Tài liệu Skkn cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức.

PHẦN I: MỞ ĐẦU Môn Toán là môn học trang bị cho học sinh kiến thức, kĩ năng và phương pháp tư duy. Thông qua môn học, giúp học sinh phát triển năng lực trí tuê ,ê kha năng tư duy, hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao đô nê g khoa học, biết hợp tác lao đô nê g, có ý chí và có thói quen tự học thường xuyên, tạo tiền đề cho môn học khác và viê êc học tâ êp sau phổ thông. Vì vâ êy khi dạy học chúng tôi luôn trăn trở, tìm tòi phương pháp nhằm cuốn hút các em vào mỗi bài học. Ở đó, các em nhâ ên thức được vai trò trung tâm của mình, các em lĩnh hô êi tri thức thông qua tự giai quyết vấn đề, tự hướng dẫn, tìm tòi và cô êng tác với bạn bè. Chuyên đề số phức lớp 12 là một dạng toán mới và lạ đối với học sinh phổ thông và là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiê êp, Đại học, Cao đẳng. Ở các lớp dưới, các em mới chỉ tính toán, giai Toán trên tập hợp số thực, lên lớp 12 các em phai tính toán và giai toán trên tập hợp số phức. Vì tập số thực là tập con của tập số phức nên có nhiều kiến thức tương đồng, nhưng cũng có những điểm khác biệt nhất định, vì vậy các em rất hay bị nhầm lẫn và dễ hiểu sai yêu cầu bài toán nếu không nắm chắc kiến thức. Các bài toán về số phức liên quan đến nhiều kiến thức của các lớp dưới, nó đòi hỏi học sinh phai nắm vững các kiến thức ở lớp dưới như bài toán giai phương trình, hệ phương trình trên tập hợp số thực, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán hình giai tích trong mặt phẳng và phai thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và mới, từ đó biết qui lạ về quen. Đồng thời qua các bài toán về số phức, các em một lần nữa được ôn tập, rèn kỹ năng giai một số dạng toán thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng và các đề thi Học sinh giỏi. Chính vì thế, để giúp các em có thể tiếp cận được với các đề thi tốt nghiê êp, Đại học và tạo tâm lí nhẹ nhàng khi học và tự tin khi thi, chúng tôi xin trình bày một số sáng kiến về đề tài: "Cải tiến phương pháp dạy chuyên đề Số phức". PHẦN II: NÔÔI DUNG A. Giải pháp cũ thường làm. Trước đây khi dạy chuyên đề số phức, chúng tôi thường dạy như sau: Dạy theo từng bài. Ứng với mỗi bài, chúng tôi cho bài tâ êp áp dụng đơn gian, chỉ đam bao kiến thức trong Sách giáo khoa không mở rộng, nâng cao. Vì thế mà chúng tôi thấy rằng phương pháp đó có những hạn chế là: 1. Chưa khắc sâu được khái niệm nên học sinh hay nhầm lẫn giữa tập hợp số thực và tập hợp số phức. 2. Vì hệ thống bài tập dễ nên học sinh chủ quan, không chịu rèn luyện kĩ năng nên tính toán hay sai. Học sinh cam thấy bài tập đơn điệu, nhàm chán, không đáp ứng được nhu cầu học của học sinh khá, giỏi. 3. Học sinh không thấy được mối liên hệ với các bài toán ở lớp dưới, không biết qui lạ về quen, không được củng cố, ôn tập một số dạng toán cơ ban ở lớp 10. 4. Học sinh không biết xây dựng hê ê thống bài tâ êp từ mô tê bài tâ êp đã cho. B. Giải pháp mới cải tiến. Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi đã cai tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức thông qua các giai pháp như sau: 1) Cung cấp lí thuyết về số phức: Khái niệm số phức, phần thực, phần ao của số phức, hai số phức bằng nhau, số phức liên hợp, biểu diễn hình học của số phức và môđun của số phức, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên tập số phức, căn bặc hai của số thực âm, căn bậc hai của số phức, giai phương trình bậc hai với hệ số thực, hệ số phức trên tập hợp số phức. 2) Chia thành nhiều dạng bài tâ pê , có những bài tập nâng cao. Ứng với mỗi dạng bài tâ pê , chúng tôi hướng dẫn học sinh phương pháp giai, bài tập minh họa và cho bài tâ êp tự luyện. 3) Hướng dẫn cách sáng tạo ra bài tâ êp mới. Ưu điểm của giải pháp mới: 1. Học sinh được củng cố, khắc sâu kiến thức cũ. 2. Ứng với mỗi dạng bài tâ pê , học sinh đều được tiếp cận với các khái niệm liên quan đến số phức, và các phép toán trên tập hợp số phức vì thế mà các khái niệm được khắc sâu thêm, tránh cho học sinh không bị nhầm lẫn. Qua các dạng bài, các em thấy được mối liên hệ của bài toán số phức với các bài toán đại số, hình học giai tích trong mặt phẳng đã được học ở lớp 10. Rèn luyê ên cho học sinh tư duy tổng hợp. 3. Cách sáng tạo ra bài toán mới, giúp học sinh biết qui lạ về quen. Học sinh không còn bỡ ngỡ khi giai các bài toán khó về số phức. Học sinh còn cam thấy hứng thú vì mình có thể tự ra được bài tâ pê . Khi các em tự ra được các đề toán các em sẽ nắm vấn đề của bài toán tốt hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giai. 4. Hê ê thống bài tâ pê tự luyê ên sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn phương pháp giai thích hợp nhất cho từng bài. Rèn luyê nê cho học sinh kĩ năng vâ ên dụng linh hoạt, sáng tạo. C. Phương pháp tiến hành I. GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC I.1. CÁC KHÁI NIÊÔM 1. Định nghĩa số phức 2 Mỗi biểu thức dạng a  bi , trong đó a, b  �, i  1 được gọi là mô êt số phức Đối với số phức z  a  bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z . Tâ pê hợp các số phức kí hiê uê là�. Chú ý:  Mỗi số thực a được coi là mô êt số phức với phần ao bằng 0: a  a  0i  Như vâ êy ta có � �.  Số phức bi với b  � được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)  Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ao; số i được gọi là đơn vị ảo. 2. Số phức bằng nhau Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ao tương ứng của chúng bằng nhau: a  c a  bi  c  di   b  d 3. Số phức đối và số phức liên hợp 2 Cho số phức z  a  bi , a, b  �, i  1  Số phức đối của z kí hiê êu là  z và  z   a  bi .  Số phức liên hợp của z kí hiê êu là z và z  a  bi . 4. Biểu diễn hình học của số phức Điểm M (a; b) trong mô êt hê ê trục tọa đô ê vuông góc của mă êt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z  a  bi . 5. Môđun của số phức Gia sử số phức z  a  bi được biểu diễn bởi M (a; b) trên mă êt phẳng tọa đô .ê Đô ê uuuu r dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiê êu là | z | . uuuu r | z |  | OM | hay | z | a 2  b 2 . Vâ êy: Nhâ ân xét: | z ||  z || z | . I.2. CÁC PHÉP TOÁN 1. Phép cô âng và phép trư Phép cô nê g và phép trừ hai số phức được thực hiê ên theo quy tắc cô êng, trừ hai đa thức. Tổng quát: (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i (a  bi )  (c  di)  (a  c)  (b  d )i 2. Phép nhân 2 Phép nhân hai số phức được thực hiê ên theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i  1 trong kết qua nhâ ên được. Tổng quát: (a  bi ).