Skkn các hướng khai thác một bài toán ở thcs

  • Số trang: 19 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 18 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai I- C¬ së lý luËn. GV: Hoµng Ph- Ch¬ng I: Lêi nãi ®Çu T×m tßi lêi gi¶i lµ mét bíc quan träng trong ho¹t ®éng gi¶i to¸n. Nã quyÕt ®Þnh sù thµnh c«ng hay kh«ng thµnh c«ng, ®i ®Õn sù thµnh c«ng nhanh hay chËm cña viÖc gi¶i to¸n. §iÒu c¬ b¶n ë bíc nµy lµ biÕt ®Þnh híng ®óng ®Ó t×m ra ®îc ®êng ®i ®óng. Kh«ng cã mét thuËt to¸n tæng qu¸t nµo ®Ó gi¶i ®îc mäi bµi to¸n c¶. Mét vµi kinh nghiÖm gi¶i to¸n ®ã lµ: - Sö dông c¸c bµi to¸n ®· gi¶i. - BiÕn ®æi bµi to¸n. - Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n h¬n. - Mß mÉm, dù ®o¸n b»ng nhiÒu c¸ch thö mét sè trêng hîp cã thÓ x¶y ra. HoÆc tù ®Æt ra cho m×nh c©u hái: - B¹n ®· gÆp bµi to¸n nµy lÇn nµo cha? Hay ®· gÆp bµi to¸n nµy ë mét d¹ng kh¸c? - B¹n cã biÕt mét bµi to¸n nµo cã liªn quan kh«ng? Mét ®Þnh lý cã thÓ dïng ®îc kh«ng? - Cã thÓ ph¸t biÓu bµi to¸n mét c¸ch kh¸c kh«ng? Mét c¸ch kh¸c n÷a? - NÕu b¹n cha gi¶i ®îc bµi to¸n th× h·y gi¶i bµi to¸n cã liªn quan mµ dÔ h¬n. HoÆc gi¶i mét phÇn bµi to¸n, biÕn ®æi bµi to¸n, thay ®æi Èn cña bµi to¸n.... - B¹n ®· sö dông mäi d÷ kiÖn hay cha? §· sö dông toµn bé ®iÒu kiÖn hay cha? §· ®Ó ý ®Õn mäi kh¸i niÖm chñ yÕu trong bµi to¸n hay cha? §Ó thùc hiÖn nh÷ng ý ®å s ph¹m nhÊt ®Þnh, trong tõng t×nh huèng cô thÓ ®èi víi tõng lo¹i ®èi tîng häc sinh, gi¸o viªn ph¶i cã kh¶ n¨ng lµm dÔ ®i nh÷ng bµi to¸n khã, lµm khã nh÷ng bµi to¸n dÔ,t¹o ra nh÷ng bµi to¸n cã møc ®é khã kh¨n, phøc t¹p nh nhau hoÆc kh¸c nhau, ®a d¹ng ho¸ c¸c bµi to¸n theo mét chñ ®Ò nhÊt ®Þnh ®Ó ®¹t ®îc nh÷ng môc tiªu d¹y häc. Do vËy, viÖc khai th¸c mét bµi to¸n lµ hÕt søc cÇn thiÕt. Ii- c¬ së thùc tiÔn. Trêng THCS Tiªn HiÖp lµ mét trêng cã sè lîng häc sinh Ýt, n»m c¸ch xa trung t©m huyÖn. Trêng chØ cã 8 líp. HÇu hÕt c¸c em ®Òu lµ con em cña c¸c gia ®×nh thuÇn n«ng, thu nhËp chÝnh lµ lµm ruéng. §êi sçng cña c¸c gia ®×nh cßn gÆp nhiÒu khã kh¨n. ChÝnh v× thÕ, c¸c gia ®×nh cha thùc sù quan t©m nhiÒu ®Õn viÖc häc tËp cña con em m×nh. Häc sinh cña trêng nãi chung cã søc häc chØ ë møc trung b×nh, nhiÒu häc sinh ë møc yÕu, ®Æc biÖt lµ vÒ m«n to¸n. HÇu hÕt lµ do c¸c em cha cã c¸ch häc, cha ch¨m lµm bµi tËp vµ do 1 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- hoµn c¶nh gia ®×nh, c¸c em ph¶i gióp gia ®×nh nªn c¸c em cha thËt sù quan t©m ®Õn viÖc häc tËp cña m×nh. Lµ mét gi¸o viªn trÎ míi ra trêng, khi nhËn c«ng t¸c t¹i trêng THCS Tiªn HiÖp, t«i gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n