Skkn các phương pháp tính tích phân

  • Số trang: 35 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 34 |
  • Lượt tải: 0
nguyen-thanhbinh

Đã đăng 8358 tài liệu

Mô tả:

TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH. 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN. 4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN PHẦN 2: TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: A. Phương pháp: Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa. B. Ví dụ: 1 dx VD1: Tính tích phân I = �e2x - ex . 0 Giải : 1 dx = Biến đổi I về dạng I = �x x e (e + 1 ) 0 1 [(ex + 1) - ex ]dx � ex (ex + 1) 0 1 1 1 ( x - x )dx =� e e +1 0 1 = 1 ex + 1 - ex ( )dx � ex ex + 1 0 1 = �(e- x - 1 + 0 ex )dx e +1 x = (- e- x - x + ln ex + 1)10 = VD2: Tính caùc tích phaân sau: 2 2 x  2x I  a/ � x3 dx; 1 4 b/ x J� (3x  e 4 )dx. 0 Giaûi: 1 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH 2 2 2� �1 2 � � dx  � ln | x |  �  (ln 2  1)  (ln1  2)  ln 2  1. a/ Ta coù: I  � � 2� x x � � x �1 1� 4 x �3 � b/ Ta coù: J  � x 2  4e 4 �  (24  4e)  (0  4)  28  4e. �2 �0 1 x5 I  dx. VD3: Tính tích phaân: � 2 x  1 0 Giaûi: Từ x 5  x3 (x 2  1)  x(x2  1)  x. 1 1 x � � 1 1 1 1 �3 � 1 x x 2 dx  � x 4  x 2  ln(x 2  1)]�  ln 2  . Ta ñöôïc: I  � � � 4 2 2 4 x  1� � �0 2 0� / 2 VD4: Tính sin x �cos x  sin x dx. 0 Giaûi: sin x �cos x  sin x � (A  B)cos x  (A  B)sin x  A  B� � cos x  sin x cos x  sin x �cos x  sin x � AB 0 � 1 � AB . Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: � A B 1 2 � Ta coù: Vaäy: / 2 / 2 / 2 sin x 1 � 1 cos x  sin x � � 1 �   dx  �  x  ln(cos x  sin x)� �cos x  sin x dx  �� � 2(cos x  sin x � � 2 2 �0 0 0 �2   . 4 C.Bài tập: Tính:  4 tg 2 x  2 1)  2 dx  sin x 2) 4  tg x dx 2  6  ( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx 0 4  3 3)  3 4)  | x-2 | dx 0 2 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH 4 5) 3 4 3  x 2  6 x  9 dx 6) 2  | x2-4 | dx 7)  cos 2 x  1 dx  4 4 II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b] 1) DẠNG 1: Tính I  � a A. Phương pháp: t u ( x)  dt u ' ( x )dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t) +) Đặt +)Đổi cận : x b t u(b)  x a t u(a) +) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b u (b) a u (a) I   f  u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) 1 ,ln x) thì đặt t = lnx. x +, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x). +, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu. Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý. B. Ví dụ: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( CHÚ Ý: e2 Tính tích phân I = VD1 dx �x ln x . e Giải dx x x = e � t = 1, x = e2 � t = 2 Đặt t = ln x � dt = 2 �I = dt �t = ln t 2 1 = ln2. 1 Vậy I = ln2 . VD2: Tính tích phân I = p 4 cosx �(sin x + cosx) 3 dx . 0 Hướng dẫn: p 4 I = cosx �(sin x + cosx) 3 0 ĐS: I = p 4 dx = 1 �(tan x + 1) 3 0 . dx . Đặt t = tan x + 1 cos2 x 3 . 