Tài liệu Sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “GIÚP HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 5 HỌC TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ” A. MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Lý do chọn vấn đề nghiên cứu: Trong các môn học ở tiểu học không có môn nào rèn luyện năng lực suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nhƣ môn Toán, môn Toán không chỉ hình thành cho các em những kiến thức, kĩ năng cơ bản ban đầu mà còn giúp các em phát triển tƣ duy rất nhiều. Chƣơng trình toán tiểu học có nhiều kiến thức đƣợc phân loại và sắp xếp theo từng chƣơng, phần, từng mạch kiến thức riêng biệt. Mạch kiến thức nào cũng rất quan trọng và có những ƣu điểm về phát triển tƣ duy riêng. Song mạch kiến thức về "số và chữ số" vẫn là mạch kiến thức trọng tâm xuyên suốt toàn bộ chƣơng trình, xen lồng với các mạch kiến thức khác, là nguyên tố chính hỗ trợ cho các mạch kiến thức khác. Trong mạch kiến thức "số và chữ số" có một loại toán rất quan trọng, rất cơ bản trong việc bồi dƣơng học sinh khá giỏi đó là: "Các bài toán liên quan tới dãy số". Chính bởi , "Các bài toán liên quan tới dãy số đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ và vận dụng thành thạo các kiến thức, kĩ năng cơ bản của số học để tìm ra những đặc điểm của dãy số, xác định đƣợc chính xác những yêu cầu của đề ..."Các bài toán liên quan tới dãy số" giúp rèn cho học sinh khả năng quan sát, phân tích , lựa chọn phƣơng pháp giải đồng thời còn rèn kĩ năng tính toán nhanh, óc suy luận loogic...nhờ vậy mà não bộ của các em rất phát triển. Trong thực tế giảng dạy, qua thời gian bồi dƣỡng cho học sinh giỏi của bản thân và qua tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp đã, đang bồi dƣỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy cần có một hƣớng đi mới thật cụ thể, thật chi tiết khi dạy chuyên đề: "Các bài toán liên quan đến dãy số" này Chính vì vậy, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và tìm ra một số nội dung, phƣơng pháp khi dạy chuyên đề: "Các bài toán liên quan đến dãy số" cho học sinh lớp 5. Sáng kiến kinh nghiệm tôi nghiên cứu là: “ Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số” 2. Ý nghĩa và tác dụng của vấn đề nghiên cứu: Việc dạy và học các bài toán về dãy số đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ và vận dụng thành thạo các kiến thức kĩ năng cơ bản của số học để tìm ra đặc điểm của dãy số. Các bài toàn về dãy số giúp học sinh rèn luyện khả năng quan sát, phân tích, lựa chọn phƣơng pháp giải đồng thời còn rèn kĩ năng tính toán nhanh, óc suy luận logic. Từ đó giúp các em phát triển đƣợc khả năng tƣ duy sáng tạo, có những hiểu biết cần thiết cho cuộc sống hằng ngày. 3. Phạm vi nghiên cứu: - Xác định miền địa lý: Trƣờng Tiểu học Tân Châu, huyện Khoái Châu - Đối tƣợng tiến hành nghiên cứu: Học sinh lớp 5 - Lĩnh vực khoa học: Chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi môn Toán II. PHƢƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1. Cơ sở lý luận: Môn Toán ở tiểu học nói chung đều có 5 mạch kiến thức cơ bản đó là: + Dạy số học và các phép tính + Dạy học yếu tố hình học + Dạy học đại lƣợng và đo đại lƣợng + Dạy học các yếu tố thống kê + Dạy học giải toán có lời văn Trong 5 kiến thức đó thì mạch “Dạy số học và các phép tính” là mảng kiến thức đƣợc chiếm phần lớn trong chƣơng trình ở các khối lớp. Phần kiến thức toán học về dãy số không đƣợc trình bày tƣờng minh ở chƣơng, bài cụ thể nào mà nó chỉ đƣợc giới thiệu gián tiếp qua các bài tập cụ thể lồng ghép trong các mạch kiến thức khác - Lớp 2, 3 có bài toán điền số vào ô trống trong băng ô (dãy số là các số hạng đƣợc lặp lại để tạo nên một tổng hoặc là kết quả của phép nhân hoặc phép chia trong bảng) - Lớp 4, 5 cac bài toán về dãy số đƣợc mở rộng với phân số và số thập phân tuy nhiên đó chỉ là chƣơng trình dành cho đối tƣợng học sinh khá giỏi. 2. Cơ sở thực tiễn: * Thực trạng của học sinh: Học sinh bây giờ thông minh hơn trƣớc đây rất nhiều, đó là ý kiến chung của mọi ngƣời. Các em tuy còn nhỏ, nhƣng cũng rất ham hiểu biết, muốn tự mình khám phá, muốn tự mình chứng tỏ với các bạn trong lớp, với tất cả mọi ngƣời. Chính vì vậy các cuộc thi “ Giải toán qua mạng ”đƣợc rất đông đảo các em tham gia. Đặc biệt khả năng tiếp thu bài của các em rất tốt, chỉ cần giáo viên chúng ta có thể gợi ý nêu cách giải là các em làm đƣợc bài. Tuy vậy ở vùng nông thôn chúng tôi việc dạy toán ít nhiều còn gặp khó khăn. Bởi vì, do bố mẹ các em phần lớn làm ruộng, trình độ còn hạn chế, ít quan tâm tới các em, họ đi làm ăn xa, để con gửi ông bà trông giúp, việc dạy con haaugf nhƣ phó mặc cho thầy cô. Các em giải bài toán còn nhầm lẫn, cách trình bày còn vòng vo dài dòng. Đặc biệt các em rất ngại giải những bài toán nâng cao * Thực trạng về giáo viên: Trong thực tế hiện nay dạy về các dạng toán dãy số ở các giờ Toán trên lớp khi có bài toán cụ thể đƣợc các thầy cô hƣớng dẫn cụ thể. Tuy vậy để mọi giáo viên đều nghiên cứu giải các dạng toán nâng cao thì hầu hết đều ngại đọc sách, ngại nghiên cứu tìm tòi các dạng toán có hệ thống và tìm ra các cách giải cho học sinh. Từ đó dẫn đến những mặt hạn chế nhƣ sau: - Giáo viên chƣa chú trọng hƣớng dẫn giải toán nâng cao cho học sinh giỏi. - Chƣa hệ thống đƣợc các dạng toán đi từ dễ đến khó cho học sinh dễ nhớ. - Chƣa nắm chắc phƣơng pháp giải các dạng toán nâng cao. - Việc phát hiện học sinh có năng khiếu về môn toán còn hạn chế. 3. Các biện pháp tiến hành Xuất phát từ những thực tế trên, bản thân tôi là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhiều năm ở lớp 5 nên tôi rất trăn trở. Quả thật, bài toán về dãy số đối với học sinh lớp 5 cũng tƣơng đối khó với các em. Vậy làm thế nào để các em hiểu và dễ dàng đi giải đƣợc các bài toán này. Tôi đã tiến hành nghiên cứu nhƣ sau: * Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: - Đọc các tài liệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm. - Nghiên cứu chƣơng trình giáo khoa, sách giáo viên các lớp 2, 3, 4, 5. - Nghiên cứu những yêu cầu cơ bản đối các bài toán liên quan đến dãy số - Đọc, nghiên cứu các sách nâng cao lớp 5 để tìm hiểu cách giải các dạng toán, phân loại các dạng toán. * Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra việc học và nắm bắt các dạng toán cơ bản đã học ở lớp 4 về dãy số để nắm bắt