Tài liệu Skkn giải bài toán bằng cách lập phương trình ở thcs

Lêi nãi ®Çu D¹ng to¸n “ Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph ¬ng tr×nh” ë ch¬ng tr×nh ®¹i sè c¸c líp 8 vµ 9 ë trêng trung häc c¬ së lµ mét d¹ng to¸n t¬ng ®èi khã ®èi víi häc sinh. Do ®Æc trng cña lo¹i nµy thêng lµ lo¹i to¸n cã ®Ò bµi b»ng lêi v¨n vµ thêng ®îc xen trén nhiÌu d¹ng ng«n ng÷ (ng«n ng÷ th«ng thêng, ng«n ng÷ to¸n häc, vËt lý). HÇu hÕt c¸c bµi to¸n cã c¸c dù kiÖn rµng buéc nhau, Èn ý díi d¹ng lêi v¨n, buéc häc sinh ph¶i cã suy luËn tèt míi t×m ®îc sù liªn quan gi÷a c¸c ®¹i lîng dÉn ®Õn viÖc lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh mµ thùc chÊt c¸c vÊn ®Ò khoa häc gi¶i to¸n lµ gi¶i ph¬ng tr×nh. Trong ph©n phèi ch¬ng tr×nh to¸n ë trêng trung häc c¬ së th× ®Õn líp 8 häc sinh míi ®îc häc vÒ kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh vµ c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¸c ph¬ng tr×nh. Nhng viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cã trong ch¬ng tr×nh to¸n tõ líp 1 víi møc ®é vµ yªu cÇu tuú theo tõng ®èi tîng häc sinh. ë líp 1, 2 ph¬ng tr×nh ®îc cho díi d¹ng: §iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng: -2=5 ë líp 3 ®îc n©ng dÇn díi d¹ng: x + 3 – 2 = 10 ë líp 4, 5, 6 cho díi d¹ng phøc t¹p h¬n nh: x:3=4:2 x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21 ë líp 7, 8, 9 ngoµi nh÷ng mèi liªn hÖ nh trªn bµi to¸n cßn cho díi d¹ng lêi v¨n cã c¸c d÷ kiÖn kÌm theo. V× vËy muèn gi¶i ®îc lo¹i to¸n nµy häc sinh ph¶i suy nghÜa ®Ó thiÕt lËp mèi quan hÖ dÉn ®Õn viÖc lËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh). Mét ®Æc thï riªng cña lo¹i to¸n nµy lµ hÇu hÕt c¸c bµi to¸n ®Òu ®îc g¾n liÒn víi néi dung thùc tÕ. ChÝnh v× vËy mµ viÖc chän Èn sè thêng lµ nh÷ng sè liÖu cã liªn quan ®Õn thùc tÕ. Do ®ã khi gi¶i to¸n häc sinh thêng m¾c sai lÇm lµ tho¸t ly thùc tÕ... Tõ nh÷ng lý do ®ã mµ häc sinh rÊt ng¹i lµm lo¹i to¸n nµy. MÆt kh¸c, còng cã thÓ trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y do n¨ng lùc, tr×nh ®é cña gi¸o viªn míi chØ d¹y cho häc sinh ë møc ®é truyÒn thô tinh thÇn cña s¸ch gi¸o khoa mµ cha biÕt ph©n lo¹i to¸n, cha kh¸i qu¸t ®îc c¸ch gi¶i cho mçi d¹ng. Kü n¨ng ph©n tÝch tæng hîp cña häc sinh cßn yÕu trong qu¸ tr×nh ®Æt Èn sè, mèi liªn hÖ gi÷a 1 c¸c d÷ liÖu trong bµi to¸n, dÉn ®Õn lóng tóng trong viÖc gi¶i lo¹i to¸n nµy. ChÝnh v× vËy, muèn gi¶i bµi to¸n b»ng c¸c lËp ph¬ng tr×nh hay hÖ ph¬ng tr×nh th× ®iÒu quan träng lµ ph¶i biÕt diÔn ®¹t nh÷ng mèi liªn hÖ cho trong bµi thµnh nh÷ng quan hÖ to¸n häc. Do vËy, nhiÖm vô cña ngêi thÇy gi¸o kh«ng ph¶i lµ gi¶i bµi tËp cho häc sinh mµ vÊn ®Ò ®Æt ra lµ ngêi thÇy ph¶i d¹y cho häc sinh c¸ch gi¶i bµi tËp. Do ®ã khi híng dÉn cho häc sinh gi¶i lo¹i to¸n dùa vµo qu¸ tr×nh biÕn thiªn cña c¸c ®¹i lîng (t¨ng, gi¶m, thªm, bít...) lµm s¸ng tá mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng, dÉn ®Õn lËp ®îc ph¬ng tr×nh dÔ dµng. §©y lµ bíc quan träng vµ khã kh¨n ®èi víi häc sinh. Trong thêi gian gi¶ng d¹y ë trêng trung häc c¬ së, qua häc hái kinh nghiÖm cña c¸c thÇy gi¸o líp tríc vµ c¸c ®ång nghiÖp trong nhãm lµ ®Ò tµi nµy. §îc sù híng dÉn tËn t×nh cña thÇy gi¸o TrÞnh Khang Thµnh, t«i m¹nh d¹n viÕt ®Ò tµi nµy víi mong muèn ®îc trao ®æi cïng víi ®ång nghiÖp nh÷ng kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÒ d¹ng to¸n “ Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh” . Néi dung chÝnh cña ®Ò tµi gåm: Ch¬ng I: Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n. Ch¬ng II: Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n vµ c¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Ch¬ng III: Nh÷ng lo¹i to¸n vµ híng dÉn häc sinh gi¶i. Ch¬ng IV: PhÇn thùc nghiÖm. Do tr×nh ®é cã h¹n nªn ®Ò tµi nµy kh«ng tr¸nh ®îc nh÷ng sai sãt rÊt mong c¸c thÇy gi¸o lîng thø vµ chØ b¶o ®Ó b¶n th©n t«i rót ®îc kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y vµ ¸p dông. Th¸i B×nh, ngµy … th¸ng …n¨m 200… T¸c gi¶ Ch¬ng I 2 Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ yªu cÇu gi¶i mét bµi to¸n I. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: Dùa vµo ph©n phèi ch¬ng tr×nh chung cña Bé gi¸o dô - ®µo t¹o ban hµnh vÒ ch¬ng tr×nh to¸n bËc THCS ë líp 8 cã tÊt c¶ 25 tiÕt nghiªn cøu vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn vµ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. ë líp 9 cã 36 tiÕt nghiªn cøu vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn. Trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa ë c¶ hai líp trªn cã 74 bµi tËp. Mét trong c¸c ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh gi¶i lo¹i to¸n trªn lµ dùa vµo quy t¾c chung: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Néi dung quy t¾c gåm c¸c bíc: Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (gåm c¸c c«ng viÖc) - Chän Èn sè, chó ý ghi râ ®¬n vÞ vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn. - Dïng Èn sè vµ c¸c sè ®· biÕt, ®· cho trong bµi to¸n ®Ó biÓu thÞ sè liÖu kh¸c nhau cã liªn quan, diÔn gi¶i c¸c bé phËn h×nh thµnh ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh). Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) Tuú thuéc vµo tõng d¹ng ph¬ng tr×nh mµ chän c¸ch gi¶i cho thÝch hîp vµ ng¾n gän. Bíc 3: NhËn ®Þnh kÕt qu¶, thö l¹i vµ tr¶ lêi. - Chó ý so s¸nh víi ®iÒu kiÖn ®Æt ra cho Èn xem cã thÝch hîp kh«ng? sau ®ã tr¶ lêi kÕt qu¶ (cã kÌm theo ®¬n vÞ). MÆc dï ®· cã quy t¾c trªn xong ngêi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh híng dÉn gi¶i lo¹i to¸n nµy cÇn cho häc sinh vËn dïng theo s¸t yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n nãi chung. II. Yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n. 1. Yªu cÇu 1: Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt mÆc dï nhá. Muèn cho häc sinh kh«ng m¾c sai ph¹m nµy gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu ®Ò to¸n vµ trong qu¸ tr×nh gi¶i kh«ng sai sãt vÒ kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p suy luËn, kü n¨ng tÝnh to¸n, ký hiÖu, ®iÒu kiÖn cña Èn. Ph¶i rÌn cho häc sinh cã thãi quen ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè vµ xem xÐt ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi ®iÒu kiÖn cña Èn ®· hîp lý cha. 3 VÝ dô 1: (Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp 1995 – 1996) Tû sè gi÷a tuæi em vµ tuæi anh b»ng 0,5. Sau 3 n¨m n÷a tû sè sÏ t¨ng thªm 0,1. Hái tuæi anh vµ em hiÖn nay? NÕu gäi tuæi em lµ x(x > 0, x  N). NÕu tuæi em lµ x th× tuæi anh lµ 2x (ph©n tÝch). Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: x 3 0,5  0,1 0,6 2x  3 <=> x + 3 = 0,6 (2x + 3) <=> x = 6 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®· ®Æt) => Tuæi em hiÖn nay lµ 6, tuæi anh lµ 12. 2. Yªu cÇu 2: Lêi gi¶i bµi to¸n lËp luËn ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c. Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn tõng bíc cã logic chÆt chÏ víi nhau, cã c¬ së lý luËn chÆt chÏ, ®Æc biÖt ph¶i chó ý ®Õn viÖc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªu trong gi¶ thiÕt. X¸c ®Þnh Èn khÐo lÐo, mèi quan hÖ gi÷a Èn vµ d÷ kiÖn ®· cho lµm næi bËt ®îc ý ph¶i t×m. Nhê mèi t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n thiÕt lËp ®îc ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña Èn sè. Muèn vËy gi¸o viªn cÇn lµm cho häc sinh hiÓu ®îc ®©u lµ Èn sè? ®©u lµ d÷ kiÖn? ®©u lµ ®iÒu kiÖn? ®iÒu kiÖn cã ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh ®îc Èn kh«ng? Tõ ®ã mµ x¸c ®Þnh ®îc híng ®i, x©y dùng ®îc c¸ch gi¶i. VÝ dô 2: (To¸n ph¸t triÓn ®¹i sè 9 – 1996 – NguyÔn Ngäc §¹m – Tr¬ng C«ng Thµnh – NXB Gi¸o dôc). Hai c¹nh cña mét khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm nhau 4m. TÝnh chu vi cña khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diÖn tÝch cña nã b»ng 1200m2. Híng dÉn: ë ®©y bµi to¸n hái chu vi cña h×nh ch÷ nhËt, häc sinh thêng cã xu thÕ bµi to¸n hái g× thø gäi ®ã lµ Èn sè. NÕu gäi chu vi cña h×nh ch÷ nhËt lµ Èn sè th× bµi to¸n ®i vµo bÕ t¾c khã cã lêi gi¶i. Gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh ph¸t triÓn s©u trong kh¶ n¨ng suy diÔn ®Ó tõ ®ã ®Æt vÊn ®Ò. Muèn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn g×? => (c¹nh h×nh ch÷ nhËt). Tõ ®ã gäi chiÒu réng khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt lµ x (x> 0). Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh. x(x + 4) = 1200 <=> x2 + 4x + 1200 = 0 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã: x1 = 30 x2 = -34 Gi¸o viªn gióp häc sinh tõ ®iÒu kiÖn ®Ó lo¹i nghiÖm x2 chØ lÊy x1 = 30 => chiÒu dµi lµ 30 + 4 = 34 vµ chu vi lµ: 2(30 + 34) = 128m (ë bµi to¸n nµy nghiÖm x2 = - 34 cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt, häc sinh dÔ m¾c sai sãt coi ®ã còng lµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n. 3. Yªu cÇu 3: Lêi gi¶i ph¶i ®Çy ®ñ vµ mang tÝnh toµn diÖn. Híng dÉn häc sinh kh«ng ®îc bá sãt kh¶ n¨ng chi tiÕt nµo, kh«ng thõa nhng còng kh«ng thiÕu. RÌn cho häc sinh c¸ch kiÓm tra l¹i lêi gi¶i ®· ®Çy ®ñ cha? KÕt qu¶ cña bµi to¸n ®· lµ ®¹i diÖn phï hîp víi mäi c¸i nãi chung. NÕu thay ®æii ®iÒu kiÖn bµi to¸n r¬i vµo trêng hîp ®Æc biÖt th× kÕt qu¶ vÉn lu«n lu«n ®óng. VÝ dô 3: (Bµi «n luyÖn to¸n 9 – NXB Hµ Néi) Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng ¾ c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao t¨ng thªm 3dm vµ c¹nh ®¸y gi¶m ®i 2 dm th× diÖn tÝch cña nã t¨ng thªm 12 dm 2. TÝnh chiÒu cao vµ c¹nh ®¸y. Lu ý häc sinh: Dï cã thay ®æi chiÒu cao, c¹nh ®¸y cña tam gi¸c th× diÖn tÝch (S) cña nã lu«n ®îc tÝnh theo c«ng thøc: S= 1 2 (c¹nh ®¸y . chiÒu cao) Tõ ®ã gäi chiÒu dµi c¹nh ®¸y (lóc ®Çu) lµ x(x > 0, dm) th× chiÒu cao sÏ lµ 3 4 x (lóc ®Çu). => S lóc ®Çu lµ => S sau lµ: 1 2 1 2 x. 3 4 x 3 (x-2) . ( 4 x + 3) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 1 3  ( x  2). x  3  2 4  Gi¶i ph¬ng tr×nh ta tãm ®îc: x = 20 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn => chiÒu cao cña tam gi¸c lµ 3 4 x 20 = 15dm 5 4. Yªu cÇu 4: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i ®¬n gi¶n Bµi gi¶i ph¶i ®¶m b¶o ®îc 3 yªu cÇu trªn. Kh«ng sai sãt, cã lËp luËn, mang tÝnh toµn diÖn vµ phï hîp kiÕn thøc, tr×nh ®é häc sinh, ®¹i ®a sè häc sinh hiÓu vµ lµm ®îc. VÝ dô 4: (Bµi to¸n cæ) Võa gµ võa chã Bã l¹i cho trßn Mét tr¨m ch©n ch½n. Hái cã mÊy gµ, mÊy chã? Víi bµi to¸n nµy nÕu gi¶i nh sau: Gäi sè gµ lµ x(x>0), x  N) th× sè chã lµ 36x – x. Gµ cã 2 ch©n => Sè ch©n gµn lµ 2x ch©n Chã cã 4 ch©n => Sè ch©n chã lµ 4(36 – x) ch©n Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2x + 4(36 – x) = 100 Gi¶i ra ta cã: x = 22 => gµ = 22 con => sè chã cã lµ 36 – 22 = 14 con Th× bµi to¸n ng¾n gän dÔ hiÓu. Nhng häc sinh gi¶i theo c¸ch dïng 2 Èn (x, y) hoÆc gäi sè ch©n gµn lµ x => sè ch©n chã lµ 100 – x. => Ph¬ng tr×nh: x 100  x  36 2 4 KÕt qu¶ còng lµ gµn 22 con, chã 14 con nhng ®· v« t×nh biÕn bµi gi¶i khã hiÓu h¬n hay kh«ng hîp víi tr×nh ®é cña häc sinh. 5. Yªu cÇu 5: Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc. §ã lµ lu ý ®Õn mèi liªn hÖ gi÷a c¸c bíc gi¶i trong bµi to¸n ph¶i logic, chÆt chÏ víi nhau, c¸c bíc sau ®îc suy ra tõ c¸c bíc tríc nã, ®· ®îc kiÓm nghiÖm, chøng minh lµ ®óng, hoÆc nh÷ng ®iÒu ®· biÕt tõ tríc. VÝ dô 5: (To¸n ph¸t triÓn ®¹i 9 – NguyÔn Ngäc §¹m – Tr¬ng C«ng 6 Thµnh – NXB Gi¸o dôc 1996). ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 9,6m vµ chia c¹nh huyÒn thµnh 2 ®o¹n h¬n kÐm nhau 5,6m. TÝnh ®é dµi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c. A B h b' H c’ C ’ ta cã: Theo h×nh vÏ Bµi to¸n yªu cÇu t×m ®é dµi BC khi ®· biÕt AH. Tríc khi gi¶i cÇn kiÓm tra kiÕn thøc häc sinh ®Ó cñng cè c«ng thøc h2 =b’.c’ <=> AH 2 = BH . HC. §Ó tõ ®ã: Gäi BH cã ®é dµi lµ x(x > 0) => HC cã ®é dµi lµ x + 5, 6. Theo c«ng thøc (®· biÕt ë phÇn h×nh häc) ta cã ph¬ng tr×nh: x (x + 5, 6) = (9,6)2 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã x = 7, 2 = 20m 6. Yªu cÇu 6: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i râ rµng ®Çy ®ñ (cã thÓ nªn thö l¹i). Lu ý ®Õn viÖc gi¶i c¸c bíc lËp luËn, tiÕn hµnh kh«ng chång chÐo nhau, phñ ®Þnh lÉn nhau, kÕt qu¶ ph¶i ®óng. Muèn vËy cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau khi gi¶i xong cÇn thö l¹i kÕt qu¶ vµ t×m hÕt c¸c nghiÖm cña bµi to¸n, tr¸nh bá sãt, nhÊt lµ ®èi víi ph¬ng tr×nh bËc 2, hÖ ph¬ng tr×nh. VÝ dô 6: (To¸n ph¸t triÓn ®¹i 9 – NguyÔn Ngäc §¹m – Tr¬ng C«ng Thµnh – NXB Gi¸o dôc 1996). §é dµi c¹nh huyÒn cña mét tam gi¸c vu«ng lµ 25, cßn tæng ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng lµ 35. T×m ®é dµi mçi c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c? Híng dÉn: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c lµ x, y (x,y > 0). Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: x + y = 35 (1) x2 + y2 = 252 = 625 (2) Rót y tõ ph¬ng tr×nh (1) thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã ph¬ng tr×nh: x235x + 330 = 0. Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2 nµy ta t×m ®îc x1 = 20; x2 = 15 7 §Õn ®©y häc sinh hay hoang mang vµ ra h¸i kÕt qu¶ (thùc chÊt trong bµi to¸n tam gi¸c vu«ng nµy lµ 1) kh«ng biÕt lÊy kÕt qu¶ nµo? Gi¸o viªn cÇn x©y dùng cho häc sinh cã thãi quen ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi ®iÒu kiÖn ®Çu bµi nÕu ®¶m b¶o th× c¸c nghiÖm ®Òu hîp lý. Mét bµi to¸n kh«ng nhÊt thiÕt chØ cã duy nhÊt mét kÕt qu¶ vµ ®îc kiÓm chøng l¹i b»ng viÖc thö l¹i tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ ®ã víi yªu cÇu cña bµi to¸n. Ch¬ng II: Ph©n lo¹i bµi to¸n Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ c¸c giai ®o¹n gi¶i mét bµi to¸n I. Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. Trong 74 bµi tËp ë líp 8 vµ líp 9 gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh cã thÓ ph©n lo¹i nh sau: 1. Lo¹i to¸n vÒ chuyÓn ®éng 2. Lo¹i to¸n cã liªn quan ®Õn sè häc. 3. Lo¹i to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng (tû sè phÇn tr¨m). 4. Lo¹i to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng (to¸n quy vÒ ®¬n vÞ). 5. Lo¹i to¸n vÒ tû lÖ chia phÇn (thªm, bít, t¨ng, gi¶m, tæng, hiÖu, tû sè cña chóng). 6. Lo¹i to¸n cã liªn quan h×nh häc. 7. Lo¹i to¸n cã chøa tham sè. 8. Lo¹i to¸n cã néi dung vËt lý, ho¸ häc. II. C¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. 1. PhÇn giai ®o¹n: - Víi bµi to¸n bËc nhÊt mét Èn sè: Lµ d¹ng bµi to¸n sau khi x©y dùng ph¬ng tr×nh, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vÒ d¹ng. ax + b = 0 (a ≠ 0) 8 - Víi bµi to¸n gi¶i b»ng ph¬ng tr×nh bËc 2 lµ d¹ng to¸n sau khi x©y dùng ph¬ng tr×nh, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®a vÒ d¹ng: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) - Víi bµi to¸n: Gi¶i bµi to¸n b»ng hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn lµ d¹ng sau khi x©y dùng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vÒ d¹ng nguyªn (nh mÉu sè) cã d¹ng: ax + by = c a’x + b’y = c’ Trong ®ã a, b, a’, b’ kh«ng ®ång thêi b»ng 0. §Ó ®¶m b¶o 6 yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n vµ 3 bíc trong quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) nh phÇn I ®· tr×nh bµy th× gi¶i bµi to¸n lo¹i nµy cã thÓ chia thµnh 7 giai ®o¹n cô thÓ râ h¬n 3 bíc trong quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ( hÖ ph¬ng tr×nh). * Giai ®o¹n 1: §äc kü ®Ò bµi, ph©n tÝch hÕt gi¶ thiÕt kÕt luËn cña bµi to¸n gióp häc sinh hiÓu bµi to¸n cho nh÷ng d÷ kiÖn g×? cÇn t×m g×? (cã thÓ m« t¶ b»ng h×nh vÏ ®îc kh«ng?) * Giai ®o¹n 2: Nªu râ c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Ó lËp ph¬ng tr×nh. Tøc lµ chän Èn sè thÕ nµo cho phï hîp, ®iÒu kiÖn thÕ nµo cña Èn cho tho¶ m·n. * Giai ®o¹n 3: LËp ph¬ng tr×nh, dùa vµo c¸c quan hÖ gi÷a Èn sè vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt, ®a vµo c¸c c«ng thøc, tÝnh chÊt ®Ó x©y dùng ph¬ng tr×nh, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó ®a ph¬ng tr×nh ®· x©y dùng vÒ ph¬ng tr×nh ë d¹ng ®· biÕt, ®· gi¶i ®îc. * Giai ®o¹n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (bíc 2). VËn dông c¸c kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh ®· biÕt ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. * Giai ®o¹n 5: Nghiªn cøu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh lêi gi¶i cña bµi to¸n, víi thùc tiÔn xem cã phï hîp kh«ng? * Giai ®o¹n 6: Tr¶ lêi bµi to¸n, kÕt luËn nghiÖm cña bµi to¸n xem cã mÊy nghiÖm, sau khi ®· thö l¹i. * Giai ®o¹n 7: Ph©n tÝch biÖn luËn c¸ch gi¶i. PhÇn nµy thêng më réng cho häc sinh t¬ng ®èi kh¸, giái. Sau khi gi¶i xong cã thÓ gîi ý cho häc sinh biÕn ®æi bµi to¸n ®· cho thµnh bµi to¸n kh¸c, ta cã thÓ: - Gi÷ nguyªn Èn sè thay ®æi c¸c yÕu tè kh¸c (d÷ kiÖn vµ gi¶ thiÕt). - Gi÷ nguyªn d÷ kiÖn, thay ®æi c¸c yÕu tè kh¸c (Èn sè vµ gi¶ thiÕt) 9 nh»m ph¸t triÓn t