(c  di)  (ac  bd )  ( ad  bc)i. Chú ý:  Phép cô nê g và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cô nê g và phép nhân các số thực. 2 2  Cho số phức z  a  bi , a, b  �, i  1 . Ta có: z  z  2a ; z.z | z | . 3. Phép chia hai số phức c  di Với a  bi  0 , để tính thương a  bi , ta nhân ca tử và mẫu với số phức liên hợp của a  bi c  di (c  di )(a  bi ) ac  bd ad  bc   2  2 i 2 2 a  bi ( a  bi )( a  bi ) a  b a  b Cụ thể: . I.1.3. TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 2 Cho số phức z  a  bi , a, b  �, i  1  Tính chất 1: Số phức z là số thực  z  z  Tính chất 2: Số phức z là số ao  z   z  Cho hai số phức z1  a1  b1i; z2  a2  b2i; a1 , b1 , a2 , b2  � ta có:  Tính chất 3: z1  z2  z1  z2  Tính chất 4: z1.z2  z1.z2  z1  z1    ; z2  0  Tính chất 5:  z2  z2  Tính chất 6: | z1.z2 || z1 | . | z2 |  Tính chất 7: z1 | z1 |  ; z2  0 z2 | z2 |  Tính chất 8: | z1  z2 |  | z1 |  | z2 | I.1.4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC 1.Công thức nghiêm â của phương trình bâcâ hai 2 2 Xét phương trình bâ êc hai: az  bz  c  0 (a  0) có   b 4ac  TH1: a, b, c là các số thực  Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiê êm thực phân biê êt  Nếu   0 thì phương trình có nghiê êm kép thực z b 2a z b   2a 2  Nếu   0    i ( ) thì phương trình có 2 nghiê êm phức phân biê êt z b  i  2a  TH2: a, b, c là các số phức    0 thì phương trình có nghiê êm kép thực  z b 2a   0;   a  bi  ( x  iy ) 2 Khi đó phương trình có hai nghiê êm z b  ( x  yi ) 2a 2. Chú ý  Phương trình bâ êc hai trên tập hợp số phức với hê ê số thực luôn có 2 nghiê m ê là 2 số phức liên hợp. '  Khi b là số chẵn ta có thể tính  và công thức nghiê êm tương tự như trong tập hợp số thực. 2  Gọi z1 , z2 là 2 nghiê êm của phương trình az  bz  c  0 (a  0) a, b, c là các b  z  z  1 2  a   z .z  c 1 2 a số thực hoăc số phức. Khi đó ta có:  II. GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ II.1. CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán trên tập hợp số phức II.1.1.Dạng 1: Thực hiện các phép tính trên tập hợp số phức. Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của một số phức A. Phương pháp  Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức để tính toán giá trị các biểu thức.  Để xác định phần thực, phần ao và môđun của số phức z thì ta phai sử dụng các khái niệm liên quan đến số phức và các phép toán trên tập hợp số phức để biến đổi số phức z  a  bi (a; b  R ) . Khi đó: z có phần thực bằng a; phần ao bằng b; z  a 2  b 2  Trong khi tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. B. Bài tập minh họa Bài 1: Cho số phức z Tìm các số phức sau: 3 1  i 2 2   3 z; z 2 ; z ; 1  z  z 2 Lời giải: a) z 3 1 3 1  i z  i 2 2 2 2 2  3 1  3 1 2 3 1 3 z   i   i  i  i 2 2 4 4 2 2 2   b) 2 c) d)  z 3 3 3 2 2 3  3 1   3  3  1  3 1  1    i     3   i 3  i    i   i 2 2 2 2 2 2   2  2        1 z  z2  3  3 1 3  i 2 2  Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được. Qua bài tập này mục đích giúp học sinh nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toán đơn gian về phép cộng, phép trừ số phức và phép tính luỹ thừa của một số phức. Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: A 4  3i 1  i  1  i 4  3i B   2  3i   1  2i   C D 3  4i  1  4i   2  3i   3  2i   4  3i    1  2i   Lời giải: A a) 4i 3  2i 5  4i  4  3i   1  i    1  i   4  3i   1  i   1  i   4  3i   4  3i   1  7i 1  7i 27 161    i 2 25 50 50 Ngoài cách áp dụng quy tắc nhân chia số phức như cách làm trên, ta có thể tính bằng cách quy đồng mẫu số và thực hiê ên nhân chia như trong số thực.  4  3i    1  i  A  4  3i   1  i  2 2  7  22i  7  22i   7  i  27 161    i 7 i  7  i   7  i  50 50 Tương tự, ta có kết qua sau: 38 86  i 13 13 22 79 C  i 169 169 71 17 D  i 41 41 B  Nhận xét:  Bài tập trên giúp học sinh rèn kĩ năng tính toán bằng cách sử dụng phép nhân, phép chia số phức kết hợp với phép cộng và phép trừ.  Đây là dạng bài tập không khó đối với học sinh ngay ca với học sinh trung bình. Nhưng thực tế, trong quá trình giang dạy chúng tôi thấy rằng các em biết cách làm nhưng tính toán thường hay sai, nhất là đối với học sinh có kĩ năng tính toán kém và không cẩn thận. Vì vậy khi dạy phần này chúng tôi cho nhiều bài tập và hỏi các câu hỏi khác nhau để rèn cho học sinh kĩ năng nhận dạng bài toán, kĩ năng tính toán và trình bày bài cho khoa học.  Sau khi cho học sinh làm xong bài, chúng tôi thay đổi cách hỏi như sau: Tìm phần thực, phần ao của số phức và tính mô đun của số phức để khắc sâu cho học sinh các khái niệm: phần thực, phần ao, môđun của số phức.  Để học sinh ghi nhớ kĩ hơn, chúng tôi cho học sinh làm bài tập: Bài 3: Tìm phần thực, phần ao và tính mô đun của số phức z biết: a) z  2 i  1 i 2  2 b)  1  i   2  i  z  8  i   1  2i  z 2 z  1 i , n c) biết n là số tự nhiên thỏa mãn phương trình: log 4  n  3  log 4  n  9   3 11 8  1  i   2i  iz      1  i   1  i  d) Lời giải : a) Ta có: z  2 i   1 i 2    2  i 2 2    2i 2 1  i 2  5  i 2  z  5  i 2 Vậy z có phần thực bằng 5; phần ao bằng  2 và có môđun:  z  52   2  2 3 3 b)  1  i   2  i  z  8  i   1  2i  z 2  z  8  i   1  2i   10  15i  2  3i 8i  1  2i  1  2i   1  2i  5 z  22   3  13  3 z Vậy có phần thực bằng 2; phần ao bằng ; 2 c) Giai phương trình log 4  n  3  log 4  n  9   3 tìm được n  7 (thỏa mãn điều kiê ên) z   1  i   8  8i 7 Khi đó 2 2 Vậy z có phần thực bằng 8; phần ao bằng 8 ; z  8  (8)  8 2 d) Ta có: 11 8 8  1  i   2i  11      i   1  i   16  i 1  i  1  i  16  i  z  1  16i  z  1  16i i 2 2 Vậy z có phần thực bằng 1 ; phần ao bằng 16; z  (1)  16  257 Bài 4: Tính biểu thức sau: A  i109  i 43  i 60  i 54 B  1  i  i 2  i 3  i 4  ...  i 2014 C  1   1  i    1  i   ...   1  i  2 D  1 i 10  3i  1  i 3   10 5 10 Lời giải: 109 43 60 54 4.27 1  i 4.103  i 4.15  i 4.132  i  i  1  1  2 a) A  i  i  i  i  i Để làm bài toán trên, giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tính lũy thừa của i. Ta 2 3 4 5 4 6 4 2 có: i  1; i  i; i  1; i  i i  i; i  i i  1 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: Với mọi số tự nhiên n ta có: i 4n  1 i 4 n 1  i i 4 n  2  1 i 4 n 3  i n Như vâ êy: i   1;1; i; i , n  N * b) Ta có: 1  i 2015   1  i   1  i  i 2  i 3  i 4  ...  