v× nh÷ng lý do ®ã. T«i lu«n lu«n suy nghÜ, tr¨n trë lµm thÕ nµo ®Ó c¸c em häc tèt h¬n, lµm thÕ nµo ®Ó c¸c em say mª m«n to¸n h¬n, yªu thÝch m«n to¸n h¬n. V× t«i nghÜ r»ng, c¸c em cã yªu thÝch, cã say mª th× c¸c em míi cã høng thó ®Ó ch¨m chØ h¬n trong viÖc häc to¸n. Vµ lµm thÕ nµo ®Ó c¸c em häc kÐm häc tèt h¬n, c¸c em häc kh¸ giái th× häc v÷ng vµng h¬n. Sau mét thêi gian gi¶ng d¹y trùc tiÕp trªn líp, t«i nhËn thÊy r»ng nÕu ngêi gi¸o viªn biÕt khai th¸c tèt mét bµi to¸n th× bµi häc sÏ trë nªn dÔ hiÓu vµ häc sinh c¶m thÊy høng thó h¬n khi gi¶i c¸c bµi to¸n. §Æc biÖt, trong giê LuyÖn tËp, c¶ häc sinh kÐm lÉn häc sinh giái ®Òu cè g¾ng suy nghÜ t×m ra lêi gi¶i v× bµi tËp ®· ®îc c« gîi ý rÊt chi tiÕt vµ dÔ hiÓu. ChÝnh v× thÕ, t«i viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm víi néi dung “C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n”. §ång thêi, sù quan t©m gióp ®ì, ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c ®ång nghiÖp trong trêng ®· gióp t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy. §©y lµ s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®Çu tiªn t«i thùc hiÖn nªn cßn gÆp nhiÒu sai sãt. T«i rÊt mong muèn nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ®ång chÝ ®Ó t«i rót ra ®îc nh÷ng kinh nghiÖm cho ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cña m×nh tèt h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Gi¸o viªn Hoµng Ph¬ng Mai Néi dung chÝnh cña ®Ò tµi gåm: Ch¬ng I: Lêi nãi ®Çu Ch¬ng II: C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n I- T×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n II- t×m thªm kÕt qu¶ míi III- c¸c tri thøc ph¬ng ph¸p iV- Thay ®æi bµi to¸n theo môc ®Ých d¹y häc v- mét sè con ®êng t¹o ra bµi to¸n míi tõ bµi to¸n ban ®Çu Ch¬ng Iii: phÇn thùc nghiÖm Ch¬ng Iv: kÕt luËn 2 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- Ch¬ng II: C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n I- T×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n: Mét bµi to¸n cã thÓ nh×n ë nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau, mçi c¸ch nh×n cho ta mét c¸ch gi¶i kh¸c nhau. ViÖc t×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n gióp ta t¸i hiÖn ®îc nhiÒu kiÕn thøc, mçi c¸ch gi¶i øng víi kiÕn thøc thuéc nhiÒu môc kh¸c nhau. CÇn nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n gióp cho häc sinh kh¾c s©u kiÕn thøc, hÖ thèng kiÕn thøc, nhí bµi tËp ®ã l©u h¬n vµ lµ tiÒn ®Ò gióp cho ta gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c. V× vËy viÖc t×m nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n lµ hÕt søc cÇn thiÕt. Song v× thêi gian lµm bµi cã h¹n nªn viÖc chän lêi gi¶i ®Ó tr×nh bµy l¹i lµ mét nghÖ thuËt cña ngêi gi¶i to¸n. Bµi to¸n 1: Cho ABC c©n t¹i A, ®êng trung tuyÕn CD. Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm K sao cho BK = BA. Chøng minh r»ng CD = 1 CK 2 Lêi gi¶i: NÕu nh×n bµi to¸n díi gãc ®é lµ mét tam gi¸c c©n vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n b»ng nh÷ng kiÕn thøc vÒ tam gi¸c c©n vµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c th× ta cã c¸ch gi¶i nh sau: C¸ch 1: A Gäi I lµ trung ®iÓm cña CK  CI = D B C I K 1 CK 2  CBI =  CBD (c.g.c) 1  CI = CD = 2 CK 3 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai A C¸ch 2: GV: Hoµng Ph- Gäi E lµ trung ®iÓm cña AC th× BE = D E 1 CK 2 Chøng minh: BE = CD do  CBI =  CBD (c.g.c) B C Híng t¹o thø 2 lµ t¹o ra ®o¹n th¼ng gÊp ®«i CD ta cã c¸ch gi¶i sau: C¸ch 3: K Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy CM = CB A  CD lµ ®êng trung b×nh cña ABM D  AM = 2CD B M C Sau ®ã chøng minh: AM = CK do  ACM =  KBC (c.g.c) v× AC=KB (gt) K CM = BC (c¸ch dùng) ACM = KBC C¸ch 4: A Trªn tia ®èi cña tia CAlÊy CN=CA th× BN = 2CD D (v× CD lµ ®êng trung b×nh cña  ABN). B C Do  BCN =  CBK (c.g.c). V× BC chung BCN = CBK = A + B = A + C K (gãc ngoµi cña ) N NC = KB C¸ch 5: E Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy E sao cho: A DE = DC  BE = AC, BE // AC D (V×  BDE =  ACD (c.g.c) B C Sau ®ã chøng minh:  CBE =  CBK (c.g.c) Tõ ®ã suy ra: CE = CK 4 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph-  CK = 2 CD K C¸ch gi¶i 1, 2, 3, 4 sö dông c¸c kiÕn thøc vÒ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c. C¸ch gi¶i 5 sö dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n vµ gãc ngoµi cña tam gi¸c. Bµi to¸n trªn, vÎ ngoµi nh×n rÊt ®¬n gi¶n nhng nÕu ngêi gi¶i to¸n biÕt c¸ch khai th¸c bµi to¸n th× sÏ lÜnh héi ®îc nhiÒu tri thøc còng nh ph¬ng ph¸p ghÐp h×nh tõ bµi to¸n trªn. Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng nÕu mét tam gi¸c cã trung tuyÕn còng lµ ph©n gi¸c th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n. C¸ch 1: Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao cho: MA = MD XÐt  AMB vµ  DMC A cã: AM = BM (c¸ch dùng) AMB = DMC (®èi ®Ønh) 1 2 MB = MC (AM lµ trung tuyÕn) VËy  AMB =  DMC (c.g.c) 1 M 2 B C  A1 = D1 (gãc t¬ng øng cña tam gi¸c b»ng nhau) Mµ A1 = A2 (gt) D  A2 = D1 1   ADC c©n  AC = DC L¹i cã: AB = DC  AB = AC hay  ABC c©n t¹i A NÕu sö dông tÝnh K chÊt ®êng trung b×nh cña