Skkn - dùng liên hợp giải phương trình vô tỉ

  • Số trang: 24 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 43 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƢỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN ===================== SAÙNG KIEÁN, KINH NGHIEÄM SÖÛ DUÏNG KYÕ THUAÄT LIEÂN HÔÏP ÑEÅ GIAÛI MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH VOÂ TÆ Người thực hiện: Nguyễn Công Nhàn An Nhôn, Naêm 2014 2 MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 2 Phần 1. Mở đầu 3 Phần 2. Nội dung của đề tài 7 Tóm tắt kiến thức cơ bản 7 Phương trình mở đầu 10 Sử dụng kỹ thuật liên hợp khi đoán được nghiệm của phương trình 13 Sử dụng kỹ thuật liên hợp khi khó đoán được nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng 17 Một số bài tập tự luyện 20 Phần 3. Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 24 3 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giải phương trình, mục tiêu cuối cùng là phải tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Để làm được điều này, chúng ta có rất nhiều cách, có thể giải trực tiếp, có thể đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất, ngoài ra ta cũng có thể đoán nghiệm để đưa về phương trình tích để giải. Khi giải những bài tập đòi hỏi phải đoán được nghiệm và biến đổi tiếp tục để giải, thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đặc biệt trong các bài toán về phương trình chứa căn, mà ta gọi là phương trình vô tỉ thì việc đoán nghiệm và phân tích biểu thức về tích càng trở nên khó khăn hơn. Phương trình vô tỉ là một nhánh rất hay gặp trong các bài toán về phương trình trong các đề thì tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi. Chính vì thế, bản thân luôn mong muốn có một tài liệu hoàn chỉnh về cách giải phương trình này, trong đó “sử dụng kỷ thuật liên hợp” là kỹ thuật mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn và rất ít tài liệu viết về điều này. Do đó, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến, kinh nghiệm về “Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải một số phƣơng trình vô tỉ” Mong rằng với tài liệu này, các em học sinh có thêm tự tin để giải tốt bài toán phương trình vô tỉ. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mục đích nêu “Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô tỉ” nhằm giúp giải quyết một phần các khó khăn khi giải một số bài toán phương trình vô tỉ thông qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng cách giải một bài toán phương trình vô tỉ cho học sinh, cũng như mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học, nhằm để học sinh học tốt môn toán nói chung và từng bước biết vận dụng có hiệu quả bài toán giải phương trình vô tỉ nói riêng. 4 Trang bị cho học sinh một phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trang bị cho học sinh một phương pháp giải phương trình vô tỉ thông qua biểu thức liên hợp Phân loại bài tập có định hướng giải (đề thi học sinh giỏi, đại học, học kỳ) Một số bài tập tương tự, mở rộng, nâng cao. 4. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các dạng toán giải phương trình vô tỉ nằm trong chương trình toán phổ thông; luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông Nêu các tính chất của biểu thức liên hợp, kỹ thuật biến đổi biểu thức. Trong khuôn khổ của một sáng kiến, kinh nghiệm, dù biết không thể sử dụng một phương pháp để giải hết tất cả các bài toán về phương trình vô tỉ, nhưng với trách nhiệm của một người giáo viên trong một chừng mực nào đó tôi hy vọng đây là tài liệu giảng dạy bổ ích cho đồng nghiệp cũng