Tài liệu Skkn bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG T.H.P.T ĐỨC HỢP SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY RỘNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11. Lĩnh vực: Toán học Họ và tên: LÊ THỊ HINH Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THPT Đức Hợp Năm học: 2015- 2016 MỤC LỤC NĂM HỌC 2015-2016 Nội dung Trang PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.....................................1 1. Lý do chọn đề tài.........................................................................................1 2. Cơ sở thực tiễn............................................................................................2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................2 4. Mục đích nghiên cứu...................................................................................2 5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu.........................................................2 6. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................3 7. Giả thuyết khoa học của đề tài....................................................................3 8. Đóng góp của đề tài.....................................................................................3 9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài…………………………… 4 10. Cấu trúc của đề tài.....................................................................................4 PHẦN II. NỘI DUNG...................................................................................5 1. Kiến thức lý thuyết cơ bản..........................................................................5 2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng......................6 2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp dụng 2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình 6 lượng giác chứa cung nx ( n  N* ) và các bài toán áp dụng 12 3. Tổ chức thực nghiệm và đối chứng 21 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 1. Kết luận....................................................................................................... 25 2. Kiến nghị..................................................................................................... 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 26 PHỤ LỤC........................................................................................................ 27 PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Lý do chọn đề tài Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu của giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, để thực hiện được điều đó người giáo viên phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học từ PPDH theo lối “Truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách tiếp cận và vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phải hình thành năng lực và phẩm chất, từ đó dần thay đổi cách kiểm tra đánh giá từ kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề để có thể tác động kịp thời nhằm thúc đẩy học sinh sự ham học hỏi, khám phá và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nâng cao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục. Chương trình toán THPT hiện nay, cụ thể là chương trình