Tài liệu Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9 thông qua việc phát triển một số bài toán chứa căn thức bậc 2

Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku REØN LUYEÄN TÖ DUY SAÙNG TAÏO CHO HOÏC SINH LÔÙP 9 THOÂNG QUA VIEÄC PHAÙT TRIEÅN MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN CHÖÙA CAÊN THÖÙC BAÄC HAI PHAÀN A: ÑAËT VAÁN ÑEÀ I. LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI . Söï phaùt trieån kinh teá cuûa moät ñaát nöôùc khoâng phuï thuoäc nhieàu ôû taøi nguyeân thieân nhieân maø phuï thuoäc vaøo trình ñoä daân trí. Toaùn hoïc coù vò trí ñaëc bieät trong vieäc naâng cao vaø phaùt trieån daân trí, goùp phaàn taïo neân nguoàn taøi nguyeân chaát xaùm nguoàn taøi nguyeân quyù nhaát cho ñaát nöôùc. Toaùn hoïc khoâng chæ cung caáp cho con ngöôøi nhöõng kó naêng tính toaùn caàn thieát maø coøn (vaø ôû ñaây laø ñieàu kieän chuû yeáu) reøn luyeän cho con ngöôøi moät khaû naêng tö duy loâgic, moät phöông phaùp luaän khoa hoïc. Vieäc naâng cao chaát löôïng giaùo duïc laø nhieäm vuï soá moät trong baát kì nhaø tröôøng naøo vaø cuõng laø muïc tieâu phaán ñaáu cuûa moãi giaùo vieân. Ñaëc bieät vaán ñeà chaát löôïng giaùo duïc ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 9, vì ñaây laø naêm cuoái caáp baäc trung hoïc cô sôû vaø ñaùnh daáu böôùc chuyeån tieáp quan troïng treân con ñöôøng hoïc taäp cuûa hoïc sinh . Laø moät giaùo vieân ñaõ töøng tham gia giaûng daïy boä moân toaùn 9 toâi luoân traên trôû moät ñieàu laø laøm theá naøo ñeå tö duy suy luaän cuûa hoïc sinh ñöôïc chaët cheõ, nhaïy beùn, saùng taïo? Coù nhö vaäy seõ naâng cao chaát löôïng boä moân. Trong vieäc giaûng daïy moân toaùn ngöôøi thaày ñoùng vai troø quan troïng trong vieäc hình thaønh, phaùt trieån tö duy loâ gíc vaø phöông phaùp luaän khoa hoïc cho hoïc sinh. Ñeå coù theå phaùt trieån tö duy saùng taïo trong vieäc hoïc toaùn vaø giaûi toaùn thì tìm ra keát quaû moät baøi toaùn chöa coù theå coi laø keát thuùc ñöôïc, maø phaûi tieán haønh khai thaùc, phaûi "moå xeû" vaø phaân tích baøi toaùn ñoù. Phaùt trieån tö duy saùng taïo cho hoïc sinh khoâng chæ nhaèm ñaït chaát löôïng cao trong daïy hoïc maø coøn nhaèm phaùt trieån nhaân toá con ngöôøi, nhaát laø trong thôøi ñaïi maø thoâng tin vaø khoa hoïc coâng ngheä ñang buøng noå nhö hieän nay. Trong quaù trình daïy hoïc toaùn noùi rieâng cuõng nhö trong quaù trình daïy hoïc noùi chung ngöôøi daïy cuõng nhö ngöôøi hoïc caàn taïo cho mình moät thoùi quen laø: sau khi ñaõ tìm ñöôïc lôøi giaûi baøi toaùn thì duø laø ñôn giaûn hay phöùc taïp, tieáp tuïc suy nghó, laät laïi vaán ñeà, theâm ñieàu kieän cho baøi toaùn, hay thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn ... seõ ñöôïc baøi toaùn môùi thuù vò hôn. Chính vì lyù do treân toâi choïn ñeà taøi :" Reøn luyeän tö duy saùng taïo cho hoïc sinh lôùp 9 thoâng qua vieäc phaùt trieån moät soá baøi toaùn chöùa caên thöùc baäc hai " nhö moät saân chôi trí tueä daønh cho hoïc sinh lôùp 9 trong caùc giôø hoïc toaùn. Nhaèm taïo ñieàu kieän kích thích khaû naêng saùng taïo, ham hoïc hoûi cuûa hoïc sinh. 1 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku II. MUÏC ÑÍCH NGHIEÂN CÖÙU . Hình thaønh cho hoïc sinh coù naêng löïc haønh ñoäng, naêng löïc öùng xöû, naêng löïc töï hoïc vaø kó naêng dieãn ñaït (baèng lôøi, baèng vieát). Kích thích trí töôûng töôïng, gaây höùng thuù hoïc taäp toaùn goùp phaàn reøn luyeän phöông phaùp hoïc taäp vaø coù keá hoaïch khoa hoïc, chuû ñoäng, linh hoaït, saùng taïo. Treân cô sôû naém ñöôïc phöông phaùp giaûi moät soá daïng toaùn bieán ñoåi bieåu thöùc chöùa caên thöùc baäc hai hoïc sinh bieát nhaän xeùt moät soá ñaëc tröng cuûa baøi toaùn