thực trạng của học sinh. * Phƣơng pháp nghiên cứu thực nghiệm: Để học sinh hiểu và làm tốt các bài toán về dãy số tôi chọn học sinh lớp 5A do tôi chủ nhiệm làm đối tƣợng thực nghiệm và chọn học sinh lớp 5B trong cùng khối 5 làm đối tƣợng so sánh cho sự thực nghiệm của mình. Trong quá trình thực nghiệm tôi đã đi sâu vào giải quyết những vấn đề sau: Vấn đề 1: Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến cách giải các dạng toán. Vấn đề 2: Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ dễ đến khó Ở trên lớp, tôi phân loại các em thành từng nhóm nhỏ để có biện pháp phù hợp giúp đỡ nhau hiểu bài. Tôi hƣớng dẫn, giảng giải cho các em cặn kẽ. Xây dựng cho các em thói quen làm bài, trình bày bài sao cho phù hợp, thật khoa học, dễ hiểu, đơn giản. 4. Thời gian nghiên cứu: Để có đƣợc những kinh nghiệm “ Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số” tôi đã tiến hành nghiên cứu từ năm học 2011-2012 và áp dụng, thử nghiệm từ năm học 2012- 2013 và đến năm học 2013-2014 tôi đã báo cáo chuyên đề này trƣớc tổ chuyên môn và nhà trƣờng . B. NỘI DUNG I. MỤC TIÊU: 1. Dựa trên cơ sở nội dung, chƣơng trình dạy học giải toán ở tiểu học nói chung và ở lớp 5 nói riêng, tìm hiểu về các dạng toán về dãy số trong chƣơng trình ở tiểu học. 2. Giúp học sinh nắm đƣợc các kiến thức cần ghi nhớ trƣớc khi áp dụng vào giải các bài toán về dãy số. 3. Học sinh nắm đƣợc cách giải các bài toán về dãy số trong các sách nâng cao ở lớp 5 đƣợc phân chia theo dạng từ dễ đến khó. II. NỘI DUNG TIẾN HÀNH 1. Mô tả giải pháp của sáng kiến kinh nghiệm: Các bài toán về dãy số tƣơng đối khó với các em học sinh giỏi lớp 5. Các em khi giải bài toán này cần phải kiên trì, suy nghĩ, suy luận để tìm ra cách giải nhanh nhất. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã tham khảo và rút ra đƣợc những điều cần ghi nhớ trƣớc khi giúp học sinh phân nhóm những bài tập thành các dạng bài với các phƣơng pháp giải khác nhau. Vấn đề 1: Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến cách giải các dạng toán. 1.Kĩ thuật tính toán các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đối với số tự nhiên, số thập phân, phân số. 2. Đặc điểm của dãy số tự nhiên: Số 0 là nhỏ nhất. Không có số lớn nhất Hai đơn số liên tiếp hơn(kém) nhau 1 đơn vị 3. Đặc điểm của dãy số chẵn, số lẻ Số 0 là số chẵn nhỏ nhất Số 1 là số lẻ nhỏ nhất Không có số chẵn hoặc số lẻ lớn nhất Hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn(kém) nhau 2 đơn vị 4. Dấu hiệu chia hết Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 Các số có chữ số tận cùng là 0, 5 thì chia hết cho 5 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 5. Dấu hiệu chia còn dƣ Số chia cho 2 dƣ 1 có chữ số tận cùng là: 1, 3, 5, 7, 9 Số chia cho 5 dƣ 1 có tận cùng là 1 hoặc 6. Số chia cho 5 dƣ 2 có tận cùng là 2 hoăc 7.... Số có tổng các chữ số chia cho 3 dƣ 1 thì số đó chia cho 3 cũng dƣ 1. Số có tổng các chữ số chia cho 3 dƣ 2 thì số đó chia cho 3 cũng dƣ 2 Số có tổng các chữ số chia cho 9 dƣ 1 thì số đó chia cho 9 cũng dƣ 1. Số có tổng các chữ số chia cho 9 dƣ 2 thì số đó chia cho 9 cũng dƣ 2....... 