duy to¸n häc cho häc sinh. - Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch kh¸c t×m c¸ch gi¶i hay nhÊt. 2. VÝ dô minh ho¹ cho c¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. VÝ dô 1: (§¹i sè líp 8 – NguyÔn Duy ThuËn – NXB Gi¸o dôc 1995) Nhµ b¸c §iÒn thu ho¹ch ®îc 480 kg cµ chua vµ khoai tay khèi lîng khoai gÊp 3 lÇn khèi lîng cµ chua. TÝnh khèi lîng mçi lo¹i. Híng dÉn gi¶i: * Giai ®o¹n 1: Gi¶ thiÕt Khoai + cµ chua = 480 Khoai = 3 lÇn cµ chua * Giai ®o¹n 2: Thêng lµ ®iÒu cha biÕt ®îc gäi lµ Èn sè. ë bµi nµy c¶ sè lîng cµ chua vµ sè lîng khoai ®Òu cha biÕt nªn cã thÓ coi mét trong hai lo¹i (hoÆc c¶ 2 lo¹i). Cô thÓ: Gäi sè lîng khoai lµ x(x > 0kg) th× sè lîng cµ chua lµ 480 – x (hoÆc sè lîng cµ chua lµ y) => x + y = 480 * Giai ®o¹n 3: LËp ph¬ng tr×nh V× sè lîng khoai b»ng 3 lÇn sè lîng cµ chua. Do ®ã mèi quan hÖ sÏ lµ khoai = 3. cµ chua. Ta cã ph¬ng tr×nh: x = 3(480 – x) (*) hoÆc x = 3y x + y = 489 (**) * Giai ®o¹n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: TiÕp theo c¸ch lËp ph¬ng tr×nh dÉn ®Õn gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (*) hay hÖ ph¬ng tr×nh (**). Gi¶i (*) ta ®îc x = 360kg Gi¶i (**) ta còng ®îc x = 360kg, y = 120kg b»ng c¸ch thay x = 3y vµo x + y = 480. * Giai ®o¹n 5: §èi chiÕu nghiÖm ®· gi¶i víi ®iÒu kiÖn ®· ra xem møc ®é tho¶ m·n hay kh«ng tho¶ m·n. ë ®©y x = 360 > 0 nªn tho¶ m·n. 10 Tõ ®ã => sè cµ chua: 480 – 360 = 120kg. Thö l¹i: Sè khoai : 360kg Sè cµ chua : 120kg => Khoai = 3 cµ chua (®óng) * Giai ®o¹n 6: Tr¶ loµi vµ ®¸p sè. VËy sè lîng khoai ®· thu lµ 360kg. Sè lîng cµ chua ®· thu lµ 120kg. * Giai ®o¹n 7: Nªn cho häc sinh nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau do viÖc chän Èn sè kh¸c nhau ®· ®Õn x©y dùng ph¬ng tr×nh kh¸c nhau, tõ ®ã t×m c¸ch gi¶i hay nhÊt, ng¾n gän nhÊt. Nh ®· tr×nh bµy ë trªn, tõ viÖc ®Æt Èn sè kh¸c nhau ®Õn x©y dùng ph¬ng tr×nh khi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, khi lµ hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. Nhng cã thÓ lu ý cho häc sinh tèt nhÊt lµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt, dÔ gi¶i nhÊt. - Cã thÓ tõ bµi to¸n nµy x©y dùng hoÆc gi¶i c¸c bµi to¸n t¬ng tù. VÝ dô: + Thay lêi v¨n vµ t×nh tiÕt bµi to¸n: gi÷ nguyªn sè liÖu, ta cã bµi to¸n míi “Mét ph©n sè cã tæng tö vµ mÉu sè lµ 480. BiÕt r»ng mÉu gÊp 3 lÇn tö. T×m ph©n sè ®ã”. + Thay sè liÖu gi÷ nguyªn lêi v¨n. + Thay kÕt luËn thµnh gi¶ thiÕt vµ ngîc l¹i ta cã bµi to¸n “Tuæi cha gÊp 3 lÇn tuæi con, biÕt r»ng tuæi cña con lµ 12. T×m tæng sè tuæi cua cha vµ con. B»ng c¸ch ®ã cã thÓ x©y dùng cho häc sinh cã thãi quen tËp hîp c¸c d¹ng bµi to¸n t¬ng tù vµ c¸ch gi¶i t¬ng tù. §Õn khi gÆp bµi to¸n häc sinh sÏ nhanh chãng t×m ra c¸ch gi¶i. Ch¬ng III: Nh÷ng lo¹i to¸n vµ híng dÉn häc sinh gi¶i Ph©n lo¹i d¹ng to¸n I. D¹ng to¸n chuyÓn ®éng: Bµi to¸n 1: (S¸ch «n thi tèt nghiÖm – NXB Gi¸o dô 1990) Nhµ Nam vµ Lan cïng n»m trªn ®êng quèc lé vµ ë c¸ch nhau 7m. NÕu Nam vµ Lan ®i xe ®¹p cïng lóc vµ ngîc chiÒu nhau th× sau 1/4 giê hä gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi? BiÕt r»ng vËn tèc cña Lan b»ng 3/4 vËn tèc cña Nam. 11 Híng dÉn häc sinh: §©y lµ bµi to¸n chuyÓn ®éng ngîc chiÒu khi 2 ngêi gÆp nhau t¹i M tøc lµ 2 ngêi ®· ®i hÕt qu·ng ®êng AB = 7m. Mµ vËn tèc cña Lan b»ng 3/4 vËn tèc cña Nam, nh vËy cã mèi quan hÖ nh thÕ nµo víi c¶ 2 ngêi trong khi thêi gian ®i cña c¶ 2 ngêi nh nhau => häc sinh sÏ hiÓu ®Ò bµi vµ tù ®Æt ®îc Èn sè vµ lËp ph¬ng tr×nh vÒ mèi t¬ng quan gi÷a Èn sè vµ mét ®¹i lîng kh¸c. A M B * Lêi gi¶i: C¸ch 1: Gäi vËn tèc cña Nam lµ x(x > 0,km/h) th× vËn tèc cña Lan lµ 3/4x. Nh vËy Au 1/4h Nam ®i ®îc qu·ng ®êng lµ 1/4x. Sau 1/4h Lan ®i ®îc qu·ng ®êng lµ 3/4x . 1/4h c¶ 2 ngêi ®i ®îc qu·ng ®êng AB. VËy ta cã ph¬ng tr×nh: 1 3 1 x  . x 7 4 4 4 <=> 1 3 x x 7 4 16 (1) <=> 7x = 7 . 