goác , hoïc sinh coù theå laät laïi vaán ñeà, theâm ñieàu kieän cho baøi toaùn, hay thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn ... seõ ñöôïc baøi toaùn môùi thuù vò hôn. Thoâng qua vieäc phaùt trieån moät soá baøi toaùn goác nhaèm hình thaønh cho hoïc sinh kó naêng phaân tích ñeå tìm ra ñaëc tröng baøi toaùn, phaùt trieån baøi toaùn . Kích thích trí töôûng töôïng, gaây höùng thuù hoïc taäp moân toaùn goùp phaàn reøn luyeän nhaân caùch con ngöôøi: Phaùt trieån tö duy loâ gíc vaø phöông phaùp luaän khoa hoïc, reøn luyeän cho hoïc sinh kó naêng hoïc taäp vaø laøm vieäc coù keá hoaïch khoa hoïc chuû ñoäng, saùng taïo . III. ÑOÁI TÖÔÏNG NGHIEÂN CÖÙU : Tieán haønh treân hoïc sinh lôùp 9 -Tröôøng THCS ...TP Pleiku IV. PHAÏM VI NGHIEÂN CÖÙU: Vì phaïm vi ñeà taøi khaù roäng neân toâi chæ taäp trung vaøo vieäc reøn luyeän tö duy saùng taïo cho hoïc sinh lôùp 9 thoâng qua vieäc phaùt trieån moät soá baøi toaùn chöùa caên thöùc baäc hai. 2 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku PHAÀN B: THÖÏC TRAÏNG VAØ MOÄT SOÁ BIEÄN PHAÙP GIAÛI QUYEÁT I/ THÖÏC TRAÏNG : Phaûi noùi raèng kieán thöùc toaùn Trung hoïc cô sôû laø kieán thöùc raát cô baûn vaø quan troïng, laøm neàn taûng ñeå caùc em hoïc ôû baäc THPT vaø cao hôn laø hoïc chuyeân nghieäp. Kieán thöùc toaùn THCS laø vaät chaát ñaàu tieân ñeå caùc em hình thaønh vaø reøn luyeän tö duy logic, trìu töôïng, hình thaønh phaåm chaát caàn cuø, kieân trì vaø saùng taïo. Vieäc hoång kieán thöùc toaùn daãn ñeán caùc em khoù tieáp thu kieán thöùc môùi, vì vaäy daãn ñeán taâm lyù chaùn naûn, ngaïi hoïc toaùn, sôï hoïc toaùn. Nhö vaäy aûnh höôûng chung ñeán vieäc hoïc taäp, höùng thuù hoïc taäp cuûa caùc em taïi tröôøng THCS. Thöïc traïng caùc tröôøng THCS ôû thaønh phoá noùi chung, caùc tröôøng vuøng ven, xa thaønh phoá noùi rieâng laø: hoïc sinh khoái 9 ña soá hoång kieán thöùc toaùn daãn ñeán tieáp thu kieán thöùc môùi raát khoù khaên vì khoâng thaïo nhöõng kyõ naêng cô baûn nhö: coäng, tröø, nhaân, chia, luõy thöøa, caên thöùc.. . Soá löôïng hoïc sinh trong moät lôùp quaù ñoâng (treân 40 em, coù khi 45 em), coù trình ñoä nhaän thöùc vaø kieán thöùc neàn taûn g quaù khaùc nhau, vieäc tieáp thu kieán thöùc khoâng ñoàng ñeàu. Vì vaäy giaùo vieân khoâng theå giuùp taát caû hoïc sinh ñeàu hieåu baøi, keát quaû hoïc taäp cuûa hoïc sinh chöa cao. Qua khaûo saùt thöïc teá chaát löôïng ñaàu naêm cuûa 2 lôùp 9 nhö sau: Lôùp Só soá 93 40 94 42 Gioûi 7,5% (3 em) 21,4 % ( 9 em ) Khaù 20% (8 em ) 38,1 % ( 16 em ) Trung bình 45% (18 em ) 23,8 % (10 em ) Yeáu 27,5% (11 em ) 16,7 % (7 em ) Nhöõng nguyeân nhaân cuûa thöïc traïng treân * Ñoái vôùi giaùo vieân: Trình ñoä chuyeân moân cuûa moät soá giaùo vieân coøn chöa ñoàng ñeàu, ñoâi khi coøn haïn cheá. Giaùo vieân bò boù heïp trong phaïm vi moät tieát giaûng maø quaù nhieàu noäi dung. Moät soá giaùo vieân coøn tham lyù thuyeát do ñoù khoâng theå reøn luyeän kyõ naêng nhieàu cho hoïc sinh. Nhieàu giaùo vieân khoâng bieát “cheá bieán” kieán thöùc maø phuï thuoäc quaù nhieàu vaøo SGK. * Ñoái vôùi hoïc sinh : Phaàn lôùn hoïc sinh hoång kieán thöùc toaùn cô baûn caáp 2. Do ñoù söï höùng thuù vôùi moân toaùn khoâng coù hoaëc ít. Thoùi quen hoïc taäp khoâng khoa hoïc ñaõ hình thaønh ôû caùc lôùp döôùi, hoïc sinh thöôøng giaûi baøi taäp xong laø xong, khi ñöa baøi toaùn khai thaùc thì ít hoïc sinh laøm ñöôïc. 