6. Bài toán trồng cây - Trồng cây trên đƣờng thẳng, trồng cây ở cả hai đầu đƣờng: Số cây = Số khoảng cách + 1 - Trồng cây trên đƣờng tròn(đƣờng cong) hoặc trên đƣờng khép kín: Số cây = Số khoảng cách 7. Công thức tính số lƣợng số trong một dãy số cách đều Số lƣợng số = (Số lớn nhất - số nhỏ nhất) : khoảng cách giữa 2 số liền kề + 1 8. Công thức tính tổng các số hạng trong dãy tính có các số hạng là dãy số cách đều Tổng = (Số đầu + số cuối) x số lƣợng số : 2 9. Cách tìm số đầu tiên, số cuối cùng trong dãy số cách đều Số đầu tiên(số nhỏ nhất) = Số cuối cùng(số lớn nhất) - (số lƣợng số - 1) x khoảng cách Số cuối cùng(số lớn nhất) = Khoảng cách x (số lƣợng số - 1) + số đầu tiên(số nhỏ nhất) Sau khi học sinh nắm chắc đƣợc những kiến thức cần ghi nhớ trên, tôi tiến hành sang vấn đề 2. Đó là: Vấn đề 2: Hệ thống và hƣớng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ dễ đến khó 1. PHÂN DẠNG TOÁN Dạng 1: Viết dãy số theo yêu cầu Dạng 2: Tìm thêm số hạng trong dãy số Dạng 3: Tìm số lƣợng số có trong dãy số Dạng 4: Xác định một số bất kì có thuộc dãy số đã cho hay không Dạng 5: Tìm số thứ n trong dãy số Dạng 6: Tìm số lƣợng chữ số có trong dãy Dạng 7: Tính tổng của dãy số Dạng 8: Tìm số thứ N để số lƣợng chữ số gấp 1 số lần so với số lƣợng số Dạng 9: Tìm số thứ N Dạng 10: Dãy chữ Dạng 11: Điền số vào băng ô Dạng 12: Một số bài toán khác 2. PHƢƠNG PHÁP GIẢNG DẠY Trƣớc khi dạy từng dạng bài của chuyên đề, tôi cho HS ôn luyện những tính chất cơ bản, cần thiết cho dạng bài bằng phƣơng pháp chính là đàm thoại gợi mở và thực hành. Tiến hành dạy cuốn chiếu từng bài DẠNG 1: VIẾT DÃY SỐ THEO YÊU CẦU Ví dụ: Viết dãy số có: a) 10 số chắn liên tiếp b) 15 số lẻ liên tiếp lớn hơn 100 nhƣng nhỏ hơn 150 c) 8 số liên tiếp, mỗi số chia cho 5 đều dƣ 2 và đều nhỏ hơn 100 Bƣớc 1: Hƣớng dẫn HS tìm hiểu đề, phân tích lựa chọn cách giải a) - Theo đề bài các số đƣợc viết theo đặc điểm gì? (Là các số chẵn liên tiếp) - Dãy số chẵn liên tiếp có đặc điểm gì? ( Hai số liền kề hơn-kém nhau 2 đơn vị) - Số đầu tiên trong dãy là số nào? Vì sao? ( Nếu các số hạng trong dãy tạo thành dãy số tăng dần thì số đầu tiên là số chẵn bất kì còn nếu các số hạng trong dãy tạo thành dãy số giảm dần thì số đầu tiên trong dãy bắt buộc phải là số lớn hơn16) b) Hƣớng dẫn tƣơng tự Lƣu ý: Dãy số có các số hạng tăng dần thì số lẻ đầu tiên trong dãy này phải nhỏ hơn 123 và lớn hơn 100. Dãy số có các số hạng giảm dần thì số lẻ đầu tiên trong dãy số này phải lớn hơn 127 và nhỏ hơn 150 c) - Các số chia hết cho 5 dƣ 2 có đặc điểm gì? (Có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc bằng 7) - Hai sô liên tiếp trong dãy số này có đặc điểm gì? (Hơn kém nhau 5 đơn vị) - Các số hạng trong dãy tăng dần thì số đầu tiên trong dãy phải thế nào? ( Số đầu tiên trong dãy phải nhỏ hơn 67) - Các số hạng trong dãy giảm dần thì số đầu tiên trong dãy số phải thế nào? (Số đầu tiên phải lớn hơn 32 nhỏ hơn 100) Bƣớc 2: Hƣớng dẫn HS trình bày bài giải a) Hai số chẵn liên tiếp hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị. Dãy số có 10 số chẵn liên tiếp là: 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0 Hoặc: 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118 ...................................................................................... b) Hai số lẻ liên tiếp hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị. Mà các số lẻ trong bài phải là số lớn hơn 100 và nhỏ hơn 150 nên dãy số theo yêu cầu của đề bài là: 121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145, 147, 149 Hoặc: 129, 127,....101 ............................................................................................. c) Các số chia cho 5 dƣ 2 có tận cùng bằng 2 hoặc 7. Nhƣ vậy các số hạng trong dãy phải có chữ số hàng đơi vị là 2 hặc 7 và phải nhỏ hơn 100 nên dãy số theo yêu cầu là: 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57 Hoặc: 37, 32, 27, 22, 17, 12, 7, 2 ............................................................................................ Ghi nhớ : Khi viết dãy số theo yêu cầu cần: - Xác định đƣợc đặc điểm của các số trong dãy số đó - Xác định đƣợc đặc điểm của 2 số liền kề - Xác định đƣợc giới hạn trong dãy số BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Viết dãy số có: 1) 10 số tự nhiên liên tiếp nhỏ hơn 1000 2) 25 số thập phân liên tiếp lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1,3 3) 5 số tự nhiên chia hết cho 3 nhƣng chia cho 2 dƣ 1 4) 7 số tự nhiên mà số liền sau gấp 3 lần số liền trƣớc 5) 12 số tự nhiên giảm dần 4 đơn vị Gợi ý: 1) Dãy số có thể giảm dần tối thiểu bắt đầu từ 9, 8...0 Dãy số tăng dần có thể tối đa bắt đầu từ 990,....999 2) - Nếu các số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân thì dãy số có thể là: 1,01; 1,01.....1,25 - Nếu các số thập phân có 3 chữ số ở phần thập phân thì dãy số có thể là: 1,001; 1,002;.....1,025 Hoặc: 1,110; 1,111;... 3) Các số chia cho 2 dƣ 1 có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 Nhƣ vậy các số có trong dãy số phải là các số lẻ và chia hết cho 3 Suy ra khoảng cách giữa hai số liền kề là 6 đơn vị Dãy số theo yêu cầu là: 27, 21, 15, 9 , 3 Hoặc: 81, 87, 93, 99, 105 4) Vì số liền sau gấp 3 lần số liền trƣớc nên số đầu tiên trong dãy số không thể là 0. Dãy số cần biết phải là dãy số tăng dần, mỗi số hạng trong dãy kể từ số thứ hai đều chia hết cho 3. Dãy số theo yêu cầu là: 11, 33, 99, 297, 891,2073,8019. Hoặc 2 ,6 ,18 ,54,162 ,486 ,1458... 5) Dãy số đã cho có các số hạng giảm dần 4 đơn vị nên số hạng đầu tiên trong dãy số phải lớn hơn 43.Hai số hạng liền kề luôn hơn (kém) nhau 4 đơn vị. Dãy số theo yêu cầu là: 44 ,40 ,36 ,32 ,28 ,24 ,20 ,16 ,12 ,8 ,4 ,0. Hoặc 106 ,102 ,98 ,94 ,90 ,86 ,82 ,78 ,74 ,70 , 66 ,62. DẠNG 2: TÌM THÊM SỐ HẠNG TRONG DÃY SỐ 1)Viết tiếp số hạng vào dãy số. VD: Hãy viết tiếp 5 số hạng vào dãy số sau: 11 , 22 , 33 , 44 , 55 . . . Cách 1: Bƣớc 1: Hƣớng dẫn học sinh quan sát, nhận xét, lựa chọn cách làm. -Hãy quan sát từng số hạng đã cho trong dãy số, nhận xét mối quan hệ giữa 2 đơn vị liền kề ? ( Hai đơn vị liền kề hơn (kém) nhau 11 đơn vị ) - Đây là dãy số có đặc điểm gì ? ( Các số hạng tăng dần đều, khoảng cách tăng dần là 11 đơn vị ) - Muốn tìm các số tiếp theo ta làm thế nào ? ( Cộng thêm 11 đơn vị vào số đã biết cho ta số tiếp theo ) Bƣớc 2: Trình bày Nhận xét: 22 - 11 = 11 33 - 22 = 11 44 - 33 = 11 ................ Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng liền sau bằng số hạng liền trƣớc cộng thêm 11 đơn vị. 5 số hạng tiếp theo là: 55 + 11 = 66 66 + 11 = 77 77 + 11 = 88 88 + 11 = 99 99 + 11 = 110 Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 Cách 2: Bƣớc 1: Hƣớng dẫn học sinh quan sát, nhận xét, lựa chọn cách làm. - Hãy quan sát, phân tích và cho biết mối quan hệ của mỗi số hạng trong dãy với số thứ tự của nó ở trong dãy số ? ( Mỗi số hạng gấp 11 lần số thứ tự của nó trong dãy số ) - Muốn tìm các số tiêp , ta làm thế nào ? ( Lấy 11 nhân với số thứ tự của số cần tìm ) - Quan sát và cho biết mỗi số hạng có đặc điểm gì về chữ số ? ( Các số hạng đã cho đều đƣợc viết bởi 2 chữ số giống nhau ) - Muốn tìm các số tiêp theo ta làm thế nào ? ( Ghép 2 chữ số tiếp theo ) - Ta sẽ tìm đƣợc bao nhiêu số nữa? Vì sao? ( Tìm đƣợc 4 số tiếp vì chỉ còn 4 chữ số: 6, 7, 8, 9) - Cách làm này có đạt yêu cầu của đề không? (Đƣợc) Bƣớc 2: Trình bày Nhận xét: Số thứ nhất 11 = 1 x 11 ( 1 là số thứ tự trong dãy số) Số thứ hai 22 = 2 x 11 ( 2 là số thứ tự trong dãy số) Số thứ ba 33 = 3 x 11 ( 3 là số thứ tự trong dãy số) ................... Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng trong dãy bằng số thứ tự của nó trong dãy nhân với 11. 5 số tiếp theo là: Số thứ sáu: 6 x 11 = 66 Số thứ bảy: 7 x 11 = 77 Số thứ tám: 8 x 11 = 88 Số thứ chín: 9 x 11 = 99 Số thứ mƣời: 10 x 11= 110 Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Ví dụ 2: Viết thêm 3 số hạng vào dãy số sau: a) 1, 2, 3, 6, 11, 20... b) 3, 7, 15, 31, ... Bƣớc 1: Quan sát, nhận xét - Đây là dãy số tăng dần hay giảm dần? (tăng dần) - Nhận xét về đặc điểm giữa 2 số liền kề bất kì? (Khoảng cách giữa 2 số liền kề bất kì không giống nhau) - Nhận xét về mối quan hệ của số so với số thứ tự của số đó trong dãy số? (Mối quan hệ không nhƣ nhau, mỗi số có mối quan hệ riêng so với số thứ tự của nó trong dãy số) - Nhận xét đặc điểm của các số đứng sau so với số hoặc các số đứng trƣớc? (Câu a: Tổng của 3 số đứng trƣớc bằng số đứng liền sau Hoặc khoảng cách giữa 2 số liền kề tăng dần theo dãy số : 1, 3, 5, 9... Câu b: Số liền sau bằng số đứng liền trƣớc nhân với 2 rồi cộng thêm 1 Hoặc khoảng cách giữa 2 số liền kề lần lƣợt là: 4, 8, 16...) - Khoảng cách tiếp theo ở câu a là bao nhiêu? (Không tìm đƣợc vì nó không theo quy luật) GV chốt: Không chọn cách tìm dựa vào khoảng cách giữa 2 số. - Khoảng cách tiếp theo ở câu b là bao nhiêu? (Là 32, 64, 128 vì các khoảng cách này lập thành quy luật) Bƣớc 2: Trình bày a) Nhận xét: Số thứ tƣ: 6 = 3 + 2 + 1 Số thứ năm: 11 = 6 + 3 + 2 Số thứ sáu: 20 = 11 + 6 + 3 ..................... Quy luật: Đây là dãy số mà kể từ số thứ tƣ trở đi mỗi số hạng liền sau bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trƣớc nó. 3 số tiếp theo là: Số thứ bảy: 20 + 11 + 6 = 37 Số thứ tám: 37 + 20 + 11 = 68 Số thứ chín: 68 + 37 + 20 = 125 Dãy số đủ theo yêu cầu là: 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125 b) Cách 1: Nhận xét: Số thứ nhất: 7 = 3 x 2 + 1 Số thứ tƣ: 15 = 7 x 2 +1 Số thứ tƣ: 31= 15 x 2 + 1 ............................ Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng liền sau (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trƣớc nhân với 2 rồi cộng thêm 1. 