TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.
4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN
PHẦN 2:
TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.
PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
A. Phương pháp:
Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm
hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa.
B. Ví dụ:
1
dx
VD1: Tính tích phân I = �e2x - ex .
0
Giải :
1
dx
=
Biến đổi I về dạng I = �x x
e
(e
+
1
)
0
1
[(ex + 1) - ex ]dx
�
ex (ex + 1)
0
1
1
1
( x - x
)dx
=�
e
e +1
0
1
=
1 ex + 1 - ex
(
)dx
�
ex
ex + 1
0
1
=
�(e- x - 1 +
0
ex
)dx
e +1
x
= (- e- x - x + ln ex + 1)10 =
VD2: Tính caùc tích phaân sau:
2 2
x 2x
I
a/
� x3 dx;
1
4
b/
x
J�
(3x e 4 )dx.
0
Giaûi:
1
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
2
2
2�
�1 2 � �
dx �
ln | x | � (ln 2 1) (ln1 2) ln 2 1.
a/ Ta coù: I �
� 2�
x x � �
x �1
1�
4
x
�3
�
b/ Ta coù: J � x 2 4e 4 � (24 4e) (0 4) 28 4e.
�2
�0
1
x5
I
dx.
VD3: Tính tích phaân:
�
2
x
1
0
Giaûi:
Từ x 5 x3 (x 2 1) x(x2 1) x.
1
1
x � �
1
1
1
1
�3
� 1
x x 2
dx � x 4 x 2 ln(x 2 1)]� ln 2 .
Ta ñöôïc: I �
�
�
4
2
2
4
x 1� �
�0 2
0�
/ 2
VD4: Tính
sin x
�cos x sin x dx.
0
Giaûi:
sin x
�cos x sin x � (A B)cos x (A B)sin x
A B�
�
cos x sin x
cos x sin x
�cos x sin x �
AB 0
�
1
� AB .
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: �
A B 1
2
�
Ta coù:
Vaäy:
/ 2
/ 2
/ 2
sin x
1
� 1 cos x sin x � � 1
�
dx �
x ln(cos x sin x)�
�cos x sin x dx ��
�
2(cos x sin x � � 2
2
�0
0
0 �2
.
4
C.Bài tập:
Tính:
4
tg 2 x 2
1) 2 dx
sin x
2)
4
tg x dx
2
6
( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx
0
4
3
3)
3
4)
| x-2 | dx
0
2
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
4
5)
3
4
3
x 2 6 x 9 dx
6)
2
| x2-4 | dx
7)
cos 2 x 1 dx
4
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
b
f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
1) DẠNG 1: Tính I �
a
A. Phương pháp:
t u ( x) dt u ' ( x )dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t)
+) Đặt
+)Đổi cận :
x b t u(b)
x a t u(a)
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b
u (b)
a
u (a)
I f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
1
,ln x) thì đặt t = lnx.
x
+, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x).
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.
B. Ví dụ:
+, Khi gặp dạng f(x) có chứa (
CHÚ Ý:
e2
Tính tích phân I =
VD1
dx
�x ln x .
e
Giải
dx
x
x = e � t = 1, x = e2 � t = 2
Đặt t = ln x � dt =
2
�I =
dt
�t
= ln t
2
1
= ln2.
1
Vậy I = ln2 .
VD2: Tính tích phân I =
p
4
cosx
�(sin x + cosx)
3
dx .
0
Hướng dẫn:
p
4
I =
cosx
�(sin x + cosx)
3
0
ĐS: I =
p
4
dx =
1
�(tan x + 1)
3
0
.
dx . Đặt t = tan x + 1
cos2 x
3
.
8
VD3:Tính tích phân:
3
TRẦN THỊ NHUNG
3
I =
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
dx
2x + 3 .
�(1 + x)
1
2
Hướng dẫn:
Đặt t = 2x + 3
3
ĐS: I = ln .
2
1
VD4. Tính tích phân I =
3- x
� 1 + xdx .