3 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku Gia ñình thieáu söï quan taâm, taïo ñieàu kieän hoïc taäp cho caùc em. Ñaëc bieät ñoái vôùi nhieàu gia ñình daân toäc thieåu soá. Caùc em ngaïi hoûi giaùo vieân, hoûi baïn beø; coù taâm lyù daáu doát; quen vôùi taâm lyù hoïc ñeå thi. Nhaát laø ôû caáp THCS do muoán phoå caäp giaùo duïc THCS caùc giaùo vieân phaûi ñaåy caùc em leân lôùp baèng moïi caùch. Vì vaäy xaûy ra maâu thuaãn laø: caùc em khoâng caàn coá gaéng vaãn ñöôïc ñieåm cao, vaãn ñöôïc leân lôùp. Daàn daàn taïo neân söï yû laïi, löôøi bieáng trong tö duy cuûa hoïc sinh. (Taát nhieân, coù nhieàu yù kieán chuû quan cuûa caù nhaân toâi) II/ MOÄT SOÁ BIEÄN PHAÙP GIAÛI QUYEÁT 1. Kieán thöùc cô baûn söû duïng trong chuyeân ñeà A2  A AB  A. B ( A  0; B  0) A  B A ( A  0; B  0) B A2 B  A B ( B  0) A B  A2 B ( A  0; B  0) A B   A2 B ( A  0; B  0) A 1  . AB ( AB  0; B  0) B B A A B  ( B  0) B B C AB  C ( A  B) ( A  0; A  B 2 ) 2 A B C C( A  B )  ( A  0; B  0; A  B ) AB A B 2 .Caùc baøi toaùn phaùt trieån Baøi toaùn 1 Ruùt goïn bieåu thöùc :A = ( 5  3) 2  ( 5  3) 2 Giaûi Ta coù : A = 5  3 - 5  3 = 5  3 - 5  3 =-2 3 . 4 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku Nhaän xeùt : Bieåu thöùc A ñaõù cho moãi soá haïng ñeàu ôû daïng A 2 neân hoïc sinh deã daøng aùp duïng coâng thöùc A 2  A ñeå tính toaùn . Ñeå yeâu caàu hoïc sinh buoäc phaûi suy luaän roài môùi coù theå aùp duïng coâng thöùc ñeå tính ta coù theå phaùt trieån baøi toaùn treân thaønh baøi toaùn sau : Baøi 1.1 .Ruùt goïn bieåu thöùc :A = 8  2 15  8  2 15 Hd : Laøm cho caùc bieåu thöùc xuaát hieän daïng haèng ñaúng thöùc vaø laøm nhö baøi toaùn 1 2 2  5   2 15   3    5  =  5  3   5  3 A = 8  2 15  8  2 15 = 2 2  2 15   3 2 2 Ta ñöôïc keát quaû nhö baøi toaùn 1. Nhaän xeùt .Theo keát quaû cuûa baøi toaùn 1 ta coù A =-2 3   3. A  6 laø moät soá nguyeân hoaëc A  3 =  2 cuõng laø moät soá nguyeân. Vì theá treân cô sôûù baøi toaùn 1 vaø baøi toaùn 1.1 ta coù theå phaùt trieån thaønh baøi toaùn sau: Baøi 1.2 Chöùng minh nhöõng bieåu thöùc sau coù giaù trò laø moät soá nguyeân. A = 24  6 15 - 24  6 15 B= 8 5 8 5 2  2 3 3 3 3 Nhaän xeùt : Ta cuõng coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn 1.1 vaø baøi toaùn 1.2 ñeå coù baøi toaùn môùi : Baøi toaùn 1.3 Chöùng minh ñaúng thöùc : 8  2 15  8  2 15  2 3 Baøi 1.4 Tìm x bieát a) ( 5  x) 2  ( 5  x) 2  2 3 b) x  2 15  x  2 15  2 3 roõ raøng ôû baøi 1.4a ta söû duïng ñöôïc ngay coâng thöùc A 2  A ta seõ tìm ñöôïc deã daøng giaù trò cuûa x . Nhöng caâu b thì khoâng theå aùp duïng ngay kieán thöùc ñoù ñöôïc vaäy laøm theá naøo ñeå giaûi quyeát ñöôïc baøi toaùn b. Luùc naøy ta phaûi söû duïng tính chaát cuûa ñaúng thöùc . Vì veá phaûi baèng 2 3 > 0 suy ra veá traùi x  2 15  x  2 15 > 0 . Bình phöông hai veá phöông trình caâu b ta ñöôïc phöông trình töông ñöông . (x+2 15 ) +(x–2 15 ) – 2 x 2  4.15  12 ( x  2 15 )(*)  2 x  2 x 2  60  12  x  x 2  60  6  x  6  x 2  60 (1) vì x  2 15 neân x – 6 > 0 vaø (1)  x 2  12 x  36  x 2  60 x 2  60  0  12 x  96 5 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku  x  8 ( Thoûa maõn ñieàu kieän (*)) Vaäy x = 8 laø nghieäm cuûa phöông trình x  2 15  x  2 15  2 3 Nhö vaäy vaãn töø baøi toaùn goác nhöng hai baøi toaùn phaùt trieån khoâng phaûi luùc naøo cuõng coù cuøng caùch giaûi vôùi baøi toaùn goác . Tieáp tuïc nhaän xeùt ta thaáy: A = ( 5  3) 2  ( 5  3 ) 2 = 2 3       5 3  5 3 5 3  12  5 3  5 3   12    5 3  12  5  3 = 12 5 3   =1 12   Töø keát quaû ñoù ta phaùt trieån thaønh baøi toaùn môùi sau: Baøi 1.5 Chöùng minh raèng 5 3  12 5 3 vaø 12 5 3  12 5 3 12 5 x  x 5 x    x  laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau Baøi 1.6 Tìm x ñeå 1  2  5 x  x 5 x  1  vaø   x 2   laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau . Nhaän xeùt : Töø baøi 1.1 ta coù A = 8  2 15  8  2 15 ta coù theå ñöa veà caùch giaûi cuûa baøi toaùn goác laø A = ( 5  3 ) 2  ( 5  3 ) 2 ñeå suy ra A=- 2 3 . Nhöng ta cuõng coù theå ruùt