéo nhau d1,d2 và song song
uu
r uvới
u
r đường thẳng
uu
rd3
PP: - d1 , d2 chéo nhau và VTCP là u1,u2 , d3 có VTCP u3
uuur
- Lấy điểm A �d1,B �d2 dạng tham số � AB
uuur
uu
r
uuur
uu
r
- AB / /d3 � AB cùng phương với u3 � AB mu3
uu
r
uuur
- Giải hệ tìm tham số � AB ,điểm A. Khi đó d qua A có VTCP u3
GV: Đinh Quang Minh
trang 12
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
Ví dụ 13: Cho 2 đường thẳng chéo nhau d1,d2 . Lập phương trình đường thẳng d
cắt d1,d2 và song đường thẳng d3 với
�x 2t
x 1 y z 1
x 2 y 3 z 1
�
d1 : �y 1 t d2 :
d3 :
2
2
3
1
2
1
�
z 1 t
�
uu
r
Giải: Ta có d3 có VTCP u3 ( 1;2;1)
A(2t ; 1 t ;1 t) �d1 , B(1 2k ;2k ;1 3k) �d2
uuur
� AB (1 2k 2t ; 1 2k t ; 3k t)
uuur
uu
r
uuur
uu
r
AB / /d3 � AB cùng phương với u3 � AB mu3
1 2k 2t m
k0
�
�
�
�
1 2k t 2m � �
t 1 � A(2; 2;0)
�
�
�
3k t m
m 1
�
�
uu
r
Vậy đường thẳng d qua A(2;-2;0) có VTCP u3 ( 1;2;1)
x2 y2 z
Có PT :
1
2
1
14. Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M
cắt 2 đường thẳng chéo nhau d1,d2
PP: - Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d1
uu
r
uuur
- Tìm B d2 �(Q) � MB và so sánh với phương u1
(Nếu cùng phương thì loại – do MB không u
cắt
uur d1)
- Khi đó đường thẳng d qua M và có VTCP MB .
Ví dụ 14: Lập PT đường thẳng d qua M( 1;1;2) và cắt 2 đường thẳng
x 2 y z 1
x6 y2 z
d1 :
d2 :
1
2
3
2
1
1
Giải: mp(Q) qua M chứa d1 có PT: (Q) : x 10y 7z 5 0
Gọi B d2 �(Q) � B( 8;1;1) . ( giải hệ)
uu
r
uuur
Ta có:MB ( 7;0, 1) không cùng phương với u1 (1;2;3)
uuur
Đường thẳng d qua M( 1;1;2) có vtcp MB ( 7;0, 1)
�x 1 7t
�
Có phương trình: �y 1
�
z 2t
�
15. Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) tại M. Lập PT đường thẳng
qua M, chứa trong (Q), d
GV: Đinh Quang Minh
trang 13
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
r
r
PP: - M d �(Q) ( giải hệ ) ,d có vtcp u , mp(Q) có vtpt n
uur
rr
�
u,n �
- qua M, �(Q), d � qua M, có vtcp u �
�
Ví dụ 15: Đường thẳng d : x 2 2t , y t , z 1 2t cắt mặt phẳng
(Q) : x y 2z 3 0 tại M . Lập phương trình đường thẳng qua M, chứa
trong (Q), d
Giải: ta có M d �(Q) � M(4; 1; 3)
qua M
�
qua M
�
�
uur
rr
�
�
�
�
�
có
vtcp
u
u,n
�
(Q),
d
�
�
� � (0; 6;3)
Phương trình : x 4 ; y 1 6t , z 3 3t
16. Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C).
Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
PP: - Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R
- mp(Q) cắt (S) theo đường tròn (C) � d(I,(Q)) R
- Tâm của (C) là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Q)
- Bán kính của (C) : r R2 d2 (I,(Q))
Ví dụ 16: Cho mặt cầu (S) : x 2 y 2 z 2 4x 2y 6z 2 0 và
mp (Q) : 2x y 2z 3 0 . Chứng minh rằng mp(Q) cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn (C). Tìm tọa độ tam và bán kính (C).
Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; 3) , bán kính R = 4.
4 1 6 3
Ta có d(I,(Q))
2 R . Vậy (Q) cắt (S) theo đường tròn (C)
3
có bán kính: r 16 4 2 3
Tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Q) � H �(Q) Với
�x 2 2t
quaI(2;1; 3)
�
�
� PT : �y 1 t
�
(Q)
�
�
z 3 2t
�
t 2 / 3
�x 2 2t
�
�y 1 t
�x 2 / 3
�
�
�2 5 5 �
��
� tâm H � ; ; �
Ta có �
z 3 2t
�3 3 3 �
�
�y 5 / 3
�
�
2x y 2z 3 0
z 5 / 3
�
�
17. Loại 17: Lập PT đường vuông góc chung d của d1,d2
- Học sinh cần hiểu khái niệm hai đường thẳng vuông góc chung của hai đường
d d1
�
�
d d2
� d là đường vuông góc chung.
thẳng chéo nhau. �
�
d �d1 M,d �d2 N
�
GV: Đinh Quang Minh
trang 14
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
uu
r uu
r
PP: - d1 , d2 chéo nhau và VTCP là u1,u2
- Lấy điểm A �d1,B �d2 dạng tham số ( đường thẳng AB thỏa cắt d1 , d2)
uuur uu
r
�
AB
d
AB.u
�
uuur
�
1
1 0
�
u
u
u
r
u
u
r
-�
giải hệ tìm 2 tham số � AB .
�
�AB d2
�AB.u2 0
( thỏa AB vuông góc với d1,d2). Vậy đường thăng qua A,B là đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2uuur
- Khi đó đường vuông góc chung d qua A có VTCP là AB
r
uu
r uu
r
�
�
u
u
,u
( cũng có thể lấy VTCP
�1 2 �và qua điểm A).
* Chú ý: cũng có thể giải: d (P) �(Q)
(P) �d1
(Q) �d2
�
�
Với �
sau đó chuyển về dạng tham số
�
(P)
d
(Q)
d
�
2
�
1
x 2 y z 1
Ví dụ 17: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1 :
1
1
1
x y 1 z 1
d2 :
. Lập PT đường vuông góc chung của d1,d2.
2
1
1
r
r
Giải: d1 có VTCP u1 (1; 1; 1) , d2 có VTCP u2 (2; 1;1)
Ta có A(2 t; t; 1 t) �d1 , B(2k; 1 k;1 k) �d2
uuur
� AB (2k t 2; k t 1;k t 2)
uuur uu
r
�
AB
d
AB.u
(2k t 2) ( k t 1) (k t 2) 0
�
�
�
1
1 0
�
�
u
u
u
r
u
u
r
�
�
�
2(2k t 2) ( k t 1) (k t 2) 0
�
�AB d2
�AB.u2 0
Giải hệ được :
uuur � 9 27 9 � 9
3
8
� 2 8 1�
k ,t � AB �
; ; �
( 2; 3;1),A �
; ; �
14
7
� 7 14 14 � 14
�7 7 7�
uuur 9
Đường vuông góc chung d qua A và có VTCP AB ( 2; 3;1)
14
2
8
1
Có phương trình: x 2t , y 3t , z t
7
7
7
18. Loại 18: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( không
dùng công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau để tính)
- Học sinh cần nắm được:
+ Độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách giữa hai đường.
+ Các phương pháp tính khác trong hình học không gian lớp 11.
- PP:
- Cách 1: Tìm tọa độ điểm A,B theo như ví dụ 12.
- Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song
đường thẳng kia. ( mp(P) chứa d1 , (P)//d2) )
Khi đó: d(d1,d2 ) d(d2,(P)) d(M,(P)) ( M tùy ý trên d2).
GV: Đinh Quang Minh
trang 15
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
x 1 y
z2
x y 1 z 1
d2 :
.
