Tài liệu Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC                                                         LÂM THỊ THU HƯỜNG   RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC                     LÂM THỊ THU HƯỜNG                             RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số:60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. VŨ ĐÌNH HÒA HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý  thầy cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi  và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn.  Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người  thầy hướng dẫn của mình là PGS.TSKH.VŨ ĐÌNH HÒA, người thầy đã tận tình hướng  dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn.  Xin chân thành cám ơn các anh chị, các bạn học viên cùng học tại lớp LL&PP  dạy  học  Bộ  môn Toán K8, Trường Đại học  Giáo Dục, Đại  học Quốc Gia  Hà Nội đã  dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập và  nghiên cứu.  Cuối  cùng,  tác  giả  xin  được  cám  ơn  gia  đình,  người  thân  đã  động  viên  và  tạo  điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận văn này.  Mặc dù bản thân tác giả đã cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn này song  vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế vào thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự  đóng  góp  các  ý  kiến  quý  báu  của  các  thầy  cô  giáo,  các  bạn  đồng  nghiệp  và  những  người quan tâm đến các vấn đề được trình bày trong luận văn để luận văn được hoàn  thiện hơn.  Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2014 Người thực hiện                           i    Lâm Thị Thu Hường DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Ý nghĩa CB                                 : Chủ biên  CNTT           : Công nghệ thông tin  CT            : Chương trình  ĐC            : Đối chứng  ĐK            : Điều kiện  GV            : Giáo viên  HS            : Học sinh  NC            : Nâng cao  NXB            : Nhà xuất bản  PPDH           : Phương pháp dạy học  SGK            : Sách giáo khoa  THPT           : Trung học phổ thông  TM             : Thỏa mãn  TNSP           : Thực nghiệm sư phạm  TN            : Thực nghiệm  TXĐ            : Tập xác định  VD          : Ví dụ          ii    MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................... i  DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ..............................................................................ii  MỤC LỤC ...................................................................................................................... iii  MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1  CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH  VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .......................................................................................... 5  1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................................. 5  1.1.1.Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học ................................................. 5  1.1.2. Tư duy và đặc điểm của tư duy .............................................................................. 6  1.2. Khái niệm thuật toán ................................................................................................. 7  1.2.1. Khái niệm thuật toán .............................................................................................. 7  1.2.2. Các đặc trưng của thuật toán .................................................................................. 8  1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán ................................................................... 9  1.2.4. Độ phức tạp của thuật toán ................................................................................... 15  1.3. Tư duy thuật giải ..................................................................................................... 15  1.3.1. Khái niệm thuật giải ............................................................................................. 15  1.3.2. Tư duy thuật giải .................................................................................................. 16  1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương trình  ........................................................................................................................................ 17  1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ......................................... 21  1.4.1.  Vai  trò  của  việc  phát  triển  tư  duy  thuật  giải  trong  dạy  học  Toán  ở  trường  phổ  thông ............................................................................................................................... 21  1.4.2. Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ...... 22  1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................................... 24  iii      CHƯƠNG 2:MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI  CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH  VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ........................................................................................ 25  2.1. Nội dung dạy học phương trình và bất phương trình trong chương trình sách giáo  khoa trung học phổ thông (nâng cao) ............................................................................. 25  2.2. Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh . 27  2.3.  Một  số  định  hướng  sư  phạm  góp  phần  phát  triển  tư  duy  thuật  giải  cho  học  sinh  thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình ..................................... 30  2.3.1.  