i 2014  1  i 2015 1  i 4.5033 1  i  1  i   B     i 1 i 1 i 1 i 2 2  Nhâ Ôn xét: Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài trên theo cách phân tích lũy thừa của i như ý a). Tuy nhiên, viê êc sử dụng hằng đẳng thức ở đây ta sẽ tính toán nhanh hơn và thuâ nê tiê ên hơn. c) Ta có C là tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là u1  1, công bô êi q  1  i Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có: 1 1 i 1  q11 1   1  i  C  u1   1 q 1 1 i i 11 Để tính biểu thức  1  i  11 11 giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tính một cách thuận tiện nhất.Trong quá trình giang dạy, chúng tôi hướng dẫn học sinh làm theo một trong hai cách sau:  Cách 1: Đối với học sinh học ban cơ ban Phân tích  1 i 11   1 i  2 5  1  i    2i   1  i   32i 5  32i 6  32  32i 5  Cách 2: Đối với học sinh học ban nâng cao 1    1   1 i  2   i   2  cos  i.sin  4 4 2    2 Phân tích Khi đó  1 i 11   2 11 11  11  i.sin  cos 4 4     32  32i  Thay vào biểu thức, ta có: C  32  33i  Nhận xét: Để làm bài tập này đòi hỏi học sinh phai có kĩ năng biến đổi biểuthức lượng giác và công thức tính tổng của cấp số nhân.Qua đó giúp học sinh ôn lại các kiến thức về công thức lượng giác, về cấp số nhân. d)  Cách 1: Áp dụng cho ban cơ ban Ta có:  1 i  10 3i   1 i  2 5   2i   32i 4. .i  32i 5    3  i  3  i   3 3  9i  3 3i  i   3  2  8i  2  2i 3   16 3  16i 5 3 2 2  1  i 3   10  1 i 3  10 3   1 i 3 3i  i 2     1  i 3    8  1  i 3  3 3 Thay vào biểu thức D ta có: D  32i.16i. 1  i 3  8 3 1 i 3   1  Cách 2: Áp dụng cho ban nâng cao Ta có: 7 7   1  i  2  cos  i sin  4 4      3  i  2  cos  i sin  6 6  4 4   1  i 3  2  cos  i sin  3 3   Thay vào D ta có: 35 35  5  5 5    i sin  i sin  cos  2  cos  2 2   6 6   D 40 40   210  cos  i sin  3 3    cos5  i sin 5  1  2 10 3  Nhâ Ôn xét: Qua các bài tâ pê trên, giáo viên nêu phương pháp tính các bài toán chứa các biểu thức sau:  1 i n    n ;  3  i ; 1 i 3  n  Cách 1: Phân tích 1 Σi     n 1 i  3 i   1  i 3    n n 2k  p 3 i  ; k ; n; p �;0 3k  p 1 i 3  ; k ; n; p 3k  p p 1 �,0 ; k ; n; p �,0 p 2 p 2  Cách 2: Biểu diễn dưới dạng lượng giác các biểu thức: n n n  n  1 i   1 i 3   3i  n  2  i sin  cos  4 4   n n    2n  cos  i sin  3 3   n n n    2n  cos  i sin  6 6   Với cách làm tương tự, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm bài sau: Hãy biểu diễn các biểu thức sau dưới dạng lượng giác: 1 i n ;    n 1 i 3 ; 3 i  n n  Trong tính toán trên tập hợp số phức, công thức nhị thức Niu-tơn (a  b) vẫn đúng khi ta thay hai số thực a; b bởi hai số phức. Để học sinh hiểu rõ hơn và biết áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn vào tính toán trên tập hợp số phức, chúng tôi cho học sinh làm bài tập sau: Bài 5: Tính tổng 0 2 4 2012 2014 a ) S1  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 1 3 5 2013 2015 S 2  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 0 4 8 2008 2014 b) S3  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 1 5 9 2009 2013 S4  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 0 3 6 2015 c) S5  C2015  C2015  C2015   C2015 Lời giải: a) Ta có: 0 1 2 2014 2015 (1  i) 2015  C2015  C2015 i  C2015 i 2   C2015 i 2014  C2015 i 2015 0 2 4 2012 2014 1 3 5 2013 2015   C2015  C2015  C2015   C2015  