8 VD3:Tính tích phân: 3 TRẦN THỊ NHUNG 3 I = TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH dx 2x + 3 . �(1 + x) 1 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 1 VD4. Tính tích phân I = 3- x � 1 + xdx . 0 Hướng dẫn: 3 3- x t2dt Đặt t = ; đặt t = tan u L � L 8� 2 2 1+ x (t + 1 ) 1 p ĐS: I = - 3 + 2. 3 Chú ý: 1 3- x dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. Phân tích I = � 1 + x 0 VD5:: Tính tích phaân : I  7 x3dx �3 1  x2 0 Giaûi: 3t 2 dt Ñaët t  x  1 � t  x  1, khi ñoù: 3t dt  2xdx � dx  . 2x x= 0 � t = 1 � Ñoåi caän: � x= 7 � t  2 � 3 2 3 2 2 x3dx x3 .3t 2dt   3t(t 3  1)dt  3(t 4  t)dt. Ta coù: 3 2xt 1  x2 2 2 �t 5 t 2 � 141 Khi ñoù: I  3� (t  t)dt  3 �  �  . 5 2 10 � � 1 1 4 C.Bài tập: Tính các tích phân sau:  2 1) cos3 x sin 2 xdx ;  0  2 5) sin 2x(1  sin 2 x)3dx ;  0  2  4 3) sin 4x dx ;  1  cos2 x 0 2) cos5 xdx ;  0  4 1 6) dx 4  cos x 0 e ; 7)  1 1  ln x dx ; x 1 3 2 4) x 1  x dx . 0 8)  4 1 cos xdx . 0 4 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH 1 e 1  ln 2 x dx ; 9)  x 1 5 3 6 10) x (1  x ) dx ; 11) 0  6 cos x 6  5sin x  sin 0 2 x dx ; 12). 3 tg 4 x dx  cos 2x 0  4  2 13) cos x  sin x dx ;  3  sin 2 x 0 sin 2 x 14)  cos 2 x  4 sin 2 x 0  3  2 ln(tgx ) dx ; 17)   sin 2 x 16)  sin 2 x dx ; 2 0 ( 2  sin x ) dx . x x 3 ln 3 e  2e ln 5 dx ; 18) 4 15)   4 8 (1  tg x )dx ; 19) 0  2 sin x  cos x dx .   1  sin 2 x 4  2 20) sin 2 x  sin x dx ; 0 1  3 cos x 21)  2 sin 2 x cos x ; dx  0 1  cos x 22)  2 sin x (e  cos x ) cos xdx ; 0 2 23)  1 x 1 x  1 1  3 ln x ln x 24)  dx ; x 1 e dx ;  4 2 25) 1  2 sin x dx .  0 1  sin 2 x 2) DẠNG 2: b f ( x )dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b] A. Phương pháp: I  � a Cách thực hiện: +) Đặt x  (t )  dx  ' (t )dt ( trong đó  (t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp: ảnh của  (t ) nằm trong tập xác định của f và  ' (t ) liên tục.) +) Đổi cận : x b t   x a t  +) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b  a  I  f ( x)dx   f   (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: * Nếu f(x) có chứa: - p p� � +, (a2 - x2)n thì đặt x = a .sin t với t �� ; � , hoặc x = a .cost với t �[ 0; p] . �2 2� 5 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - p p� � � ; �, hoặc x = a .cot t với t �( 0; p) . +, (a2 + x2)n thì đặt x = a .tant với t �� � �2 2� a a 2 2 n +, ( x - a ) thì đặt x = hoặc x = . sint cost a+ x a- x +, thì đặt x = acos2t ; a- x a+ x +, (x - a)(b - x) thì đặt x=a+(b-a)sin2t B. Ví dụ VD1 :Tính tích phân I = 1 2 1 � 1- x2 0 Giải dx . p p � - ; �� dx = costdt Đặt x = sin t, t �� � 2 2� � 1 p x = 0 � t = 0, x = � t = 2 6 p 6 �I= cost dt = sin2 t � 10 p 6 = p 6 cost �cost dt 0 p p p - 0= . 6 6 p Vậy I = . 6 �dt = t 06 = 0 2 VD2: Tính tích phân I = � 4- x2 dx . 0 Hướng dẫn: Đặt x = 2sin t ĐS: I = p . 1 VD3:Tính tích phân I = dx �1 + x 2 . 