Tài liệu Skkn bàn về một số phương pháp giải phương trình bậc cao

Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao BÀN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO I. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Phương trình bậc cao là một dạng phương trình khó- là một trong những chủ đề khó của chương trình toán THCS . Vì vậy học sinh thường gặp khó khăn trong vấn đề biến đổi cũng như giải quyết bài toán. Cho nên khi giảng dạy vấn đề này người giáo viên không nên chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán cụ thể nào đó mà cần phải chú trọng đến việc hướng dẫn học sinh biến đổi các bài toán đó như thế nào? Đó là điều cốt lõi để học sinh có thể vận dụng để giải các bài toán khác. Vì vậy tôi đưa ra nghiên cứu đề tài “ một số phương pháp giải phương trình bậc cao”. Để giảng dạy tốt phần kiến thức này giáo viên cũng như học sinh phải nắm vững các kiến thức về phương trình bậc hai cũng như các kĩ năng biến đổi đa thức. 2/ CƠ SỞ THỰC TIỄN: Đối với phương trình bậc cao học sinh thường lúng túng khi biến đổi vì nó không có một số một quy tắc giải nào cụ thể như đối với phương trình bậc hai, và học sinh thường vận dụng một cách cứng nhắc chưa nhận dạng được một loại phương trình cụ thể nào để biến đổi đi đến tìm nghiệm của phương trình đó. Cơ sở thực tiễn của việc giải phương trình bậc cao là biến đổi nó về dạng phương trình bậc hai hoặc phương trình tích để tìm nghiệm những dạng quen thuộc đã gặp từ đó tìm nghiệm của phương trình cần tìm. 1 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao Phương trình bậc cao có nhiều dạng nhưng ở để tài này tôi chỉ đưa ra hai dạng phương trình chính đó là phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn thường gặp trong chương trình. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Trong tất cả các phương trình bậc cao khi tiến hành giải ta thường sử dụng phép biến đổi để như làm thế nào đó để hạ bậc của phương trình đã cho để đưa về dạng quen thuộc, trong đề tài này tôi chủ yếu trình bày hai phương pháp quen thuộc đó là: phương pháp phân tích thành nhân tử và phương pháp biến đổi để đặt ẩn phụ. Vì vậy tôi nghiên cứu đề tài này nhằm giúp bản thân tôi nghiên cứu sâu hơn về phương trình bậc cao qua đó áp dụng cho học sinh vận dụng thành thạo các phép biến đổi linh hoạt trong quá trình giải toán nhằm góp phần nâng cao hơn tư duy của học sinh. 1. Phương trình quy về phương trình bậc hai: Dạng 1: Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a + b = c + d. Giáo viên cần cho học sinh thấy được nếu ta tính riêng tích (x + a)(x + b) và tích (x + c)(x + d) thì ta thấy các tích trên có hai hạng tử chứa ẩn x là chung ( vì ta thấy được a + b = c + d ). Từ đó ta đặt X = x2 + (a + b)x. Ví dụ: Giải phương trình: (x +2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) = 3. (1) Ta thấy phương trình (1)  (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) = 3. khi đó ta đặt X = x2 + 7x + 10  x2 + 7x + 12 = X + 2 Từ đó ta có phương trình: X(X + 2) = 3 giải ra ta được X = 1 và X = -3. Với X = 1 ta lại có phương trình x 2 + 7x + 10 = 1 � x2 +7x +9 = 0, từ đó ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình là: x1 = 7  13 7  13 , x2 = . 2 2 Với X = -3 ta có phương trình x2 + 7x + 10 = -3 � x2 + 7x +13 = 0, phương trình này vô nghiệm. 2 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = 7  13 7  13 và x2 = . 