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015    C2015 i 2015 (1  i) 2015 Mặt khác : Vậy S1  1 1018 2  2    2  ; S2   2015 2015  1 1   i sin  cos   2018  2018 i 4 4  2 2  1 1018 2 b) Lại có: 0 1 2 2014 2015 22015  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 0 1 2 2014 2015 0  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 0 2 4 2012 2014 1 3 5 2013 2015  A  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015  22014 Vậy S3  S1  A 1 S A 1  1009  22013 ; S3  2   1009  22013 2 2 2 2  z  1  1 3 2 z  1  ( z  1)( z  z  1)  0  z     2  z   1   2 c) Gọi   cos 3 i 2 3 i 2 2 2  i sin 2 3 3 3 thì z  ; z   ; z   là các nghiệm của phương trình z3  1 3k 6k 3 k 1 6 k 2  0;1   3 k 2   6 k 4  0 k  1; n Nên 1      3;1     Xét f ( x)   1  x  f (1)  2 2015 2015 . Ta có: 2015 ; f ( )   C k 0 k 2015 2015 1 3 1 3 2 k    i; f ( )   C2015  2 k   i 2 2 2 2 k 0 k  f  1  f     f   2   22015  1 (1) Mặt khác: f  1  f     f   2   671  C k 0 k 2015  1     3k 6k 671   C m0 671 k   C2015  1   3k   6 k   3S5 m 2015  1   3m 1  6 m 2 671   n0 n C2015  1   3n  2   6 n 4  (2) k 0 Từ (1)(2)  S5  22015  1 3  Thay cho việc hỏi tính tổng S1; S2 ; S3 ; S4 như trên, chúng tôi có thể hỏi dưới dạng chứng minh, rút gọn. II.1.2.Dạng 2: Tìm căn bâ Ôc hai của mô Ôt số phức A. Phương pháp: Cho số phức z  a  bi, a, b  �. Tìm căn bâ êc hai của z  Nếu z  0 thì z có mô tê căn bâ êc hai là: 0  Nếu z  a  0 thì z có hai căn bâ êc hai là:  a i a  Nếu z  a  0 thì z có hai căn bâ êc hai là:  Nếu z  a  bi, b  0  Gọi z1  x  yi  x, y  � là căn bâ êc hai của z .  x2  y2  a z  a  bi    2 xy  b  Khi đó ta có: 2 1  Giai hê ê tìm x, y. Từ đó kết luâ ên số căn bâ êc hai của z Chú ý: Mỗi mô tê số phức khác 0 luôn có hai căn bâ êc hai là hai số đối nhau. B. Bài tâ Ôp minh họa Bài 1:Tìm căn bâ êc hai của số phức sau: a) w  4  6i 5 b) w  1  2i 6 Lời giải: a) Gọi z  x  yi  x, y  � là mô êt căn bâ êc hai của  x  yi  Khi đó ta có: 2  x 2  y 2  4  4  6i 5    2 xy  6 5 Giai hê ê phương trình tìm được nghiê m ê :  x  3   y  5  x  3   y   5  Vâ yê số phức đã cho có hai căn bâ cê hai là: z1  3  i 5; z2  3  i 5 b) Tương tự, ta có số phức w  1  2i 6 có hai căn bâ êc hai là: z1  2  i 3; z2   2  i 3 II.1.3. Bài tâ Ôp tự luyê Ôn Bài 1: Tính biểu thức sau: i  i 3  i 5  ...  i 2015 A 2 4 6 i  i  i  ...  i 2016 B  1  (1  i ) 2  (1  i) 4  ...  (1  i ) 20 C  (1  i )2015 2015 1  i  D  1  i  16 16 1  i 3  1  i 3  E     1  i 3   1  i 3  Bài 2: Tìm phần thực, phần ao, từ đó tính môđun và tìm căn bâ êc hai của số phức sau: 2 1 1  i  10 a. z     (1  i )  (2  3i )(2  3i )  i 1  i  b. z  1  i  2i 2  3i 3  ...  2015i 2015 1  i  i 2  ...  i 2015 1  2i  3i  4i  ...  2015i (1  i)100 d. z  ( 3  i)91 c. z     e. z   cos  i sin i15 (1  3)17 3 3  Bài 3: 0 5 10 2010 2015 a) Tính tổng : S  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 b) Rút gọn: C40n  C44n  C48n   C44nn 4  C44nn C41n 1  C45n 1  C49n1   C44nn13  C44nn11 II.2. CHUYÊN ĐỀ 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện cho trước II.2.1. Phương pháp:  Ví dụ mở đầu: Học sinh đã được luyê ên tâ êp về các phép toán trên trường số phức nên tôi yêu cầu học sinh làm ví dụ sau: 1) Thực hiê ên phép tính để tìm số phức z biết: (2  i ).z  2(1  2i )  7  8i 1 i . 