lượng giác Lớp 11 các phương trình lượng giác đòi hỏi năng lực sáng tạo của học sinh xuất hiện không nhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập . Trong nhiều tài liệu tham khảo cũng có đề cập đến các bài tập nâng cao về giải phương trình lượng giác nhưng tôi thấy chỉ có các bài toán vận dụng công thức lượng giác sẵn có trong SGK hoặc các kỹ năng thêm bớt, kỹ năng phân tích nhân tử, những bài tập dạng này chỉ cần kỹ năng thuần túy hướng học sinh vào tư duy đường mòn mà không đòi hỏi tính sáng tạo, tạo hứng thú nghiên cứu cho học sinh. Hơn nữa trong xu hướng dạy học hiện nay là đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích phát huy năng lực cho học sinh, tạo cho người học hứng thú trong học tập, nghiên cứu khoa học và áp dụng vào thực tiễn cuộc sống chứ không chỉ thuần túy là học để thi. Dựa trên các tài liệu tham khảo do bản thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy và kinh nghiệm tôi đã chọn tìm hiểu và nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11”. Tôi tập hợp các bài toán đòi hỏi năng lực sáng tạo suy rộng công thức lượng giác sẵn có và tìm công thức lượng giác phù hợp để giải lớp các phương trình từ đó cho học sinh tự rút ra các bài học kinh nghiệm và các nhóm tự biên soạn các bài tập vận dụng tượng tự và nộp sản phẩm, 1 thông qua các tiết học tự chọn trong phân phối chương trình và các buổi hội thảo chuyên đề nâng cao do ban chuyên môn nhà trường tổ chức. Đồng thời tạo cho các em có cách nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề vừa được học. Bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo, qui lạ về quen, năng lực biến đổi lượng giác, năng lực nghiên cứu và tổng hợp được vấn đề cần nghiên cứu. Tôi hi vọng đề tài này được các em học sinh tích cực hợp tác và các đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ để giúp tôi bổ sung và hoàn thiện tốt đề tài này. 2. Cơ sở thực tiễn Nội dung liên quan đến “Giải phương trình lượng giác” thường được quan tâm trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường ĐH trước đây và kỳ thi THPT Quốc gia hiện nay và trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Mặt khác đây là một phần kiến thức khó, học sinh học phần kiến thức này thường là học theo hình thức ghi nhớ công thức lượng giác, ít khi nghiên cứu tìm tòi sáng tạo. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm ra được 15 công thức lượng giác suy rộng từ đó vận dụng vào giải nhanh các phương trình lượng giác . - Từ các bài tập thực hiện chỉ ra được các bài toán tổng quát, các lớp bài toán vận dụng nhằm hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu. - Kết thúc mỗi dạng bài tập các nhóm đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện và mở rộng các dạng bài tập đó. 4. Mục đích nghiên cứu - Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn phục vụ cho công tác dạy học. - Bồi dưỡng cho học năng lực tư duy sáng tao, tư duy phân tích, tổng hợp từ một dạng toán, từ đó phát triển năng lực tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề. - Bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực của các hoạt động trí tuệ, rèn luyện đức tính cần cù, cẩn thận, góp phần hình thành những phẩm chất đạo đức, năng lực làm việc cần thiết của một người công dân sau này. 5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 2 5.1. Phạm vi nghiên cứu Học sinh đang học lớp 11, 12; học sinh dự thi học sinh giỏi Tỉnh, học sinh ôn thi THPT Quốc gia. 5.2. Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác. 5.3. Vấn đề nghiên cứu của đề tài: Sử dụng phương pháp dạy học nào để nâng cao năng lực tư duy sáng tạo trong học tập bộ môn toán cho học sinh THPT đối với phần Giải phương trình lượng giác. 6. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết về công thức lượng giác, phương pháp giải phương trình lượng giác trong chương trình SGK Đại số và giải tích 11. - Nghiên cứu về phương pháp dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh môn toán. - Nghiên cứu về thực tế giảng dạy môn toán hiện nay ở trường THPT Đức Hợp, khảo sát học sinh, qua sách báo và tài liệu tham khảo môn toán, học hỏi và tiếp thu các ý kiến đóng góp của đồng nghiệp qua các tiết dự giờ. 7. Giả thuyết khoa học của đề tài Trên cơ sơ lý luận của phương pháp dạy học môn toán và thực tiễn dạy học về phương trình lượng giác nếu biết khai thác, vận dụng thành thạo công thức lượng giác sẵn có, biết phân tích đề bài, học sinh sẽ phát huy được năng lực suy rộng, phát hiện công thức lượng giác phù hợp để áp dụng vào giải một số dạng phương trình lượng giác khó, đòi hỏi tính sáng tạo. Từ đó học sinh rút ra cho bản thân các bài học kinh nghiệm, hệ thống hóa dạng toán, tích cực, chủ động, sáng tạo hơn trong việc học tập và nghiên cứu. 8. Đóng góp của đề tài - Bồi dưỡng được cho học sinh năng lực suy rộng các công thức lượng giác sẵn có, tìm tòi sáng tạo các công thức lượng giác phù hợp giải nhanh một số dạng phương 3 trình lượng giác hay và khó phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi các cấp hằng năm. - Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết phương trình lượng giác và các kỹ năng trình bày lời giải bài toán giải phương trình lượng giác. - Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và không thấy e ngại khi gặp bài toán khó. - Giúp cho giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm về đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học . 9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài Vì thời gian có hạn vì vậy ở đề tài này Tôi mới chỉ dừng lại ở nội dung học sinh sử dụng các công thức lượng giác vào giải các dạng phương trình lượng giác, hướng tiếp theo của đề tài Tôi sẽ hướng dẫn học sinh vận dụng các công thức này vào các lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lượng giác. 10. Cấu trúc của đề tài Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu Phần II: Nội dung 1. Kiến thức lý thuyết cơ bản. 2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng công thức, sản phẩm của các nhóm học sinh tự ra các bài tập tương tự . 3. Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng. Phần III: Kết luận và khuyến nghị. 4 PHẦN II. NỘI DUNG 1. Kiến thức lý thuyết cơ bản Các phương trình lượng giác cơ bản:  Phương trình: sin x =a (1) Nếu a  1 thì phương trình (1) vô nghiệm  x    k 2 Nếu a  1 đặt sin   a thì phương trình (1) có nghiệm   x      k 2 (k  Z) u ( x )  v( x)  k 2 Phương trình: sin u(x)=sinv(x)   u ( x )    v( x )  k 2 , (k  Z) Phương trình: sin x  0  x  k  sin x  1  x   k 2 2  sin x  1  x    k 2 (k  Z) 2  Phương trình: cosx =a (2) Nếu a  1 thì phương trình (2) vô nghiệm  x    k 2 Nếu a  1 đặt cos   a thì phương trình (1) có nghiệm   x    k 2 (k  Z) u ( x)  v( x)  k 2 Phương trình: cos u(x)=cosv(x)   u ( x)  v( x)  k 2 , (k  Z) Phương trình:   k 2 cos x  1  x  k 2 cos x  1  x    k 2 (k  Z) cos x  0  x   Phương trình: tanx =a Điều kiện xác định: x  (3)   k (k  Z) 2 Với mọi giá trị thực của a và tan  =a thì phương trình (3) có nghiệm x    k (k  Z) 5 Phương trình: tanu(x)=tanv(x)  u ( x )  v ( x)  k , (k  Z) với u ( x)     k , v( x)   k 2 2 Với x    k , k  Z ta có phương trình: 2 tan x  0  x  k  tan x  1  x   k 4  tan x  1  x   k (k  Z) 4  Phương trình: cotx =a (4) Điều kiện xác định: x    k (k  Z) Với mọi giá trị thực của a và cot  =a thì phương trình (4) có nghiệm x    k (k  Z) Phương trình: cotu(x)=cotv(x)  u ( x)  v( x)  k , (k  Z) với u ( x)  k , v( x)  k Với x    k (k  Z) ta có phương trình:   k 2  cot x  1  x   k 4  cot x  1  x   k (k  Z) 4 cot x  0  x  2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng. 2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp dụng Hướng dẫn các nhóm học sinh chỉ ra được các công thức lượng giác suy rộng từ các công thức lượng giác sẵn, phát hiện phương pháp giải nhanh và chính xác một số dạng phương trình lượng giác. Từ đó rút ra các bài học kinh nghiệm bằng cách tổng quát hóa các dạng phương trình lượng chứa cung nx ( n  N* ).  Công thức gốc 1: sin 3a=3sina- 4sin3a 6 Công thức suy rộng: Hoặc: sin 3a  3  4sin 2 a (1.1) hoặc sin a  4sin 2 a  3  sin 3a (1.2) sin a sin 3a  1  2 cos 2a (1.3) sin a Hoặc 4sin a 3 1   (1.4) 1  2 cos 2a sin 3a sin a Vận dụng: VD1: Giải phương trình sau: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x Lời giải: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x (1) Vì x= k (k  Z) không là nghiệm của phương trình (1) nên áp dụng công thức (1.1) ta có: (1)  2 cos 3x  3  4sin 2 x   1  2 cos 3 x. sin 3x  1  sin 6 x  sin x sin x 2   2k  5m, k , m  Z  x  k 5 6 x  x  k 2     6 x    x  k 2 x    k 2  2k  7m  1, k , m  Z   7 7 2 2 VD2: Giải phương trình  3  4sin x  .  3  4sin 3x   1 (2) Lời giải: Vì x= k (k  Z) không là nghiệm của phương trình (2) nên áp dụng công thức (1.2) ta có: (2)  sin x.  3  4sin 2 x  .  3  4sin 2 3 x   sin x  sin 3 x.  3  4sin 2 3 x   sin x   xk  9 x  x  k .2 4  sin 9 x  sin x     9 x    x  k .2 x    k   10 5 (k  Z) Bài học kinh nghiệm: 2 2 2 n Phương trình:  3  4 sin x  .  3  4sin 3 x  ....  3  4sin 3 x   1  sin(3n 1 x)  sin x Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 2 2 2 1)  3  4sin x  .  3  4sin 3x  .  3  4sin 9 x   1 2 2 2) 2cos 9x.  3  4sin x  .  3  4sin 3 x   1   7 sin 27 x  sin x  2 cos 9 x.sin 9 x  sin x  sin18 x  sin x  3) 4sin x 12sin 3 x 36sin 9 x 27    1 1  2 cos 2 x 1  2 cos 6 x 1  2cos18 x sin 27 x (  sin x  1 áp dụng công thức 1.4)  Công thức gốc 2: cos 3x= 4cos3x- 3cosx Công thức suy rộng: cos 3 x  4 cos 2 x  3 (2.1) hoặc cos x.  4 cos 2 x  3  cos 3x (2.2) cos x Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x Lời giải: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x (3)  2 Vì x=  k (k  Z ) không là nghiệm của phương trình (3) nên áp dụng CT (2.1) ta có: (3)  2sin 3 x  4 cos 2 x  3  1 cos 3 x    1  sin 6 x  cos x  sin 6 x  sin   x  cos x 2   2     x  14  k 7 6 x  2  x  k 2     x    k 2 (k  Z) 6 x    x  k 2  2 5  10  2sin 3x. 2 2 Ví dụ 4: Giải phương trình  4 cos x  3 .  