như cho học sinh trong việc nhận dạng và giải thành thạo một số phương trình vô tỉ. 5. CHUẨN BỊ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Giáo viên đọc tài liệu sách giáo khoa thật kỹ, sách nghiệp vụ của giáo viên và sách tham khảo đọc thêm. Biên soạn đề cương theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy và kiểm tra Chú trọng phương pháp dạy trên cơ sở phương pháp khoa học + Phương pháp tái hiện (phương pháp trí nhớ ) + Phương pháp tư duy + Phương pháp phân tích tổng hợp + Phương pháp so sánh + Phương pháp trừu tượng và khái quát hoá 5 Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học nhằm hai mục đích: một là thu nhận kiến thức mới, hai là vận dụng kiến thức để giải bài tập, hai là kết hợp với kiến thức khác để tạo ra kiến thức mới. Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn giữ lại được trong đầu và quá trình tâm lí tái hiện. Việc làm lại bài tập đã được hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải toán. 6. Ý NGHĨA ĐỀ TÀI Cung cấp một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ thích hợp cho việc giải toán qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng được cách giải một bài toán cho học sinh. Trang bị cho học sinh một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. Bản thân cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh khối THPT trong các kỳ thi cuối kỳ, thi học sinh giỏi, thi Đại học – Cao đẳng. 7. CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Dựa trên thực tế giảng dạy học sinh trường THPT, trên cơ sở tích luỹ trong quá trình soạn giảng và những bức xúc khi học sinh giải các bài toán về phương trình vô tỉ, bản thân tôi luôn tìm tòi cách dạy hiệu quả nhất cho đối tượng, cộng tác cùng đồng nghiệp, tham khảo ý kiến sửa chữa kịp thời. Thật vậy, từ khi biên soạn cho đến nay đã được gần 3 năm, tôi và đồng nghiệp nhận thấy đa số học sinh sau khi học cách áp dụng phương pháp này thì khả năng nhận dạng phương trình vô tỉ của các em có tiến bộ rõ rệt. Trong quá trình biên soạn tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp trong tổ Toán, tập thể giáo viên của trường THPT số 3 An Nhơn, tỉnh 6 Bình Định. Tôi xin chân thành cảm ơn và rất mong quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến cho đề tài này để tôi tiếp tục hoàn chỉnh nó trong quá trình giảng dạy của mình, cũng như làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh. Giáo viên thực hiện Nguyễn Công Nhàn 7 PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các tính chất về phép biến đổi tƣơng đƣơng đổi với phƣơng trình Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Một số phép biến đổi tương đương:  Cộng, trừ hai vế của phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi tập xác định của phương trình.  Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác không mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình. 2. Phƣơng trình vô tỉ Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn ở dưới dấu căn. Các bƣớc giải phƣơng trình vô tỉ (dạng chung)  Tìm điều kiện của phương trình.  Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.  Giải phương trình vừa tìm được.  So sánh kết quả với điều kiện và kết luận. 3. Các kiến thức cơ bản về căn thức 2n a khi a  0 a 2n  a    a khi a  0 2 n 1 a 2 n1  a aba b 2n 2n a  b  a 2 n1  b2 n1  a, b  0  a, b  \ Lũy thừa hai vế của phương trình Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phương trình cùng không âm. 2 n1 a  b  a  b2 n1   b0 2n a b  2n   a  b 8 2 n1 a  2 n1 b  a  b  a  0 (hay b  0) 2n a  2n b      a  b 4. Một số phƣơng pháp khác đƣợc dùng để giải bài toán phƣơng trình vô tỉ 4.1 Phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp bình phương hai vế hai vế của một phương trình. 