0 Hướng dẫn: � p p� - ; � � dx = (tan2 x + 1)dt � Đặt x = tan t, t �� � � � � 2 2� x = 0 � t = 0, x = 1 � t = p 4 �I = VD4:Tính tích phân I = �x 2 0 tan t + 1 dt = 2 t p Vậy I = . 4 �1 + tan 0 3- 1 2 p 4 p 4 p �dt = 4 . 0 dx . + 2x + 2 Hướng dẫn: 6 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH 3- 1 dx I = � 2 = x + 2x + 2 0 3- 1 dx �1 + (x + 1) 2 . 0 Đặt x + 1 = tan t p ĐS: I = . 12 2 2 VD5: Tính tích phaân : I  � 0 x2 1  x2 dx. Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt Laïi coù: x2dx 1  x2  x= 0 � t = 0 � � 2  vôùi � x= �t  � � 2 4 .Ñoåi caän: sin2 t.costdt sin 2 t.costdt sin 2 t costdt 1    (1  cos2t)dt. cost cos t 2 1  sin 2 t / 4 1 / 4 1� 1 � (1  cos2t)dt  � t  sin 2t � Khi ñoù: I  � 2 0 2� 2 �0 VD6: Tính tích phaân : I  2/ 3 �x 2   1  . 8 4 dx x2  1 Giaûi: 1 cos t , khi ñoù : dx   2 dt sin t sin t  � x= 1 � t = � � 2 Ñoåi caän: � 2  � x= �t  3 � 3 1 cos tdt  / 2 / 2   / 2 sin 2 t  � dt  t  / 3  � 1 6 Khi ñoù:  / 3 / 3 1 sin t 1 sin2 t Ñaët x  0 ax dx, (a  0) ax VD7: Tính tích phaân : I  � a 7 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Ñaët x  a.cos2t, khi ñoù: dx  2a.sin 2tdt. Giaûi:  � x= -a � t = � 2 �  � x=0 � t  � 4 Ñoåi caän: ax a  a.cos2t dx  (2a.sin 2tdt)  cot t (2a.sin 2tdt) ax a  a.cos2t Laïi coù:  4a.cos2 t.dt  2a(1  cos2t)dt. / 2 / 2 � 1 � � � (1  cos2t)dt  2a � t  sin 2t �  a � 1  �. Do ñoù: I  2a � 2 4� � � � / 4 / 4 VD8: Tính tích phaân : I  / 3 cosdx �sin2 x  5sin x  6 / 6 Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx 1 �  x= � t= � � 6 2 Ñoåi caän: �  3 � x= � t  � 3 2 cosdx dt dt  2  Ta coù: 2 sin x  5sin x  6 t  5t  6 (t  2)(t  3) B � [(A  B)t  2A  3B]dt �A �  dt  � (t  2)(t  3) �t  3 t  2 � AB0 A 1 � � �� 2A  3B  1 B  1 � � Töø ñoù: � Suy ra: cos xdx 1 � �1 �  dt. � sin x  5sin x  6 �t  3 t  2 � 2 3/2 1 � t 3 �1 Khi ñoù: I  ��  dt  ln � t 3 t 2� t 2 1/ 2 � 3/2  ln 1/ 2 3(6  3) 5(4  3) C.Bài tập: Tính các tích phân sau: 8 TRẦN THỊ NHUNG 1 x dx 1)  4 x  x2  1 0 5) 2 3 x 2 9)  2  0 TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH  2 1 2) dx  1  cos x  sin x 0 3 1 x2  1 6) dx   0 7)) 2 x2 1  x2 1 9  3x 2 dx x2 1 5 dx 8) cos x  11) 1 2 1 x 0 1 x4 dx 10)  1 x6 0 2 2 4) x 4  x dx dx  (1  x ) 1 cos x dx 7  cos 2 x 1 3) 2 2  1  cos 0 2 dx x x 2 3 1 x2  1 dx dx 2  1 x  2x  2 0 12)  dx 2 x x  1 14)  dx . 0 1  1  3x x 5 1 III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: A. Phương pháp: 13)  * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx. * Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau: d(a.x + b) (a � 0) . +, d(a.x + b) = a.dx � dx = a d(aex + b) x x +, d(ae + b) = ae .dx � dx = . a.ex d(sinx) d(cosx) +, d(sinx) = cosx.dx � dx = ; d(cosx) = - sinx.dx � dx = . cosx - sinx dx dx 1 d(a.x + b) 1 = = ln(a.x + b) . . +, d(lnx) = a.x + b a a.x + b a x x.dx 2 2 +, d( x + a ) = . x2 + a2 B.Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 1 1) dx �2007.x + 2008 ; 2) 0 p 4 e 3) 2 �sin x.cosxdx; e .dx ; 3e2x �4 1 0 x p 4 cot x.dx . 