1
2
3
1
1
2
1. Chứng minh d1,d2 chéo nhau
2. Tính khoảng cách giữa d1,d2
Ví dụ 18: Cho đường thẳng d1 :
r
r
Giải: d1 có VTCP u1 (1;1;2) , d2 có VTCP u2 ( 1; 2;3)
1. Học sinh đã biết cách giải.
2. Tính khoảng cách giữa d1,d2.
Lập phương trình mp(P) chứa d1và (P)//d2.
(P)quaA(0;1; 1) �d1
�
(P)ch�
�
ad1
�
�
r r r
�
�
�
(P)
/
/d
(P)có
vtpt
n
�
u1,u2 �
�
2
�
� (7; 5; 1)
�
� (P) : 7x 5(y 1) 1(z 1) 0 � 7x 5y z 4 0
Ta có M( 1;0;2) �d2
7 2 4
5
3
Khi đó : d(d1,d2 ) d(d2,(P)) d(M,(P))
.
3
75
5 3
Trên đây là một số dạng toán cơ bản mà học sinh hay gặp phải, tôi đã định
hướng và cùng học sinh xây dựng phương pháp giải để từ đó học sinh hiểu rõ
hơn về lý thuyết đồng thời có một số phương pháp cơ bản nhất định để vận
dụng vào giải các bài toán có nội dung phức tạp hơn.
- Ví dụ như
1. Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu(S)
(P) : 2x 2y z 4 0,(S) : x 2 y 2 z 2 2x 4y 6z 11 0 CMR: (P) cắt
(S) theo một đường tròn. X. định tâm,bán kính
x 1 y z 2
2. Cho đ thẳng :
, mp(P) : x 2y z 0 . Gọi M � ,
2
1
1
C �(P) . Tính d(M,(P)) , biết MC 6 .
3. Cho hai mp(P) : x y z 3 0,mp(Q) : x y z 1 0 . Viết PT mp(R).
Biết (R) (Q),(R) (Q) và d(O,(R)) 2
x3 y z
x 2 y 1 z
, 2 :
. Xác định điểm
4. Cho đường thẳng 1 :
1
1 1
2
1
2
M �1 sao cho d(M, 2 ) 1
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐÊ TÀI
- Với cách phân tích , hướng dẫn và cùng học sinh xây dựng phương pháp
giải cho từng loại toán cụ thể đã phần nào giúp học sinh có học lực yếu và trung
bình học tập tốt hơn, thích học toán hơn vì đã từng bước giải được các bài tập cơ
bản trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng như một số sách tham khảo khác.
Đối với học sinh khá , giỏi thì có thể khai thác phương pháp đã biết để giải
quyết các bài phức tập hơn.
- Kết quả áp dụng đề tài cho các lớp 12A1,12A2 , 12B9 ( năm học 2010– 2101)
GV: Đinh Quang Minh
trang 16
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
Đề kiểm tra khảo sát: ( thời gian làm bài 30 phút)
Trong không gian Oxyz cho A( 1;1;1),B( 2;1; 1),C(1; 2;2),D(1; 1; 3)
a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A,B,C . Suy ra A,B,C,D
là 4 đỉnh của tứ diện.
b. Lập phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp(P).
c. Lập phương trình mp(Q) chứa đường thẳng AB và song song đường thẳng
CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
d. ( dành riêng cho lớp A)
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Thang điểm : Lớp B câu a: 4 điểm , câu b: 3 điểm , câu c : 3 điểm
Lớp A : mỗi câu 2,5 điểm.
Lớp
12A1
12A2
12B9
Tổng
1- 2- 3- 4- 5- 6- 7SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
40
2
44
1
5
6
6
40
1
2
7
6
5
8
124 0
1
2
8 11 11 16
88.5
13
13
6
32
99.5 10 >=TB
18 7
40
10 3
43
4
1
30
32 11
113
%
100
97.7
75
91.13
- Kết quả áp dụng đề tài cho các lớp 12B7, 12B10 ( năm học 2011– 2012)
( Thời gian làm bài 40 phút)
Trong không gian Oxyz cho Cho 2 đường thẳng chéo nhau, mặt cầu (S)
x 2 y z 1
x y 1 z 1
1 :
2 :
, điểm M( 1;-2;0)