4 cos 3x  3  1 2 2 Lời giải:  4 cos x  3 .  4 cos 3x  3  1 (4)  2 Vì x=  k (k  Z) không là nghiệm của phương trình (4) nên áp dụng CT (2.2) ta có: (4)  cos x.  4 cos 2 x  3 .  4 cos 2 3 x  3   cos x  cos 3 x.  4 cos 2 3x  3   cos x   x  k 4 9 x  x  k 2  cos 9 x  cos x     9 x   x  k 2 9 x  k  (k  Z)  5 2 2 Ví dụ 5: Giải phương trình 2sin 9 x.  4 cos x  3 .  4 cos 3 x  3  1 2 2 Lời giải: 2sin 9 x.  4 cos x  3 .  4cos 3 x  3  1 (5)  2 Vì x=  k (k  Z) không là nghiệm của phương trình (5) nên áp dụng CT (3.2)ta có: 8 (5)  2sin 9 x.cos x  4 cos 2 x  3  .  4 cos 2 3 x  3   cos x  sin18 x  cos x  sin18 x  sin(  x) 2  2     x  38  k 19 18 x  2  x  k 2      x    k 2 18 x    x  k 2   2 34 17 (k  Z) Bài học kinh nghiệm: 2 2 2 n Phương trình:  4 cos x  3 .  4 cos 3 x  3 ....  4 cos 3 x  3  1  cos(3n 1 x)  cos x Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng Giải các phương trình sau: 2 2 2 1)  4 cos x  3 .  4 cos 3 x  3 .  4 cos 9 x  3   1 2) cos 3 x .  4 cos 2 3x  3 .  4cos 2 9 x  3  1 cos x  Công thức gốc 3: tan 2 x    cos 27 x  cos x  cos 27 x  cos x  2 tan x 1  tan 2 x Công thức suy rộng : 1  tan 2 x  2 tan x 1 tan 2 x  (3.1) hoặc 2 tan 2 x 1  tan x 2 tan x (3.2)       x   k , x   k , (k  Z)  2 4 2   2 2 2 Ví dụ 6: Giải phương trình sau:  1  tan x  .  1  tan 2 x  .  1  tan 4 x   8 Lời giải: ĐK : cos x  0, cos2 x  0, cos4x  0 , áp dụng CT (3.1) ta có: 1 1 1 1 . .  2 2 2 1  tan x 1  tan 2 x 1  tan 4 x 8 tan 2 x tan 4 x tan 8 x 1  . .  2 tan x 2 tan 2 x 2 tan 4 x 8   tan 8 x  tan x  8 x  x  k  x  k (k  Z) 7 (6)  2 2 2 Ví dụ 7: Giải phương trình sau: cot x.  1  tan x  .  1  tan 2 x  .  1  tan 4 x   8 (7) Lời giải: ĐK: sin 8 x  0 , áp dụng CT (3.2) ta có: 9 2 2 2 . . 2 2 1  tan x 1  tan 2 x 1  tan 2 4 x tan 2 x tan 4 x tan 8 x  cot x  . . tan x tan 2 x tan 4 x tan 8 x  cot x   tan 8 x  1 tan x     8 x   k  x  k (k  Z) 4 32 8  7  cot x  x Ta có   k 32 8 (k  Z) thỏa mãn điều kiện . Bài học kinh nghiệm: Với ĐK : sin 2n 1 x  0 ta có:  1  tan x  .  1  tan 2 2 2 x  .  1  tan 2 2 2 x  ....(1  tan 2 2 n x )  2n 1 tan x tan 2n 1 x 2 2 2 2 2 n n 1 Phương trình : cot x.  1  tan x  .  1  tan 2 x  .  1  tan 2 x  ....(1  tan 2 x)  2  tan 2n 1 x  1 Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: 2 2 2 1.  1  tan x  .  1  tan 2 x  .  1  tan 4 x   8.cot 8 x  tan x  1 2 2 2 2 2 2. cot x.  1  tan x  .  1  tan 2 x  .  1  tan 2 x  .(1  tan 8 x)  16  tan16 x  1 Ví dụ 8: Bài tập kết hợp các công thức suy rộng từ các công thức gốc 1,2,3 Giải phương trình sau: 1) (cot x  cot 3x ).(4 cos 2 x  3)  2 (8.1) Lời giải: ĐK: sin3x  0 (8.1)  2 cos x 2 cos x cos 3 x 4cos 2 x  3  2  .  2  cot 3 x  1  sin 3x sin 3 x cos x  3x      k  x   k 4 12 3 (k  Z) (t/m)   2  2)  .  4 cos 2 x  3   2 (8.2)  sin x sin 3 x  1 1 Lời giải: ĐK: sin3x  0 10 2 cos 2 x .  4 cos 2 2 x  3  2 sin 3x 2 cos 2 x cos 6 x    .  2  cos 6 x  sin 3 x  cos   3 x  sin 3x cos 2 x 2  (8.2)   2     x  18  k 9 6 x  2  3x  k 2       x    k 2 6 x    3x  k 2   2 6 3 (k  Z) Bài học kinh nghiệm: Giải những phương trình sử dụng đồng thời nhiều công thức sẽ khó giải hơn vì vậy học sinh phải lựa chọn vận dụng công thức phù hợp cho từng bước giải phương trình. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:  1. (tan 3x  tan x).(3  4sin 2 x)  2 2. (tan 2 x  tan x)  tan 3 x  1 1 1  tan 2 x   2  sin( a  b) sin(a  b) , tan a  tan b  sin a.sin b cos a.cos b  Công thức gốc 4: cot a  cot b  tan(a  b)  1 sin 2 2 x  sin 2 x  1  0  tan a  tan b 1  tan a.tan b cot a  cot b 1 tan a  tan b Công thức suy rộng: sin a.sin b  sin( a  b) (4.1) , cos a.cos b  sin(a  b) tan a.tan b  Ví dụ 9: Giải phương trình sau: (4.2), tan a  tan b  1 (4.3) tan(a  b) 1 1 1    0 (9) sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3 x sin 3x.sin 4 x Lời giải: ĐK: sin 3x  0, sin 4 x  0 , Áp dụng CT (4.1) ta có: cot x  cot 2 x cot 2 x  cot 3x cot 3 x  cot 4 x   0 sin x sin x sin x   cot x  cot 4 x  x  k (k  Z) 3 (9)  1 1 1   ...   0 (n  N, n 3) sin( n  1) x.sin nx Baì học kinh nghiệm: sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3x  cotx=cot(nx) 11 Ví dụ 10: Giải phương trình sau: tan x.tan 2 x  tan 2 x.tan 3x  tan 3x.tan 4 x  3  0 (10) Lời giải: ĐK: cos 3x  0, cos4 x  0, cosx  0, cos2x  0 , áp dụng CT (4.3) ta có: tan 2 x  tan x tan 3 x  tan 2 x tan 4 x  tan 3 x 1 1 1 3  0 tan(2 x  x) tan(3 x  2 x) tan(4 x  3 x) tan 2 x  tan x  tan 3 x  tan 2 x  tan 4 x  tan 3 x  0 tan x tan 4 x  tan x   0  tan 4 x  tan x  4 x  x  k tan x   xk (k  Z) 3 (10)  Baì học kinh nghiệm: tan x.tan 2 x  tan 2 x.tan 3x  ...  tan(n  1) x.tan nx  ( n  1)  0 (n  N, n  tan nx=tanx 3) Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1. 1 1 1 1    0 sin 3 x.sin 6 x sin 6 x.sin 9 x sin 9 x.sin12 x sin12 x.sin15 x 2. tan x.tan 2 x  tan 2 x.tan 3x  tan 3x.tan 4 x  tan 4 x.tan 5 x  4  0   cot 3 x  cot15 x  tan 5 x  tan x  2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình lượng giác chứa cung nx ( n  N* ) và các bài toán áp dụng Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài phát hiện công thức lượng giác phù hợp với mỗi phương trình lượng giác từ đó giải nhanh, chính xác các phương trình lượng giác chứa cung nx ( n  N* ). Sau mỗi dạng các em tự rút ra cho mình bài học kinh nghiệm bằng cách tổng quát hóa cho mỗi dạng phương trình lượng giác chứa cung nx ( n  N* ). Ví dụ 11: Giải phương trình sau: 1 1 1    0 (11) sin 2 x sin 4 x sin 8 x Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( 1 1 ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? sin 2a sin 2a Ta có : 1 1 sin a sin(2 a  a) sin 2a cos a  cos 2a sin a     =cota-cot2a sin 2a sin 2a sin a.sin 2a sin a.sin 2a sin a sin 2 a Học sinh chốt được công thức : 1  cot a  cot 2a (sin2a  0) (5) sin 2a 12 Vận dụng công thức (5) với sin 8 x  0 ta có : (11)  cot x  cot 2 x  cot 2 x  cot 4 x  cot 4 x  cot 8 x  0  cot x  cot 8 x  0   cot 8 x  cot x  8 x  x  k  x  k (k  Z) 7 ( t/m) Bài học kinh nghiệm: Với sin 2n x  0 ta có: 1 1 1  ... sin 2 x sin 4 x sin 2n x 0 cot x cot(2 n x) (n N, n 2) Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1. 1 1 1   0 sin 4 x sin 8 x sin16 x 2. 