goïn A 2 roài suy ra A. Giaûi baøi toaùn 1.1 theo caùch khaùc nhö sau: A = 8  2 15  8  2 15 < 0 vì 8  2 15  8  2 15 Xeùt A 2 = (8  2 15)  (8  2 15) – 2 64  60 =16 – 4 =12 Vì A < 0 neân suy ra A =  A 2 =– 12 =– 2 3 Caùch giaûi baøi toaùn naøy coù theå cho ta nhöõng baøi toaùn töông töï sau . Baøi 1.7 Ruùt goïn bieåu thöùc A = 3 3 2 5  3 3 2 5 Baøi 1.8 Chöùng minh ñaúng thöùc 5  19  2 5  5  19  2 5 = 12  2 5 Baøi 1.9 Chöùng minh bieåu thöùc sau laø soá höõu tæ C = 13  48  13  48 Nhaän xeùt : Keát hôïp baøi 1.7 vôùi caùch giaûi cuûa baøi 1.4 ta coù baøi toaùn sau Baøi 1.10 Tìm x bieát : x2 5  x2 5  2 5 6 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku Nhaän xeùt : Coäng vaøo hai veá cuûa baøi 1.7 soá – 2 5 ta coù baøi toaùn sau : Baøi 1.11 Chöùng minh A = 3  3  2 5  3  3  2 5 - 2 5 laø moät soá nguyeân Trôû laïi baøi toaùn 1.10 : tìm x cuûa bieåu thöùc chöùa daáu caên thöùc baäc hai neáu khoâng höôùng daãn hoïc sinh vaø trình baøy lôøi giaûi maãu thì hoïc sinh seõ luùng tuùng khi gaëp daïng toaùn naøy Giaûi baøi 1.10 .Ñieàu kieän : x  2 5 ( *) Bình phöông hai veá phöông trình baøi 1.10 ta ñöôïc : x  2 5  2 ( x  2 5)( x  2 5)  x  2 5  20  2 x  2 x 2  20  20  x  x 2  20  10  x 2  20  10  x ( vôùi x  10 ) (**)  x 2  20  x 2  20 x  100  20 x  120  x  6 ( Thoûa maãn ñieàu kieän (*) vaø (**)) Vaäy x = 6 laø nghieäm cuûa phöông trình x2 5  x2 5  2 5 Baøi toaùn 2 .Ruùt goïn bieåu thöùc : A =(1+ 3 3 3 3 )(  1) 3 1 3 1 Giaûi : Coù theå duøng phöông phaùp nhaân moãi phaân thöùc vôùi lieân hôïp cuûa noù nhöng nhö theá baøi toaùn trôû neân daøi doøng, ta coù theå duøng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung nhö sau :  3( 3  1)   3( 3  1)  A  1   1  .   3  1   3 1    (1  3).( 3  1)  ( 3  1).( 3  1)  3  1  2 Nhaän xeùt : A = 2 laø moät soá nguyeân toá, thay soá 3 trong bieåu thöùc A bôûi moät soá nguyeân döông baát kì ta coù baøi toaùn sau : Baøi 2.1 Chöùng minh giaù trò bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân  a) 1  5 5   5 5   1  . 5  1   1  5    17  17   17  17  b) 1   1   .  17  1 1  17    Vaãn töø baøi toaùn 2, thay haèng soá 3 bôûi bieán x vôùi x  0 vaø x  1 ta coù moät vaøi baøi toaùn thuù vò sau:  Baøi 2.2. Ruùt goïn bieåu thöùc 1    Baøi 2.3 Tìm x bieát 1   x x   x x  . 1   x x  1   1  x  x x  x x   1 = 2  . 1  x   x  1  7 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku hay thay 3 bôûi tham soá a ñeå coù baøi toaùn sau Baøi 2.4 Tìm a ñeå bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân   a a   a a  2  : 2  2   .  a 1   a 1   Baøi 2.5 Chöùng minh giaù trò bieåu thöùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán  x x   x x   1  x 1   . x  1   x  1   Baøi 2.6. Chöùng minh  5 5  5 5   2  laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau  2   vaø  5 1    5 1  Baøi 2.7. Tìm x bieát   x x  x x   3  laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau  3   vaø  x 1    x 1  Keát hôïp daïng cuûa baøi toaùn 1 vaø bieåu thöùc daïng baøi toaùn 2 ta coù baøi toaùn môùi sau : Baøi 2.8. Thu goïn bieåu thöùc sau A = 3  xx  x 1 3 xx x 1 Höôùng daãn : Söû duïng caùch 2 cuûa baøi toaùn 1 Ruùt goïn A 2  A  A 2 (vì A > 0) Vaø dó nhieân coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi 2.8 ta ñöôïc baøi toaùn sau Baøi 2. 