tam gi¸c th× ta cã c¸c c¸ch gi¶i sau: C¸ch 2: Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy K sao cho AK = AB A  AM lµ ®êng trung b×nh cñ 1 2  A1 = K (gãc ®ång vÞ cña AM vµ KC) 5 B M C a  BKC C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph-  A2 = C1 (so le trong) Mµ AK = AC (tÝnh chÊt tam gi¸c c©n) 1 AB=AK(C¸ch dùng)AB =AC ABC c©n C¸ch 3:Chøng minh b»ng ph¶n chøng Gi¶ sö AB > AC. Trªn c¹nh AB lÊy AD = AC th×  ADC c©n. Gäi I lµ giao ®iÓm cña CD vµ AM A  ADCc©n cã AI lµ ph©n gi¸c øng víi c¹nh ®¸y nªn DI = IC Mµ MC = MC (gt) D  IM lµ ®êng trung b×nh cña  CBD I B C M  BD // IM §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt lµ BD c¾t AM ë A Gi¶ sö AB < AC còng chøng minh t¬ng tù dÉn ®Õn m©u thuÉn. VËy AB = AC hay  ABC c©n t¹i A NÕu sö dông trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng th× ta cã c¸ch gi¶i sau: C¸ch 4: A VÏ MH  AB; MK  AC Sau ®ã chøng minh: AK = AH, BH = CK H B K M C  AB = AC   ABC c©n t¹i A 6 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- NÕu sö dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n ta còng cã lêi gi¶i sau: 7 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- C¸ch 5: - Gi¶ sö AB > AC. Trªn c¹nh AB lÊy D sao cho AD = AC ta cã: A  AMD =  AMC (c.g.c)  D1 = C (1) MD = MC. Ta l¹i cã MC = MB (gt)  MB = MD D 1 2 B   DMB c©n M  B = D2 (2) C Tõ (1) vµ (2): B + C = D1 + D2 = 180o (v« lý) - Gi¶ sö AB < AC. Còng lµm t¬ng tù nh trªn dÉn ®Õn m©u thuÉn VËy AB = AC hay  ABC c©n t¹i A Mét sè bµi to¸n tuy rÊt ®¬n gi¶n nÕu ta chØ gi¶i mét c¸ch ®¬n thuÇn mµ ta còng cã thÓ nhËn ra, quªn ®i viÖc t×m nhiÒu c¸ch gi¶i th× sÏ mÊt sù thó vÞ sÏ kh«ng thÊy c¸i hay cña bµi to¸n. II- t×m thªm kÕt qu¶ míi: NÕu ta biÕt c¸ch khai th¸c triÖt ®Ó gi¶ thiÕt b»ng c¸ch t×m thªm c¸c kÕt qu¶ míi th× kh«ng nh÷ng hiÓu s©u vÒ bµi to¸n mµ cßn tr¶i ra cho ta mét con ®êng ®Ó ®i t×m kiÕn thøc míi. VÝ dô 1: Gäi H lµ trùc t©m vµ AP, BN, CM lµ c¸c ®êng cao cña  ABC cã c¸c gãc nhän. Chøng minh r»ng tø gi¸c AMHN vµ BMCN néi tiÕp. A 1I M 1 2 H N G K NhËn xÐt 1: B×  ABC nhän nªn vai trß M, N, P lµ nh nhau. Do ®ã ta cã C B thªm c©u thÓ ®Ò xuÊt P hái: T×m tÊt c¶ c¸c tø gi¸c néi tiÕp cã trong h×nh vÏ. 8 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- NhËn xÐt 2: XÐt  BHC cã HP  BC, NC  BH, MB  HC mµ 3 ®êng cao HB, NC, BM ®ång quy t¹i A  A lµ trùc t©m cña  BHC. §Ò xuÊt kÕt qu¶ míi: Chøng minh r»ng mçi ®Ønh cña  ABC lµ trùc t©m cña tam gi¸c t¹o bëi H vµ 2 ®Ønh cßn l¹i. NhËn xÐt 3: Do AMHN nèi tiÕp  A1 = N1 (cïng ch¾n cung MH) ANPB néi tiÕp  A1 = N2 (cïng ch¾n