0
Hướng dẫn:
3
3- x
t2dt
Đặt t =
; đặt t = tan u L
� L 8� 2
2
1+ x
(t
+
1
)
1
p
ĐS: I = - 3 + 2.
3
Chú ý:
1
3- x
dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn.
Phân tích I = �
1
+
x
0
VD5:: Tính tích phaân : I
7
x3dx
�3 1 x2
0
Giaûi:
3t 2 dt
Ñaët t x 1 � t x 1, khi ñoù: 3t dt 2xdx � dx
.
2x
x= 0 � t = 1
�
Ñoåi caän:
�
x= 7 � t 2
�
3
2
3
2
2
x3dx
x3 .3t 2dt
3t(t 3 1)dt 3(t 4 t)dt.
Ta coù: 3
2xt
1 x2
2
2
�t 5 t 2 � 141
Khi ñoù: I 3�
(t t)dt 3 � �
.
5
2
10
�
�
1
1
4
C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:
2
1) cos3 x sin 2 xdx ;
0
2
5) sin 2x(1 sin 2 x)3dx ;
0
2
4
3) sin 4x dx ;
1 cos2 x
0
2) cos5 xdx ;
0
4
1
6)
dx
4
cos
x
0
e
;
7)
1
1 ln x
dx ;
x
1
3
2
4) x 1 x dx .
0
8)
4
1
cos xdx .
0
4
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
1
e
1 ln 2 x
dx ;
9)
x
1
5
3 6
10) x (1 x ) dx ;
11)
0
6
cos x
6 5sin x sin
0
2
x
dx ;
12).
3
tg 4 x
dx
cos 2x
0
4
2
13) cos x sin x dx ;
3 sin 2 x
0
sin 2 x
14)
cos 2 x 4 sin 2 x
0
3
2
ln(tgx )
dx ;
17)
sin 2 x
16) sin 2 x dx ;
2
0 ( 2 sin x )
dx
.
x
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
dx ;
18)
4
15)
4
8
(1 tg x )dx ;
19)
0
2
sin x cos x
dx .
1 sin 2 x
4
2
20) sin 2 x sin x dx ;
0
1 3 cos x
21)
2
sin 2 x cos x ;
dx
0 1 cos x
22)
2
sin x
(e cos x ) cos xdx ;
0
2
23)
1
x
1 x 1
1 3 ln x ln x
24)
dx ;
x
1
e
dx ;
4
2
25) 1 2 sin x dx .
0
1 sin 2 x
2) DẠNG 2:
b
f ( x )dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
A. Phương pháp: I �
a
Cách thực hiện:
+) Đặt x (t ) dx ' (t )dt ( trong đó (t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp: ảnh của
(t ) nằm trong tập xác định của f và ' (t ) liên tục.)
+) Đổi cận :
x b t
x a t
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b
a
I f ( x)dx f (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý:
* Nếu f(x) có chứa:
- p p�
�
+, (a2 - x2)n thì đặt x = a .sin t với t �� ; �
, hoặc x = a .cost với t �[ 0; p] .
�2 2�
5
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
- p p�
�
�
; �, hoặc x = a .cot t với t �( 0; p) .
+, (a2 + x2)n thì đặt x = a .tant với t ��
�
�2 2�
a
a
2
2 n
+, ( x - a ) thì đặt x =
hoặc x =
.
sint
cost
a+ x a- x
+,
thì đặt x = acos2t
;
a- x a+ x
+, (x - a)(b - x) thì đặt x=a+(b-a)sin2t
B. Ví dụ
VD1 :Tính tích phân I =
1
2
1
� 1-
x2
0
Giải
dx .
p p
�
- ; �� dx = costdt
Đặt x = sin t, t ��
� 2 2�
�
1
p
x = 0 � t = 0, x = � t =
2
6
p
6
�I=
cost
dt =
sin2 t
� 10
p
6
=
p
6
cost
�cost dt
0
p
p
p
- 0= .
6
6
p
Vậy I = .
6
�dt = t 06 =
0
2
VD2: Tính tích phân I =
� 4-
x2 dx .