9 Tính giaù trò bieåu thöùc sau taïi x = 5 vaø x = A = 5 xx  x 1 Baøi 2.10 Tìm x bieát Giaûi: (1)  1  xx x 1 1 x 1 5 xx  x 1 x (1  x) 4 9 + 1 1 xx x 1 x (1  x) x 1 = 2 (1) (0  x  1) =2  1  x  1  x  2 (2) Vì 0  x  1 neân 1  x  1  x  0 Bình phöông hai veá pt (2) ta ñöôïc: 2  2 1 x  4  2 1  x  2  1  x  1  x  0 ( Thoûa maõn ñieàu kieän 0  x  1) Vaäy x = 0 laø nghieäm cuûa phöông trình Nhaän xeùt :Nhö vaäy ñoái vôùi baøi toaùn thu goïn bieåu thöùc A laø toång hay hieäu cuûa hai soá haïng lieân hôïp thì toát nhaát ta neân thu goïn töø A2 ñeå suy ra A. Vôùi suy luaän nhö vaäy vaø phöông phaùp thay ñoåi giaû thieát hay yeâu caàu baøi toaùn ( thay ñoåi daïng baøi toaùn ) ta coù theå tieáp tuïc suy luaän baøi toaùn 2 thaønh nhieàu baøi toaùn thuù vò hôn. Môøi ñoäc giaû cuøng phaùt trieån baøi toaùn ñeå chuyeân ñeà naøy ñaït ñöôïc hieäu quaû cao . Xin ñöôïc tieáp tuïc trình baøy baøi toaùn 3. 8 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku 1 Baøi toaùn 3 : Tính A = 1  1  1  ..........  1 2 2 3 3 4 99  100 1 1 1 1 Giaûi : Ta coù: A =    ..........  1 2 2 3 3 4 99  100 2 1 3 2 4 3 100  99 =    .............  2 1 3 2 43 100  99 = 2  1  3  2  4  3  ................  100  99 = – 1  100 = – 1 + 10 =9 Nhaän xeùt : Baøi toaùn 3 laø moät baøi toaùn tính toång cuûa daõy maø moãi haïng töû laø moät phaân soá coù töû soá laø 1, vaø maãu soá laø toång cuûa hai caên baäc hai cuûa hai soá töï nhieân lieân tieáp. Vì theá baøi toaùn coù theå vieát döôùi daïng toång quaùt. Baøi toaùn 3.1: Ruùt goïn bieåu thöùc B= 1 1 2 1  2 3 1  3 4 1  ..........  n 1  n ( n N , n  1 ) Thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn ta coù moät soá baøi toaùn sau: Baøi 3.2: Tìm x ñeå 1 1 2  1 2 3  1 3 4  ..........  1 x  x 1 x  N   10 Baøi 3.3: Chöùng minh raèng bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân. A= 1 1 3 1  1  3 5 5 7 1 1 Giaûi Ta coù: A =   1 3 3 5 3 1 5 3 =   3 1 53 1 = ( 3  1 5  3 2 1 = (1  121) 2 1 = (1  11) 2 = 5Z  ..........  1 1 119  121 1  ..........  5 7 119  121 7 5 121  119  .............  75 121  119  7  5  ................  121  119 ) Vaäy A laø soá nguyeân. Tieáp tuïc phaùt trieån ta coù baøi toaùn sau Baøi toaùn 3.4: Ruùt goïn A= 1 1 5  1 5 3  1 3  13  ..........  1 165  13 Nhaän xeùt: Ñoái vôùi baøi toaùn 3.4 ta khoâng hoaøn toaøn aùp duïng caùch giaûi cuûa baøi toaùn 3, baøi 3.4 buoäc hoïc sinh phaûi ñöa veà baøi toaùn 3 roài aùp duïng Giaûi : Ta coù A= 1 1 5  1 5 3  1 3  13  ..........  1 165  13 9 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku = 1  1 5 1 5 9 1  9  13 5 1 9 5   5 1 95 =  ..........  1 165  169 13  9 169  165  .............  13  9 169  165 1 ( 5  1  9  5  13  9  ................  169  165 ) 4 1 = (1  169 ) 4 1 = (1  13) = 3 4 = Baøi 3.5. Chöùng minh raèng bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân döông A= 1 1 1 1    ......  1 2 2  7 7  10 99  10 Baøi 3.6 Tìm a  N ,a  16 ñeå A= 1 1 6 1  6  11  1 11  16  ......  1 a  a5 laø moät soá nguyeân döông Baøi 3.7 Ruùt goïn bieåu thöùc A= 1 1 1 a 1  1  a  1  2a  ......  1 1  99a  1  100a Baøi 3.8 Tìm ñieàu kieän cuûa a ñeå bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân döông A= 1 1 1 a 1  1  a  1  2a  ......  1 1  99a  1  100a Baøi 3.9 Chöùng minh raèng vôùi moïi a  N , a  1 A= 1 1 1 a  1 1  a  1  2a  ......  1 1  99a  1  100a Baøi 3.10 Tìm a  N bieát 1 1 1 a  1  ......  1 1  a  1  2a 1  99a  1  100a x Baøi toaùn 4. Cho P = ;( x  0, x  9) . Tìm x ñeå P >0. x 3 =10 Giaûi :Vì x  0, x  9 neân bieåu thöùc P coù nghóa Khi ñoù ñeå P > 0  x ( x  3) >0  ( x  3) >0  x >3  x > 9 Töø baøi toaùn treân coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn ñeå ñöôïc moät soá baøi toaùn môùi cuøng daïng vôùi baøi toaùn 4 nhö sau : Baøi 4.1. Cho P = x vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P < 0. x 3 Baøi 4. 