Sáng kiến kinh nghiệm giới hạn của hàm số

  • Số trang: 29 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 2712 |
  • Lượt tải: 3
nguyen-thanhbinh

Đã đăng 8358 tài liệu

Mô tả:

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT TRỊ AN Mã số: ................................ SẢN PHẨM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: TỐNG XUÂN TRƯỞNG Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác: .........................................................  Sản phẩm đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2011 - 2012  Hiện vật khác BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: Tống Xuân Trưởng 2. Ngày tháng năm sinh: 15-10-1983 3. Nam, nữ: nam 4. Địa chỉ: số 402, tổ 15, ấp I, xã Vĩnh Tân, Huyện Vĩnh Cửu, Tỉnh Đồng Nai 5. Điện thoại: (CQ)/ 0613960156 (NR); ĐTDĐ:0989603545 6. Fax: E-mail: xuantruongtong@gmail.com 7. Chức vụ: giáo viên 8. Đơn vị công tác: Trường THPT Trị An II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, hệ chính quy. - Năm nhận bằng: 2006 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học Số năm có kinh nghiệm: 6 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: + Mô hình hình học không gian + Tổ hợp xác suất + Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ +Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. BM03-TMSKKN Tên sáng kiến kinh nghiệm : GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán phổ thông, tìm giới hạn hàm số và ứng dụng của giới hạn hàm số là một phần rất quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp. Tuy nhiên, phần kiến thức giới hạn hàm số khá trừu tượng nên đa số học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến kiến thức này, đặc biệt là việc xác định khi nào thì nhân lượng liên hợp và khi nào thì không. Những dạng toán này ngoài việc đòi hỏi học sinh nắm chắc lý thuyết thì cần phải nắm được phương pháp nhận dạng và cách giải tương ứng. Việc ứng dụng sơ đồ tư duy vào học tập đã được chứng minh có hiệu quả trên nhiều quốc gia nhưng hiện nay vẫn còn khá mới mẻ trong giảng dạy toán ở Việt Nam. Chuyên đề này là hệ thống các bài tập được mô tả theo sơ đồ tư về phương pháp tìm giới hạn của hàm số duy được nêu ở trang phụ lục. Qua đó sẽ hệ thống cho học sinh phương pháp giải một cách có hiệu quả. Trong chuyên đề cũng có đề cập đến phương pháp xác định những trường hợp phải nhân lượng liên hợp bằng cách chỉ xét đến những số hạng có lũy thừa bậc cao nhất. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi - Công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ nên hỗ trợ vẽ sơ đồ tư duy nhanh chóng, thẩm mỹ và hiệu quả. - Tài liệu tham khảo phong phú. - Bản thân đã có kinh nghiệm giảng dạy toán lớp 11 trong những năm trước. 