Tài liệu Sai phân dạng và sự phân dạng của phương trình sai phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------- ĐỖ THỊ PHƯỢNG SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------- ĐỖ THỊ PHƯỢNG SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu 1 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN 1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân . . . . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . 1.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Áp dụng tính tổng . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy 2 2 2 3 6 6 8 . . . . . . . . . . số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải là đa thức của n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa . . . . . . 2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với vế phải là hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải . . . . . . i 10 10 10 11 12 13 14 14 15 16 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng giải bằng phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng số Một số ứng dụng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Ứng dụng giải hệ phương trình sai phân . . . . . . . 2.4.2 Giải phương trình sai phân phân thức . . . . . . . . Một số bài toán thi học sinh giỏi và Olympic . . . . . . . . 2.1.9 2.2 2.3 2.4 2.5 17 18 18 18 18 35 38 38 40 41 Kết Luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii MỞ ĐẦU Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình sai phân đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,quản lý xí nghiệp, điều tra dân số,...) được mô tả bởi phương trình sai phân. Các nghiên cứu định tính, các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình sai phân đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là các phương trình sai phân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. Nhưng để tạo lập được cách tiếp cận phù hợp, hiệu quả, có tính hệ thống cho chương trình giảng dạy nâng cao hướng đến các kì thi olympic quốc gia và quốc tế đối với học sinh phổ thông, ở đây trong luận văn này tác giả trình bày một số nghiên cứu định tính và phân dạng phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số. Luận văn gồm hai chương: Chương 1. Trình bày một số khái niệm về sai phân Chương 2. Phân dạng các phương trình sai phân tuyến tính Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tác giả đã cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất, giải tường minh các ví dụ miêu tả. Đặc biệt làm sáng tỏ các khái niệm và các kết quả, các ví dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Tác giả chân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa Khoa học cơ bản, ĐH Điện Lực, người thầy đã hướng dẫn tận tâm tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cảm ơn trường ĐH Khoa học (ĐH Thái Nguyên) nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các thầy cô. Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn để hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 8, 2014 Tác giả Đỗ Thị Phượng 1 Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN Các định nghĩa, định lý và các tính chất liên quan tới sai phân trong chương này được trích theo tài liệu [1], [4]. 