1
1
1
2
1
1
(S) : x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 0
1. Tìm toạ độ điểm M’ là hình chiếu vuông góc của M lên
2. Lập PT mp( ) chứa 1 và ( )// 2 .Tìm d( 1, 2 )
3. Viết phương trình đường thẳng 3 đi qua A(1;2;3) và 3 1 , 3 2 .
4. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1; 2 và tiếp xúc mặt cầu
(S)
( Thang điểm mỗi câu 2,5 điểm)
1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9Lớp SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB
%
12B7 40 0
1
2
6
8
7
7
3
4
2
31
77.5
12B10 41 0
0
1
5
8
6
7
5
6
3
35
85.4
Tổng 81 0
1
3 11 16 13 14 8 10 5
66
81.5
IV. ĐỀ XUẤT – KHUYẾN NGHỊ:
- Để áp dụng tốt và có hiệu quả của đề tài thì giáo viên cần từng bước xây dựng
và củng cố các kiến thức cơ bản có liên quan cho học sinh , đồng thời phải chỉ ra
GV: Đinh Quang Minh
trang 17
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
cho học sinh hiểu rõ dấu hiệu bản chất của khái niệm, định lý, tính chất đó.
- Từ khái niệm cơ bản định hướng phương pháp giải
Ví dụ : Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d
+ Học sinh cần hiểu được H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên
MH d
�
đường thẳng d � �
H �d
�
+ Từ đó xây dựng phương pháp giải. ( nhiều cách khác nhau)
- Tập cho học sinh xây dựng phương pháp giải từ bài cơ bản nhất sau đó tới các
bài phức tạp hơn để từng bước củng cố kiến thức và tạo ra sự đam mê học toán
cho học sinh.
V. Tài liệu tham khảo:
1. Sách giáo khoa hình học 12 ( ban cơ bản và nâng cao) – Bộ GD
2. Sách bài tập hình học 12 ( ban cơ bản và nâng cao). Bộ GD
3. Tài liệu chuẩn kiến thức Hình học 12 - Bộ GD
4. Sách giáo viên Hình học 12 ( ban cơ bản và nâng cao)- Bộ GD
5. Các chuyên đề hình học giải tích – Tác giả: Huỳnh Công Thái.
6. Các chuyên đề hình học giải tích – Tác giả: Nguyễn Đức Đồng.
MỤC LỤC.
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nội dung
Lý do chọn đề tài
Tổ chức thực hiện đề tài
Cơ sở lý luận.
Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Một số kiến thức cơ bản
Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không
thẳng hàng
Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d
Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc mp(P).
Loại 4-5: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên
mặt phẳng (Q), lên đường thẳng d
Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) và tiếp xúc mặt cầu ( S)
Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng
(d) và tiếp xúc với hai mp(P) , mp(Q)
Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa
a. (Q) chứa đường thẳng d1 và (Q)// d2.
b. (Q) // d1 và (Q)// d2.
Loại 9: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M và vuông
góc với hai đường thẳng d1 , d2
GV: Đinh Quang Minh
Trang
1
1
1
2
3-5
6
7
8
9
trang 18
Giúp học sinh học tốt chương 3 hình học lớp 12
10
11
12
13
14
15
16
17
Loại 10: : Lập PT đường thẳng d đi qua điểm M , vuông
góc với d1 và cắt d2
Loại 11: Gọi d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q). Viết
phương trình tham số của d
Loại 12: lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu
vuông góc của đường thẳng lên mp(Q)
Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt 2 đường
thẳng chéo nhau d1,d2 và song song với đường thẳng d3
Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua một điểm
M cắt 2 đường thẳng chéo nhau d1,d2
Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) tại M. Lập PT đường
thẳng qua M, chứa trong (Q), d
Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn
(C). Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
Loại 17: Lập PT đường vuông góc chung d của d1,d2
Loại 18: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
( không dùng công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng
chéo nhau để tính)
Hiệu quả của đề tài
Đề xuât- khuyến nghị
GV: Đinh Quang Minh
10
11
12
13
14
15
17
17
trang 19
- Xem thêm -
.DOC 
19 
236 
128 