4) � p 6 C. Bài tập Tính các tích phân sau: 1 1)  1 x 0 e 1 2 x2 3 ; 2  ln x 6) � dx ; x 1 2) ( 0 x2 ) dx; 2  x3 e2 dx 7)  ; e x 1  ln x 1 3)  1 x 0  3 1 2 x2 3 dx ; 8) sin x dx ;  cos3 x 0 1 2 x 4) xe dx ; 0 9)  3 sin x e 3 2 x 5) x e dx . 1 1 cos x dx ; 0 10) dx . +3 �2e x 0 IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: A. Phương pháp: Công thức tích phân từng phần: 9 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH b b u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x) a  v( x).u ' ( x) dx b a b a b udv  u.v  a  vdu Hay: b a a Cách thực hiện: +) Đặt u u(x) du u' (x)dx  dv v' ( x)dx v v( x) b b +) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : udv  u.v  a  vdu b a a Chú ý: +)Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp. b +)Hơn nữa, tích phân �vdu phải tính được. a +)Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b b �P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e ax a a .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt a u = P(x) . b ii/ Nếu gặp �P(x) ln xdx thì đặt u = ln x . a b b �e ax iii/ Nếu gặp .sinaxdx , a �e ax .cosaxdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt a u = eax . B. Ví dụ: 1 VD1:Tính tích phân I = �xe dx . x 0 Giải �du = dx �u = x Đặt � (chọn C = 0) �dv = ex dx � � � � �v = ex � � 1 � 1 �xe dx = xe x x 1 0 - 0 VD2Tính tích phân I = �e dx = (x x 1)ex 1 0 = 1. 0 e �x ln xdx . 1 Giải 10 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH dx � du = � �u = ln x � x �� Đặt � � � 2 �dv = xdx � x � � v= � � 2 e e e 2 2 x 1 e +1 � �x ln xdx = ln x - �xdx = . 2 21 4 1 1 VD3Tính tích phân I = p 2 �e x sin xdx . 0 Giải u = sin x �du = cosxdx � � � � Đặt � � x x � � �dv = e dx �v = e p 2 �ex sin xdx = ex sin x �I = 0 p 2 x p - p �ex cosxdx = e2 - J . 0 cosxdx = ex cosx p 2 0 0 � I = e2 - (- 1 + I) � I = p 2 u = cosx � �du = - sin xdx � Đặt �dv = ex dx � � � � �v = ex � � �e �J = p 2 0 p 2 + �ex sin xdx = - 1 + I 0 p 2 e + 1. 2 2 ln(1  x) dx. 2 x 1 VD4:Tính tích phaân: I  � Giaûi: 1 � du  dx �u  ln(1  x) � � � 1  x � � Ñaët: � dx 1 dv  2 � � v x � � x 2 2 2 1 1 1 1 � �1 dx   ln3  ln 2  � dx Khi ñoù: I   ln(x  1)  � � � x x(x  1) 2 x 1  x � � 1 1 1 2 1 3   ln3  ln 2  (ln | x |  ln(x  1))   ln 3  3ln 2. 2 2 1 VD5:Tính tích phaân: 1 0 (x 2  x)e2x dx 11 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Giaûi: 1 0 (x 2 2x  x)e dx .  u  x2  x  2x  dv  e dx Ñaët 1 2x 2  I = 2 e (x  x) 1 2x 1 0 I1 =  2x  I1 = 2 e (2x  1)  u  2x  1  2x  dv  e dx , Ñaët dx 1 =  1 1 (2x  1)e2xdx e2  I1 2 0   0 (2x  1)e 1  0 1 2x e dx 0  1 1 3e2  1  (e2  1) e2 . 2 2   VD6:Tính tích phaân:  du  2x  1 dx   1 2x v  e  2 0  1x 5  du  2x  1dx   1 2x  v  2 e  1 1 1  (3e2  1)  e2x 2 2 Vaäy I = e2  0 1 2 e2 e  2 2 3 .e x dx Giaûi: 0 3 I =  1x5 .e x dx . Ñaët t = –x3  dt = –3x2dx ,  x=0  I=   t = 0 , x = –1  t = 1 0 t  1 1 1 t 1 1 ( t).e   3  dt  3 0 t.e dt  3 I1 .  