0
Hướng dẫn:
Đặt x = 2sin t
ĐS: I = p .
1
VD3:Tính tích phân I =
dx
�1 + x
2
.
0
Hướng dẫn:
� p p�
- ; �
� dx = (tan2 x + 1)dt
�
Đặt x = tan t, t ��
�
�
�
� 2 2�
x = 0 � t = 0, x = 1 � t =
p
4
�I =
VD4:Tính tích phân I =
�x
2
0
tan t + 1
dt =
2
t
p
Vậy I = .
4
�1 + tan
0
3- 1
2
p
4
p
4
p
�dt = 4 .
0
dx
.
+ 2x + 2
Hướng dẫn:
6
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
3- 1
dx
I = � 2
=
x + 2x + 2
0
3- 1
dx
�1 + (x + 1)
2
.
0
Đặt x + 1 = tan t
p
ĐS: I = .
12
2
2
VD5: Tính tích phaân : I �
0
x2
1 x2
dx.
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt
Laïi coù:
x2dx
1 x2
x= 0 � t = 0
�
�
2
vôùi �
x=
�t
�
� 2
4
.Ñoåi caän:
sin2 t.costdt
sin 2 t.costdt sin 2 t costdt 1
(1 cos2t)dt.
cost
cos t
2
1 sin 2 t
/ 4
1 / 4
1� 1
�
(1 cos2t)dt �
t sin 2t �
Khi ñoù: I �
2 0
2� 2
�0
VD6: Tính tích phaân : I
2/ 3
�x
2
1
.
8 4
dx
x2 1
Giaûi:
1
cos t
, khi ñoù : dx 2 dt
sin t
sin t
�
x= 1 � t =
�
�
2
Ñoåi caän:
� 2
�
x=
�t
3
� 3
1
cos tdt / 2
/ 2
/ 2
sin 2 t
�
dt t / 3
�
1
6
Khi ñoù: / 3
/ 3
1
sin t
1
sin2 t
Ñaët x
0
ax
dx, (a 0)
ax
VD7: Tính tích phaân : I �
a
7
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Ñaët x a.cos2t, khi ñoù: dx 2a.sin 2tdt.
Giaûi:
�
x= -a � t =
�
2
�
�
x=0 � t
�
4
Ñoåi caän:
ax
a a.cos2t
dx
(2a.sin 2tdt) cot t (2a.sin 2tdt)
ax
a a.cos2t
Laïi coù:
4a.cos2 t.dt 2a(1 cos2t)dt.
/ 2
/ 2
� 1
�
� �
(1 cos2t)dt 2a �
t sin 2t � a �
1 �.
Do ñoù: I 2a �
2
4�
�
�
�
/ 4
/ 4
VD8: Tính tích phaân : I
/ 3
cosdx
�sin2 x 5sin x 6
/ 6
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx
1
�
x=
� t=
�
� 6
2
Ñoåi caän:
�
3
�
x= � t
� 3
2
cosdx
dt
dt
2
Ta coù:
2
sin x 5sin x 6 t 5t 6 (t 2)(t 3)
B � [(A B)t 2A 3B]dt
�A
�
dt
�
(t 2)(t 3)
�t 3 t 2 �
AB0
A 1
�
�
��
2A 3B 1
B 1
�
�
Töø ñoù: �
Suy ra:
cos xdx
1 �
�1
�
dt.
�
sin x 5sin x 6 �t 3 t 2 �
2
3/2
1 �
t 3
�1
Khi ñoù: I ��
dt ln
�
t 3 t 2�
t 2
1/ 2 �
3/2
ln
1/ 2
3(6 3)
5(4 3)
C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:
8
TRẦN THỊ NHUNG
1
x
dx
1) 4
x x2 1
0
5)
2
3
x
2
9)
2
0
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
2
1
2)
dx
1
cos
x
sin
x
0
3
1
x2 1
6)
dx
0
7))
2
x2
1 x2
1
9 3x 2
dx
x2
1
5
dx
8)
cos x
11)
1
2
1 x
0
1 x4
dx
10)
1 x6
0
2
2
4) x 4 x dx
dx
(1 x )
1
cos x
dx
7 cos 2 x
1
3)
2
2
1 cos
0
2
dx
x
x
2
3
1
x2 1
dx
dx
2
1 x 2x 2
0
12)
dx
2 x x 1
14)
dx .