cung BP)  N1 = N2  NH lµ ph©n gi¸c trong cña  MNP §Ò xuÊt kÕt qu¶ míi: Chøng minh H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp  MNP NhËn xÐt 4: NH lµ ph©n gi¸c trong cña  MNP Mµ CN  HN (gt)  NC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc MNP (1) Do NH lµ ph©n gi¸c trong cña  MNP  HM MN  HG NG (TÝnh chÊt ph©n gi¸c trong) Do NC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc MNG trong  MNG nªn: HM MC  HG CG (2) (TÝnh chÊt ph©n gi¸c ngoµi) Tõ (1) vµ (2)  HM MN CM   HG NG CG  KÕt qu¶ míi: Chøng minh r»ng: HM MC  HG CG : HM BN  HK BK : HP AP  HI AI NhËn xÐt 5: XÐt  MNP ta cã MC lµ ph©n gi¸c trong cña gãc NMP cßn PC, CN lµ ph©n gi¸c ngoµi cña gãc MPN vµ MNP  C lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp  MNP. Nªn ta cã thÓ ®Ò xuÊt kÕt qu¶ míi: Chøngminh r»ng c¸c ®Ønh A, B, C lµ c¸c t©m ®êng trßn bµng tiÕp cña  MNP. VÝ dô 2: Chøng minh ®¼ng thøc: (x - y)3 + (y - x)3 + (z - x)3 = 3 (x-y) (y-z) (z-x) 9 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- NhËn xÐt: (x - y) - (y - z) - (z - x) = 0 §Æt x - y = A, y - z = B, z - x = C A+B+C=0  A = -(B + C)  A3 = [(B3 + C3 + 3 (B + C)]  A3 = -B3 - C3 + 3 ABC Tõ bµi to¸n nµy ta ®Ò xuÊt 2 kÕt qu¶ míi: Chøng minh r»ng nÕu A + B + C = 0 th× A3 + B3 + C3 = 3 ABC . Chøng minh r»ng nÕu A + B + C = 0 th× A3 + B3 + C3 : A.B.C III- c¸c tri thøc ph¬ng ph¸p: NÕu ngêi gi¸o viªn chØ ch¨m chó vµo viÖc gi¶i to¸n mµ kh«ng rót ra tri thøc ph¬ng ph¸p th× häc sinh chØ biÕt nh÷ng bµi tËp ®ã ma kh«ng biÕt ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i nh÷ng bµi to¸n t¬ng tù hay tæng qu¸t h¬n. VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B= 3 1 Gi¶i: B = 3 = 3 21  12 1 3 21  12 3 1  3  3 1 2 3 3  3 4 2 3 1 1  Tri thøc ph¬ng ph¸p: - Khai c¨n tõ trong ra. - Chó ý h»ng ®¼ng thøc: A A - Chó ý tÝch 2 sè ®Ó x¸c ®Þnh sè thø nhÊt, sè thø hai iV- Thay ®æi bµi to¸n theo môc ®Ých d¹y häc: §Ó ®¶m nhiÖm ®îc vai trß "ngêi träng tµi" ngêi gi¸o viªn ph¶i cã kh¶ n¨ng thay ®æi bµi to¸n lµm bµi to¸n dÔ ®i, lµm bµi to¸n khã lªn theo môc ®Ých d¹y häc phï hîp víi tõng ®èi tîng häc sinh. Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh: 5x - 9 < 2x - 3 5x - 10 > 20 - 3x 3x < 6  5x > 30 10 x<2  x>6 x C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai 3x + 5  -2x + 9 x  -4 GV: Hoµng Phx  -4 VËy hÖ bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Muèn lµ bµi to¸n khã h¬n ta ®a mét ph¬ng tr×nh tÝch vµo: VÝ dô: Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh: (3x - 1) (5x + 2)  0 5x - 10 > 20 - 3x 3x + 5  -2x + 9 Gi¶i bµi to¸n