1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân 1.1.1 Định nghĩa sai phân a. Định nghĩa sai phân bậc một Ta gọi sai phân hữu hạn bậc một của hàm số x(n) = xn với n ∈ N là hiệu ∆xn = xn+1 − xn . Ví dụ 1.1. Hàm xn cho ở dạng bảng n 0 xn 1 1 2 2 4 3 7 4 5 Có các sai phân hữu hạn bậc một là ∆x0 = x1 − x0 = 2 − 1 = 1; ∆x1 = x2 − x1 = 2; ∆x2 = x3 − x2 = 3; ∆x3 = x4 − x3 = −2. b. Định nghĩa sai phân cấp cao Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân bậc một của xn và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân cấp k − 1 của nó. Từ đó ta có các công thức của sai phân cấp cao như sau. 2 • Sai phân cấp 2 của hàm xn là ∆2 xn = ∆(∆xn ) = ∆xn+1 − ∆xn = xn+2 − xn+1 − (xn+1 − xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn • Sai phân cấp 3 của hàm số xn là ∆3 xn = ∆(∆2 xn ) = ∆2 xn+1 − ∆2 xn = xn+3 − 2xn+2 + xn+1 − (xn+2 − 2xn+1 + xn ) = xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn . • Tổng quát sai phân cấp k của xn là ∆k xn = ∆(∆k−1 xn )= ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn = k P (−1)i Cki xn+k−i . i=0 Ví dụ 1.2. Xét hàm xn trong ví dụ 1.1 ta có: ∆2 x0 = x2 − 2x1 + x0 = 1; ∆2 x1 = x3 − 2x2 + x1 = 1; ∆2 x2 = x4 − 2x3 + x2 = −5; ∆3 x0 = x3 − 3x2 + 3x1 − x0 = 0; ∆3 x1 = x4 − 3x3 + 3x2 − x1 = 6; ∆4 x0 = x4 − 4x3 + x2 − 4x1 + x0 = −7. 1.1.2 Tính chất của sai phân Tính chất 1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị hàm số theo công thức k ∆ xn = k X (−1)i Cki xn+k−i. (1.1) i=0 Chứng minh. Ta chứng minh công thức (1.1) theo phương pháp qui nạp. Với k = 1 ta có: ∆xn = xn+1 − xn = C10 xn+1 − C11 xn , công thức (1.1) đúng. Giả sử (1.1) đúng với k tức là ta có giả thiết qui nạp k X ∆ xn = (−1)i Cki xn+k−i . k i=0 3 Ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là: k+1 ∆ k k X k xn = ∆ xn+1 − ∆ xn = i (−1) Cki xn+1+k−i − i=0 k X (−1)i Cki xn+k−i . i=0 Ở tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i0 − 1, sau đó thay i0 = i ta nhận được k X (−1) i Cki xn+k−i = k+1 X 0 0 (−1)i −1 Cki −1 xn+k+1−i0 . i0 =1 i=0 Do đó ta nhận được: k+1 ∆ xn = = k X i=0 k X i (−1) Cki xn+k+1−i + k+1 X (−1)i Cki−1 xn+k+1−i i=1 (−1) i Cki xn+k+1−i + xn+k+1 + i=1 k X (−1)i Cki−1 xn+k+1−i i=1 +(−1)k+1 xn = = = k X i=1 k X i=1 k+1 X (−1)i (Cki + Cki−1 )xn+k+1−i + xn+k+1 + (−1)k+1 xn i (−1)i Ck+1 xn+k+1−i + xn+k+1 + (−1)k+1 xn i (−1)i Ck+1 xn+k+1−i . i=0 Vậy công thức (1.1) đúng với k + 1, theo nguyên lý qui nạp công thức (1.1) đúng với mọi giá trị k ∈ N. Tính chất 1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính. Chứng minh. Ta phải chứng minh k ∆ (αxn + βyn ) = k X (−1)i Cki (αxn+k+i + βyn+k−i ) i=0 k X =α (−1) i=0 k i Cki xn+k−i +β k X (−1)i Cki yn+k−i i=0 =α∆ xn + β∆k yn . Tính chất 1.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là: 4 1. Đa thức bậc m − k nếu k < m. 2. Hằng số, nếu k = m. 3. Bằng 0 nếu k > m. Chứng minh. Do tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (n) = nm là đủ. 1. Ta có ∆nm = (n + 1)m − nm 0 1 m m = Cm + Cm n + ... + Cm n − nm 0 1 m−1 m−1 = Cm + Cm n + ... + Cm n = Pm−1 (n). Giả sử tính chất này đúng với k = s < m ta chứng minh nó đúng với k = s + 1 < m. Ta có ∆s+1 nm = ∆(∆s nm ) = ∆s (n + 1)m − ∆s nm = ∆Pm−s (n) = Pm−s−1 (n). Vậy ta có tính chất trên đúng với k = s + 1 < m. Tức là ta đã chứng minh được (1) theo nguyên lý quy nạp. 2. Khi k = m,( theo chứng minh 1), ta có ∆m nm = Pm−m (n) = P0 (n) = C(const). 