Rèn  luyện  cho  học  sinh  các  kỹ  năng  thành  phần  khi  giải  phương  trình  và  bất  phương trình ................................................................................................................... 30  2.3.2. Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong  khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy học giải phương trình và  bất phương trình ............................................................................................................. 40  2.3.3.  Xây  dựng  quy  trình  dạy  học  phương  trình,  bất  phương  trình  theo  hướng  phát  triển tư duy thuật giải ..................................................................................................... 46  2.3.4. Luyện tập cho học sinh giải các phương trình và bất phương trình đã biết thuật  giải .................................................................................................................................. 56  2.4. Xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình, bất phương trình ................... 61  2.5. Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình trong viêc dạy học giải phương trình, bất phương  trình ................................................................................................................................ 76  2.6. Kết luận chương 2 ................................................................................................... 82  CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................... 84  3.1. Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm ............................................ 84  3.1.1. Mục đích ............................................................................................................... 84  3.1.2. Nhiệm vụ .............................................................................................................. 84  3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm ........................................................................... 84  3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 85  iv      3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................. 85  3.3.1. Đáp án đề kiểm tra ............................................................................................... 85  3.3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................................. 88  3.4. Kết luận chung về thực nghiệm .............................................................................. 89  KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .............................................................................. 90  1.  Kết luận .................................................................................................................... 90  2. Khuyến nghị ............................................................................................................... 90  TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 91  PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 93  v    MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Mục tiêu của giáo dục phổ thông hiện nay là: “Giúp học sinh phát triển toàn diện  về  đạo  đức,  trí  tuệ,  thể  chất,  thẩm  mĩ  và  các  kỹ  năng  cơ  bản,  phát  triển  năng  lực  cá  nhân,  tính  năng  động  và  sáng  tạo,  hình  thành  nhân  cách  con  người  Việt  Nam  xã  hội  chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục  học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia và xây dựng bảo vệ tổ quốc”. Và để  bắt kịp sự phát triển của xã hội ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp  dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất của  người lao động  trong  nền sản xuất tự động  hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ  luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm  giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc.  Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong các văn  kiện Đại hội Đảng như: Cương lĩnh  xây dựng đất nước  trong thời kỳ quá độ lên chủ  nghĩa xã hội ( Bổ sung, phát triển năm 2011) nêu rõ: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội, nâng cao chất lượng theo yêu cầu chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc”.  Về phương pháp giáo dục đào tạo, Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung  ươngĐảng  khóa X tại  Đại hội  đại biểu toàn  quốc lần thứ XI của Đảng  cũng nêu rõ:  "Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”.  Điều  5,  luật  giáo  dục  (2010)  quy  định:  “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.  Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá  trình dạy học là rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh.  1      Tư  duy  thuật  giải  có  vai  trò  quan  trọng  trong  nhà  trường  phổ  thông  đặc  biệt  trong dạy học toán. Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải.  Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuật giải, có qui tắc, có  sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ tiếp thu  lĩnh  hội. Thông qua các  bước  hoạt  động,  yêu  cầu  của  bài  toán  được  giảm  dần  phù  hợp  với  khả  năng  của  học  sinh, nó là định hướng để học sinh giải bài toán đó.  Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán, từng dạng  toán, nó thúc đẩy  sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh như: phân tích,  tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, hơn nữa nó còn hình thành cho học sinh  những  phẩm  chất  trí  tuệ  như:  tính  cẩn  thận  chi  tiết,  tính  linh  hoạt,  tính  độc  lập,  sáng  tạo, kích thích sự ham muốn khám phá, các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như:  tính  ngăn  nắp,  tính  cẩn  thận,  tính  kỷ  luật,  ý  thức  tìm  giải  pháp  tối  ưu  khi  giải  quyết  công việc. Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được các yêu cầu của  xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa đáp ứng yêu  của của con người trong nền sản xuất tự động hóa và bối cảnh công nghệ, thông tin, tin  học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống.  Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có  thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dương Vương Minh: "Phát triển tư duy thuật giải của  học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông" (1998). Luận án này đã  xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ  chưa  đi  sâu  vào  việc  phát  triển  tư  duy  thuật  giải  cho  học  sinh  trong  khi  dạy  học  nội  dung phương trình.  Luận  văn  của  thạc  sỹ  Nguyễn  Thị  Thanh  Bình:  "Góp  phần  phát  triển  tư  duy  thuật giải của  học sinh Trung  học phổ thông  thông qua dạy  học  nội dung lượng giác  11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy  nội dung lượng giác 11.  Phương  trình  và  bất  phương  trình  là  hai  nội  dung  có  vị  trí  quan  trọng  trong  chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt  từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là  2    chìa  khóa  để  giải  quyết  những  vấn  đề  thuộc  hầu  hết  các  chủ  đề  kiến  thức  về  Đại  số,  Giải tích và Hình học. Vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ  để  phương  trình,  bất  phương  trình  một  cách  đầy  đủ  theo  quy  định  của  chương  trình,  việc bồi dưỡng kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh còn có ý  nghĩa  trong  việc  nâng  cao  chất  lượng  dạy  học  nhiều  nội  dung  môn  Toán  ở  trường  THPT.  Vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:“ Rèn tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình”.  2. Mục đích nghiên cứu   Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa một số vấn đề về tư duy thuật giải,  về kỹ năng và kỹ năng giải Toán của học sinh và đề ra một số biện pháp góp phần rèn  luyện  tư  duy  thuật  giải  cho  học  sinh  THPT  thông  qua  dạy  học  phương  trình  và  bất  phương trình.  3. Giả thuyết khoa học Trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nếu giáo viên xây dựng được  một  số  kỹ  thuật  và  biện  pháp  thích  hợp  trong  quá  trình  dạy  học  phương  trình  và  bất  phương trình, thì có thể rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh, góp phần nâng cao  chất lượng dạy học Toán ở trường THPT.  4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau:  4.1.Tư duy thuật giải là gì ? Vì sao cần phát triển tư duy thuật giải cho học  sinh trong dạy học môn Toán?  4.2.Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần có những định hướng sư phạm vi  nào?   4.3. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh.  4.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực và tính  hiệu quả của đề tài.  3    5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu toán học, các tài liệu về lý luận và phương pháp dạy học, tài  liệu về lý luận dạy học bộ môn Toán, các tài liệu về tâm lý học.  - Các bài báo, các bài viết phục vụ đề tài.  5.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn -  Dự giờ quan sát hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò trong các lớp học.  Quan sát ngay trong giờ học của mình và rút ra các kết luận trong quá trình giảng dạy.  - Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên khác về việc sử dụng các phản ví dụ trong  dạy học nhằm rèn luyện tư duy phê phán cho sinh viên. - Dùng các thống kê toán học để xử lý các số liệu thống kê. 5.3. Thực nghiệm sư phạm Tiến  hành  thực  nghiệm  sư  phạm  một  số  nội  dung  của  luận  văn  tại  trường  Trung  tâm  giáo  dục  thường  xuyên  thành  phố  Cao  Bằng,  kiểm  chứng  tính  khả  thi  của  đề  tài  qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng.  6. Đóng góp của luận văn 6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vị trí của  việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán.  6.2. Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho  học sinh.  6.3. Khai thác được một số dạng bài toán phương trình và bất phương trình có thể giúp  học sinh xây dựng được thuật toán hay quy trình tựa thuật toán.  7. Cấu trúc luận văn Ngoài  phần  mở  đầu,  kết  luận,  khuyến  nghị,  tài  liệu  tham  khảo  luận  văn  dự  kiến  được trình bày trong ba chương:  Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài nghiên cứu  Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán theo hướng phát triển tư duy  thuật giải cho học sinh thông qua dạy học phương trình và bất phương trình  Chương 3: Thực nghiệm sư phạm  4    CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao  lưu  của  học  sinh  nhằm  thực  hiện  những  mục  đích  dạy  học.  Còn  học  tập  là  một  quá  trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông  tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện các chức năng  này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí  tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực.  Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với  nó, căn cứ vào mục đích dạy học sau đó lựa chọn phương pháp để tập luyện cho học  sinh.  Việc  phân  tích  một  hoạt  động  thành  những  hoạt  động  thành  phần  sẽ  giúp  ta  tổ  chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức với học sinh.  Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là  tri  thức  phương  pháp.  Những  tri  thức  này  lại  là  kết  quả  của  một  quá  trình  hoạt  động  khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền  đề  để  tập  luyện  và  đạt  kết  quả  cao  hơn.  Do  đó  cần  phân  bậc  những  hoạt  động  theo  những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc  phân  tích  trên  về  phương  pháp  dạy  học  theo  quan  điểm  hoạt  động.  