2. Cho P = x 1 vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P > 0 x 3 Baøi 4.3 Cho P= x 5 vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P > 0 x 3 10 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku Nhaän xeùt : Khi thöïc hieän pheùp chia töû cho maãu cuûa phaân thöùc P = x  0, x  9 ta ñöôïc P = x vôùi x 3 x 3  1 . Tìm x ñeå P >0 x 3 x 3 Vaø ta coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn naøy ñeå ñöôïc baøi toaùn môùi . Baøi 4.4. Cho P = x vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P ñaït giaù trò laø soá nguyeân. x 3 Giaûi: Ñeå P ñaït giaù trò laø soá nguyeân P   x 3  1 laø soá nguyeân x 3 x 3 3 x 3 laø soá nguyeân  3  ( x  3 )  ( x  3)  Ö(3)  ( x  3)   ±1; ±2; ±3  * x  3 =1  x =4  x =16; * x  3 =-1  x =2  x = 4; * x  3 =2  x =5  x = 25; * x  3 =-2  x =1  x = 1; * x  3 =3  x =6  x = 36; * x  3 =-3  x =0  x = 0; Vaäy ñeå P ñaït giaù trò laø soá nguyeân thì x   0 ; 1 ; 4 ; 16 ; 25 ; 36  Töông töï nhö baøi toaùn 4.4 ta phaùt trieån thaønh moät soá nhöõng baøi toaùn sau: Baøi 4.5. Cho P = x 5 vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P nhaän giaù trò laø soá nguyeân. x 3 Tieáp tuïc nhaän xeùt ta thaáy x = 0 vôùi  x = 0 suy ra x +1 > 0,  x = 0 suy ra x ( x  1) = 0 vôùi  x = 0. Töø ñoù ta coù moät soá baøi toaùn môùi sau: x  0 vôùi x  0, x  1 x 1 x2  1 Baøi 4.7. Chöùng minh raèng P =  0 vôùi x = –1. x 1  1 Baøi 4.6. Chöùng minh raèng P = Giaûi : vì x = –1 neân x + 1 = 0 suy ra P coù nghóa . Ta coù :x2 = 0 vôùi  x  x2+1> 0 vôùi  x(1) x  1 = 0 vôùi  x = 1  x  1 +1> 0 vôùi  x =1 (2) x2  1  0 vôùi  x = –1. x 1  1 1 Baøi 4. 8. Chöùng minh raèng P = 1– > 0 vôùi x = 0. x 1 Töø (1) vaø (2) suy ra P = Giaûi :Vì x = 0 vôùi x = 0 neân x +1 =1 vôùi x = 0 1 1  0 ( ñieàu phaûi chöùng minh )  1  1 x 1 x 1 11 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku Tieáp tuïc phaân tích baøi toaùn 4 cho thaáy P = nhaát baèng – 3 khi x = 0. Vì vaäy 3 x 3 x 3  1 coù x 3 x 3 x -3 ñaït giaù trò nhoû seõ ñaït giaù trò lôùn nhaát laø –1 khi x = 0. Do ñoù ta coù baøi toaùn môùi sau : Baøi 4.9. Cho P = x vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P ñaït giaù trò lôùn nhaát . x 3 Phaân tích baøi 4.3 ta thaáy P = nhaát laø –3 khi x = 0. Vì vaäy – x 5 2  1 ; ( x  0, x  9) coù x 3 x 3 2 x – 3 ñaït giaù trò nhoû seõ ñaït giaù trò lôùn nhaát laø  x 3 2 2 seõ ñaït giaù trò nhoû nhaát laø khi x = 0. 3 x 3 2 khi x = 0 suy ra 3 Do ñoù ta coù baøi toaùn môùi sau : Baøi 4.10. Cho P = x 5 vôùi x  0, x  9 .Tìm x ñeå P nhaän giaù trò nhoû nhaát. x 3 Töø baøi toaùn 4 ta laïi thaáy coù vaán ñeà ñöôïc naûy sinh ñoù laø : taïi sao chæ tìm giaù trò cuûa x ñeå P > 0 ? Coù theå tìm giaù trò cuûa x ñeå P > 0 hoaëc ñeå P < 0 ? Khi ñoù baøi toaùn ñöôïc söû lyù nhö theá naøo ? Baøi 4.11. Cho P = x vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P <1. x 3 Giaûi : Vì x  0 , x  9 neân bieåu thöùc P coù nghóa. Ñeå P <1 thì x 1  x 3  x 1  0 x 3 x x 3  0 x 3 x 3 x  ( x  3) 0 x 3 3   0  x 3 0 x 3  x  3  x  9.  Keát hôïp vôùi ñieàu kieän cuûa baøi toaùn suy ra : 0  x < 9 thì P < 1. Töông töï baøi 4.11 ta coù theå khai thaùc thaønh moät soá baøi toaùn sau . Baøi 4.12. Cho P = x 5 vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P >1 x 3 Baøi 4.13. Cho P = x 1 1 vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P <– . 2 x 3 Nhö vaäy vôùi boán baøi toaùn ban ñaàu chuùng ta ñaõ khai thaùc thaønh nhieàu baøi toaùn, nhöng ôû nhöõng möùc ñoä tö duy khaùc nhau; soá löôïng baøi ñöôïc khai thaùc seõ nhieàu hôn, neáu kích thích trí töôûng töôïn g, gaây höùng thuù hoïc taäp , phaùt huy ñöôïc tính tích cöïc chuû ñoäng saùng taïo trong hoïc sinh. 12 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku PHAÀN C : KEÁT QUAÛ VAØ VIEÄC PHOÅ BIEÁN ÖÙNG DUÏNG NOÄI DUNG VAØO THÖÏC TIEÃN I. KEÁT QUAÛ ÑAÏT ÑÖÔÏC Baèng nhöõng bieän phaùp thieát thöïc treân, keát hôïp vôùi nhöõng hoïc hoûi töø ñoàng nghieäp, qua 5 naêm thöïc hieän ôû boä moân toaùn lôùp 9, vôùi 