3. Khi k > m ta có ∆k nm = ∆k−m (∆m nm ) = ∆k−m C = ∆k−m−1 (∆C) = 0. Tính chất 1.4. N P n=n0 ∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xn0 với k ∈ Z+ . Chứng minh. Ta có N X n=n0 k ∆ xn = N X ∆(∆k−1 xn ) n=n0 k−1 =∆ xn0 +1 − ∆k−1 xn0 + ... + ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xN = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xn0 . 5 Tính chất 1.5. Công thức sai phân từng phần ∆(xk .yk ) = xk ∆yk + yk+1 ∆xk . Chứng minh. Ta có ∆(xk .yk ) = xk+1 yk+1 − xk yk = xk+1 yk+1 − xk yk+1 + xk yk+1 − xk yk = yk+1 (xk+1 − xk ) + xk (yk+1 − yk ) = xk ∆yk + yk+1 ∆xk . Tính chất 1.6. (Tổng sai phân) n P ∆xk = xk+1 − x1 . k=1 Chứng minh n X ∆xk = ∆x1 + ∆x2 + ... + ∆xn−1 + ∆xn k=1 = x2 − x1 + x3 − x2 + ... + xn − xn−1 + xn+1 − xn = xn+1 − x1 . 1.2 1.2.1 Áp dụng Áp dụng tính tổng Ví dụ 1.3. Tính tổng Sn = n P 3k−1 sin3 k=1 x . 3k Xuất phát từ hệ thức sau và tính chất của tổng sai phân 1 sin3 x = [3 sin x − sin 3x] 4 1 x ta nhận được Sn = [3n sin n − sin x]. 4 3 n P x x Ví dụ 1.4. Tính tổng Sn = 2k+1 tan2 k . tan k−1 . 2 2 k=1 6 Giải. Xuất phát từ hệ thức sau và tính chất của tổng sai phân 2 tan a tan 2a = suy ra tan2 a. tan 2a = tan 2a − 2 tan a. 2 1 − tan a Ta có x x x x Sn = 20 . tan2 1 . tan 0 + ... + 2n−1 tan2 n . tan n 2 2 2 −1 h i h2 x x x xi 0 n−1 = 2 tan 0 − 2 tan 1 + ... + 2 tan n−1 − 2 tan n 2 2 2 2 x n = tan x − 2 tan n . 2 n P Ví dụ 1.5. Tính tổng S = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = kk!. k=1 Giải. Vì k.k! = (k + 1)! − k! = ∆k! nên S= n P k.k! = k=1 n P ∆k! = (n + 1)! − 1. k=1 Ví dụ 1.6. Tính tổng S = n P (k 2 + k + 1)k! k=1 Giải. Ta có (k 2 + k + 1)k! = [(k + 1)2 − k].k! = (k + 1)2 .k! − k.k! = (k + 1)(k + 1)! − k.k! = ∆(k.k!). Vậy S = n P ∆(k.k!) = (n + 1)(n + 1)! − 1. k=1 Ví dụ 1.7. Tính tổng S = Giải. Ta có S = 1 1 1 + +...+ 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n P 1 . k=1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) Mà 1 1 k+3−k = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 3 k(k + 1)(k + 2)(k + 3)  1 1 1 = − 3 k(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3)  1 1 1 =− − . 3 (k + 1)(k + 2)(k + 3) k(k + 1)(k + 2) 7 Vậy S = − 1.2.2 1 1 1  − . 3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1.2.3 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 1.8. Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1 và un+1 = 2un + 3n . Giải. Chia 2 vế của đẳng thức đã cho cho 2n+1 ta có: un+1 un 1  3 n = + . . 2n+1 2n 2 2 Đặt vn = un . Lấy tổng 2 vế của đẳng thức trên ta có: 2n n n X X 1  3 n ∆vn = 2 2 k=1 k=1 hay n 1 X  3 n vn+1 − v1 = 2 k=1 2  3  3 n+1  n+1 suy ra un+1 = 2 v1 − + = 3n+1 − 2n+1 . 2 2 Vậy un = 3n − 2n . Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài ra. Ví dụ 1.9. Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1 và un+1 = 2un + n + 1. (1.2) Giải . Ta có (1.2) ⇔ un+1 + (n + 1) + 2 = 2(un + n + 2) Đặt vn = un + n + 2 suy ra vn+1 = 2vn = 22 vn−1 = ... = 2n .4 nên vn = 2n−1 .4 suy ra un = 2n+81 − n − 2. Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài ra. Ví dụ 1.10. Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1 và un+1 = un + n + 1. (1.3) 8 Giải. Ta có un+1 = un + n + 1 ⇔ un+1 − un = n + 1 ⇔ ∆un = n + 1 Lấy tổng 2 vế của đẳng thức trên ta được n n P P n ∆un = (n + 1) ⇔ un+1 − u1 = [2.2 + (n − 1).1]. 