2. Khó khăn - Sơ đồ tư duy là khái niệm khá mới mẻ đối với học sinh nên việc áp dụng sơ đồ tư duy để hệ thống lại kiến thức cho học sinh gặp phải những khó khăn nhất định. - Việc xem xét vấn đề mang tính chủ quan nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. - Giới hạn là một mảng kiến thức khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông nên việc tiếp cận kiến thức này là khó đối với đa số học sinh. 3. Số liệu thống kê - Có đến 40% học sinh gặp khó khăn trong việc giải những bài toán tìm giới hạn của hàm số. - Hầu hết các học sinh chưa biết đến sơ đồ tư duy và cách sử dụng sơ đồ tư duy vào học tập. III.NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận - Việc áp dụng sơ đồ tư duy vào dạy học được chứng minh là có hiệu quả tốt, tạo tư duy sáng tạo và có thể gợi nhớ tốt các kiến thức cũ đã học. - Giới hạn hàm số là mảng kiến thức rất quan trọng trong mạch kiến thức nghiên cứu về hàm số. Cụ thể là cung cấp kiến thức ban đầu để học sinh có thể tiếp cận được đạo hàm của hàm số, các đường tiệm cận cũng như mối liên quan đến sự biến thiên và đồ thị của hàm số. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài - Trình bày sơ đồ tư duy cơ bản nhất về cách phân tích các bài toán tìm giới hạn của hàm số bằng các từ khóa và nhóm từ khóa. - Bản thân đã nghiên cứu sơ đồ tư duy và đã thử nghiệm sử dụng sơ đồ tư duy trong giảng dạy và trong ghi nhớ có hiệu quả. - Trong đề tài, tôi có đề cập đến phương pháp mới (theo nhận định chủ quan của tôi): + Cách thêm bớt số hạng bằng cách xem xét đưa dạng vô định thành tổng hai dạng vô định cùng loại. Phương pháp này giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc xác định số hạng cần thêm bớt. + Cách dùng “số hạng vô cùng” để xác định bài toán nào cần nhân lượng liên hợp và bài toán nào không nhân lượng liên hợp. Phương pháp này giúp học sinh nhân lượng liên hợp một cách hợp lý cho từng bài toán cụ thể, tránh việc nhân lượng liên hợp tùy ý mỗi khi thấy có căn thức. - Nội dung cụ thể của chuyên đề: SƠ ĐỒ TƯ DUY: Kiến thức cần nhớ: Hằng đẳng thức đáng nhớ (dùng trong nhân liên hợp) a 2  b2   a  b   a  b  a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2  a 3  b 3   a  b   a 2  ab  b 2  Một số định lý về giới hạn của hàm số: Định lý: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số). Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x � a thì: lim  f ( x) �g ( x )   lim f ( x) �lim g ( x) x �a x �a x �a lim  f ( x).g ( x)   lim f ( x).lim g ( x) x �a lim x �a x �a x �a f ( x) f ( x) lim  x�a ,(lim �0) g ( x) lim g ( x) x �a x �a lim x �a f ( x)  lim f ( x),( f ( x) �0) x �a Giới hạn một bên : Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho limxn = a thì limf(xn) = L. lim  L (hoặc lim f ( x)  L ). Ta viết: x �a x �a   f ( x )  L là lim f ( x), lim f ( x) đều Định lý: Điều kiện ắt có và đủ để lim x �a x �a x �a tồn tại và bằng L. Các dạng vô định: Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp vô định sau đây (dạng vô định là dạng không thể suy ra ngay được kết quả mà phải tìm cách để khử). u ( x) 0 lim u ( x)  lim v( x)  0 lim x �x0 1/ x�x0 v( x) mà x�x0 . (ta ký hiệu là ) ( x ��) ( x ��) 0 ( x ��) u ( x) � lim u ( x)  lim v( x)  � lim x �x0 2/ x�x0 v( x) mà x�x0 .