u  t t  dv e dt Ñaët  t  I1 = e .t 1  0 1 t 0 t e dt .  du dt t  v e   1 t e dt 0  Vôùi I1 = e  et VD7:Tính tích phaân: I  1 0 / 2 �(x 2 1. 1 3 Vaäy I =  I1  1 3  1)sin xdx. 0 Giaûi: �u  (x 2  1) du  2xdx � � � Ñaët: � v   cos x dv  sin xdx � � 2 / 2 Khi ñoù: I   (x  1)cos x 0 2 / 2 / 2 0 0 �x cos xdx  1  2 �x cos xdx (1) 12 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Xeùt tích phaân J  / 2 �x cos xdx. 0 du  dx �u  x � �� dv  cos xdx v  sin x � � Ñaët: � / 2 Khi ñoù: J  xsin x 0  / 2  / 2 �sin xdx  2  cos x 0  0 � �2  1 2 (2) � � Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I  1  2 �  1 �   1. VD8:Tính tích phaân: 1 0 xe x dx Giaûi: 1 0 xe  x dx . Ñaët t = x  t2 = x  2tdt = dx x=1  t=1 , x=0  t=0  I= 1 2 t t e 2tdt 0  1 t 3  I1 = e .t 0 1 3 t t e dt 0  2 1 0  I2 = 1 01  2 et t dt e  2I3 0  u  t t  dv e dt Ñaët   I3 = et .t 1  0 dt . . vôùi I3 = 1 t 0 e t dt .  du dt t  v e   1 t e dt 0  1 t 2 0 e .t  du  2tdt t  v e  dv e dt 1 . Vôùi I2 =   du 3t 2dt  t  v e   t et .t 2 . Ñaët  3 et .t2 dt e  3I2  u  t 2 Ñaët  2I1  u  t3  t  dv  e dt e  et 1 e  (e  1) 1 0 Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e  e2x sin 2 xdx. VD 9:Tính tích phaân: I  � 0 Giaûi: 13 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH  2x 2 Bieán ñoåi I veà daïng: I   e sin xdx  0  1  2x e (1  cos2x)dx 2 0 (1)   1 2x e2  1 e dx  e   Xeùt tích phaân: I1  � 2 2 2 0 0  e2x cos2xdx Xeùt tích phaân: I 2  � 2x (2)  0 du  2sin 2xdx � �u  cos2x � � � 1 2x Ñaët: � v e dv  e 2x dx � � � 2   1 2x e2  1  2x 2x I  e cos2x  e sin 2xdx   � e sin 2xdx Khi ñoù: 2 � 2 2 2 0 0 0 (3)  e2x sin 2xdx Xeùt tích phaân: I 2, 1  �  0 du  2 cos2xdx � �u  sin 2x � � � 1 2x Ñaët: � 2x v e dv  e dx � � � 2   1 2x I 2, 1  e sin  � e2x cos2xdx  I 2 . Khi ñoù: 2 0 0 44 2 4 4 1 3 (4) I2 Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: I 2  e2  1 e2  1   I2 � I 2   . 2 2 4 4 (5) 1 e2  1 e2  1 1 Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: I  [  (  )]  (e2   1). 2 2 2 4 4 8 t  I1 = e .t 1  0 1 t e dt 0  e  et 1 0 1. Vaäy I = 2 C. Bài tập Tính tích phân 1)  3 x  sin x dx  cos2 x 0  2) x sin x cos xdx 0 2  4 3) x(2 cos2 x  1)dx  0 2 4) ln(1  x) dx x2 1  14 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH 1 2 2x 5) (x  1) e dx 2 6) (x ln x) dx 0 1 9)) e  2 e 7)) cos x.ln(1  cos x)dx 8)  1 0 ln x ( x  1) 1 e 2 dx 1 2 xtg xdx 2x 10) ( x  2)e dx 0 0 IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ A Phương pháp: a -Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : f(x)dx 0 a - Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a a 0 f(x)dx 2f(x)dx . - Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì   f ( x) dx f ( x )dx vôùi   R + vaø a > 0 x  a 1  0 - Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì b b a+b �x.f(x)dx = 2 .�f(x).dx a a B. Ví dụ VD1: Tính tích phân 1/ 2 1 x I � cos x.ln( )dx 1  x 1/ 2 1 x ) thỏa: Giải: nhận xét hs f(x) cos x.ln( 1 x * Liên tục trên [-1/2;1/2] * f(x) +f(-x) =......