2 k=1 k=1 n(n + 3) ⇔ un+1 = + u1 2 (n − 1)(n + 2) 1 1 hay un = + 1 = n2 + n. 2 2 2 Ví dụ 1.11. Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1 và un+1 = 2un + 3n + n. (1.4) Giải. Ta có (1.4) ⇔ un+1 + (n + 1) + 1 − 3n+1 = 2(un + n + 1 − 3n ). Đặt vn = un + n + 1 − 3n suy ra vn+1 = 2vn = 22 vn−1 = ... = 2n v1 = 0 suy ra vn = 0 hay vn = 3n − n − 1. Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài ra. Ví dụ 1.12. Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1 và un+1 = un + 2n + n. (1.5) Giải. Ta có (1.5) ⇔ un+1 − un = 2n + n ⇔ ∆un = 2n + n. Lấy tổng 2 vế đẳng thức trên ta được: n n P P n(n + 1) un = 2n + n ⇔ un+1 − u1 = + 2n+1 − 2 2 k=1 k=1 n(n + 1) ⇔ un+1 = u1 + + 2n+1 − 2 2 n(n − 1) hay un = u1 + + 2n − 2. 2 9 Chương 2 PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Các định nghĩa, định lý và các tính chất liên quan tới phương trình sai phân trong chương này được trích theo tài liệu [2], [3]. 2.1 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một Định nghĩa 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng: a(n)x(n + 1) + b(n)x(n) = f (n), (2.1) trong đó x(n), x(n + 1) là cặp giá trị liền nhau bất kì của hàm đối số nguyên cần tìm x(n); còn a(n), b(n), f (n) là những hàm của đối số nguyên cho trước. Như thông lệ trong lý thuyết phương trình sai phân các tác giả thường lý luận hàm của đối số nguyên chẳng hạn Z(n) bằng Zn . Như vậy phương trình (2.1) có thể viết gọn hơn dưới dạng: an xn + bn xn = fn , an , bn được gọi là hệ số, xn là ẩn, fn là vế phải. Ví dụ 2.1. Xét phương trình sai phân tuyến tính bậc một nxn+1 + (n + 1)xn = n2 + n. n Phương trình này có nghiệm xn = . 2 Nhận xét 2.2. i. Nếu fn = 0 thì phương trình (2.2) gọi là phương trình thuần nhất. 10 (2.2) ii. Nếu fn 6= 0 thì phương trình (2.2) gọi là phương trình không thuần nhất. iii. Nếu an , bn là hằng số không phụ thuộc n thì phương trình (2.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng. iiii. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hay được dùng để mô tả các mô hình kinh tế, mô hình quản lý xã hội. Ví dụ 2.2. Sản phẩm của xí nghiệp X tăng trung bình mỗi tháng 2%. Sản phẩm của tháng đầu là α. Hãy mô tả tình hình sản xuất sản phẩm của xí nghiệp. Giải. Ta gọi sản phẩm tháng thứ n của xí nghiệp là xn , khi đó xn+1 = 2 xn + xn . 100 Vậy ta có phương trình sai phân xn+1 = 1, 02xn ; x1 = α. Ví dụ 2.3. Mô tả biến động của thị trường, tại thời điểm thứ n. Giải. Gọi Pn là giá, Sn là cầu, Dn là cung. Khi đó tốc độ giá cả là : Pn+1 − Pn = −u(Sn − Dn ). ∆t Từ đó dẫn đến phương trình sai phân: Pn+1 − Pn = −u∆t(Sn − Dn ). 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng số Định nghĩa 2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất có dạng: axn+1 + bxn = 0, a, b 6= 0, (2.3) Cách giải.  −b 2 −b Cách giải 1. Phương trình (2.3)⇔ xn+1 = xn = xn−1 a a  −b 3  −b n  −b n+1 = xn−2 = ... = x1 = x0 với x0 là giá trị xuất phát a a a Cách giải 2. (Tổng quát hơn, mở rộng được cho phương trình cấp k ) Rõ ràng xn = 0 là nghiệm của (2.3), ta đi tìm nghiệm khác 0 dưới dạng xn = cλn , c 6= 0, λ 6= 0. 