(ta ký hiệu là ) ( x ��) ( x ��) � ( x ��)  3/ 4/ lim  u ( x).v( x)  x �x0 ( x ��) lim  u ( x)  v( x)  x � x0 ( x ��) hoặc mà lim u ( x)  0 x�x0 ( x��) mà x� x0 ( x ��) lim v( x)  � x �x0 ( x ��) .(ta ký hiệu là 0.�) lim u ( x)  lim v( x)  � x� x0 ( x ��) x� x0 ( x ��) lim u ( x)  lim v( x)  � x� x0 ( x ��) và . (ta ký hiệu là  � �) Các bài toán có giải được minh họa phân tích theo sơ đồ tư duy: I. Dạng không vô định: Nhận dạng: x dần đến a, thế a vào ta được kết quả là số thực hoặc dạng L/0. Cách giải: thế a vào, ta được kết quả, giải thích nếu kết quả không phải là số thực. 1 / lim(2 x  3)  2.2  3  7 x �2 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào 3 2 / lim (2 x3  3x  4)  2. 2   3. 2   4  26 x �2 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào x 2  4 x  1 12  4.1  1 3 / lim 2  2 6 x �1 x  x  1 1 1 1 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào 1   3  2  3 1  x  2x 4 / lim  2 x �3 x 1 3  1 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào 5 / lim( x  2  3 x )  ( 1  2  3 1)  0 x �1 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào x 2  25 52  25 6 / lim  0 x �5 x  2 52 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào x 2  3x  2 x 2  3x  2 7 / lim 2  lim 2 0 x �2 2 x  x  6 x�2 2 x  x  6 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào, được kết quả. (a là -2 ) �lim  2 x  1  3 2x  1 �x�1 8 / lim  �do � x �1 x  1 lim  x  1  0 � �x�1 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào, được kết quả và giải thích vì kết quả không phải là số thực. �lim  x  1  3 x 1 �x�2 9 / lim  �do � x �2 2  x lim  2  x   0 � �x�2 Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào, được kết quả và giải thích vì kết quả không phải là số thực. 2x  1 10 / lim x�3 x  3 �lim  2 x  1  7 2x  1 �x�3 * lim  �do � x �3 x  3 lim  x  3  0 � �x�3 �lim  2 x  1  7 2x  1 �x�3 * lim  �do � x �3 x  3 lim  x  3  0 � �x�3  1  2 2x  1 Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại giới hạn x�3 x  3 �lim  x 2  x  6   12 x2  x  6 �  11 / lim  �do �x�2 x �2 x2 lim  x  2   0 � �x�2 lim Bài này có dạng x dần tới a, không vô định nên ta thế a vào, được kết quả và giải thích vì kết quả không phải là số thực. II. Dạng 0/0, không chứa căn: Nhận dạng: x dần tới a, không chứa căn thức, thế a vào ta được 0/0. Cách giải: ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả và giải thích nếu kết quả không phải là số thực. x2  x  6  x  2   x  3  lim x  3  5 12 / lim 2  lim x �2 x �2  x  2   x  2  x �2 x  2 x 4 4 Bài này có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 2) x 2  16  x  4   x  4   lim x  4  8 13 / lim 2  lim x �4 x  x  20 x �4  x  4   x  5  x �4 x  5 9 Bài này có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 4) x2  4x  3  x  1  x  3  lim x  1  2 14 / lim  lim   x �3 x �3 x �3 x3 x 3 Bài này có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 3) x3  3 x  2  x  1  x  2   lim  x  2  15 / lim 3  lim 2 2 x �1 x  x  x  1 x �1  x  1  x  1 x�1  x  1  x  1 Bài này có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả là không tồn tại giới hạn do giới hạn bên trái và giới hạn bên phải khác nhau. (a là 1) 4  x2  2  x   2  x   lim 2  x  4  1 16 / lim 3  lim x �2 x  8 x �2 x  2    x 2  2 x  4  x�2 x 2  2 x  4 12 3 Bài này có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là -2) x3 x3 1 1  lim  lim  x �3 x 2  9 x �3  x  3   x  3  x �3 x  3 6 17 / lim Bài này có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là -3) x2  4x  3  x  1  x  3  lim x  1  2 18 / lim  lim   x �3 x�3 x�3 x3 x 3 Bài này có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 3) III. Dạng 0/0, có chứa căn: Nhận dạng: x dần tới a, thế a vào ta được 0/0, có chứa căn và nhưng không đặt được nhân tử chung (x-a). Cách giải: ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả và giải thích nếu kết quả không phải là số thực. 1  2x  1 19 / lim  lim x �0 x �0 2x   1  2x  1 2x    lim 1  2x  1  1  2x  1 x �0 2x  2x  1  2x 1  lim x �0 1  1  2x  1 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 0) 4x 20 / lim  lim x �0 9  x  3 x �0 4x   9 x 3 9 x 3   9 x 3   lim 4x  9 x 3 x x �0   lim 4 x �0   9 x 3  Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 0) 21 / lim x �1  lim x �1   2 2  x  3    2x  7  3 2x  7  3  lim x �1 2 x3 2 x3 2x  7  3     4.4  8 6  2 x  7  3  2    lim  2 x  2   2  x  3 x  3  1  x   2 x  7  3 2x  7  3 2  x  3 x �1 3 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp cho cả tử và mẫu, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 1) x  3 x  2 x  3x  2 x  3x  2 x 2  3x  2 22 / lim  lim  lim x �2 x �2 x2  4  x  2   x  2  x  3x  2 x�2  x  2   x  2  x  3x  2   x  1  x  2  x�2  x  2   x  2   x  3x  2   lim    lim x �2    x  1  x  2  x  3x  2    1 16 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp cho cả tử và mẫu, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 2)  23 / lim x �1  lim x �1 3  2x  x  2  lim x �1 3x  3  3 x  3   1  x 3  2x  x  2   3  2x  x  2  3 x  3   lim  x�1 3  3  2x  x  2 3  2x  x  2 1 3  2x  x  2     1 6 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là -1) 24 / lim x �1   lim x �1  lim x �1 2x  7  x  4  lim x �1 x3  4 x  3 2x  7  x  4 x  4 x  3 3    2x  7  x  4 x 3 2x  7  x  4 2x  7  x  4   x  1  x  9   x  1  x 2  x  3    4 x  3     lim x�1 2x  7  x  4  2x  7  x  4 2x  7  x  4 x  lim x�1  x 3 x    10 x  9  2   4 x  3 2x  7  x  4   x  9 2  x  3  2x  7  x  4    10 5  6 3 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp cho cả tử và mẫu, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 1) 1  2x  1 25 / lim  lim x �0 x �0 2x   1  2x  1 2x    lim 1  2x  1  1  2x 1 x �0 2x  2x  1  2x  1  lim x �0 1  1  2x  1 