16 <=> x = 16 x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n vµ ph¬ng tr×nh (1) C¸ch 2: Gäi qu·ng ®êng cña Nam ®i sau 1/4h lµ x(km, 0< x < 7). Qu·ng ®êng cña Lan ®i sau 1/4h lµ y(km, 0 < y < 7). Theo bµi ra ta cã: x+y=7 (1) VËn tèc cña Nam sÏ lµ: x : 1/4 = 4x VËn tèc cña Lan sÏ lµ: y : 1/4 = 4y Theo bµi ra ta cã: 4x 1  4y 3 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: x+y=7 x 4  y 3 (1) (2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta t×m ®îc x = 4, y = 3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vµ ph¬ng tr×nh (1). VËn tèc cña Nam lµ: 4: 1 16km / h 4 3: 1 12km / h 4 12 Bµi to¸n 2: (§¹i sè 9 – Ng« H÷u Dòng) Mét tµu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80km c¶ ®i lÉn vÒ mÊt 8h20’. TÝnh vËn tèc cña tµu thuû khi níc yªn lÆng. BiÕt r»ng vËn tèc cña dßng níc lµ 4km/h. * Híng dÉn häc sinh: Trong bµi nµy cÇn lu ý häc sinh x¸c ®Þnh vËn tèc thùc cña tµu thuû khi ngîc dßng vµ xu«i dßng kh¸c nhau. - Khi tµu xu«i dßng vËn tèc cña tµu b»ng vËn tèc thùc + vËn tèc dßng níc. - Khi tµu ngîc dßng vËn tèc cña tµu b»ng vËn tèc thùc – vËn tèc dßng níc. * Lêi gi¶i: Gäi vËn tèc cña tµu thuû khi níc yªn lÆng vµ x(x > 4, km/h). Do vËy khi xu«i dßng vËn tèc cña tµu lµ x + 4, khi ngîc dßng vËn tèc cña tµu lµ x –4. Thêi gian tµu ®i tõ A -> B xu«i dßng lµ 80/x+ 4 Thêi gian tµu ®i tõ B -> A ngîc dßng lµ 80/x – 4. Thêi gian tµu xu«i (®i) vµ ngîc (vÒ) mÊt 8h20’ 1 25 8. h  h . 3 3 VËy ta cã ph¬ng tr×nh: 80 80 25   x4 x 4 3 <=> 5x2 – 96x – 80 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2 ta cã: ’ = 2 . 704 = (52)2 =>  ' 25 => x1 = 20, x2 = - 0,8 (lo¹i) VËy x = 20 tho¶ m·n ®Ò bµi vµ ph¬ng tr×nh. VËy vËn tèc cña tµu thuû khi yªn lÆng lµ 20km/h. Tãm l¹i: Víi 3 lêi gi¶i trªn gi¸o viªn ®· h×nh thµnh cho häc sinh lµm quen víi viÖc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. ë ®©y míi cè g¾ng nªu 2 c¸ch gi¶i ®¹i diÖn cho c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ph¬ng tr×nh bËc 2 vµ hÖ ph¬ng tr×nh. + Trong d¹ng to¸n chuyÓn ®éng, häc sinh cÇn nhí vµ n¾m ch¾c c¸c ®¹i c¬ng qu·ng ®êng, vËn tèc vµ thêi gian liªn quan víi c«ng thøc S = vt. Do ®ã khi gi¶i nªn chän 1 trong 3 ®¹i lîng trªn lµ Èn sè vµ ®iÒu kiÖn lu«n lu«n d¬ng. Sau ®ã ¸p dông c«ng thøc S = vt hoÆc ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n ®Ó x©y dùng ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh). 13 + CÇn lu ý trong d¹ng to¸n chuyÓn ®éng còng cã thÓ chai ra nhiÒu d¹ng nhá vµ cÇn lu ý. - NÕu chuyÓn ®éng trªn cïng mét qu·ng ®êng th× vËn tèc vµ thêi gian cã tû lÖ nghÞch víi nhau. - NÕu thêi gian chuyÓn ®éng ®Õn chËm h¬n dù ®Þnh (bµi 9 – s¸ch ®¹i 8 – NguyÔn Duy ThuËn) th× c¸ch lËp ph¬ng tr×nh nh sau: Thêi gian dù ®Þnh ®i víi vËn tèc ban ®Çu + thêi gian ®Õn chËm = Thêi gian cña chuyÓn ®éng sau khi gi¶m vËn tèc + thêi gian chuyÓn ®éng ®i víi vËn tèc ban ®Çu. - NÕu thêi gian cña chuyÓn ®éng ®Õn nhanh h¬n dù ®Þnh (bµi 2 s¸ch ®· dÉn) th× c¸ch lËp ph¬ng tr×nh lµm ngîc l¹i phÇn trªn. + NÕu chuyÓn ®éng trªn ®o¹n ®êng kh«ng ®æi tõ A => B råi tõ B => A biÕt tæng thêi gian thùc tÕ cña chuyÓn ®éng (vÝ dô ch¬ng 3) th× c¸ch lËp ph¬ng tr×nh nh bµi to¸n ®· tr×nh bµy. NghÜa lµ tæng thêi gian cña chuyÓn ®éng vÒ. + NÕu hai chuyÓn ®éng ngîc chiÒu nhau (VÝ dô 1 ch¬ng 3) sau mét thêi gian hai chuyÓn ®éng nhau th× cã thÓ lËp ph¬ng tr×nh S = S1 + S2 + ... II. D¹ng to¸n cã liªn quan sè häc: Bµi 1: (Bµi 1 – trang 80 – s¸ch ®¹i 8 – NguyÔn Duy ThuËn – NXB Gi¸o dôc 1995). MÉu sè cña mét ph©n sè lín h¬n tö sè cña nã lµ 3. NÕu t¨ng c¶ tö vµ mÉu thªm 2 ®¬n vÞ th× ®îc ph©n sè 1/2 . T×m ph©n sè ®· cho? + Híng dÉn häc sinh: - §Ó t×m mét ph©n sè tøc lµ ta ph¶i t×m nh÷ng thµnh phÇn nµo? (tö, mÉu?) - BiÕt tö sè ta cã thÓ t×m ®îc mÉu sè kh«ng? vµ ngîc l¹i. - Sau khi t¨ng c¶ tö vµ mÉu 2 ®¬n vÞ ta cã ph©n sè míi nµo? + Lêi gi¶i: ë ®©y nh ®· tr×nh bµy ë phÇn trªn, ta thÊy r»ng c¸c thµnh phÇn cña tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®· cho ®Òu cha biÕt. NghÜa lµ t¬ng ®¬ng nhau vÒ gi¸ trÞ Èn sè. Nh vËy ta cã thÓ gäi bÊt kú tö sè hay mÉu sè lµ Èn sè c¸ch chän Èn nµo sÏ dÉn ®Õn c¸ch gi¶i kh¸c. Ngoµi ra nÕu gäi c¶ 2 thµnh phÇn trªn lµ Èn sè sÏ dÉn ®Õn c¸ch gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh. Nhng ta sÏ chän c¸ch gi¶i ®¬n gi¶n nhÊt. Muèn vËy cÇn ®Æt Èn ®¬n gi¶n nhÊt. ë ®©y lµ ph©n sè nªn thêng tö sè nhá h¬n mÉu sè (bµi to¸n còng ®· cho). VËy ta nªn 14 chän tö lµ Èn sè. ThËt vËy: Gäi tö sè cña ph©n sè ®· cho lµ x(x ≠ 0) th× mÉu sè cña ph©n sè lµ x + 3. Sau khi t¨ng tö sè sÏ lµ: x + 2 Sau khi t¨ng mÉu sè sÏ lµ: x + S + 2 = x + 5 Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh x2 1  x 5 2 (1) (§K x ≠ - 5) => 2(x + 2) = x + 5 => x = 1 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi vµ cña ph¬ng tr×nh (1) VËy ph©n sè ®· cho lµ: 1 1  1 3 4 Bµi 2: (Bµi 2 – s¸ch ®¹i 9 – Ng« H÷u Dòng – NXB Gi¸o dôc 1995) Hai sè h¬n kÐm nhau 12 ®¬n vÞ. NÕu chia sè lín cho 5 vµ sè nhá cho 7 th× ®îc th¬ng thø nhÊt h¬n th¬ng thø 2 lµ 4 ®¬n vÞ. T×m 2 sè ®ã. + Híng dÉn häc sinh: Víi lo¹i to¸n nµy häc sinh lóng tóng c¸ch biÓu diÔn th¬ng. NhiÒu em coi th¬ng thø nhÊt lµ th¬ng cña sè nhá vµ 7, th¬ng thø 2 lµ th¬ng cña sè lín vµ 5, dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai. + Lêi gi¶i: Theo 4 c¸ch ë b¶ng sau: C¸ch 1 2 3 4 Qu¸ tr×nh Cha tÝnh th¬ng TÝnh th¬ng Cha tÝnh th¬ng TÝnh th¬ng Cha tÝnh th¬ng TÝnh th¬ng Cha tÝnh th¬ng TÝnh th¬ng Sè lín x Sè nhá x – 12 x 5 x  12 7 Ph¬ng tr×nh x©y dùng x x  12  4 5 7 (*) x + 12 x x 7 x  12 x  4 5 7 x y x – y = 12 x 5 y 5 x y  4 5 5 y x y – x = 12 (1) y 5 x 5 y x  4 5 7 (1) (2) (2) Tõ 4 c¸ch chän Èn kh¸c nhau ta dÉn ®Õn x©y dùng 4 ph¬ng tr×nh (hay 15 hÖ ph¬ng tr×nh) kh¸c nhau vµ cã 4 c¸ch gi¶i kh¸c nhau nhng vÉn cïng mét kÕt qu¶. Gi¶i ph¬ng tr×nh. Ta ®îc: => 7x – 5x + 60 = 140 => 2x + 60 = 140 => x = 40 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n VËy sè lín lµ 40 sè nhá lµ 40 – 12 = 28 Bµi 3: (Bµi 2 – s¸ch ®¹i 9 – Ng« H÷u Dòng – NXB Gi¸o dôc 1989) T×m 2 sè biÕt tæng lµ 17 vµ tæng c¸c b×nh ph¬ng cña chóng lµ 157. * Híng dÉn häc sinh: §©y lµ bµi to¸n ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 2. Còng cã thÓ cã 2 c¸ch gi¶i theo ®Æt Èn kh¸c nhau: * Lêi gi¶i: Theo b¶ng sau: C¸ch 1 2 Qu¸ tr×nh Sè thø nhÊt Cha b×nh ph¬ng B×nh ph¬ng Cha b×nh ph¬ng x(x ≠ 0) Sè thø hai 7 x2 (17 – x)2 x(x ≠ 0) y(y ≠ 0) Ph¬ng tr×nh x©y dùng x2 + (17 – x)2 = 157 () x + y = 17 B×nh ph¬ng x2 + y2 = 157 x2 y2 Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta cã <=> 2x2 – 34 + 132 = 0 <=> x2 – 17x + 66 = 0  = 25,  = 5 => x1 = 11; x2 = 6 C¶ 2 nghiÖm x1, x2 ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n. VËy sè thø nhÊt ph¶i t×m lµ 11, sè thø hai lµ 6. Chó ý: Víi d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn sè häc cÇn cho häc sinh hiÓu mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng ®Æc biÖt gi÷a hµng ®¬n vÞ, hµng chôc, hµng tr¨m... biÓu diÔn díi d¹ng chÝnh t¾c cña nã. ab 1a  b abc 100a  10b  c Khi ®æi chç vÞ trÝ c¸c ch÷ sè hµng tr¨m, chôc, ®¬n vÞ ta còng biÓu diÔn t¬ng tù nh vËy. Dùa vµo ®ã ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè ph¶i phï hîp. III. D¹ng to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng: 16 (Tû sè phÇn tr¨m) VÝ dô 1: (¤n thi tèt nghiÖp THCS NXB Gi¸o dôc 1990) Trong 2 th¸ng ®Çu 2 tæ s¶n xuÊt ®îc 400 chi tiÕt m¸y, trong th¸ng sau tæ 1 vît møc 10%, tæ 2 vît møc 15% nªn c¶ 2 tæ s¶n xuÊt ®îc 448 chi tiÕt m¸y. TÝnh xem trong th¸ng ®Çu mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. * Híng dÉn häc sinh: - §· biÕt n¨ng suÊt chung cña 2 tæ trong th¸ng ®Çu ®îc 400 chi tiÕt m¸y. NÕu biÕt 1 trong 2 tæ sÏ tÝnh ®îc ®îc tæ kia (chän Èn). - Gi¶ sö ®· biÕt n¨ng suÊt cña th¸ng ®Çu cã thÓ tÝnh ®îc tæng chi tiÕt m¸y s¶n xuÊt trong th¸ng sau. - TÝnh n¨ng suÊt cña tõng tæ th¸ng sau ®Ó x©y dùng ph¸t triÓn. * Lêi gi¶i: C¸ch 1: Gäi x lµ sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt trong th¸ng ®Çu (x  Z+, x < 400, x > 0). Nh vËy tæ 2 s¶n xuÊt ®îc 400 – x chi tiÕt m¸y. Th¸ng sau tæ 1 ®· lµm ®îc 10 x 100 chi tiÕt m¸y. 15 100 chi tiÕt m¸y Tæ 2 ®· lµm ®îc (400 – x). Do ®ã c¶ 2 tæ ®· vît 48 chi tiÕt m¸y. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: x. 10 15  (400  x). 