nµy sÏ khã h¬n bµi to¸n trªn. Dµnh cho ®èi tîng häc sinh kh¸. Tuy nhiªn ta còng cã thÓ lµm cho bµi to¸n dÔ ®i. VÝ dô: Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh: 3x - 1  0 5x - 10  0 x-2>0 v-mét sè con ®êng t¹o ra bµi to¸n míi tõ bµi to¸nban®Çu I- T¸c dông cña viÖc t¹o ra bµi to¸n míi tõ bµi to¸n ban ®Çu: §Ó ®¶m nhËn ®îc vai trß “ Ngêi thiÕt kÕ” x©y dùng néi dung gi¶ng d¹y, thiÕt kÕ nh÷ng t×nh huèng ®Ó häc sinh tù gi¸c häc tËp, tù gi¸c tham gia c¸c ho¹t ®éng gi¶i to¸n, ngêi gi¸o viªn ph¶i cã n¨ng lùc t¹o ra c¸c bµi to¸n míi phï hîp víi yªu cÇu cña tiÕt d¹y, phï hîp víi tr×nh ®é thùc tÕ cña häc sinh. Bµi to¸n míi cã thÓ la bµi to¸n hoµn toµn míi, còng cã thÓ lµ sù më réng, ®µo s©u khai th¸c nh÷ng bµi to¸n ®· biÕt. ThËt ra, khã cã thÓ t¹o nªn mét bµi to¸n hoµn toµn kh«ng cã quan hÖ g× vÒ néi dung, ph¬ng ph¸p víi nh÷ng bµi to¸n ®· cã. §Ó thùc hiÖn nh÷ng ý ®å s ph¹m, trong tõng t×nh huèng cô thÓ, ®èi víi tõng lo¹i ®èi tîng häc sinh, gi¸o viªn ph¶i cã kh¨ n¨ng lµm dÔ ®i nh÷ng bµi to¸n khã, lµm khã thªm nh÷ng bµi to¸n dÔ, t¹o ra nh÷ng bµi to¸n cã møc ®é khã kh¨n, phøc t¹p nh nhau hoÆc ®a d¹ng ho¸ c¸c lo¹i bµi to¸n theo mét chñ ®Ò nhÊt ®Þnh. ®Çu. Díi ®©y lµ mét sè con ®êng dÉn ®Õn c¸cbµi to¸n míi tõ bµi to¸n ban iI-c¸c con ®êng t¹o ra bµi to¸n míi BµI TO¸N BAN §ÇU LËp LËp bµi bµi to¸n to¸n t¬ng ®¶o tù Thªm mét sè yÕu tè, ®Æc biÖt hãa Bít mét sè yÕu tè, kh¸i qu¸t hãa Thay ®æi mét sè yÕu tè 11 BµI TO¸N MíI C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- 1. LËp bµi to¸n t¬ng tù víi bµi to¸n ban ®Çu VÝ dô 1: Bµi to¸n ban ®Çu: Cho tØ lÖ thøc Chøng minh r»ng: a c  b d a c  a b c d Bµi to¸n míi: Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt trªn nhng thay kÕt luËn b»ng: Chøng minh r»ng: 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d C¸ch gi¶i bµi to¸n míi vµ bµi to¸n ban ®Çu t¬ng tù nhau nhng chóng ®· t¹o cho häc sinh nh÷ng kÕt qu¶ míi vµ quan träng. H¬n n÷a, víi ph¬ng ph¸p vµ kinh nghiÖm thu ®îc qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n trªn, häc sinh cã thÓ tù m×nh t×m ra nh÷ng kÕt qu¶ kh¸c tõ c¸c bµi to¸n ban ®Çu. Ch¼ng h¹n, tõ tØ lÖ thøc: a c  b d häc sinh cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau: a  b c  d ab a 2  b 2  ;  ; a  b c  d cd c 2  d 2 v….v 2. lËp bµi to¸n ®¶o cña bµi to¸n ban ®Çu: Con ®êng thø hai ®i ®Õn bµi to¸n míi lµ bµi to¸n ®¶o cña bµi to¸n ban ®Çu. §Ó lËp ®îc bµi to¸n ®¶o, ta cÇn biÕt c¸ch lËp mÖnh ®Ò ®¶o cña mÖnh ®Ò cho tríc. VÝ dô 1: Chøng minh r»ng nÕu tam gi¸c vu«ng cã mét gãc b»ng 30 0 th× c¹nh ®èi diÖn víi gãc Êy b»ng mét nöa c¹nh huyÒn. 