4.2 Biến đổi về phương trình tích. 4.3 Sử dụng kỷ thuật liên hợp. 4.4 Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình giải được. 4.5 Phương pháp lượng giác hóa. 4.6 Phương pháp tọa độ và vectơ. 4.7 Phương pháp đánh giá hai vế, có kết hợp tính chất hàm số. 5. Các kết quả sau sử dụng trong phƣơng pháp sử dụng kỷ thuật liên hợp Tính chất 1. Nếu x0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 (1) thì phương trình (1)  (x – x0).g(x) = 0 Tính chất 2. A B  A B A B Tính chất 3. A B  A B A B Tính chất 4. 3 Tính chất 5. 3 A 3 B  A 3 B  A B 3 A2  3 A 3 B  3 B 2 3 A  3 A 3 B  3 B2 A B 2 6. Cơ sở của phƣơng pháp: Khi gặp một phương trình vô tỉ có cấu trúc phức tạp:  Có sự xuất hiện của nhiều căn thức,  Có sự xuất hiện của nhiều căn thức khác bậc  Có sự xuất hiện của một đa thức bậc 2, bậc 3 Đối với các phương trình loại đó, ta khó thực hiện các thao tác  Biến đổi để đưa về nhân tử chung; 9  Biến đổi bằng cách bình phương hai vế hai vế, vì như thế sẽ tạo nên phương trình bậc cao  Khó có thể đặt ẩn phụ, vì như thế không có mối quan hệ giữa các biểu thức  Không thể xét các hàm số ở vế trái và vế phải có tính biến thiên ngược nhau, từ đó không thể kết luận nghiệm duy nhất, mặc dù ta vẫn đoán được một nghiệm của phương trình  Vì vậy, đối với loại phương trình này, chúng ta không thể biến đổi đồng thời các biểu thức của phương trình, mà phải biến đổi từng căn thức để tạo ra nhân tử chung. Sau đó đưa phương trình về dạng tích (x – x0).g(x) = 0 Trong đó g(x) = 0 là phương trình vô nghiệm.  Để chứng minh g(x) = 0 ta thường dùng phương pháp đánh giá hai vế, hoặc dùng phương pháp hàm số để chứng minh phương trình này vô nghiệm. 10 II. PHƢƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU 3x 2  5x  1  x 2  2  3 x 2  x 1  x 2  3x  4   3x 2  5 x  1  0    x2  2  0  Điều kiện:  2  x  x 1  0   2     x  3x  4  0 Ta đi tìm cách giải cho phương trình này như sau: Cách 1: Biến đổi tương đương, cách này không có cơ sở để biến đổi, không thể bình phương hai vế vì khi bình phương hai vế bài toán sẽ dẫn đến phức tạp. Cách 2: Đưa về phương trình tích bình thường, ta không nhận thấy nhân tử chung hoặc biến đổi thế nào. Cách 3: Dùng ẩn phụ, nếu đặt ẩn phụ chúng ta phải đặt ít nhất hai ẩn phụ, nhưng cũng không nhận dạng được ẩn phụ hợp lí. Cách 4: Lượng giác hóa, chúng ta chưa nhận thấy dấu hiệu rõ ràng nào về cách đặt lượng giác. Cách 5: Phương pháp tọa độ và vectơ, để làm điều này ta phải đưa trong căn về tổng bình phương. Nhưng điều này không nhận ra. Cách 6: Dùng phương pháp hàm số và đánh giá hai vế, cách này phải biến đổi đưa về hàm số, chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến, điều này cũng không khả quan. Cuối cùng, ta có nhận xét về mối quan hệ của các biểu thức trong dấu căn nhƣ sau: 11 (3x2 – 5x + 1) – 3(x2 – x – 1) = - 2(x – 2) (x2 – 2) – (x2 – 3x + 4) = 3(x – 2) Với nhận xét như trên, giúp ta nghĩ đến nhân tử x – 2 và x = 2 là một nghiệm của phương trình đã cho. Chúng ta chuyển vế phương trình (1) đưa về 3x 2  5x  1  3 x 2  x 1  x 2  2  x 2  3x  4 Sau đó dùng biểu thức liên hợp cho hai vế, ta được phương trình 2( x  2) 3x 2  5 x  1  3 x 2  x 1    3   3( x  2)  x  2  x 2  3x  4 2 x2  0  3x 2  5 x  1  3 x 2  x 1  2  x 2  2  x 2  3x  4  (*) Phương trình (*) vô nghiệm, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x2 Phương trình trên được giải như sau 3x 2  5 x  1  x 2  2  3 x 2  x 1  x 2  3x  4  3x 2  5 x  1  3 x 