1 1 1 1    0 sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x ( cot 2 x  cot16 x) Ví dụ 12: Giải phương trình sau: ( cot x  cot16 x) tan x tan 2 x tan 4 x    0 (12) cos 2 x cos 4 x cos8 x Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( tan a tan a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos 2a cos 2a tan a sin a sin(2a  a)   cos 2a cos a.cos 2a cos a.cos 2 a sin 2a.cos a  cos 2a sin a  cos a.cos 2a = tan2a-tan a Học sinh chốt được công thức : tan a = tan2a-tan a ( coa  0, cos2a  0) (6) cos 2a Vận dụng công thức (6) , với cos8 x  0, cos4x  0, cos2x  0 ta có : (12)  tan 2 x  tan x  tan 4 x  tan 2 x  tan 8 x  tan 4 x  0  tan 8 x  tan x   8 x  x  k  x  k (k  Z) ( t/m ) 7 Bài học kinh nghiệm: Với cos 2 x  0, ....cos2n x  0 tan x tan 2 x tan 2 n 1 x  ... cos 2 x cos 4 x cos 2n x 0 tan 2 n x 13 tan x ( n N, n 2) Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1. tan x tan 2 x tan 4 x tan 4 x    0 cos 2 x cos 4 x cos8 x cos8 x 2. tan 2 x tan 4 x tan 8 x tan16 x    0 cos 4 x cos8 x cos16 x cos 32 x Ví dụ 13: Giải phương trình sau:  tan 8 x  tan x   tan 32 x  tan 2 x  cos x cos 3 x cos 9 x    0 (13) sin 3 x sin 9 x sin 27 x Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( cos a cos a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? sin 3a sin 3a Ta có: 1 1 sin 2a sin(3a  a) cos a sin a.cos a 2 2    sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a 1 (sin 3a.cos a  cos 3a.sin a) 1 =2  (cot a  cot 3a) (sina  0, sin 3a  0) sin a.sin 3a 2 Học sinh chốt được công thức : cos a 1  (cot a  cot 3a) sin 3a 2 Vận dụng công thức (7) , với sin 27 x ۹0 x k ( sin 3a  0) (7)  ta có: 27 1 (cot x  cot 3 x  cot 3 x  cot 9 x  cot 9 x  cot 27 x)  0 2   cot 27 x  cot x  27 x  x  k  x  k (k  Z) (t/m) 26 (13)  Bài học kinh nghiệm: với sin 3n 1 x  0 cos x cos 3 x cos 3n x   ...   0  cot x  cot 3n 1 x n 1 sin 3 x sin 9 x sin 3 x Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1. cos 3x cos 9 x cos 27 x   0 sin 9 x sin 27 x sin 54 x  cot 3 x  cot 54 x  14 2. cos x cos 3x cos 9 x cos 27 x    0 sin 3 x sin 9 x sin 27 x sin 54 x Ví dụ 14: Giải phương trình sau:  cot x  cot 54 x  cos 2 x cos 6 x cos18 x    0 (14) sin 3 x sin 9 x sin 27 x Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( cos 2a cos 2a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? sin 3a sin 3a Ta có: 1 (sin 3a  sin a) cos 2a sin a.cos 2a 2 1 1 1    (  ) sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a 2 sin a sin 3a Học sinh chốt được công thức : cos 2a 1 1 1  (  ) sin 3a 2 sin a sin 3a Vận dụng công thức (8), với sin 27 x ۹0 x k ( sin 3a  0) (8)  ta có: 27 1 1 1 1 1 1 1 (      )0 2 sin x sin 3x sin 3 x sin 9 x sin 9 x sin 27 x 27 x  x  k 2 1 1    sin 27 x  sin x   sin x sin 27 x 27 x    x  k 2 (14)     x  k 13   (k  Z) (t/m) x    k   28 14 Bài học kinh nghiệm: với sin 3n 1 x  0 cos 2 x cos 6 x cos 3n.2 x 1 1   ...  0   0  sin 3n 1 x  sin 3 x (n  N* ) n 1 sin 3x sin 9 x sin 3 x sin 3x sin 3n 1 x Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1. cos 2 x cos 6 x cos18 x cos 54 x    0 sin 3 x sin 9 x sin 27 x sin 81x  sin 81x  sin 3x  2. cos 6 x cos18 x cos 54 x cos162 x    0 sin 9 x sin 27 x sin 81x sin 243 x  sin 243 x  sin 9 x  Ví dụ 15: Giải phương trình sau: sin x sin 3 x sin 9 x    0 (15) cos 3 x cos 9 x cos 27 x 15 Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( sin a sin a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos 3a cos 3a Ta có: sin a 1 2sin a.cos a 1 sin 2a  .  