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 0)      �3 4 x 2  2 3 4 x  22 � 4 x  2 � � 3 4x  2  4 x  8 � � lim 26 / lim  lim 2 2 x�2 x�2 x�2 2� 2� x2 3 3 3 3  x  2 �  x  2 � � 4x  2 4x  2 � � 4x  2 4x  2 � � � � � 4 4 1  lim   2 x �2 3 4 x  2 3 4 x  22 12 3  3    Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (x- a), ta nhân liên hợp cho cả tử và mẫu, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 2) x 1 27 / lim  lim x �1 x  1 x�1 3  lim x �1  x 3 x 1 2  3 x 1   3 �     x  1�  x  1  x  1  x  1 �  lim � � x  1  x  1 � x   x  1�  x  1 � � � � x   x  1�  � � � 3 x 1 � � x � 2 3 2 3  x �1 3 3 2 3 2 3 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp cho cả tử và mẫu, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 1)     2 2 � � 3 3 3 2  x  3 2  2 x  3  x  3 � � 2 3 x3 � � 28 / lim 2  lim 2 x �5 x � 5 x  25 22  2 3 x  3  3 x  3 �  x 2  25 � � � � � 5 x 1  lim  lim 2 x �5 x �5 22  2 3 x  3  3 x  3 � 22  2 3 x  3   x  5  x  5 �  x  5 � � � � � � �        30 x3 � � �  3 Bài này có dạng x dần tới a, vô định (có căn và không đặt được nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), thế a vào ta được kết quả. (a là 5) 29 / lim x �0  lim x �0 x   lim x� 2 x x  1  x2  x  1 x �0  x2 x 1  x  x 1 2   lim x�0  x   x  1  x2  x  1 x x 1  x  x 1 2   x  1  x2  x  1     0    x 2 x 2 x 2 x 2 x2  2  lim  lim 2 x2  x  x� 2 2  2 x� 2 x 2  2  x  2 x 2 x 2  x 2 30 / lim x� x 1   x  x 1  lim 2  x  2   x  2   lim x  2  2 2 x  2 1 2 2 1  x  2   x  2  1 x� 2      2 x 2 x 3 31 / lim  lim x �1 x  5 x  4 x �1    x  1    lim x  4 x 1 x 3 x  3 4  x 4 3 x�1 Để dễ hình dung, bài này ta có thể đặt t x   3x  2  4 x 2  x  2 3x  2  4 x 2  x  2 3x  2  4 x2  x  2 32 / lim  lim x�1 x �1 x 2  3x  2  x 2  3x  2  3x  2  4 x 2  x  2  lim x �1  lim x �1 x  5 x 2  11x  6   3x  2  3x  2  4 x 2  x  2 2 5x  6  x  2   3x  2  4x2  x  2       x  1  5 x  6  x �1  x  1  x  2   3x  2  4 x 2  x  2   lim 1 2  x  1  x 2  2 x  4  x3  x2  2 x  4 x 2  2 x  4 7 33 / lim  lim  lim  x �1 x�1 x �1 x 2  3x  4 x4 5  x  1  x  4  x 2  3  x 2  9  x 2  3   x  3  x  3   x 4  6 x 2  27 34 / lim 3  lim  lim x �3 x  3 x 2  x  3 x �3 x  3 x 2  1    x�3  x  3  x2  1 x  lim 2  3  x  3 x x �3 2  1  72 36  10 5 1  x2  1 3 2  x  3 3x  2 3 35 / lim x �0        2 �3 � 2 �3 2  x 2  3 2  x 3 3x  2  3 3 x  2 2 � 1  x  1 � 1  x  3 1  x2  1� � � � � � �  lim 2 2 2 � x �0 � 3 1  x2  3 1  x2  1 3 3 3 3 3 2  x  3 3x  2 � 2  x  2  x 3 x  2  3 x  2 � � � � � � 3 2         2 2 � 3 3 3 3  x2 � � 2  x  2  x 3x  2  3x  2 � � �  lim 2 x �0 � � 2 x �3 1  x 2  3 1  x 2  1� � �       2 2 � 3 3 3 3 x� � 2  x  2  x 3x  2  3x  2 � � 0  lim � 2 x �0 � � 2 �3 1  x 2  3 1  x 2  1 � � �           x  1  x  2   4 x  1  3  x  x  2   4 x  1  3  lim  lim 4 x  2  x  x  2   4 x  8  x  x  2   x  1  4 x  1  3 18 9  lim   16 8 4 x  x  2  1 1 x   1 x  � � � 1 1 x  � 1 1 x � � 37 / lim  lim x x� 1 1 x   1 x  � � � � � 36 / lim x �2     x x2 x x2 4x  1  3 x x2  lim 4 x  1  3 x�2 4 x  1  3 4 x  1  3 x  x  2 2 x �2 x �2 x �2 3 3 x �0 x �0 x 3 2 3 3 2 3 1 1  lim  2 x �0 x �0 3 1 3 1 x  3 1 x x� 1 3 1 x  3 1 x � � � � � �3 x 2  3 x  1� x 2  3  2 3 x  1 � � 3 x 1 � � 38 / lim  lim 2 2 x �1 x�1 � 3 3 x 32 x2  3  2 x2  3  2 � � x  x  1� � �  lim  lim  x  1     x2  3  2  2    x  1    x2  3  2  lim 2 x �1 x�1 2 � � 3 3 3 x  x  1�  x  1  x  1 �  x  1 � � x � � �   x2  3  2 4 2   2 x �1  6 3 � � 3 3  x  1 � x  x  1� � �  lim   2       3  5  x 3  5  x 1 5  x 3 5 x  lim x �4 1  5  x x �4 1 5  x 1 5  x 3  5  x  4  x  1  x �4  x  4  3    lim   1  3 5 x 5 x x �4 5 x 5 x   2  1 6 3   3 x  1� � �   39 / lim  lim         3 40 / lim x 1 x2  3  2 x �1  x  1   lim  lim x �1   3   3 x 1 � � x � x2  3  2 x2  3  2      x  1  x2  3  2  lim 2 x �1 x �1 2 � � 3 3 3 x  x  1�  x  1  x  1 �  x  1 � � x � � �     2  3 x  1� � x 32 � 2 � 3 3 x2  3  2 � � x  x  1� � � 2     3 x  1� � � 2 x2  3  2 4 2   2 x �1 6 3 � � 3 3  x  1 � x  x  1� � �  lim   3 x  2  1  x  x2 x  2  1  1  x  x2  1 41 / lim  lim x �1 x�1 x2  1 x2  1 �3 x  2  1 1  x  x2  1 �  lim � 2  � 2 x �1 � x  1 � x  1 � � �3 �3 x  2 2  3 x  2  1� x  2  1 � � 1  x  x2  1 1  x  x2  1 � � �  lim � 2 x �1 � 3 3 �  x 2  1 �  x 2  1 1  x  x 2  1 � x  2  x  2  1� � � � 3          ���  � � � � 2 � � x 1 x x  lim �  � 2 x �1 �  x  1  x  1 1  x  x 2  1 � 3 3 � x  1  x  1 � x  2  x  2  1 � � � � � � � � � � x x  1 x 1    lim �  � 2 x �1 2 � � 3 3 x  1 x  1 1  x  x  1   � x  1  x  1 � x  2  x  2  1�  � � � � � � � � �1 1 5 1 x  lim �  �   2 x �1 2 � � 3 3 � x  1 � x  2  x  2  1�  x  1 1  x  x  1 � 6 4 12 � � � � 1  2x  3 1  2x  3 x2 1  2x  3 42 / lim  lim x �4 x �4 x 2 x 2 x  2 1  2x  3            2 x  8  x  2 x �4  x  4   1  2 x  3  lim       lim x�4  2 x  4  x  4    x 2   1  2x  3    lim x�4  2  x 2  1  2x  3  8 4  6 3     2 � � 3 3 3 1  1  x 1  1  x  1  x � � 3 1 1 x � � 43 / lim  lim 2 x �0 x � 0 3x 3x � 1 3 1 x  3 1 x � � � � � x 1 1  lim  lim  2 2 x �0 x �0 � 3 9 3x � 1 3 1 x  3 1 x � 3� 1 1 x  3 1 x � � � � � � � � IV. Dạng vô định chứa hai loại căn thức       Nhận dạng: x dần tới a hoặc x dần tới vô cùng, vô định, không thể đặt nhân tử chung cũng như nhân liên hợp ngay được do có hai loại căn thức là căn bậc hai và căn bậc ba. Cách giải: Để giải các bài toán dạng vô định, có hai loại căn bậc hai và căn bậc ba, ta sẽ thêm bớt số hạng cần thiết để tạo ra hai dạng vô định cùng loại so với dạng vô định ban đầu. Phương pháp thêm bớt sẽ được trình bày cụ thể ở dưới đây trong các bài toán cụ thể: 3 3 8 x  11  x  7 8 x  11  3  3  x  7 44 / lim  lim 2 x �2 x �2 x  3x  2 x 2  3x  2 �3 8 x  11  3 �3 8 x  11  3 3  x  7 � 3 x 7 �  lim � 2  2  lim  � � � x �2 x �2  x  1  x  2   x  1  x  2  � �x  3x  2 x  3x  2 � �              �3 �3 8 x  11 2  3 3 8 x  11  9 � 8 x  11  3 � � 3 x  7 3 x  7 � � �  lim � 2 x �2 � 3 3 � x  1  x  2  � � 8 x  11  3 8 x  11  9 �  x  1  x  2  3  x  7 � � � � � 8 x  16 2x  lim �  2 x �2 � 3 3 � x  1  x  2  � � 8 x  11  3 8 x  11  9 �  x  1  x  2  3  x  7 � � � � � � � � � � � � � � � � � 8 x  2 2 x  lim �  � 2 x �2 � 3 3 x  1 x  2 3  x  7     � x  1  x  2  � � � 8 x  11  3 8 x  11  9 � � � � �  � � 8 1  lim �  2 x �2 � 3 3 � x  1 � � 8 x  11  3 8 x  11  9 �  x  1 3  x  7 � � �         � � 8 1 7   � 27 6 54 � � Bài này có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, không thể đặt nhân tử chung cũng như nhân liên hợp ngay được do có hai loại căn bậc hai và căn bậc ba. (a là 2) Ta thêm bớt số hạng vào tử như sau: Do x dần tới 2 nên: 3 8 x  11 � 3,  x  7 � 3 � 3 8 x  11  3 � 0,  x  7  3 � 0 Do đó, dựa vào đây ta suy ra được cách thêm bớt – 3 + 3 để tạo ra hai dạng vô định cùng loại so với dạng vô định ban đầu là 0/0. 3 �3 1  x  1 1  1  x � 1 x  1 x 45 / lim  lim �  � x �0 x �0 x x x � �    �3 �3 1  x 2  3 1  x  1� 1  x  1 � � 1 1 x 1 1 x � � �  lim � 2 x �0 � 3 3 x 1 1 x � x� � 1  x  1  x  1� � � �    � � x x  lim �  2 x �0 � 3 3 �x � � 1  x  1  x  1� x 1  1  x � ��  �  lim � x �0 � 3 � 1 x �         � � � � � � � � � � � 1 � 1  1  5  2 �  3 1 x 1 1 1 x � 3 2 6 � 1 Bài này có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, không thể đặt nhân tử chung cũng như nhân liên hợp ngay được do có hai loại căn bậc hai và căn bậc ba. (a là 0) Ta thêm bớt số hạng vào tử như sau: Do x dần tới 0 nên: 3 1  x � 1,  1  x � 1 � 3 1  x  1 � 0,  1  x  1 � 0 Do đó, dựa vào đây ta suy ra được cách thêm bớt – 1 + 1 để tạo ra hai dạng vô định cùng loại so với dạng vô định ban đầu là 0/0. � x 1  2 2  3 x  5 � x 1  3 x  5  lim �  � x �3 x3 x  3 x3 � � 46 / lim x �3      2 � � �� 3 3 3 2  x  5 4  2 x  5  x  5 � �� x  1  2 x  1  2 � � �  lim �  � 2 x �3 � � 3 3 x  3 x  1  2   �  x  3 �4  2 x  5  x  5 � � � � � �      � � x 3 3 x  lim �  x �3 3 � x  3 x  1  2  x  3 � �4  2 x  5  � �   � 1 1  lim �  x �3 � x  1  2 � 4  23 x  5  �  3  3  � � 2 � x5 � �� ��  � � 1  1  1 2 � x  5 � 4 12 6 �  Bài này có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, không thể đặt nhân tử chung cũng như nhân liên hợp ngay được do có hai loại căn bậc hai và căn bậc ba. (a là 3) Ta thêm bớt số hạng vào tử như sau: Do x dần tới 3 nên: x  1 � 2,  3 x  5 � 2 � x  1  2 � 0,  3 x  5  2 � 0 Do đó, dựa vào đây ta suy ra được cách thêm bớt – 2 + 2 để tạo ra hai dạng vô định cùng loại so với dạng vô định ban đầu là 0/0. �3 x  9  2 x9  x3 47 / lim  lim �  x �1 x �1 x 1 x  1 � 3    x32� � x 1 � �3 �3 x  9 2  2 3 x  9  4 � x  9  2 � � � � �  lim � 2 x �1 � 3 3 �  x  1 � � x  9  2 x  9  4� � � �    x32  x  1  � � x 1 x 1  lim �  2 x �1 � 3 3 � x  1 � � x  9  2 x  9  4 �  x  1 x  3  2 � � �  �  lim � x �1 � 3 � x9 �     1 2 2 x9  4 3  � 1 � 1  1  1 x3 2� � 12 4 3 � � x32 � � x3 2 � �    � � � � �  Bài này có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, không thể đặt nhân tử chung cũng như nhân liên hợp ngay được do có hai loại căn bậc hai và căn bậc ba. (a là 1) Ta thêm bớt số hạng vào tử như sau: Do x dần tới 1 nên: 3 x  9 � 2, x  3 � 2 � 3 x  9  2 � 0, x  3  2 � 0 Do đó, dựa vào đây ta suy ra được cách thêm bớt + 2 – 2 để tạo ra hai dạng vô định cùng loại so với dạng vô định ban đầu là 0/0. 