2  x 1  x 2  2  x 2  3x  4  2( x  2) 3x 2  5 x  1  3 x 2  x 1 3( x  2)  x 2  2  x 2  3x  4  x2  0   (*) 3 3x 2  5 x  1  3 x 2  x 1  2 x 2  2  x 2  3x  4  Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy, mỗi phương trình có mỗi đặc điểm khác     nhau. Khi đi tìm lời giải đòi hỏi chúng ta phải có nhiều giải pháp khác nhau để đánh giá và giải phương trình một cách hợp lí. Sau đây tôi xin giới thiệu Một số 12 phƣơng trình vô tỉ đƣợc giải bằng cách sử dụng kỹ thuật liên hợp. Mong rằng, tài liệu này sẽ là một cẩm nang giúp đỡ các em học sinh nhiều kinh nghiệm hơn trong việc giải phương trình vô tỉ, một bài toán được xem là khó và cũng hay xuất hiện trong các đề thi đại học, cũng như thi học sinh giỏi các cấp. Các dạng phƣơng trình thƣờng gặp trong kỷ thuật liên hợp f ( x)  g ( x)  h( x)  k ( x) , trong đó f(x) – g(x) và h(x) – k(x) có 1. nghiệm chung x0 f ( x)  g ( x)  h( x) , trong đó ta nhẩm được nghiệm của phương trình là 2. x0 f ( x)  3 g ( x)  h( x) , trong đó ta nhẩm được nghiệm của phương trình là 3. x0 4. f ( x)  a    2 2 g ( x )  b  h( x ) , trong đó f(x) – a ; g(x) – b và h(x) có nghiệm chung là x0 13 III. SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP KHI ĐOÁN ĐƢỢC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH Khi đoán được nghiệm của phương trình, kỷ thuật nhân liên hợp được tiến hành như sau: Bước 1: Phân tích và nhẩm nghiệm để có được một nghiệm của phương trình x0 Bước 2: Sau đó ta thế x0 vào trong các biểu thức của phương trình để tìm cách thêm bớt vào biểu thức. Ví dụ được f ( x ) , khi có nghiệm là 2 thì ta xác định f (2) , ta thêm bớt để tạo ra f ( x)  f (2) Bước 3: Nhân biểu thức liên hợp của các biểu thức, ví dụ f ( x )  f (2)  Ví dụ 1. 3 f ( x )  f (2)  f ( x )  f (2)  x  2 g ( x ) f ( x)  f (2) x 2 1  x  x 3  2 Nhận xét 3  Điều kiện cho phương trình: x  2  0  Ta nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình  Lấy x – 3 làm chuẩn để biến đổi bài toán, x 3  2 cần số 5; 3 x 2 1 cần số 2. Do đó phương trình đã cho tương đương  3  x 2 1  2   x  3  x 3  2  5  x  3 x  3  3 2 x 1  2 x 1  4 2 3 2   x  3  x 3  27 x3  2  5 14     x  31       1   x 2  3x  9     0 2 3 2 2 3 x  2  5  x 1  2 x 1  4 x3 3 x3 x3 3 2 3 x 2  3x  9 x 2 5 3 x 2 1  2 3 x 2 1  4 x3 Vì x  3 2 nên 1   2 x 2 1  2 3 x 2 1  4  1 x3  3  2 0 2 x 2 1  1  3 (2) x 2  3x  9 x3  2  5 Do đó phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3. Ví dụ 2. x  2  4  x  2 x2 5x 1 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12, Bình Định, năm 2011 – 2012 )  Điều kiện x   2;4   Nhiều học sinh khi gặp bài toán này, nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ. Với cách đặt ẩn phụ, ta có hai cách nghĩ:  Đặt một ẩn t, khi đó vế phải không giải quyết được  Đặt hai ẩn u, v; khi đó vấn đề vẫn là vế phải không giải quyết được  Vậy ta phải sử dụng phương pháp nào đây?  Ta nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình đã cho, vậy x – 3 có tác dụng thế nào? Tới đây chúng ta lại nghĩ về hàm số để chứng minh x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình, điều đó làm được không? Vế trái có điểm cực trị x 15 = 3, hàm số đồng biến trên [3; 4] và nghịch biến trên [2; 3]. Nhưng vế phải đồng biến trên [2; 4], điều này không thể kết luận được gì.  Ta cố gắng phân tích các biểu thức của phương trình về tích có chứa thừa số x – 2; từ đó ta thêm, bớt số 1 vào để tạo các biểu thức như ý muốn, sau đó nhân liên hợp, ta được x  2 1 4  x 1  2 x 2  5x  3 x 3 3 x     x  32 x 1 x  2 1 4  x 1   1 1   x  3   2 x  1  0  x  2  1  4  x 1  x3  (2)  1 1    2 x  1  0  x  2  1 4  x 1 Vì 2  x  4 nên 1 1 1 1     5  2x 1 x  2 1 4  x 1 1 2 1 Do đó phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3. 