48 100 100 <=> 10x + 6000 – 15x = 4800 <=> 5x = 1200 <=> x = 240 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò ra. VËy th¸ng dÇn tæ 1 s¶n xuÊt ®îc 240 chi tiÕt m¸y, tæ s¶n xuÊt 400 – 240 = 160 chi tiÕt m¸y. C¸ch 2: Gäi sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt ®îc trong th¸ng ®Çu lµ x(xZ, 0 < x < 400) Sè chi tiÕt m¸y tæ 2 s¶n xuÊt trong th¸ng ®Çu lµ y(y  Z, 0 < y < 400). Do ®ã ta cã x + y = 400 (1) 17 Trong th¸ng sau tæ 1 lµm ®îc Tæ 2 lµm ®îc y 15 100 x 10 100 chi tiÕt m¸y. chi tiÕt m¸y. Do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh: x 10 15 y 48 100 100 (2) Tõ ®ã ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: x + y = 400 (1) 10 x 15 y  48 (2) 100 100 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã: x = 240; y = 160 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi => kÕt luËn VÝ dô 2: (Bµi 2 - §¹i 9 – Ng« H÷u Dòng – TrÇn KiÒu – NXB Gi¸o dôc 1996). D©n sè cña thµnh phè Hµ Néi sau 2 n¨m t¨ng tõ 2.000.000 lªn 2.048.288 ngêi. TÝnh xem hµng n¨m trung b×nh d©n sè t¨ng bao nhiªu phÇn tr¨m. * Híng dÉn häc sinh: §· biÕt sè ngêi cña n¨m ®Çu vµ 2 n¨m sau, häc sinh dÔ nhÇm lÉn lÊy sè sau trõ ®i sè tríc, sau ®ã chia cho 2 n¨m lÊy trung b×nh tõ ®ã tÝnh phÇn tr¨m dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai. * Lêi gi¶i: Gäi sè phÇn tr¨m d©n sè t¨ng mçi n¨m cña Hµ Néi vµ x% (x > 0). D©n sè n¨m ®Çu cña Hµ Néi t¨ng lµ: 2.000.000. x 20.000 x 100 Sau n¨m ®Çu d©n sè Hµ Néi lµ: 2.000.000 + 20.000x = 20.000 (x + 100) N¨m thø hai d©n sè Hµ Néi t¨ng lµ: 20.000 (x + 100). x 200( x  100) 100 Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 20.000 (x + 100) + 200(x + 100) = 2.048.288 18 <=> x2 + 200x – 241,44 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2 ta ®îc x1 = 1,2; x2 = -201,2 (lo¹i) VËy sè phÇn tr¨m t¨ng d©n sè trung b×nh cña Hµ Néi 1,2%. Tãm l¹i: Víi d¹ng to¸n liªn quan ®Õn tû sè phÇn tr¨m häc sinh thêng ng¹i vµ khã gi¶i, gi¸o viªn cÇn gîi më dÇn dÇn ®Ó häc sinh hiÓu râ b¶n chÊt cña logic vµ néi dung bµi to¸n ®Ó dÉn tíi mèi liªn quan x©y dùng ph¬ng tr×nh vµ gi¶i nh c¸c d¹ng to¸n kh¸c. IV. D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng. (To¸n qui vÒ ®¬n vÞ) Bµi 1: (Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THCS, Së GD §T H¶i Hng 1996) Hai m¸y xóc ®Êt, nÕu lµm chung th× mÊt 6 ngµy sÏ lµm xong c«ng viÖc ®îc giao. NÕu lµm riªng th× m¸y 1 ph¶i lµm l©u h¬n m¸y 2 lµ 5 ngµy. Hái mçi m¸y nÕu lµm riªng th× mÊt bao nhiªu ngµy sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc ®· ®îc giao. * Lêi gi¶i: Gäi x lµ sè ngµy mµ m¸y 1 ph¶i lµm mét m×nh ®Ó hoµn thµnh c«ng tr×nh (x > 5). M¸y 2 lµm riªng mÊt sè ngµy lµ x – 5. Mçi ngµy m¸y 1 lµm ®îc 1 x c«ng viÖc, m¸y 2 lµm C¶ 2 m¸y trong mét ngµy ®îc 1 6 1 x 5 c«ng viÖc. c«ng viÖc. Theo bµi ra ta cã c¸ch gi¶i sau: C¸ch 1 2 Qu¸ tr×nh Lµm riªng xong c«ng viÖc PhÇn c«ng viÖc trong 1ngµy Lµm riªng xong c«ng viÖc PhÇn c«ng viÖc trong 1ngµy M¸y 2 x( x > 5) x–5 1 x 1 x 5 x( x > 5) y( y > 5) x–y=5 1 x 1 y 1 1 1   x y 6 Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta cã x2 – 17x + 30 = 0 <=> x1 = 15, x2 = 2 (lo¹i) 19 Ph¬ng tr×nh x©y dùng M¸y 1 1 1 1   (* x x 5 6 ) VËy m¸y 1 lµm riªng mÊt 15 ngµy, m¸y 2 lµm riªng mÊt: 15 – 5 = 10 ngµy Bµi 2: (¤n luyÖn thi tèt nghiÖp THCS – Së GD-§T H¶i Hng 1996) Hai vßi níc cïng ch¶y vµo 1 bÓ kh«ng cã níc trong 12 giê th× ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y trong 4 giê vµ vßi thø 2 ch¶y trong 6 giê th× ®Çy 2 5 bÓ. Hái mçi vßi nÕu ch¶y mét m×nh th× ph¶i mÊt bao l©u míi ®Çy bÓ. * Lêi gi¶i: Gäi x lµ thêi gian vßi 1 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ (x > 0) y lµ thêi gian vßi 2 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ (y >0) Sau mçi giê vßi 1 ch¶y lµ => 1 x 1 y + = 1 12 Trong 4h vßi 1 ch¶y 1 x vßi 2 ch¶y lµ 1 y (1) 1 x , vßi 2 ch¶y 6 4 6 2    y x y 5 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: 1 x + 1 y = 1 12 4 6 2   x y 5 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta ®îc x = 20, y = 30 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®· nªu. VËy vßi 1 ch¶y riªng hÕt 20h, vßi 2 ch¶y riªng hÕt 30h. ë bµi to¸n nµy mÊu chèt lµ cho häc sinh hiÓu ®Çu bµi biÕt ®Æt ®óng Èn, tõ ®ã tÝnh thêi gian cña 1h vµ lËp ®îc ph¬ng tr×nh. V. D¹ng to¸n vÒ tû lÖ chia phÇn (thªm, bít, t¨ng, gi¶m, tæng hiÖu, tû sè cña chóng). Bµi 1: (Bµi 5 s¸ch ®¹i sè 8 – NguyÔn Duy ThuËn – NXB gi¸o dôc 1995) HTX Hång Ch©u cã 2 kho thãc. Kho thø nhÊt nhiÒu h¬n kho thø hai 100 tÊn. Nõu chuyÓn tõ kho thø nhÊt sang kho thø 2 60 tÊn th× lóc ®ã sè thãc ë kho thø nhÊt 12 13 sè thãc ë kho thø hai. TÝnh sè thãc ë mçi kho lóc ®Çu. 20