1 Gi¶ sö  ABC gãc A b»ng 900, B = 300. Ta ph¶i chøng minh AC = 2 BC Bµi to¸n cã d¹ng: P (A = 90 0)  Q(B = 300) => R (AC = thÓ lËp ®îc 3 mÖnh ®Ò ®¶o: MÖnh ®Ò ®¶o 1: P => P  Q AC = 1 2 BC => A = 900; B = 300 MÖnh ®Ò ®¶o 2: P  R => Q A = 900; AC = 1 2 BC => B = 300 12 1 2 BC). Ta cã C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- MÖnh ®Ò ®¶o 3: Q  R => P B = 300; AC = 1 2 BC => A = 900 V× mÖnh ®Ò ®¶o 1 sai, mÖnh ®Ò 2 vµ 3 ®óng nªn ta cã hai bµi to¸n ®¶o nh sau: Bµi to¸n ®¶o 1: Chøng minh r»ng nÕu mét tam gi¸c cã mét gãc b»ng 30 vµ c¹nh ®èi diÖn víi gãc b»ng nöa cña mét trong 2 c¹nh cßn l¹i th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng. 0 VÝ dô 2: Trong tam gi¸c c©n, trung tuyÕn øng víi c¹nh ®¸y còng lµ ®êng cao, ®êng ph©n gi¸c. §Þnh lý ®¶o 1: Trong tam gi¸c c©n, ®êng cao øng víi c¹nh ®¸y còng lµ ph©n gi¸c trung tuyÕn. §Þnh lý ®¶o 2: Trong tam gi¸c c©n, ph©n gi¸c øng víi c¹nh ®¸y còng lµ ®êng cao trung tuyÕn. Hai ®Þnh lý nµy lµ néi dung cña ®Þnh lý thuËn. §Þnh lý ®¶o 3: NÕu mét tam gi¸c cã ®êng cao còng lµ trung tuyÕn th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n. §Þnh lý ®¶o 4: NÕu mét tam gi¸c cã ®êng cao còng lµ trung tuyÕn th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n. §Þnh lý ®¶o 5: NÕu mét tam gi¸c cã ph©n gi¸c còng lµ trung tuyÕn th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n. 3. Thªm vµo bµi to¸n ban ®Çu mét sè yÕu tè ®Æc biÖt ho¸ bµi to¸n: §Ó t¹o ra bµi to¸n míi ta cã thÓ thªm vµo bµi to¸n ban ®Çu mét sè yÕu tè. Cã thÓ thªm vµo gi¶ thiÕt mét sè d÷ kiÖn hoÆc thªm vµo kÕt luËn mét sè ®iÒu ph¶i chøng minh. ViÖc thªm yÕu tè vµo bµi to¸n ban ®Çu cã thÓ lµm cho nã phøc t¹p h¬n nhng còng cã thÓ lµm cho nã trë nªn dÔ dµng h¬n cho viÖc gi¶i bµi to¸n. VÝ dô 1: Tõ bµi to¸n ban ®Çu. H·y tÝnh tæng sau: A= 1 1 1 1 1   _ ...   1.2 2.3 3.4 8.9 9.10 Bµi to¸n míi: H·y tÝnh tæng sau: B= 1 1 1 1 1 1 1 1        20 30 42 56 72 90 110 132 Khi gi¶i bµi to¸n ban ®Çu, ta ®· cã s½n c¸c mÉu cña c¸c ph©n sè ®îc viÕt díi d¹ng tÝch hai sè tù nhiªn liªn tiÕp, trong khi gi¶i bµi to¸n sau ta ph¶i lµm 13 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- thªm c«ng viÖc ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh tÝch cña hai sè cã ®Æc ®iÓm nh trªn. ViÖc nµy kh«ng ph¶i bao giê còng nhËn thÊy ngay vµ g©y khã kh¨n cho ngêi gi¶i. Møc ®é phøc t¹p cña bµi toµn cµng t¨ng nÕu ta l¹i t¨ng thªm c«ng viÖc ph¶i lµm. Ch¼ng h¹n: H·y tÝnh tæng sau: C= 3 3 3 3 3 3 3 3 3        20 30 42 56 72 90 110 132 156 VÝ dô 2: Bµi to¸n ®Çu: Cho  ABC