2 lôùp tröïc tieáp giaûng daïy toâi ñaõ thu ñöïôc nhöõng keát quaû töông ñoái khaû quan. Chaát löôïng boä moân ñöôïc naâng leân roõ reät. Ñieàu ñaùng quan taâm laø hoïc sinh cuûa toâi raát yeâu thích boä moân toaùn. Duø khoù nhöng caùc em vaãn höùng thuù, tích cöïc hoïc taäp . Trong giôø hoïc toaùn, caùc em raát töï nhieân, tích cöïc phaùt bieåu xaây döïng baøi, hoaït ñoäng nhoùm soâi noåi, coù söï thi ñua giöõa caùc nhoùm. Khi ñöôïc ñaïi dieän nhoùm leân trình baøy, caùc em raát töï tin, maïnh daïn, khoâng ruït reø nhö tröôùc. Beân caïnh ñoù coøn thaáy roõ ñaõ coù nhieàu hoïc sinh deã tìm ra lôøi giaûi moät soá daïng toaùn veà bieán ñoåi bieåu thöùc chöùa caên thöùc baäc hai so vôùi tröôùc khi thöïc hieän chuyeân ñeà. Keát quaû thu ñöôïc nhö sau: Lôùp Só soá Gioûi Khaù Trung bình Yeáu 20% (8 em) 32,5%(13 em ) 32,5%(13 em ) 15%(6 em ) 40 93 42,9% (18 em ) 31 %( 13 em ) 14,2 %(6 em ) 11,9 %(5 em) 42 94 II. BAØI HOÏC KINH NGHIEÄM Ñeå laøm toát caùc bieän phaùp trong vieäc reøn luyeän tö duy saùng taïo cho hoïc sinh caàn chuù yù nhöõng vaán ñeà sau : - Baûn thaân ngöôøi giaùo vieân phaûi luoân luoân töï hoïc, töï reøn, naâng cao trình ñoä chuyeân moân, naêng löïc sö phaïm nhaèm ñaùp öùng ñöôïc nhu caàu ñoåi môùi hieän nay. - Khi giaûng daïy phaûi luoân taïo ra ñöôïc tình huoáng coù vaán ñeà, ñeå thu huùt ñöôïc söï quan taâm, höùng thuù cho hoïc sinh. Giaùo vieân phaûi luoân ñaët hoïc sinh vaøo theá chuû ñoäng saùng taïo, laø chuû theå trung taâm ñeå caùc em khaùm phaù tìm hieåu kieán thöùc, phaùt huy maïnh meõ trí löïc cuûa hoïc sinh trong caùc giôø hoïc ñeå caùc em tieáp thu kieán thöùc baèng caûm nghó cuûa rieâng mình. Giaùo vieân khoâng ñöôïc aùp ñaët kieán thöùc theo kieåu nhoài nheùt, goø eùp. - Muoán ñaït keát quaû cao, ngöôøi giaùo vieân phaûi bieát phoái hôïp nhuaàn nhuyeãn caùc phöông phaùp nhö phöông phaùp thuyeát trình, phöông phaùp vaán ñaùp, phöông phaùp söû duïng ñoà duøng tröïc quan sinh ñoäng,...vaø caû phöông phaùp truyeàn thoáng. - Ñoåi môùi caùch kieåm tra ñaùnh giaù keát quaû hoïc taäp cuûa hoïc sinh, khoâng ñaët naëng vaán ñeà tieáp thu kieán thöùc veà maët lí thuyeát maø cô baûn laø coi troïng vieäc ñaùnh giaù kó naêng vaän duïng kieán thöùc vaø thaùi ñoä, tö duy hoïc taäp. - Vieäc thöïc haønh ñoåi môùi phöông phaùp khoâng chæ laø aùp duïng moät phöông phaùp, moät caùch toå chöùc hoaït ñoäng hoïc taäp cuûa hoïc sinh ñeå phaùt huy tính tích cöïc cuûa hoïc sinh maø ñoøi hoûi moãi giaùo vieân caàn phaûi bieát löïa choïn moät soá phöông phaùp nhaát ñònh ñeå truyeàn thuï löôïng kieán thöùc coù choïn loïc, mang tính chaát troïng taâm cuûa baøi hoïc cho hoïc sinh. Giuùp cho caùc em hieåu vaø naém chaéc kieán thöùc, nhaèm vaän 13 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku duïng toát vaøo vieäc thöïc haønh. Ñaëc bieät trong quaù trình daïy hoïc theo höôùng tích cöïc vaø tích hôïp, giaùo vieân chuùng ta caàn vaän duïng kheùo leùo hình thöùc toå chöùc hoïc sinh hoïc taäp theo nhoùm ñeå reøn cho caùc em thoùi quen hoïc vaø chuaån bò baøi kó ôû nhaø trôùc khi ñeán lôùp. Taïo ñieàu kieän cho caùc em tö duy tích cöïc, saùng taïo, haêng haùi phaùt bieåu yù kieán, tham gia tranh luaän soâi noåi coù keát quaû taïo ñöôïc nieàm höùng thuù say meâ cho caùc em trong giôø hoïc. III.KEÁT LUAÄN Hieän nay söï nghieäp giaùo duïc – ñaøo taïo cuûa ñaát nöôùc ñang coù nhöõng cô hoäi ñeå phaùt trieån. Chöa bao giôø söï quan taâm cuûa Ñaûng vaø Nhaø nöôùc vôùi giaùo duïc lôùn nhö baây giôø. Phoù Thuû töôùng, Boä tröôûng Boä GD & ÑT Nguyeãn Thieâïn Nhaân cuõng tha thieát caên daën : “ Moãi thaày coâ giaùo phaûi laø moät taám göông saùng veà ñaïo ñöùc, taám göông saùng veà töï hoïc vaø