0 1 1 3x
x 5
1
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
A. Phương pháp:
13)
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
d(a.x + b)
(a � 0) .
+, d(a.x + b) = a.dx � dx =
a
d(aex + b)
x
x
+, d(ae + b) = ae .dx � dx =
.
a.ex
d(sinx)
d(cosx)
+, d(sinx) = cosx.dx � dx =
; d(cosx) = - sinx.dx � dx =
.
cosx
- sinx
dx
dx
1 d(a.x + b) 1
=
= ln(a.x + b) .
.
+, d(lnx) =
a.x + b a a.x + b
a
x
x.dx
2
2
+, d( x + a ) =
.
x2 + a2
B.Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1
1)
dx
�2007.x + 2008 ;
2)
0
p
4
e
3)
2
�sin x.cosxdx;
e .dx
;
3e2x
�4 1
0
x
p
4
cot x.dx .
4) �
p
6
C. Bài tập Tính các tích phân sau:
1
1)
1 x
0
e
1
2 x2
3
;
2 ln x
6) �
dx ;
x
1
2) (
0
x2
) dx;
2 x3
e2
dx
7)
;
e x 1 ln x
1
3)
1 x
0
3
1
2 x2
3
dx ;
8) sin x dx ;
cos3 x
0
1
2
x
4) xe dx ;
0
9)
3
sin x e
3
2 x
5) x e dx .
1
1
cos x
dx ;
0
10)
dx
.
+3
�2e
x
0
IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần:
9
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
b
b
u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x) a v( x).u ' ( x) dx
b
a
b
a
b
udv u.v a vdu
Hay:
b
a
a
Cách thực hiện:
+) Đặt
u u(x) du u' (x)dx
dv v' ( x)dx v v( x)
b
b
+) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : udv u.v a vdu
b
a
a
Chú ý:
+)Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
du = u/ (x)dx không quá phức tạp.
b
+)Hơn nữa, tích phân
�vdu phải tính được.
a
+)Đặc biệt:
b
i/ Nếu gặp
b
b
�P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e
ax
a
a
.P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt
a
u = P(x) .
b
ii/ Nếu gặp
�P(x) ln xdx thì đặt u = ln x .
a
b
b
�e
ax
iii/ Nếu gặp
.sinaxdx ,
a
�e
ax
.cosaxdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt
a
u = eax .
B. Ví dụ:
1
VD1:Tính tích phân I =
�xe dx .
x
0
Giải
�du = dx
�u = x
Đặt �
(chọn C = 0)
�dv = ex dx � �
�
�
�v = ex
�
�
1
�
1
�xe dx = xe
x
x 1
0
-
0
VD2Tính tích phân I =
�e dx = (x x
1)ex
1
0
= 1.
0
e
�x ln xdx .
1
Giải
10
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
dx
�
du =
�
�u = ln x
�
x
��
Đặt �
�
�
2
�dv = xdx
�
x
�
�
v=
�
�
2
e
e
e
2
2
x
1
e +1
� �x ln xdx =
ln x - �xdx =
.
2
21
4
1
1
VD3Tính tích phân I =
p
2
�e
x
sin xdx .
0
Giải
u = sin x
�du = cosxdx
�
�
�
�
Đặt �
�
x
x
�
�
�dv = e dx
�v = e
p
2
�ex sin xdx = ex sin x
�I =
0
p
2
x
p
-
p
�ex cosxdx = e2 - J .
0
cosxdx = ex cosx
p
2
0
0
� I = e2 - (- 1 + I) � I =
p
2
u = cosx
�
�du = - sin xdx
�
Đặt �dv = ex dx � �
�
�
�v = ex
�
�
�e
�J =
p
2
0
p
2
+ �ex sin xdx = - 1 + I
0
p
2
e + 1.