c©n cã gãc A = 100 0. Trong gãc C vÏ tia Cx sao cho gãc BCx = 30 0. Tia nµy c¾t tia ph©n gi¸c cña gãc B t¹i E. Chøng minh r»ng AB = EB vµ tÝnh gãc AEB. Bµi to¸n nµy vµo lo¹i khã v× nã ®ßi hái ph¶i vÏ thªm ®êng phô kh¸ ®Æc biÖt. V× vËy, ®Ó lµm bµi to¸n dÔ gi¶i h¬n, ta cã thÓ thªm c©u hái nh»m gîi ý cho viÖc gi¶i bµi to¸n. Bµi to¸n míi: Cho  ABC c©n cã gãc A b»ng 100 0. Trong gãc C vÏ tia Cx sao cho gãc BCx b»ng 300. Tia nµy c¾t ph©n gi¸c cña gãc B t¹i E. a) VÏ  ABC ®Òu (A vµ D thuéc cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê BC). Chøng minh r»ng DA lµ ph©n gi¸c cña gãc BDC. b) Chøng minh r»ng AB-EB vµ tÝnh gãc AEB. Râ rµng viÖc ®a thªm c©u hái a lµ nh»m gîi ý cho viÖc gi¶i c©u b. Trong trêng hîp, viÖc ®a thªm mét sè yÕu tè cña bµi to¸n ban ®Çu cã thÓ chuyÓn viÖc nghiªn cøu ®èi tîng ®· cho sang viÖc nghiªn cøu mét tËp hîp ®· cho. Nãi c¸ch kh¸c, khi ®a thªm c¸c ®iÒu kiÖn h¹n chÕ, ta chuyÓn tõ trêng hîp chung sang trêng hîp riªng, ®· tiÕn hµnh ®Æc biÖt ho¸ bµi to¸n ban ®Çu. VÝ dô 3: Bµi to¸n ban ®Çu: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh. xy = x + y + 1995 Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi: (x - 1) (y-1) = 1996, gi¶ sö x y x y 1997 2 999 3 500 5 0 -1995 -1 -997 Bµi to¸n míi: T×m nghiÖm nguyªn lín h¬n 4 cña ph¬ng tr×nh: xy = x + y = 1995 14 -3 -498 C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n ¬ng Mai GV: Hoµng Ph- ViÖc ®a thªm ®iÒu kiÖn "Lín h¬n 4” ®· thu hÑp tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh chØ cßn mét cÆp sè (500,5) lµ tho¶ m·n. Ph¬ng tr×nh sÏ trë thµnh v« nghiÖm nÕu thªm vµo ®iÒu kiÖn "Lín h¬n 5". 4. Bít ®i mét sè yÕu tè cña bµi to¸n kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n ban ®Çu. Khi ®Ò xuÊt bµi to¸n míi b»ng c¸ch bít ®i mét sè yÕu tè cña bµi to¸n hai ®Çu, ta cã thÓ bá ®i mét vµi ®iÒu kiÖn ®· cho, bá ®i mét vµi ®iÒu kiÖn rµng buéc hoÆc bá ®i mét vµi ®ßi hái cña kÕt luËn. ViÖc bít ®i mét sè yÕu tè ph¶i hîp lý, nh»m t¹o ra bµi to¸n míi mét c¸ch x¸c ®Þnh. Khi ®ã ra më réng ph¹m vi cña bµi to¸n, hoÆc t¨ng sè lêi gi¶i hoÆc t¨ng møc ®é phøc t¹p cña bµi to¸n. Khi bít ®i mét hoÆc mét sè ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt, ta ®· chuyÓn viÖc nghiªn cøu mét tËp hîp ®èi tîng ®· cho sang viÖc nghiªn cøu mét tËp hîp lín h¬n tËp hîp ban ®Çu. Ta ®· chyÓn bµi to¸n tõ trêng hîp ®Æc biÖt sang trêng hîp tæng qu¸t h¬n, nãi c¸ch kh¸c ta ®· kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n. VÝ dô 1: Bµi to¸n ban ®Çu: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho 2 - Xem thêm -