2) Cho z  a  bi , a, b  �. Tìm a, b biết: (2 z  i)(1  i )  ( z  1)(1  i)  2  2i . Lời giải: 1) (2  i).z   z 2(1  i )(1  i )  7  8i  (2  i).z  4  7i 2 4  7i (4  7i )(2  i)  z  z  3  2i 2i 5 2) Cho z  a  bi , a, b  � z  a  bi , từ gia thiết bài toán ta có: (2a  2bi  1)(1  i)  (a  bi  1)(1  i )  2  2i  3a  3b  (a  b  2)i  2  2i 1  a    3a  3b  2 3      a  b  2  2  b  1  3  Nhâ Ôn xét: Với cách dạy cũ tôi cho học sinh đề bài là: Tìm số phức z biết: 1) 2) (2  i ).z  2(1  2i )  7  8i 1 i (2 z  i)(1  i )  ( z  1)(1  i)  2  2i . Học sinh khá giỏi có thể phát hiê ên ra cách làm của ý 1 nhưng ý 2 học sinh rất khó định hướng cách làm. Nhưng khi thay đổi cách hỏi thì ngay ca học sinh có lực học trung bình cũng có thể định hướng được cách làm bài. Sau khi học sinh làm song bài tôi mới thay đổi lại câu hỏi như trên, từ đó đưa ra phương pháp cụ thể của dạng câu hỏi tìm số phức z như sau:  Nếu trong điều kiê ên đề bài chỉ có duy nhất mô tê kí hiê êu z hoă êcz thì ta quy về bài toán thực hiê ên phép tính.  Nếu trong điều kiê ên đề bài có nhiều hơn mô tê kí hiê êu z hoă êcz hoă êc có kí hiê êu môđun ta giai theo phương pháp sau:  Gọi z  a  bi , a, b  �.  Sử dụng gia thiết bài toán và khái niê êm về số lập hê ê hai phương trình với hai ẩn a,b  Giai hệ phương trình lập được trên tập hợp số thực và kết luận.  Có học sinh khá làm ý 1 bằng cách gọi z  a  bi , a, b  �. Tôi đã phân tích ca 2 cách làm và các em nhâ ên thấy ngay là viê êc quy về thực hiê ên phép toán sẽ đơn gian hơn. II.2.2. Bài tâ Ôp minh họa Tìm số phức z biết: ( z  1).(2  i) 3  i  2 (1) z  2i a) 2 b) z  z  0 (2) 2 c) | z | 5 và ( z  i ) là số ao. d) | z  1| 1 và (1  i)( z  1) có phần ao bằng 1. e) z  2 z là số thực và 2 z 1  z có mô êt acgumen là 3 . Lời giải: a) Điều kiê ên z  2i . Khi đó (1)  2( z  1)(2  i)  (3  i )( z  2i )  ( z  1)(4  2i )  3 z  6i  iz  2i 2  (1  3i ) z  2i  4  z 2i  4 (2i  4)(1  3i) 1 7    i 1  3i 10 5 5  z 1 7  i 5 5 (thỏa mãn điều kiê ên). b) Gọi z  a  bi , a, b  � z  a  bi . Từ gia thiết ta có: (a  bi )2  (a  bi )  0  (a 2  b 2  a )  (2ab  b)i  0  b  0  2  a  a  0   a  1   a  1  a  b  0;  ;  b  0  2    a 2  b2  a  0  2 3    b  2 ab  b  0 4   Vâ êy số phức cần tìm là: z  0; z  1; z  1   a  2  b   3  2 1 3  i 2 2 2 2 c) Gọi số phức z cần tìm dạng: z  a  bi , a, b  � | z | a  b . Từ gia thiết 2 2 ta có: | z | 5  a  b  5 (1) ( z  i )2  (a  bi  i )2  a 2  (b  1) 2  2a (b  1)i 2 2 2 Để ( z  i ) là số ao thì a  (b  1)  0 (2) Từ (1) và (2) ta có hê ê phương trình: 2 2  a  b  5  2 2  a  (b  1)  a2  5  b2 a   2 a   1    b  1   ;  b  1  b  2  b  2  Vâ êy số phức cần tìm là: z   2  i; z   1  2i . 2 2 d) Gọi số phức z cần tìm dạng: z  a  bi , a, b  � | z | a  b . Từ gia thiết ta 2 2 có: | z  1| 1  ( a  1)  b  1 (1) (1  i)( z  1)  (1  i )( a  bi  1)  a  1  b  (a  b  1)i có phần ao bằng 1 khi a  b  1  1 (2) Từ (1) và (2) ta có hê ê phương trình: a  2  b a  2 a  1  ;   a 2  b 2  2a  1  1  2b 2  2b  0   b  1     b  0    b  1  b  0  a  b  2 a  2  b Vâ êy số phức cần tìm là: z  2; z  1  i . 