2
2
ln(1 x)
dx.
2
x
1
VD4:Tính tích phaân: I �
Giaûi:
1
�
du
dx
�u ln(1 x)
�
�
�
1
x
� �
Ñaët: �
dx
1
dv 2
�
�
v
x
�
� x
2
2
2
1
1
1
1 �
�1
dx ln3 ln 2 �
dx
Khi ñoù: I ln(x 1) �
�
�
x
x(x
1)
2
x
1
x
�
�
1
1
1
2
1
3
ln3 ln 2 (ln | x | ln(x 1)) ln 3 3ln 2.
2
2
1
VD5:Tính tích phaân:
1
0 (x
2
x)e2x dx
11
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Giaûi:
1
0 (x
2
2x
x)e dx .
u x2 x
2x
dv e dx
Ñaët
1
2x 2
I = 2 e (x x)
1
2x
1
0
I1 =
2x
I1 = 2 e (2x 1)
u 2x 1
2x
dv e dx
, Ñaët
dx
1
=
1 1
(2x 1)e2xdx e2 I1
2 0
0 (2x 1)e
1
0
1 2x
e dx
0
1
1
3e2 1 (e2 1) e2 .
2
2
VD6:Tính tích phaân:
du 2x 1 dx
1 2x
v e
2
0
1x
5
du 2x 1dx
1 2x
v 2 e
1
1
1
(3e2 1) e2x
2
2
Vaäy I = e2
0
1 2 e2
e
2
2
3
.e x dx
Giaûi:
0
3
I = 1x5 .e x dx . Ñaët t = –x3 dt = –3x2dx ,
x=0
I=
t = 0 , x = –1 t = 1
0
t
1
1
1
t
1
1 ( t).e 3 dt 3 0 t.e dt 3 I1 .
u t
t
dv e dt
Ñaët
t
I1 = e .t
1
0
1
t
0 t e dt
.
du dt
t
v e
1 t
e dt
0
Vôùi I1 =
e et
VD7:Tính tích phaân: I
1
0
/ 2
�(x
2
1.
1
3
Vaäy I = I1
1
3
1)sin xdx.
0
Giaûi:
�u (x 2 1)
du 2xdx
�
� �
Ñaët: �
v cos x
dv sin xdx
�
�
2
/ 2
Khi ñoù: I (x 1)cos x 0
2
/ 2
/ 2
0
0
�x cos xdx 1 2 �x cos xdx
(1)
12
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Xeùt tích phaân J
/ 2
�x cos xdx.
0
du dx
�u x
�
��
dv cos xdx
v sin x
�
�
Ñaët: �
/ 2
Khi ñoù: J xsin x 0
/ 2
/ 2
�sin xdx 2 cos x 0
0
�
�2
1
2
(2)
�
�
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I 1 2 � 1 � 1.
VD8:Tính tích phaân:
1
0 xe
x
dx
Giaûi:
1
0 xe
x
dx
. Ñaët t = x
t2 = x 2tdt = dx
x=1 t=1 , x=0 t=0
I=
1 2 t
t e 2tdt
0
1
t 3
I1 = e .t
0
1 3 t
t e dt
0
2
1
0
I2 =
1
01
2 et t dt e 2I3
0
u t
t
dv e dt
Ñaët
I3 =
et .t
1
0
dt .
. vôùi I3 =
1 t
0 e
t dt
.
du dt
t
v e
1 t
e dt
0
1 t 2
0 e .t
du 2tdt
t
v e
dv e dt
1
. Vôùi I2 =
du 3t 2dt
t
v e
t
et .t 2
. Ñaët
3 et .t2 dt e 3I2
u t 2
Ñaët
2I1
u t3
t
dv e dt
e et
1
e (e 1) 1
0
Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e
e2x sin 2 xdx.