Luận  văn  được  nghiên  cứu  trong  khuôn  khổ  của  lý  luận  dạy  học,  lấy  quan  điểm  hoạt  động  làm  nền  tảng  tâm  lý  học.  Nội  dung  của  quan  điểm  này  được  thể  hiện  một  cách  tóm  tắt  qua  những tư tưởng chủ đạo sau:  *  Cho  học  sinh  thực  hiện  và  tập  luyện  những  hoạt  động  và  hoạt  động  tương  thích với nội dung và mục đích dạy học.  * Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.  5    * Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện  và kết quả của hoạt động.  * Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.  Như vậy, nếu phân tích rõ được tư tưởng và phương pháp dạy học dựa trên quan  điểm hoạt động sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học theo hướng phát triển tư  duy thuật giải cho học sinh.  1.1.2. Tư duy và đặc điểm của tư duy a. Tư duy      Theo [16]: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,  những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong  hiện thực khách quan mà trước đó ta đã biết”.       Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức  mới về chất so với cảm giác và tri giác. Trong đó nhận thức lý tính là một quá trình mà  chủ thể nhận thức, khái quát hoá từ các dữ kiện mà họ có một cách cảm tính bằng cách  hệ thống hoá chúng rồi đi đến thiết lập mối liên hệ giữa chúng và hiểu được mối quan  hệ bản chất giữa các hiện tượng nghiên cứu. Từ đó phát biểu thành các tri thức và được  kiểm tra lại bằng thực nghiệm.      Tư duy là giai đoạn cao nhất của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra  tính quy luật của sự vật hiện tượng bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm,  phán đoán và suy nghĩ.   b. Đặc điểm của tư duy  Với tư cách là một mức độ mới thuộc nhận thức lý tính, khác xa về chất so với  nhận thức cảm tính, tư duy do con người là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau đây:  *  Tính  “có  vấn  đề”:  Đứng  trước  những  hoàn  cảnh,  những  tình  huống  mà  vốn  hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con người không đủ để giải quyết, khi  đó con người rơi vào hoàn cảnh “có vấn đề”, lúc này con người phải vượt ra khỏi phạm  vi  những  hiểu  biết  và  đi  tìm  những  cái  mới,  hay  nói  cách  khác  đi  con  người  phải  tư  duy.  6    * Tính gián tiếp: tư duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tượng và quy luật  giữa chúng nhờ sử dụng công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy vi tính…).  Ngôn  ngữ  là  một  phương  tiện  rất  quan  trọng  của  tư  duy.  Con  người  luôn  dùng  ngôn  ngữ  để  tư  duy.  Nhờ  đặc  điểm  gián  tiếp  này  mà  tư  duy  đã  mở  rộng  không  giới  hạn  những khả năng nhận thức của con người.    * Tính trừu tượng và khái quát: Tư duy phản ánh cái bản chất nhất, chung cho  nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm trù (khái quát), đồng thời loại  bỏ  khỏi  những  sự  vật  đó,  những  cái  cụ  thể,  cá  biệt.  Nói  một  cách  khác,  tư  duy  đồng  thời mang tính chất trừu tượng và khái quát.    * Tư duy của con người có sự liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: Ngôn ngữ được  xem là phương tiện của tư duy. Nếu không có ngôn ngữ thì bản thân quá trình tư duy  không diễn ra được, đồng thời tạo ra các sản phẩm của tư duy cũng không được chủ thể  và người khác tiếp nhận.    * Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy phải dựa trên  những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động. Tư duy và  nhận thức cảm tính là hai mức độ nhận thức khác nhau, nhưng không thể tách rời nhau,  có  quan  hệ  chặt  chẽ  bổ  sung  cho  nhau,  chi  phối  lẫn  nhau  trong  hoạt  động  nhận  thức  thống nhất và biện chứng. Như F.Anghen đã nói: “Nhập vào với con mắt của chúng ta  chẳng những có những cảm giác khác, mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa”. 1.2.Khái niệm thuật toán 1.2.1. Khái niệm thuật toán            Khái  niệm  tư  duy  thuật  giải  liên  hệ  chặt  chẽ  với  khái  niệm  thuật  toán,  do  đó  trước khi đưa ra khái niệm thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán.  Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ rang các quy tắc nhằm xác định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác ta đạt được mục tiêu định trước[6, tr.13] Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:    * Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao  tác.  7      * Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc  hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo.  * Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người, thực hiện trên  nhiều máy tình vẫn phải cho kết quả như nhau.  * Tính phổ dụng: áp  dụng  được  cho  nhiều  bài  toán  khác  có  cùng  cấu  trúc,  với  các dữ liệu khác nhau.    * Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được kết quả cần tìm.  1.2.2. Các đặc trưng của thuật toán a. Tính đơn trị Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là  hai  phần  tử  thuộc  cùng  một  cơ  cấu,  thực  hiện  cùng  một  thao  tác  trên  cùng  một  đối  tượng thì phải cho cùng kết quả.  Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài toán của Polya [11].  Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán.  Bước 2. Tìm đường lối giải toán.  Bước 3. Thực hiện chương trình giải toán.  Bước 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.  Quy  trình  này  không  phải  là  một  thuật  toán  vì  tính  đơn  trị  bị  vi  phạm.  Chẳng  hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không  được xác định vì người ta có thể hiểu và  làm theo nhiều cách khác nhau.  Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán. Bất kể cơ  cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không  cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ  đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc  thay thế cho con người.  