48 / lim x �2 3 �3 x  6  2 x6  x6 x6 2�  lim  � � 2 2 x �2 x2  x  2 x  x  2 x  x  2 � �      �3 �3 x  6 2  2 3 x  6  4 � x  6  2 � � � � � x  6  2  lim � 2 2 x�2 3 � x 2  x  2  � x  6  23 x  6  4� � �  x  x  2 � � � � x6 2 � � x6 2 � � � � � � x2 x2  lim �  � 2 x�2 � 3 3 x  1 x  2 x  6  2     � x  1  x  2  � � � x  6  2 x  6  4� � � � � � � � � 1 1 1 1 1  lim �    � 2 x�2 � � 36 12 9 3 3 x  1 x  6  2   � x  1 � x  6  2 x  6  4 � � � � � �              Bài này có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, không thể đặt nhân tử chung cũng như nhân liên hợp ngay được do có hai loại căn bậc hai và căn bậc ba. (a là -2) Ta thêm bớt số hạng vào tử như sau: Do x dần tới -2 nên: 3 x  6 � 2, x  6 � 2 � 3 x  6  2 � 0, x  6  2 � 0 Do đó, dựa vào đây ta suy ra được cách thêm bớt + 2 – 2 để tạo ra hai dạng vô định cùng loại so với dạng vô định ban đầu là 0/0. V. Dạng vô định không căn: Nhận dạng: x dần đến vô cùng, không chứa căn. Cách giải: đặt lũy thừa bậc cao nhất của x làm nhân tử chung, đơn giản, suy ra kết quả và giải thích nếu kết quả không phải là số thực. � 2 1 � 2 1 x5 � 1 3  5 � 1 3  5 x  2x  1 x x � x x  � 49 / lim  lim �  lim x 2 3 x �� x �  � x �  � 1 1 x 1 � � 1 x3 � 1 � 3 � 3� �lim x 2  � �x�� 2 1 � do � 1  3  5 x x 1 �xlim �� 1 � 1 3 � Bài này có dạng x dần đến vô cùng, không chứa căn nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy ra kết quả, nhưng phải giải thích vì kết quả không phải là số thực. � 3 1� 3 1 x2 � 2  � 2  2 2 x  3x  1 x x� x x 2 50 / lim 2  lim �  lim x �� 3 x  x  5 x �� 2 � 1 5 1 5 � x�� 3  2 3 x � 3  2 � x x � x x � Bài này có dạng x dần đến vô cùng, không chứa căn nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy ra kết quả. 2 1 1 x3 (1  )(2  )(  4) ( x  2)(2 x  1)(1  4 x) x x x 51 / lim  lim 3 x �� x �  � 4 (3x  4) x 3 (3  )3 x 2 1 1 (1  )(2  )(  4) 8 x x x  lim  x �� 4 27 (3  )3 x Bài này có dạng x dần đến vô cùng, không chứa căn nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy ra kết quả. � 3 8 � � 3 8 � x2 � 1  2 � 1  2 � 1 � x x � x x � � � 52 / lim  lim 2 .  0.1  0 x �� 4 � 6 1 � x�� x � 6 1 � x � 1 3  4 � 1 3  4 � � x � x � � x � x Bài này có dạng x dần đến vô cùng, không chứa căn nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy ra kết quả. 5 VI. 2 Dạng vô định có chứa căn: Nhận dạng: x dần đến vô cùng, có chứa căn Cách giải: đây là dạng có thể sẽ phải nhân liên hợp. Ta gọi axn là “số hạng vô cùng” trong đó xn là lũy thừa bậc cao nhất của x, và axn được tính bằng cách chỉ quan tâm đến những số hạng có lũy thừa cao nhất.
- Xem thêm -