2 2 Dạng 2: Phương trình ax4 + bx3 + cx2  kbx + k2a = 0 (1) (ka 0). Đây là dạng cơ bản mà ta dễ dàng thấy được x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, từ đó hướnh dẫn HS chia hai vế của phương trình cho x 2, ta được một phương trình mới: a( x2 + t=x   x2 + k2 x2 ) + b( x  k x ) + c = 0. Từ đó hướng dẫn HS đặt: k x k2 x2 = t2  2k .Vậy ta đã chuyển phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai: at2 + bt + c  a.2k = 0. Ví dụ: Giải phương trình: x4 + 4 = 5x(x2 – 2). Phương trình đã cho tương đương với phương trình: x4 – 5x3 +10x + 4 = 0. Dễ thấy x = 0 không là nghiệm cua phương trình. Chia hai vế cua phương trình cho x2 ta được: x2 + Đặt t = x  4 2  5( x  ) = 0. 2 x x 2 4 4 � t2 = x 2  2  4 � x 2  2  t 2  4 , ta có phương trình: x x x t2 – 5t + 4 = 0 � t1 = 1, t2 = 4 2 x  Với t = 1 ta có x   1 � x2 – x -2 = 0 � x1 = -1, x2 = 2. 2 x  Với t = 4 ta có x   4 � x2 – 4x – 2 = 0 � x3 = 2  6 , x4 = 2  6 . Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  1; 2; 2  6; 2  6 . Dạng 3: Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (*). 3 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao Đối với phương trình dạng này HS sẽ rất khó khai triển để biến đổi vì vậy GV cần hướng dẫn HS tìm cách đặt ẩn phụ để ẩn phụ có thể biểu diễn qua hai đại (x + a)4 , (x + b)4 từ đó biến đổi phương trình về một dạng mới. lượng Đặt: y  x a b ab �x y 2 2 Suy ra: x + a = y  x + b = y a b a b a y 2 2 a b a b b  y  2 2 Thay vào phương trình (*), ta được một phương trình trùng phương: 1 8 2y4 + 3(a – b)2y2 + (a – b)4 – c = 0 (**) Đặt: t = y2, t �0. Ta có: 2t2 + 3(a – b)2t + 1 (a – b)4 – c = 0. 8 Từ đó ta giải phương trình với ẩn t � y � x. Ví dụ: Giải phương trình: Đặt: (x + 5)4 + (x + 3)4 = 2. (*) y=x+4 Suy ra: x + 5 = y + 1 ; phương trình: x + 3 = y – 1. Thay vào phương trình (*), ta được 2 ( y  1) 2  ( y  1) 2 � (y + 1) 4 + (y – 1)4 = 2 � � � � 2  ( y  1)( y  1)  = 2 2 � y4 + 5y2 = 0. Giải ra ta được y = 0. Với y = 0, ta có x = - 4. Vậy phương trình (*) có nghiệm là x = - 4. ( chú ý với phương trình (x – a)4 + (x – b)4 = c, Ta cũng thực hiện tương tự với ẩn phụ là y  x  Dạng 4: ab ). 2 Phương trình dạng: (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax 2 . Trong đó ad = bc, đây là một phương trình khó đối với HS nếu không có phương pháp giải vì vậy GV cần hướng dẫn cho HS thấy được nếu ghép các tích (x – a)(x – d) 4 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao và các tích (x – b)(x – c) thì ta sẽ có ngay hai hạng tử không chứa ẩn x của các tích là bằng nhau ( x2 + ad = x2 + bc). Vậy để giải phương trình trên ta đặt ẩn phụ là: y  x  ad . x Ví dụ: Giải phương trình (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x2 Ta biến đổi phương trình về dạng sau: (x2 + 14x + 24)(x2 + 11x + 24) = 4x2. Ta dễ dàng thấy được x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, ta chia cả hai vế của phương trình cho x2 � 0, ta được: 24 y  x 24 � 24 � � � x (1), từ đó ta đưa phương trình về �x  14  � �x  11  � 4 . Đặt x � x � � � dạng: (y + 14)(y + 14) = 4. Ta dễ dàng tìm được nghiệm là: y1 = - 15; y2 = - 10. * Với y = - 15 thay vào (1), ta được phương trình: x 2 + 15x + 24 = 0. Giải ra ta có các nghiệm là: x1  15  129 15  129 , x2  . 2 2 * Với y = - 10, thay vào (1), ta được phương trình: x 2 + 10x + 24 = 0. Giải ra ta được các nghiệm là: x3 = - 6 , x4 = - 4. 