3 số tiếp theo là: 31 x 2 + 1= 63 63 x 2 + 1= 127 127 x 2 + 1= 155 Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 3, 7, 15, 31, 63, 127, 155 Cách 2: Nhận xét: Số thứ hai: 7 = 3 + 4x 1 Số thứ ba: 15 = 7 + 4 x 2 Số thứ tƣ : 31 = 15 + 4 x 4 Nhƣ vậy số thứ năm là: 31 + 4 x 8 = 63 số thứ sáu là: 63 + 4 x 16 = 127 số thứ bảy là: 127 + 4 x 32 = 155 Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 3, 7, 15, 31, 63, 127, 155 Ghi nhớ : Muốn viết tiếp đựoc các số trong một dãy số cần trải qua các bƣớc làm sau: 1. Nhận xét: Lƣu ý: Đặc điểm của từng số. Đặc điểm của 2 số liền kề Mối quan hệ với số thứ tự Mối quan hệ của một nhóm số liên tiếp Nếu là các nhận xét liên quan đến số thứ tự thì ở đầu mỗi nhận xét phải ghi số thứ tự của mỗi số. Nếu là các nhận xét không phải của số đầu tiên thì phải ghi số thứ tự của số đó (ví dụ: 2b, 2a) 2. Rút ra quy luật Lƣu ý: Nhận xét nào phải rút ra quy luật ấy Có dãy số có một quy luật nhƣng có dãy số có nhiều quy luật Các quy luật không áp dụng với số đầu tiên cần chỉ rõ thoả mãn từ số thứ mấy. 3. Tìm thêm số 4. Viết dãy số theo yêu cầu BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau: a)3, 6, 9, 12,..... b) 2, 5, 10, 17, 26,.... c) 908, 886, 863, 839,.... d) 2, 5, 8, 11, ..... Gợi ý: a) Dãy số liên tiếp mỗi số hạng đều chia hết cho 3 (Dãy số cách đều 3 đơn vị) b) Mỗi số hạng trong dãy bằng số thứ tự nhân với số thứ tự rồi cộng thêm 1 c) Mỗi số hạng liền sau bằng số hạng liền trƣớc trừ đi 20 rồi trừ đi số thứ tự của nó trong dãy số. d) Dãy số cách đều 3 đơn vị, mỗi số chia cho 3 đều dƣ 2 Bài 2: Mỗi dãy số sau đƣợc viết theo quy luật nào? Hãy viết thêm 3 số tiếp theo vào mỗi dãy số: a) 1, 3, 5, 7... b) 0, 2, 4, 6, 8... c) 1, 5, 9, 13,.... d)1, 4, 7, 10, .... e) 103, 95, 87,..... Gợi ý: a) Dãy số lẻ liên tiếp, số liền sau bằng số liền trƣớc cộng thêm 2 b) Dãy số chẵn liên tiếp, số liền sau bằng số liền trƣớc cộng thêm 2 c) Dãy số cách đều 4 đơn vị, mỗi số hạng chia cho 4 đều dƣ 1. Số liền sau bằng số liền trƣớc cộng thêm 4 d) Dãy số cách đều 3 đơn vị e) Dãy số cách đều 8 đơn vị, số liền sau bằng số liền trƣớc cộng thêm 8 đơn vị. Bài 3: Viết thêm 2 số hạng vào dãy số sau: a) 1, 2, 3, 5, 8, 13,.... b) 1, 2, 3, 6, 12, 24,.... c) 1, 4, 9, 16, 25, 36,.... d) 2, 12, 30, 56, 90,... e) 1, 5, 14, 33, 72,... g) 2, 20, 56, 110, 182,... Gợi ý: a) Kể từ số thứ ba, mỗi số liền sau bằng tổng của 2 số hạng đứng trƣớc nó. b) Kể từ số thứ ba, mỗi số liền sau bằng tổng của các số hạng đứng trƣớc nó. c) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó trong dãy số nhân với chính nó. d) Mỗi số hạng bằng tích của của 2 số tự nhiên liên tiếp kể từ 1 và không có thừa số là số tự nhiên đƣợc lặp lại. 2=1x2 12 = 3 x 4 30 = 5 x 6 Suy ra: 11 x 12 = 132 13 x 14 = 182 e) Mỗi số liền sau bằng số liền trƣớc nhân với 2 rồi cộng với một số tự nhiên (lần lƣợt từ 3, 4, 5, 6, 7...) Cụ thể: 5 = 1 x 2 +3 14 = 5 x 2 + 4 33 = 14 x 2 + 5 Suy ra: 72 x 2 + 7 = 151 151 x 2 + 8 = 310 g) Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số liền sau bằng số liền trƣớc cộng với tích của 18 nhân với số thứ tự của khoảng cách. Ví dụ: Từ 2 đến 20 là khoảng cách thứ nhất trong dãy số 20 = 2 + 18 x 2 Từ 20 đến 56 là khoảng cách thứ hai trong dãy số 56 = 2 0+ 18 x 3 Tiếp theo là các số: 110 = 56 + 18 x 3 182 = 110 + 18 x 4 Suy ra 2 số cần tìm là: 182 + 18 x 5 = 272 272 + 18 x 6 = 380 Bài 3: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau: a) 100, 93, 85, 76,... b) 10, 13, 18, 26,... c) 0, 1, 2, 4, 7, 12, ... d) 0, 1, 4, 9, 18,.... e) 5, 6, 8, 10,..... g)1, 6, 54, 648, ..... h) 1, 3, 3, 9, 27,..... i)1, 1, 3, 5, 17, ..... 2) Tìm số hạng đầu tiên trong dãy số Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau: a) .........., 199, 228. (Biết dãy này có 15 số hạng) b) ............, 48, 63. (Biết dãy này có 8 số hạng) Hƣớng dẫn: a) - Số hạng 228 là số thứ bao nhiêu trong dãy số? ( Số thứ 15 vì dãy này có 15 số hạng) - Tìm mối quan hệ giữa số với số thứ tự? ( Số thứ mƣời lăm 228 = 15 x 15 + 3 Số thứ mƣời bốn 199 = 14 x 14 + 3) - Số đầu tiên là số thứ mấy trong dãy số? ( Số thứ nhất) b) Gợi mở tƣơng tự Trình bày: a) Nhận xét: Số thứ mƣời lăm 228 = 15 x 15 + 3 (15 là số thứ tự của số 228 trong dãy số) Số thứ mƣời bốn 199 = 14 x 14 + 3 (15 là số thứ tự của số 199 trong dãy số) .................. Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy số bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó trong dãy số rồi cộng thêm 3 Số đầu tiên là: 1 x 1 + 3 = 4 b)Nhận xét: Số thứ tám: 63 = 8 x 8 - 1 Số thứ bảy: 48 = 7 x 7 - 1 .................. Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy số bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó trong dãy số rồi trừ đi 1 Số đầu tiên là: 1 x 1 - 1 = 0 Ghi nhớ : Dạng bài tìm số hạng đầu tiên thƣờng cho số lƣợng số cho nên cần nhận xét đến số thứ tự của số trong dãy số BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1 : Tìm 2 số hạng đầu trong các dãy số sau: a) ...39, 42, 45 b) ...4,2,0 c) ...23, 25, 27, 29 Gợi ý : a) Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân với 3. b) Mỗi số hạng bằng 2 nhân với hiệu của 15 trừ đi số thứ tự của nó trong dãy số. c) Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự rồi trừ đi một. Bài 2 : Viết tiếp 2 số hạng ở đầu dãy số sau: a) ... 81, 100 b)...49, 54 Biết mỗi dãy có 10 số hạng Gợi ý : a) Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó. b) Mỗi số hạng bằng 5 nhân với số thứ tự của nó rồi cộng thêm 4 đơn vị. DẠNG 3 : TÌM SỐ LƢỢNG SỐ CÓ TRONG DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Ví dụ : Cho dãy số: 1,1; 2,2; 3,3;... 108,9; 110,0 Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng ? Hƣớng dẫn : - Quan xét và nhận xét về đặc điểm các số hạng của dãy số ? (Là các số thập phân, tăng dần) - Nhận xét về mối quan hệ giữa 2 số liền kề ? (Hai đơn vị liền kề hơn (kém) nhau 1,1 dơn vị) - Muốn tính tổng ta phải dựa vào bài toán nào ? ( Bài toán trồng cây trên 1 đƣờng thẳng, cả hai đầu đều có cây ) Trình bày: Nhận xét: 2,2 - 1,1 = 1,1 3,3 - 2,2 = 1,1 110 - 108,9 = 1,1 Ta nhận thấy đây là 1 dãy số mà các số hạng đứng liền nhau đều hơn (kém) nhau 1,1 đơn vị. Số lƣợng số hạng có trong dãy số trên là : ( 110 - 1,1) :1,1 +1= 100 (số hạng) Đáp số : 100 số hạng