2 Ví dụ 3.  x  1 x  2   x  6 x  7  x  7 x  12 Điều kiện: x 2 Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình đã cho Ta cố gắng xử lý các biểu thức chứa căn nên ta sẽ tạo ra x  2  2  2; x  7  2  7 Khi đó có phương trình 16  x  1 x  2  2   x  6 x  7  3  x 2  2 x  8   x  1 x2 x2   x  6   x  2 x  4  0 x2 2 x7 3  x 1 x6   x  4  0  x2 2 x7 3    x  2    x2   x 1 x6    x4  0  x  2  2 x7 3 Với x 2 thì x 1 x6 x 1 x  6   x4    x4 0 2 3 x2 2 x7 3 Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 Bài tập tƣơng tự Bài 1. x 2  x 1  x  x 2  1  x 2  x  2 2 2 2 Bài 2. x  2 x  3  2 x  x  1  3x  3x Bài 3. Bài 4. 42 60  6 5 x 7 x 4 x  2  22  3x  x 2  8 17 IV. SỬ DỤNG KỶ THUẬT LIÊN HỢP KHI KHÓ ĐOÁN ĐƢỢC NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH MỘT CÁCH NHANH CHÓNG Trong quá trình giải, chúng ta thấy một phương trình không có dấu hiệu đặc biệt, cũng như sử dụng các phương pháp khác để giải phương trình này. Khi đó ta tìm cách thêm bớt hai vế của phương trình cho một đâ thức bậc 1 mx + n Vậy làm thế nào để xác định được lượng thêm bớt cần thiết (mx + n) Ta làm như sau: Bước 1: Đưa phương trình về dạng f ( x )  g ( x ) , trong đó f(x) là đa thức hoặc là phân thức, g(x) là đa thức Bước 2: Thêm, bớt vào hai vế của phương trình đa thức mx + n, ta được f ( x)  mx  n  g ( x)  mx  n Bước 3: Chúng ta quy đồng mẫu vế trái và nhân liên hợp cho vế phải của phương trình Bước 4: Cho tử của hai vế bằng nhau để được cặp số (m, n). Khi đó ta xác định được biểu thức cần thêm bớt, sử dụng lượng liên hợp để giải Ví dụ 1. x 2  x 1   x  2 x 2  2 x  2 Nhận xét:  x + 2 tham gia vào phương trình để làm gì? 18  Vì x = -2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x + 2 ta được phương trình tương đương với x 2  x 1  x 2  2 x  2 (*) x2  Làm thế nào để phương trình (*) xuất hiện biểu thức chung cho hai vế? Giả sử ta cần thêm vào hai vế của (*) một biểu thức dạng mx + n, khi đó x 2  x 1  mx  n  x 2  2 x  2  mx  n *  x2  1 m x 2  1 2m  n x  1 2n x2  1 m2  x 2  2  2mn x  2  n 2 x 2  2 x  2  mx  n 1 m2 2  2mn 2  n2    m  0; n  3 Ta chọn (m; n) sao cho 1 m 1 2m  n 1 2n Khi đó x 2  x 1  x2  2 x  2 x2 x 2  x 1   3  x2  2 x  2  3 x2 x2  2 x  7 x2  2x  7   x2 x2  2 x  2  3  x2  2 x  7  0   2  x  2  x  2 x  2  3 (3) Phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) tương đương phương trình (3)  và có tập nghiệm S  1 7;1  7  19 Ví dụ 2. x  3x  1  8  3x 3 2 (1) Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy chỉ có một căn bậc hai, có thể bình phương hai vế để làm mất căn. Nhưng khi thực hiện thao tác bình phương hai vế, thì ta sẽ tạo ra phương trình bậc 6, dẫn đến khó khăn khi giải phương trình này. Điều kiện: 8  3x 2  0 Bằng cách làm như trên, ta biến đổi phương trình tương đương với phương trình x 3  3 x  1  2  x   8  3 x 2  2  x   x 3  2 x  1  8  3 x 2  2  x    x  1 x  x  1  2 4  x 2  x  1 8  3 x 2  2  x   x 2  x 1  0   4  x 2  x  1   0 (2)  x 1 2  8  3 x  2  x    8 8 2 Xét hàm số f ( x )  8  3x  2  x ; x   ;   3 3 Ta chứng minh 0  f ( x)  64 6 1 8 1   1 0 nên x  1  3 f ( x) 3 64 6 3 Do đó phương trình (2) vô nghiệm. 2 Phương trình 1  x  x 1  0  1 5 1  5    ;   2   2    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   20 IV. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 1 x 2 x  x 2  x 1 x2 Bài 2 x  2  4  x  2 x 2  5x 1 Bài 3 x 2  x 1  x  x 2 1  x 2  x  2 Bài 4 x 2  2 x  3  2 x  x 2  1  3x  3x 2 42 60  6 5 x 7 x Bài 5 Bài 6 3 7  2x2 7x 8  x 6
- Xem thêm -