cos 3a 2 cos a.cos 3a 2 cos a.cos 3a 1 sin(3a  a) 1   (tan 3a  tan a ) 2 cos a.cos 3a 2 Học sinh chốt được công thức : sin a 1  (tan 3a  tan a ) cos 3a 2 ( cosa  0, cos3a  0) (9) Vận dụng công thức (9), với cos 27 x  0 ta có : 1 (tan 3 x  tan x  tan 9 x  tan 3 x  tan 27 x  tan 9 x)  0 2   tan 27 x  tan x  27 x  x  k  x  k (k  Z) (t / m) 26 (15)  Bài học kinh nghiệm: với cos 3n x  0 ta có phương trình: sin x sin 3 x sin 3n 1 x   ....   0  tan 3n x  tan x n cos 3 x cos 9 x cos 3 x (n  N* ) Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1. sin x sin 3 x sin 9 x sin 27 x    0 cos 3 x cos 9 x cos 27 x cos81x 2. sin 3x sin 9 x sin 27 x   0 cos 9 x cos 27 x cos81x 3. sin 3x 1 1  tan3x- =0 cos 9 x 2 2 (  tan 81x=tan x) (  tan 81x=tan 3x) (  tan 9x -1=0) Ví dụ 16: Giải phương trình sau: cos 5 x cos10 x cos 20 x    3 (16) cos x cos 2 x cos 4 x Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( cos 5a cos 5a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos a cos a Ta có: 16 cos 5a  cos 5a  cos 3a  (cos 3a  cos a )  cos a =2cos4a.cosa-2cos2a.cosa+cosa =cosa.(2cos4a-2cos2a+1) cos 5a   2cos4a-2cos2a+1 cos a Học sinh chốt được công thức : cos 5a  2cos4a-2cos2a+1 cos a Hoặc công thức suy rộng: 1 2cos4a-2cos2a+1  cos a cos 5a ( cosa  0) (10) ( cosa  0, cos5a  0) ( 11) Vận dụng công thức (10), với cos x  0, cos 2 x  0, cos 4 x  0 ta có : (16)  2 cos 4 x  2 cos 2 x  1  2 cos8 x  2 cos 4 x  1  2 cos16 x  2 cos8 x  1  3   xk  16 x  2 x  k 2 7  cos16x=cos2x     16 x  2 x  k 2 x  k   9 (k  Z) ( t/m) Bài học kinh nghiệm: với cosx  0, cos 2x  0,.....cos 2n x  0 ta có phương trình: cos 5 x cos10 x cos 5.2n x   ...   n  1  cos 4.2n x=cos2x (n  N) cos x cos 2 x cos 2n x Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1. 2. cos 5 x cos10 x cos 20 x cos 40 x    4 cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x  cos10 x cos 20 x cos 40 x cos80 x    4 cos 2 x cos 4 x cos8 x cos16 x 3. cos 5 x  2 cos 2 x  0 cos x 4. cos 5 x  2 cos 4 x  0 cos x 5. 2 cos 4 x  2 cos 2 x  cos 32 x  cos 2 x   cos 64 x  cos 4 x  ( 2 cos 4 x  1  0 ) ( 2 cos 2 x  1  0 ) 1 1  cos 5 x cos x ( vận dụng công thức (11) với: cos x  0, cos 5 x  0 ta có: 17 1 1  1 cos 5 x cos x 1 2 cos 4 x  2 cos 2 x  1  2 cos 4 x  2 cos 2 x  1   1 cos 5 x cos 5 x  1    2 cos 4 x  2 cos 2 x  .   1  0 )  cos 5 x  (5)  2 cos 4 x  2 cos 2 x  1  Ví dụ 17: Giải phương trình sau: sin 5 x sin10 x sin 20 x    tan x  tan 2 x  tan 4 x (17) cos x cos 2 x cos 4 x Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( sin 5a sin 5a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos a cos a Ta có: sin 5a  sin 5a  sin 3a  (sin 3a  sin a)  sin a =2sin4a.cosa-2sin2a.cosa+sina sin a =cosa.(2cos4a-2cos2a+ ) cos a sin 5a   2cos4a-2cos2a+tan a cos a Học sinh chốt được công thức : sin 5a  2cos4a-2cos2a+tana ( cosa  0) (12) cos a Vận dụng công thức (12) với cos x  0, cos 2 x  0, cos 4 x  0 ta có : (17)  2 cos 4 x  2 cos 2 x  tan x  2 cos 8 x  2 cos 4 x  tan 2 x  2 cos16 x  2 cos 8x  tan 4 x  tan x  tan 2 x  tan 4 x   xk  16 x  2 x  k 2 7  cos16x=cos2x     16 x   2 x  k 2    x  k  9 Bài học kinh nghiệm: (k  Z) ( t/m) với cosx  0, cos 2x  0,.....cos 2n x  0 ta có phương trình: sin 5 x sin10 x sin 5.2 n x   ...   tan x  tan 2 x  ....  tan 2 n x  cos 4.2 n x=cos2x (n  N) n cos x cos 2 x cos 2 x Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 18