VD 9:Tính tích phaân: I �
0
Giaûi:
13
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
2x
2
Bieán ñoåi I veà daïng: I e sin xdx
0
1 2x
e (1 cos2x)dx
2 0
(1)
1 2x
e2 1
e dx e
Xeùt tích phaân: I1 �
2
2 2
0
0
e2x cos2xdx
Xeùt tích phaân: I 2 �
2x
(2)
0
du 2sin 2xdx
�
�u cos2x
�
� � 1 2x
Ñaët: �
v e
dv e 2x dx
�
�
� 2
1 2x
e2 1 2x
2x
I
e
cos2x
e
sin
2xdx
�
e sin 2xdx
Khi ñoù: 2
�
2
2
2
0
0
0
(3)
e2x sin 2xdx
Xeùt tích phaân: I 2, 1 �
0
du 2 cos2xdx
�
�u sin 2x
�
� � 1 2x
Ñaët: �
2x
v e
dv
e
dx
�
�
� 2
1 2x
I 2, 1 e sin �
e2x cos2xdx I 2 .
Khi ñoù:
2
0
0 44 2 4 4
1
3
(4)
I2
Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: I 2
e2 1
e2 1
I2 � I 2
.
2 2
4 4
(5)
1 e2 1 e2 1
1
Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: I [
(
)] (e2 1).
2 2 2
4 4
8
t
I1 = e .t
1
0
1 t
e dt
0
e et
1
0
1.
Vaäy I = 2
C. Bài tập
Tính tích phân
1)
3
x sin x
dx
cos2 x
0
2) x sin x cos xdx
0
2
4
3) x(2 cos2 x 1)dx
0
2
4)
ln(1 x)
dx
x2
1
14
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
1
2 2x
5) (x 1) e dx
2
6) (x ln x) dx
0
1
9))
e
2
e
7)) cos x.ln(1 cos x)dx 8)
1
0
ln x
( x 1)
1
e
2
dx
1
2
xtg xdx
2x
10) ( x 2)e dx
0
0
IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
A Phương pháp:
a
-Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
f(x)dx 0
a
- Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
a
0
f(x)dx 2f(x)dx .
- Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
f ( x)
dx f ( x )dx vôùi R + vaø a > 0
x
a 1
0
- Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì
b
b
a+b
�x.f(x)dx = 2 .�f(x).dx
a
a
B. Ví dụ
VD1: Tính tích phân
1/ 2
1 x
I �
cos x.ln(
)dx
1
x
1/ 2
1 x
) thỏa:
Giải: nhận xét hs f(x) cos x.ln(
1 x
* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) =......= 0
Theo tc 1 ta được I=0
VD2 :Tính tích phân
p
2
I=
�cosx.ln(x +
x2 + 1)dx
- p
2
VD3
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =
2 - 2.cos2x .
3p
2
Tính tích phân I =
�f(x).dx
- 3p
2
VD4:
Tính tích phân
p
x.sinx.cos2x.dx ;
a) I = �
0
p
2
1
b)J = �
( 2
- tan2(sinx)).dx .
cos (cosx)
0
VD5:
15
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Tính các tích phân
2p
ln(sinx + 1+ sin2 x)dx;
a) I = �
0
2008p
b) J =
�sin
2007
x.dx .
0
VD6:
Tính các tích phân sau:
1
x4
dx
a) x
2
1
1
sin 2 x
dx
c) x
3 1
1
1 x2
dx
b)
1 2x
1
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
sin2 x = 1- cos2x = 1- t2.
Chú ý:
(sinx)2n+1 = (sin2 x)n.sinx = (1- t2)n.sinx
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I =
p
2
�cos
2
x sin3 xdx .
0
Giải
Đặt t = cosx � dt = - sin xdx
p
x = 0 � t = 1, x = � t = 0
2
p
2
0
0
1
1
1
�t3 t5 �
�
2
2
2
2
2
� =
(t
t
)dt
=
=
.
�
�I =�
cos x(1 - cos x) sin xdx = - �
t (1 - t )dt �
�
�
�3
5 �0
15
0
2
Vậy I =
4
2
.