saùng taïo”. Ñoù laø nhöõng luaän ñieåm voâ cuøng quan troïng ñeå moãi thaày coâ giaùo vaän duïng, phaán ñaáu, nhaèm muïc ñích cuoái cuøng laø ñaøo taïo cho ñaát nöôùc nhöõng theá heä coâng daân toát nhaát vai troø cuûa ñoâi nguõ nhaø giaùo ñöôïc ñeà cao hôn bao giôø heát. Daïy hoïc laø moät ngheà vinh quang, vaø vinh quang chæ ñeán khi moãi nhaø giaùo thöïc söï laø taám göông saùng veà ñaïo ñöùc, baäc thaày thöïc söï veà kieán thöùc ñoái vôùi ngöôøi ñi hoïc. Ngaønh giaùo duïc thaønh phoá Pleiku ñaõ vaø ñang khôûi saéc, hoaø nhòp chung cuøng söï ñoåi môùi cuûa giaùo duïc caû nöôùc. Ñaàu tö veà cô sôû vaät chaát, trang thieát bò daïy hoïc, quan taâm saâu saùt ñeán ñoäi nguõ giaùo vieân, khôi daïy yù thöùc traùch nhieäm, loøng nhieät tình vaø naâng cao naêng löïc haønh ñoäng cuûa ñoäi nguõ caùc nhaø giaùo. Vôùi quyeát taâm ñoåi môùi trong giaùo duïc, nhaèm ñaït hieäu quaû cao nhaát. Vôùi heä thoáng ví duï vaø baøi taäp ñaõ ñöôïc choïn löïa vaø trình baøy nhö ôû treân ñaây môùi chæ laø böôùc ñaàu töï maøy moø nghieân cöùu vaø thöû nghieäm, vôùi kinh nghieäm ít oûi coù theå caùch giaûi laø chöa toái öu, chaéc chaén vaãn coøn thieáu soùt vaø moät soá haïn cheá nhaát ñònh, raát chaân thaønh mong söï goùp yù, giuùp ñôõ cuûa quyù thaày coâ giaùo, baïn ñoïc ñeå baûn thaân ruùt kinh nghieäm boå sung ñeå quaù trình giaûng daïy ñöôïc toát hôn vaø ñaït keát quaû cao, ñeå chuyeân ñeà naøy thöïc söï haáp daãn vaø coù hieäu quaû khi ñeán vôùi caùc em hoïc sinh. Xin chaân thaønh caûm ôn ! 14 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 1. 2. 3. 4. 5. Phan Ñöùc Chính , Saùch giaùo khoa toaùn 9, NXB Giaùo Duïc, 2004. Phan Ñöùc Chính , Saùch giaùo vieân toaùn 9, NXB Giaùo Duïc, 2005. Taïp chí toaùn tuoåi thô. Taäp san baùo giaùo duïc thôøi ñaïi. 500 baøi toaùn cô baûn vaø naâng cao THCS toaùn 9.(Nhaø xuaát baûn Ñaïi Hoïc Sö Phaïm) 6. Taøi lieäu taäp huaán "Phöông phaùp daïy hoïc toaùn hoïc phoå thoâng "cuûa boä Giaùo duïc vaø ñaøo taïo. MUÏC LUÏC Trang PHAÀN A: Ñaët vaán ñeà ................................................................................. 1 1. Lyù do choïn ñeà taøi ..................................................................................... 1 15 Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku 2. Muïc ñích nghieân cöùu ................................................................................. 2 3. Ñoái töôïng nghieân cöùu ............................................................................... 2 4. Phaïm vi nghieân cöùu................................................................................... 2 PHAÀN B: Thöïc traïng vaø moät soá bieän phaùp giaûi quyeát ............................ 3 I. Thöïc traïng.................................................................................................. 3 II. Moät soá bieän phaùp giaûi quyeát .................................................................... 4 1. Kieán thöùc cô baûn söû duïng trong chuyeân ñeà ............................................. 4 2. Caùc baøi toaùn phaùt trieån ..............................................................................5 PHAÀN C: Keát quaû vaø vieäc phoå bieán öùng duïng noäi dung vaøo thöïc tieãn ......................................................................................................................14 I. Keát quaû ñaït ñöôïc ......................................................................................14 II. Baøi hoïc kinh nghieäm ...............................................................................14 III. Keát luaän .................................................................................................15 16