= 0 Theo tc 1 ta được I=0 VD2 :Tính tích phân p 2 I= �cosx.ln(x + x2 + 1)dx - p 2 VD3 Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = 2 - 2.cos2x . 3p 2 Tính tích phân I = �f(x).dx - 3p 2 VD4: Tính tích phân p x.sinx.cos2x.dx ; a) I = � 0 p 2 1 b)J = � ( 2 - tan2(sinx)).dx . cos (cosx) 0 VD5: 15 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Tính các tích phân 2p ln(sinx + 1+ sin2 x)dx; a) I = � 0 2008p b) J = �sin 2007 x.dx . 0 VD6: Tính các tích phân sau: 1 x4 dx a)  x 2  1 1 sin 2 x dx c)  x 3 1  1  1 x2 dx b)  1  2x 1 PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. sin2 x = 1- cos2x = 1- t2. Chú ý: (sinx)2n+1 = (sin2 x)n.sinx = (1- t2)n.sinx Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = p 2 �cos 2 x sin3 xdx . 0 Giải Đặt t = cosx � dt = - sin xdx p x = 0 � t = 1, x = � t = 0 2 p 2 0 0 1 1 1 �t3 t5 � � 2 2 2 2 2 � = (t t )dt = = . � �I =� cos x(1 - cos x) sin xdx = - � t (1 - t )dt � � � �3 5 �0 15 0 2 Vậy I = 4 2 . 15 2. Dạng bậc lẻ với hàm cos. Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. cos2 x = sin2 x = 1- t2. Chú ý: (cosx)2n+1 = (cos2 x)n.cosx = (1- t2)n.cosx Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = p 2 �cos 5 xdx . 0 Giải Đặt t = sin x � dt = cosxdx p x = 0 � t = 0, x = � t = 1 2 p 2 p 2 1 �I =� cos xdx = � (1 - sin x) cosxdx = 5 0 2 0 2 1 � 2t3 � t5 � 8 2 2 � (1 t ) dt = t + . �= � � � � 3 5 �0 15 0 16 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Vậy I = 8 . 15 3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos. Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc 1+ cos2x 1- cos2x 1 cos2 x = ;sin2 x = ;sinx.cosx = sin2x Chú ý: 2 2 2 Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = p 2 �cos 4 x sin2 xdx . 0 Giải p 2 I = p 2 �cos 4 x sin2 xdx = 0 p 2 p 2 1 1 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos4x)dx + � cos2x sin2 2xdx � � 4 0 16 0 40 p 2 p 2 p 2 �x 1 sin3 2x � p 1 1 2 � � . = sin 4x + = = (1 cos4x)dx + sin 2xd(sin2x) � � � � � 16 64 24 �0 32 16 � 8 0 0 p Vậy I = . 32 Nhận xét: Ví dụ 4. Tính tích phân I = p 2 dx �cosx + sin x + 1 . 0 Giải x 1 2x 2dt Đặt t = tg � dt = tg + 1 dx � dx = 2 2 2 2 t +1 p x = 0 � t = 0, x = � t = 1 2 ( 1 �I= �1 0 1 2 t 2t + 2 1+ t 1 + t2 ) 2dt . 1 + t2 = +1 1 dt �t + 1 = ln t + 1 1 0 = ln2 . 0 Vậy I = ln2 . 4. Dạng liên kết p Ví dụ 1. Tính tích phân I = xdx �sin x + 1 . 0 Giải Đặt x = p - t � dx = - dt x = 0 � t = p, x = p � t = 0 0 (p - t)dt � I =- � = sin(p - t) + 1 p p p �( sin t + 1 p 0 ) t dt sin t + 1 p dt p dt = p� - I �I = � sin t + 1 2 0 sin t + 1 0 17 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH p p dt = � t t 2 0 sin + cos 2 2 ( ) 2 ( ) t p p p d p dt p 2 4 = p tg t - p = � 4 0 cos2 t - p = 2 � p 2 2 4 2 t 0 cos 2 4 2 4 ( ) ( ( ) ) p = p. 0 Vậy I = p . Tổng quát: p p p xf(sin x)dx = � f(sin x)dx . � 2 0 0 Ví dụ 2. Tính tích phân I = �sin 2007 p 2 Mặt khác I + J = p 2 Giải p Đặt x = - t � dx = - dt 2 p p x = 0� t = , x = � t = 0 2 2 p 2007 p sin - t 2 2 cos2007 t dx = p p 2007 �sin t + cos2007 t dx = J (1). - t + cos2007 - t 0 2 2 ( �dx = 0 Tổng quát: sin2007 x �sin2007 x + cos2007 x dx . 