b. Tính hiệu quả   Tính  hiệu  quả  của  thuật  toán  được  đánh  giá  dựa  trên  một  số  tiêu  chuẩn  như:  khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện. Tính hiệu  quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn  8    đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật  toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi.  c. Tính tổng quát  Thuật  toán  có  tính  tổng  quát  là  thuật  toán  phải  áp  dụng  được  cho  mọi  trường  hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào  đó.   1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán Khi chứng  minh hoặc  giải một bài toán trong toán học, ta thường  dùng những  ngôn ngữ toán học như: “ta có”, “điều phải chứng minh”, “giả thiết”,…và sử dụng các  phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương đương,…  Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng phải tuân  theo  một  số  quy  tắc  nhất  định.  Để  có  thể  truyền  đạt  thuật  toán  cho  người  khác  hay  chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật  toán. Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán:[6]  1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học (natural languages).  2. Dạng lưu đồ – sơ đồ khối (flowcharts).  3. Dạng mã giả (pseudocode).  4. Dạng ngôn ngữ lập trình (programming languages).   Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học Trong  cách  biểu  diễn  thuật  toán  theo  ngôn  ngữ  tự  nhiên  và  ngôn  ngữ  toán  học,  người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của  thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn  ngữ toán học.   Phương pháp biểu diễn này có ưu điểm là đợn giản, không yêu cầu người viết cũng  như người đọc thuật toán phải nắm các quy  tắc, các kiến thức  nền  tảng. Nhưng cách  biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc của thuật toán, đôi lúc gây  hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc và khó biển diễn được những bài toán phức  tạp.    9    Ví dụ: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:  ax2 + bx + c = 0 (với giả thiết abc  ¹  0)  Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c  Bước 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0  + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 3  + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 4  Bước 3: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu   Chuyển sang bước 14  Bước 4: Tính  = b2 - 4ac  Bước 5: Kiểm tra điều kiện > 0  + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 9  + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 6  Bước 6: Kiểm tra điều kiện ab > 0  + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 7  + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 8  Bước 7: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm dương  Chuyển sang bước 14  Bước 8: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm âm  Chuyển sang bước 14  Bước 9: kiểm tra điều kiện  = 0  + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 10  + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 13  Bước 10. Kiểm tra điều kiện ab > 0  + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 11  + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 12  Bước 12. Kết luận: Phương trình có nghiệm kép dương  Chuyển sang bước 14  Bước 13: Kết luận: phương trình vô nghiệm  Bước 14: Kết thúc  10      Lưu đồ – Sơ đồ khối (flowcharts)  Lưu đồ hay  sơ đồ khối là một công cụ trực  quan để diễn đạt các thuật toán. Biểu  diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường  hợp  và  quá  trình  xử  lý  của  thuật  toán.  Phương  pháp  lưu  đồ  thường  được  dùng  trong  những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý.    Để  biểu  diễn  thuật  toán  theo  sơ  đồ  khối,  ta  phải  phân  biệt  hai  loại  thao  tác:  thao tác lựa chọn và thao tác hành động.   *Thao tác lựa chọn:    Thao  tác  lựa  chọn  được  biểu  diễn  bằng  một  hình  thoi,  bên  trong  chứa  biểu  thức điều kiện:    Đ   Đ a = b    ∆ = 0  S S     *Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa nội dung  xử lý.   i:= i +1    * Đường đi     Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặt các  hình vẽ này  ở bất  kỳ  vị trí nào nên ta phải  có phương pháp để thể hiện trình tự thực  hiện các thao tác.      Bước 1  Bước 2          Bước 3      11      Hai  bước  kế  tiếp  nhau  được  nối  bằng  một  mũi  tên  chỉ  hướng  thực  hiện.  Từ  thao  tác  chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện đúng, một hướng ứng  với điều kiện sai.        S    = 0   > 0        Đ  PT có hai nghiệm phân biệt  * Hình ô van thể hiện các thao tác nhập, xuất dữ liệu, khởi đầu hoặc kết thúc của  một thuật toán.      Bắt đầu  Kết thúc    (Có thể thay chữ Bắt đầu bởi Start (hoặc Begin), thay Kết thúc bởi End).    Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có lưu đồ  lớn.  Ví dụ: Lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc hai  12      Bắt đầu  Hỏi giá trị a, b , c   = b2 - 4ac  S  0   Đ  Có 2 nghiệm phân biệt  x 1, 2   b  2a S    0  Đ  ,   Có nghiệm kép    x=−  Vô nghiệm      Kết thúc  Lưu đồ  mô tả thuật toán  một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải  mô tả những thuật toán phức tạp. Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toán khắc  phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.     Dạng mã giả (pseudocode)  Tuy  sơ  đồ  khối  thể  hiện  rõ  quá  trình  xử  lý  và  phân  cấp  các  trường  hợp  của  thuật  toán  nhưng  lại  cồng  kềnh,  đặc  biệt  đối  với  những  bài  toán  phức  tạp.  Để  mô  tả  thuật toán nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai  thao tác là rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong thực tế, các thuật toán  còn có các lặp.  13