2 2 e) Gọi số phức z cần tìm dạng: z  a  bi , a, b  � | z | a  b . Từ gia thiết ta có: z 2  2 z  (a  bi ) 2  2(a  bi )  ( a 2  b2  2a)  (2ab  2b)i là số thực khi 2ab  2b  0 b  0   a  1 +) b0 z a z 1 1 1   a z z a (loại z không thể có mô êt acgumen là 3 ) a  1  z  1  bi  z  +) Vì z 1 z 1 2  b2  1 b    z 1  b2  1  b2 1  b2  có mô êt acgumen là 3 nên  i    1  cos( )  2 3  1 b  b 3  b     sin( )  1  b 2 3 Vâ êy z  1  3i  Nhâ ân xét: Với dạng toán này học sinh chỉ cần nắm được các khái niê êm cơ ban của số phức như: hai số phức bằng nhau, mođun của số phức, điều kiê ên để số phức là số ao, số thuần ao, số thực, xác định được phần thực, phần ao của mô êt số phức, dạng lượng giác của số phức và đă êc biê êt là các phép toán và sự cẩn thâ nê khi tính toán là các em có thể biết cách làm và làm đúng . Sau khi học sinh đã làm tốt được dạng toán trên chúng tôi thay đổi đề để bài tâ êp không đơn điê êu và quan trọng là giúp các em có thể linh hoạt để định hướng cách giai khi gă êp những bài tâ pê cùng dạng. Cụ thể là: a) Tính mođun của số phức w  z  1  i b) Tính tổng lũy thừa bâ êc 4 của tất ca các số phức vừa tìm được. 2 c) Tìm phần ao của z hoă êc hỏi là | z | 5 và ( z  i ) là số thuần ao. 2015 d) Tìm phần ao của z e) Viết dạng lượng giác của z. II.2.3. Bài tâ Ôp vâ Ôn dụng Bài 1: Tìm số phức z biết | z  2i | 5 và điểm biểu diễn số phức z thuô êc đường thẳng (d) có phương trình: 3x –y +1 = 0. Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn; 1  z | z  i |  (iz  1) . Tính 2 2 w  z 4 z 1 2 Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn: z  (1  3i )  iz. Hãy xác định phần thực, phần ao của số phức z. (i  1) z  Bài 4: Cho | z || 2 z  3  i | và 1  3  (1  3)i có mô êt acgumen bằng 6 . Hãy biểu diễn số phức z trong mă tê phẳng phức. 3 Bài 5: Tìm số phức z thoa mãn: z là số thực và z  2       Bài 6: Tìm số phức z thoa mãn:  z 1 1 z i z  3i 1 zi II.3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC 2 II. 3.1. Phương pháp giải phương trình az  bz  c  0 (a  0)  Tính   b 4ac  Dựa vào giá trị của  để xác định công thức nghiệm (dựa vào mục I.1.4 ) II. 3.2. Bài tâ Ôp minh họa Bài 1: Giai các phương trình sau trên tập hợp số phức: 2 a) z 2  2 z  5  0 b) ( z 2  i)( z 2  2iz  1)  0 c) z 2  (1  3i ) z  2(1  i )  0 Lời giải: a) z 2  2 z  5  0 ' 2 Ta có    4  4i  z  1  2i z 2  i   2 b) ( z 2  i)( z 2  2iz  1)  0 z  2iz  1  0 2 1 1 1  i  z  i  0  z  (2i )  z 2  (1  i) 2  z 2    2 2  2 2 2 1 1  z  2  2 i   z   1  1 i  2 2 z 2  2iz  1  0  ( z  i )2  0  z  i c) z 2  (1  3i ) z  2(1  i )  0 2 2 Ta có   (1  3i)  8(1  i)  2i  (1  i) nên phương trình có nghiê êm là: 3i  1  1  i  z   z  2i 2    z  i  1  z  3i  1  1  i  2 Nhâ ân xét: '  Ngoài cách giai chuẩn mực là tính  hoă êc  sau đó đọc nghiê êm theo công thức, thì ngay ở ý a tôi đã hướng dẫn học sinh cách làm như sau: z 2  2 z  5  0  ( z  1)2  4  0  ( z  1) 2  4i 2  0  ( z  1) 2  4i 2  ( z  1) 2  (2i) 2  z  1  2i .  Từ đó chuyển sang ý b, học sinh sẽ định hướng ngay được cách làm tắt như trên. Tôi cũng lưu ý cho học sinh là chỉ nên làm tắt với những trường hợp đọc nhanh được hằng đẳng thức. Bài 2: Giai các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) z 3  8  0 b) z 4  z 3  6 z 2  8 z  16  0 c) ( z  3) 2 .( z  3) 2  4 z 2  0 2 z i d)  1  z i  Lời giải: a) z 3  8  0  ( z  2)( z 2  2 z  4)  0