2. Phương trình được đưa về dạng phương trình tích: Có những dạng phương trình mà ta có thể biến đổi về dạng phương trình tích để tìm nghiệm. Để có thể đưa phương trình về dạng tích ta cần sử dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử mà ở đó qua mỗi dạng chúng ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau. Ví dụ 1: Giải phương trình : 2(x2 + x + 1)2 – 7(x – 1)2 = 13(x3 – 1). (1) � 2(x2 + x + 1)2 + (x3 – 1) – 14(x3 – 1) – 7(x – 1)2 = 0 � (x2 + x + 1)(2x2 + 3x + 1) – 7(x – 1)(2x2 + 3x + 1) = 0 5 (1) Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao � (2x2 + 3x + 1)(x2 – 6x + 8) = 0 � (2x2 + 3x + 1) = 0 hoặc (x2 – 6x + 8) = 0. � 1 � ; 2; 4 �. � 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là �1; Ví dụ 2: Giải phương trình : 8x2  1 5  . Đối với dạng phương trình này GV x 2 cần hướng dẫn HS làm thế nào đó để mất dấu căn trong phương trình sau khi đã đặt điều kiện cho ẩn ( có thể bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc phương pháp bình phương). Điều kiện x (x2 – 6x + 8) = 0. Đặt t = 1 1 (t > 0) suy ra x = 2 . Phương trình đã t x cho trở thành: 8 5  t  � 2t5 – 5t4 + 16 = 0. (1) Có thể hướng dẫn HS nhẩm nghiệm 4 x 2 ( nghiệm nguyên nếu có là ước của hạng tử tự do). Rõ ràng t = 2 là nghiệm của phương trình (1), sử dụng sơ đồ horner ta có thể biến 1 4 đổi phương trình (1) � (t – 2)2(2t3 +3t2 + 4t + 4) = 0 � t = 2 � x  . Ví dụ 3: Giải phương trình : x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 = 0 GV cần cho HS thấy đối với những phương trình không có nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta nhận thấy vế trái là một đa thức bậc bốn, giả sử ta phân tích được thành hai nhân tử bậc hai x2 + px + q và x2 +rx +s, trong đó p, q, s là các số nguyên chưa xác định, khi đó: x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 = (x2 + px + q)( x2 +rx +s). Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ thức sau: 6 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao �p  r  4 �s  p  qr  10 � � �ps  qr  37 � �qs  14 Giải hệ này ta được p = - 5; q = 2; s = - 7; r = 1. Do đó phương trình đã cho trở thành: (x2 – 5x + 2)(x2 + x – 7) = 0. Giải hai phương trình bậc hai x 2 – 5x + 2 = 0 và x 2 + x – 7 = 0, ta được các nghiệm của phương trình ban đầu là: 5 � 17 1 � 29 ; . 2 2 3. Phương trình chứa tham số. Đây là dạng phương trình mà thường gây cho HS rất nhiều khó khăn khi giải quyết, mặc dù nó không phải là một dạng phương trình khó. Vấn đề là GV cần hướng dẫn cho HS phương pháp giải hợp lí để HS có thể giải quyết dễ dàng khi gặp dạng tương tự. Các kiến thức chủ yếu để giải phương trình này là các phương pháp phân tích đa thức đa thức thành nhân tử ; các kiến thức về công thức nghiệm đối với phương trình bậc hai. Ví dụ 1: Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0, với a, b, c là các số hữu tỉ và 3 là một nghiệm của phương trình. Tìm các nghiệm còn lại. Đối với dạng phương trình này GV cần hướng cho HS thay ẩn x bằng 3 , sau đó dựa vào các điều kiện đã cho của bài toán và thực hiện giải. ? Vì 3 là nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 nên ta có biểu thức nào? � 3 3  3a  3b  c  0 � 3(b  3)  3a  c  0 ? 3 là số vô tỉ nên các biểu thức còn lại phải thoã mãn điều kiện gì? 7 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao b + 3 = 0 và 3a + c = 0, suy ra b = - 3 và c = - 3a. Khi đó x 3 + ax2 + bx + c = 0 � x�3 � x3 + ax2 – 3x – 3a = 0 � (x2 – 3)(x + a) = 0 � � x  a � Ví dụ 2: Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt (x2 – 1)(x + 3)(x + 5) = m (1) ? Với dạng phương trình này ta biến đổi nó như thế nào để giải quyết được yêu cầu bài toán? Giúp Hs xác định đây là phương trình bậc bốn, vậy cần biến đổi nó về dạng tích của hai tam thức bậc hai và xác định điều kiện về nghiệm của các tam thức đó để thoã mãn yêu cầu của bài toán. Ta dễ dàng biến đổi phương trình (1) về dạng (x2 +4x – 5)(x2 + 4x + 3) = m. Đặt X = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 �0, ta được phương trình: (X – 9)(X – 1) = m � X2 – 10X + 9 – m = 0. (2) ? Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi nào? Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt. Điều đó xãy ra khi và chỉ khi: 0 � � �S  0 �P  0 � � 25  (9  m)  0 � � 10  0 � � 9m  0 � � m  16  0 � � 9m 0 � � - 16 < m < 9. Ví dụ 3: Cho phương trình: x3 – 2(m + 1)x2 + (m3 + 4m - 4)x – 2(m3 + 4) = 0 (*) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Đối với dạng phương trình này GV cần hướng dẫn HS làm thế nào đó để phân tích vế trái thành nhân tử trong đó sẽ có một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai. (phương pháp thông thường là nhẩm một nghiệm của phương trình hoặc tách nhóm các hạng tử). Từ phương trình trên ta dễ dàng xác định được một nghiệm của nó là x = 2. Vậy ta có thể biến đổi phương trình (*) về dạng: 8 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao (x – 2)(x2 – 2mx +m3 – 4) = 0. ? Vậy để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt cần thoã mãn điều kiện gì? Cần hướng cho HS phát hiện ra (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: Phương trình x2 – 2mx +m3 – 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2: � m 2  4m �0 � � �,   m3  m 2  4  0 � � m(m  4) �0 � � (2  m)(m 2  m  2)  0 � �m �0 � � �m  2 III. KẾT LUẬN: Trong chương trình toán THCS, phương trình bậc cao là một dạng toán khó đòi hỏi HS cần có kĩ năng biến đổi khéo léo và sự chính xác trong từng phép toán cụ thể. Vì vậy trong quá trình dạy dạng toán này người HS cần có yêu cầu cao về các kiến thức đại số cơ bản, nếu có những phương pháp biến đổi hợp lí thì việc giải phương trình bậc cao sẽ trở nên hết sức đơn giản. Vấn đề cốt lõi trong việc giải phương trình bậc cao là nhận dạng các bài toán từ đó có những phép biến đổi hợp lí để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn. Việc giải phương trình bậc cao sẽ giúp HS nâng cao tư duy sáng tạo của mình đồng thời rèn các kĩ năng về biến đổi đại số, cũng như cũng cố các kiến thức về phương trình bậc hai. Đặc biệt đối với việc bồi dưỡng HS giỏi, cũng như ôn luyện thi vào các trường THPT. Qua quá trình nghiên cứu đề tài này chúng ta cần rút ra những kinh nghiệm cơ bản như sau: - Lưu ý HS nhận dạng từng bài toán để có những phương pháp giải cụ thể, qua đó vận dụng vào giải những bài toán tương tự khác. 9 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao - Trong quá trình dạy học người giáo viên không chỉ là hướng dẫn HS giải mà cần cho HS nghiên cứu kĩ từng dạng toán đó để xâu chuỗi và phát triển bài toán thành bài toán mới. - Để giúp các em có phương pháp học tập tốt hơn môn toán trong quá trình giảng dạy GV cần tìm tòi các cách khác nhau để tiếp cận một vấn đề, giải kỹ các phương pháp khác nhau những bài toán cơ bản trọng tâm, và phát triển các bài toán đó dưới các hình thức khác nhau. Thông qua các nhận xét, liên hệ giữa cái vừa tìm được để tạo ra cái mới. Trong đề tài tôi nghiên cứu chắc chắn còn có nhiều sai sót, mong các bạn đọc và các đồng nghiệp góp ý cho tôi để đề tài này hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 10 Bàn về một số phương pháp giải phương trìng bậc cao Hương sơn, ngày 24 / 04 / 2009. 11