15
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
cos2 x = sin2 x = 1- t2.
Chú ý:
(cosx)2n+1 = (cos2 x)n.cosx = (1- t2)n.cosx
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I =
p
2
�cos
5
xdx .
0
Giải
Đặt t = sin x � dt = cosxdx
p
x = 0 � t = 0, x = � t = 1
2
p
2
p
2
1
�I =�
cos xdx = �
(1 - sin x) cosxdx =
5
0
2
0
2
1
� 2t3
�
t5 �
8
2 2
�
(1
t
)
dt
=
t
+
.
�=
�
�
�
�
3
5 �0
15
0
16
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Vậy I =
8
.
15
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
1+ cos2x
1- cos2x
1
cos2 x =
;sin2 x =
;sinx.cosx = sin2x
Chú ý:
2
2
2
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I =
p
2
�cos
4
x sin2 xdx .
0
Giải
p
2
I =
p
2
�cos
4
x sin2 xdx =
0
p
2
p
2
1
1
1
cos2 x sin2 2xdx =
(1 - cos4x)dx + �
cos2x sin2 2xdx
�
�
4 0
16 0
40
p
2
p
2
p
2
�x
1
sin3 2x �
p
1
1
2
�
�
.
=
sin
4x
+
=
=
(1
cos4x)dx
+
sin
2xd(sin2x)
�
�
�
�
�
16 64
24 �0
32
16 �
8
0
0
p
Vậy I =
.
32
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân I =
p
2
dx
�cosx + sin x + 1 .
0
Giải
x
1 2x
2dt
Đặt t = tg � dt = tg + 1 dx � dx = 2
2
2
2
t +1
p
x = 0 � t = 0, x = � t = 1
2
(
1
�I=
�1 0
1
2
t
2t
+
2
1+ t
1 + t2
)
2dt
.
1 + t2 =
+1
1
dt
�t + 1 = ln t + 1
1
0
= ln2 .
0
Vậy I = ln2 .
4. Dạng liên kết
p
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
xdx
�sin x + 1 .
0
Giải
Đặt x = p - t � dx = - dt
x = 0 � t = p, x = p � t = 0
0
(p - t)dt
� I =- �
=
sin(p - t) + 1
p
p
p
�( sin t + 1 p
0
)
t
dt
sin t + 1
p
dt
p
dt
= p�
- I �I = �
sin t + 1
2 0 sin t + 1
0
17
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
p
p
dt
= �
t
t
2 0
sin + cos
2
2
(
)
2
(
)
t p
p
p
d p
dt
p
2 4 = p tg t - p
= �
4 0 cos2 t - p = 2 �
p
2
2 4
2 t
0 cos
2 4
2 4
(
)
(
(
)
)
p
= p.
0
Vậy I = p .
Tổng quát:
p
p
p
xf(sin x)dx = �
f(sin x)dx .
�
2 0
0
Ví dụ 2. Tính tích phân I =
�sin
2007
p
2
Mặt khác I + J =
p
2
Giải
p
Đặt x = - t � dx = - dt
2
p
p
x = 0� t = , x = � t = 0
2
2
p
2007 p
sin
- t
2
2
cos2007 t
dx
=
p
p
2007
�sin t + cos2007 t dx = J (1).
- t + cos2007
- t
0
2
2
(
�dx =
0
Tổng quát:
sin2007 x
�sin2007 x + cos2007 x dx .
0
(
0
� I =-
p
2
p
2
)
)
(
p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p .
4
2
sin x
dx =
n
�
sin x + cosn x
0
n
Ví dụ 3. Tính tích phân I =
+, I - 3J =
)
p
6
p
2
cosn x
p
dx = , n �Z+ .
n
n
�
sin x + cos x
4
0
sin x
dx và J =
�
sin
x
+
3cosx
0
2
p
6
sin2 x - 3cos2 x
dx =
�
sin x + 3cosx
0
+, I + J =
dx
�sin x +
0
� I +J =
cos2 x
dx .