11 Thay vào (2.3) ta có: acλn+1 + bcλn = 0 suy ra aλ + b = 0 hay λ = −b = q. a Ta gọi phương trình aλ + b = 0 là phương trình đặc trưng của (2.3). Vậy xn = cλn = c.q n (c là hằng số tùy ý) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (2.3). Nếu cho giá trị ban đầu x0 thì ta được một nghiệm riêng là xn = q n x0 . Ví dụ 2.4. Năm 1990, Hà Nội có 1,6 triệu người. Tốc độ tăng dân số hàng năm là 1%. Hỏi năm 2000 Hà Nội có bao nhiêu người? Giải. Đánh số thứ tự sao cho n = 0 ứng với năm 1990, n = 1 ứng với năm 1991,... n = 10 ứng với năm 2000. Gọi xn là số người của Hà Nội tại thời điểm thứ n. Theo bài toán ta có phương trình xn+1 = 1, 01xn ; x0 = 1, 6 triệu. Vậy q = 1, 01 suy ra x10 = 1, 6.(1, 01)10 = 1, 6.1, 104621 ≈ 1, 77 triệu người. 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng Định nghĩa 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng là phương trình có dạng: axn+1 + bxn = fn , a 6= 0, b 6= 0. (2.4) Cách giải. Nghiệm tổng quát của (2.4) có dạng xn = x̄n +x∗n , trong đó x̄n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng −b dạng x̄n = cλn với λ = hoặc λ = q , còn x∗n là nghiệm riêng bất kì của a phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Ví dụ 2.5. Phương trình xn+1 − 3xn = 1. 1 Giải. Có x̄n = c.3n và x∗n = − suy ra nghiệm tổng quát của phương trình 2 1 là xn = c.3n − . 2 12 2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải là đa thức của n Định nghĩa 2.4. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là đa thức của n có dạng: axn+1 + bxn = Pm (n), (2.5) Pm (n) là đa thức bậc m của n. Cách giải. Nghiệm tổng quát xn =x̄n +x∗n , trong đó nghiệm riêng x∗n được tìm như sau Trường hợp 1. Nếu λ 6= 1 thì x∗n được tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m với Pm (n), x∗n = Qm (n); Qm (n) là đa thức bậc m của n. Trường hợp 2. Nếu λ = 1 thì x∗n = n.Qm (n). Ví dụ 2.6. Giải phương trình xn+1 − 15xn = −14n + 1; x0 = 2014. Giải. Dễ thấy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là x̄n = c.15n . Vì λ = 15 6= 1, ta tìm nghiệm riêng ở dạng x∗n = an + b suy ra x∗n+1 = a(n + 1) + b. Thay vào phương trình ban đầu ta có: a(n + 1) + b − 15(an + b) = −14n + 1. Đồng nhất hệ số hai vế, ta được a = 1; b = 1 suy ra x∗n = n. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xn = x̄n +x∗n = c.15n + n. Từ giả thiết x0 = 2014 suy ra c = 2014. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là xn = 2014.15n + n. Ví dụ 2.7. Giải phương trình xn+1 − xn = −2n − 1; x0 = 100. Giải. Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: xn = cλn = c vì λ = 1. Do đó nghiệm riêng x∗n = n(an + b); x∗n+1 = (n + 1)[a(n + 1) + b]. Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được : a = −1; b = 0. Vậy phương trình đã cho có nghiệm riêng là: x∗n = −n2 . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: xn = x̄n + x∗n = c − n2 . Từ giả thiết ta có x0 = 100 suy ra c = 100. Vậy nghiệm của phương trình là xn = 100 − n2 . 13 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa Định nghĩa 2.5. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa là phương trình có dạng axn+1 + bxn = α.β n . (2.6) Cách giải. Ta tìm nghiêm riêng x∗n như sau Trường hợp 1. Nếu λ 6= β thì x∗n = cβ n . Trường hợp 2. Nếu λ = β thì x∗n = c.n.β n . Ví dụ 2.8. Giải phương trình xn+1 − 3xn = 5n ; x0 = 100, 5. Giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất x̄n = c.3n . Vì α = 3 6= β = 5 suy ra nghiệm riêng x∗n = c.5n . 1 1 Thay vào phương trình đã cho ta có c = suy ra x∗n = .5n . 2 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1 xn = c.3n + .5n . Vì x0 = 100, 5 suy ra c = 100. 