0 ( 0 � I =- p 2 p 2 ) ) ( p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p . 4 2 sin x dx = n � sin x + cosn x 0 n Ví dụ 3. Tính tích phân I = +, I - 3J = ) p 6 p 2 cosn x p dx = , n �Z+ . n n � sin x + cos x 4 0 sin x dx và J = � sin x + 3cosx 0 2 p 6 sin2 x - 3cos2 x dx = � sin x + 3cosx 0 +, I + J = dx �sin x + 0 � I +J = cos2 x dx . � sin x + 3cosx 0 Giải p 6 �(sin x - 3cosx)dx 0 = ( - cosx p 6 p 6 3sin x ) p 6 0 = 1- 3 (1). p 6 1 dx � 2 0 sin x + p 3cosx 3 p Đặt t = x + � dt = dx 3 p p p x = 0� t = , x = � t = 3 6 2 dx = ( ) p 2 p 2 p 2 p 2 3 3 3 3 ( ) d(cost) 1 dt 1 sin tdt 1 1 1 1 = � 2 = � 2 = � d(cost) � 2 p cos t - 1 4 p cost - 1 cost + 1 2 p sin t 2 p sin t 18 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH p 2 1 cost - 1 = ln 4 cost + 1 p 3 = 1 ln 3 (2). 4 3 1- 3 � �I - 3J = 1 - 3 � I = ln 3 + � � 4 � 16 �� Từ (1) và (2) � � . � 1 � � 1 1- 3 I + J = ln 3 � � � � 4 �J = 16 ln 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Vậy I = ln 3 + . , J = ln 3 16 4 16 4 1 ln(1 + x) dx . Ví dụ 4. Tính tích phân I = � 1 + x2 0 p 4 Giải Đặt x = tgt � dx = (1 + tg2t)dt p x = 0 � t = 0, x = 1 � t = 4 ln(1 + tgt) � 1 + tg t �I = 2 0 p 4 p 4 ( 1 + tg2t ) dt = �ln(1 + tgt)dt . 0 p Đặt t = - u � dt = - du 4 p p t = 0� u = , t = � u = 0 4 4 0 p 4 = ) u � du � � p 4 1 - tgu � � � 2 � � � 1+ du = � ln � du � � �ln � � � � 1 + tgu � � 1 + tgu � 0 p 4 p 4 0 0 0 p I. �ln2du - �ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln2 Vậy I = p 4 Ví dụ 5. Tính tích phân I = � p 4 0 = p 1 + tg( �ln(1 + tgt)dt = - �ln � � 4 �I = p ln2 . 8 cosx dx . x +1 �2007 - p 4 Giải x = t � dx = - dt Đặt p p p p x=� t= , x= � t=4 4 4 4 - � I =- p 4 cos(- t) dt = - t � +1 p 2007 4 p 4 = (1 + 2007t ) - 1 costdt = � 1 + 2007t p - 4 p 4 p 4 2007t cost t dt � p 1 + 2007 - 4 �( 1 - - p 4 ) 1 costdt 2007t + 1 19 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH p 4 = �costdt - Tổng quát: p 4 I �I = p 4 1 costdt = 2� p - 4 p 4 �costdt = 0 2 . 2 Với a > 0 , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì a a f(x) f(x)dx . �ax + 1dx = � - a 0 Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx . p 2 Tính tích phân I = �f(x)dx . - Giải p 2 �f(- x)dx , x = - t � dx = - dt Đặt J = - p 2 p p p p � t= , x= � t=2 2 2 2 x=p 2 �I= p 2 �f(- t)dt = J p 2 � 3I = J + 2I = p 2 �[ f(- x) + 2f(x) ] dx - p 2 = p 2 p 2 �cosxdx = 2�cosxdx = 2. - p 2 0 Vậy I = 2 . 3 Vậy I = p . 2 Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân I = p2 4 xdx . �cos 0 Giải Đặt t = x � x = t2 � dx = 2tdt p2 p x = 0 � t = 0, x = �t= 4 2 p 2 � I = 2� t costdt = 2( tsint + cost ) p 2 0 = p - 2. 0 Vậy I = p - 2. 20
- Xem thêm -