�
sin
x
+
3cosx
0
Giải
p
6
�(sin x -
3cosx)dx
0
= ( - cosx p
6
p
6
3sin x )
p
6
0
= 1-
3 (1).
p
6
1
dx
�
2 0 sin x + p
3cosx
3
p
Đặt t = x + � dt = dx
3
p
p
p
x = 0� t = , x = � t =
3
6
2
dx =
(
)
p
2
p
2
p
2
p
2
3
3
3
3
(
)
d(cost)
1
dt
1 sin tdt 1
1
1
1
= � 2 = � 2
= �
d(cost)
�
2 p cos t - 1 4 p cost - 1 cost + 1
2 p sin t 2 p sin t
18
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
p
2
1 cost - 1
= ln
4 cost + 1
p
3
=
1
ln 3 (2).
4
3
1- 3
�
�I - 3J = 1 - 3
�
I =
ln 3 +
�
�
4
� 16
��
Từ (1) và (2) � �
.
�
1
�
�
1
1- 3
I + J = ln 3
�
�
�
�
4
�J = 16 ln 3 4
3
1- 3
1
1- 3
Vậy I = ln 3 +
.
, J = ln 3 16
4
16
4
1
ln(1 + x)
dx .
Ví dụ 4. Tính tích phân I = �
1 + x2
0
p
4
Giải
Đặt x = tgt � dx = (1 + tg2t)dt
p
x = 0 � t = 0, x = 1 � t =
4
ln(1 + tgt)
� 1 + tg t
�I =
2
0
p
4
p
4
( 1 + tg2t ) dt = �ln(1 + tgt)dt .
0
p
Đặt t = - u � dt = - du
4
p
p
t = 0� u = , t = � u = 0
4
4
0
p
4
=
)
u �
du
�
�
p
4
1 - tgu �
�
� 2
�
�
�
1+
du = �
ln �
du
�
�
�ln �
�
�
� 1 + tgu �
�
1 + tgu �
0
p
4
p
4
0
0
0
p
I.
�ln2du - �ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln2 Vậy I =
p
4
Ví dụ 5. Tính tích phân I =
�
p
4
0
=
p
1 + tg( �ln(1 + tgt)dt = - �ln �
�
4
�I =
p
ln2 .
8
cosx
dx .
x
+1
�2007
-
p
4
Giải
x
=
t � dx = - dt
Đặt
p
p
p
p
x=� t= , x= � t=4
4
4
4
-
� I =-
p
4
cos(- t)
dt =
- t
�
+1
p 2007
4
p
4
=
(1 + 2007t ) - 1
costdt =
�
1 + 2007t
p
-
4
p
4
p
4
2007t cost
t dt
�
p 1 + 2007
-
4
�( 1 -
-
p
4
)
1
costdt
2007t + 1
19
TRẦN THỊ NHUNG
TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
p
4
=
�costdt -
Tổng quát:
p
4
I �I =
p
4
1
costdt =
2�
p
-
4
p
4
�costdt =
0
2
.
2
Với a > 0 , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì
a
a
f(x)
f(x)dx .
�ax + 1dx = �
- a
0
Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx .
p
2
Tính tích phân I =
�f(x)dx .
-
Giải
p
2
�f(- x)dx , x = - t � dx = - dt
Đặt J =
-
p
2
p
p
p
p
� t= , x= � t=2
2
2
2
x=p
2
�I=
p
2
�f(- t)dt = J
p
2
� 3I = J + 2I =
p
2
�[ f(- x) + 2f(x) ] dx
-
p
2
=
p
2
p
2
�cosxdx = 2�cosxdx = 2.
-
p
2
0
Vậy I =
2
.
3
Vậy I =
p
.
2
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân I =
p2
4
xdx .
�cos
0
Giải
Đặt t = x � x = t2 � dx = 2tdt
p2
p
x = 0 � t = 0, x =
�t=
4
2
p
2
� I = 2�
t costdt = 2( tsint + cost )
p
2
0
= p - 2.
0
Vậy I = p - 2.
20
- Xem thêm -