2 1 Do đó nghiệm của phương trình đã cho là: xn = 100.3n + .5n . 2 2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa Định nghĩa 2.6. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải làm hàm đa thức nhân lũy thừa là phương trình có dạng: axn+1 + bxn = Pm (n).β n . (2.7) Cách giải. Trường hợp 1. Nếu λ 6= β thì ta tìm nghiệm riêng dưới dạng x∗n = Qm (n).β n . Trường hợp 2. Nếu λ = β thì x∗n = n.Qm (n).β n . Ví dụ 2.9. Giải phương trình xn+1 − 2xn = 2n (n + 3). Giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất x̄n = c.2n . Vì λ = 2 = β = 2 nên nghiệm riêng x∗n = n(an + b).2n . Suy ra xn+1 = (n + 1)[a(n + 1) + b]2n+1 . Thay vào phương trình, ta được: (n + 1)(an + a + b).2n+1 − 2n(an + b).2n = 2n (n + 3). 14 ⇒  1   a=   4 ⇒ x∗n    b=5 4 1 5 n = n n + .2 4 4 n2 + 5n n Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: xn = c.2 + .2 . 4 n 2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với vế phải là hàm lượng giác Định nghĩa 2.7. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với vế phải là hàm lượng giác là phương trình có dạng: axn+1 + bxn = α sin nx + β cos nx (2.8) (α2 + β 2 6= 0; x 6= kπ) Cách giải. Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng: x∗n = A sin nx + B cos nx. √ nπ Ví dụ 2.10. Giải phương trình 2xn+1 − xn = − sin . 4 −1 nπ 1 . Giải. Phương trình đã cho ⇔ xn+1 − √ xn = √ sin 4 2 2  1 n Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là x̄n = c √ . 2 nπ nπ Nghiệm riêng của phương trình đã cho là x∗n = A cos + B sin suy ra 4 4 (n + 1)π (n + 1)π x∗n+1 = A cos + B sin . 4 4 Thay vào phương trình sai phân ta có: (n + 1)π 1  nπ nπ  −1 nπ (n + 1)π √ + B sin − A cos + B sin = √ sin A cos 4 4 4 4 4 2 2 nπ nπ nπ Biến đổi và rút gọn ta được −A sin + B cos = − sin 4 nπ 4 4 ∗ suy ra A = −1; B = 0 suy ra xn = cos . 4 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:  1 n nπ ∗ xn = x̄n + xn = c √ + cos . 4 2 15 2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải Định nghĩa 2.8. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng có dạng: axn+1 + bxn = fn(1) + fn(2) , (2.9) (1) (2) trong đó fn và fn là đa thức hay lũy thừa hay đa thức nhân lũy thừa hay hàm lượng giác. Cách giải. Ta dùng nguyên lý chồng chất nghiệm tìm nghiệm riêng ở dạng x∗n = x∗(1) + x∗(2) n n , ∗(1) (1) ∗(2) trong đó xn là nghiệm riêng của phương trình axn+1 + bxn = fn ; xn (2) nghiệm riêng của phương trình axn+1 + bxn = fn . là Ví dụ 2.11. Giải phương trình sai phân xn+1 − xn = 2n2 + 2n ; x0 = 2. ∗(1) Giải. Ta có x̄n = c; xn = n(an2 + bn + c). ∗(1) Xét phương trình xn+1 − xn = 2n2 . Thay xn vào phương trình ta được (x + 1)(a(n + 1)2 + b(n + 1) + c) − n(an2 + bn + c) = 2n2 . ⇔ 3an2 + (3a + 2b)n + a + b + c = 2n2 . 2 1 ∗(1) ⇔ xn = n( n2 − n + ). 3 3 ∗(2) Xét phương trình xn+1 − xn = 2n . Thay xn = c.2n vào phương trình ta được c.2n+1 − c2n = 2n ⇔ 2c − c = 1 ⇔ c = 1 ⇔ x∗(2) = 2n . n Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: 1 xn = c + 2n + n(2n2 − 3n + 1). 3 Ta có x0 = 2 suy ra c + 1 = 2 hay c = 1. 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm xn = 1 + 2n + (2n2 − 3n + 1). 3 Nhận xét. Phương trình mở rộng của (2.9) là: axn+1 + bxn = fn(1) + fn(2) + . . . + fn(k) . ∗(1) Khi đó nghiệm riêng của phương trình là: x∗n = xn 16 ∗(2) + xn (2.10) ∗(k) + . . . + xn .