Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Hng Yªn
Trêng THPT Kim §éng
----------
®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
rÌn luyÖn t duy hµm
qua c¸c bµi tËp gi¶i ph¬ng tr×nh
bÊt ph¬ng tr×nh vµ
hÖ ph¬ng tr×nh
Gi¸o viªn: §inh V¨n H÷u
§¬n vÞ: Trêng THPT Kim §éng
Kim ®éng, th¸ng 5 - 2012
PhÇn 1: më ®Çu
I. Lý do chän ®Ò tµi:
Theo quan ®iÓm môc tiªu ch¬ng tr×nh phæ th«ng m«n To¸n lÊy hµm sè lµm
nÒn t¶ng träng t©m x©y dùng ch¬ng tr×nh. C¸c vÊn ®Ò vÒ ph¬ng tr×nh, bpt vµ hÖ ph¬ng tr×nh chiÕm mét lîng kh¸ lín trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng ®îc ®Þnh nghÜa theo
quan ®iÓm hµm sè. NhiÒu ph¬ng tr×nh, bpt vµ hÖ ph¬ng tr×nh sö dông hµm sè ®Ó
gi¶i ®¬n gi¶n h¬n. Tuy nhiªn trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa ®Ò cËp rÊt Ýt. Trong
thùc tÕ häc sinh líp 10 chØ ®îc häc hµm sè (sù biªn thiªn cña hµm sè) ë ch¬ng 2
líp 10, c¸c ch¬ng tiÕp theo kh«ng nh¾c ®Õn hµm sè ë c¶ lÝ thuyÕt vµ bµi tËp, ®Õn
líp 11 l¹i ®îc lít qua mét chót vÒ hµm lîng gi¸c, nhng kh«ng cã bµi tËp øng dông
sù biÕn thiªn cña nã. Nh÷ng øng dông cña hµm sè, ®Æc biÖt lµ dông ®¹o hµm cña
hµm sè ®Ó gi¶i lµ rÊt lín, chÝnh v× vËy t«i chän ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm lµ:
"RÌn luyÖn t duy hµm trong gi¶i ph¬ng tr×nh, bpt vµ hÖ ph¬ng tr×nh".
II. Môc ®Ých nghiªn cøu:
- Trang bÞ cho häc sinh vÒ mét ph¬ng ph¸p gi¶i PT, BPT vµ HPT mang l¹i hiÖu qu¶ râ nÐt.
- Gãp phÇn lµm s¸ng të tÝnh nÒn t¶ng tÝnh träng t©m cña hµm sè
- Båi dìng cho häc sinh vÒ ph¬ng ph¸p, kü n¨ng gi¶i to¸n. Qua ®ã häc sinh n©ng cao kh¶
n¨ng t duy, s¸ng t¹o.
III. §èi tîng nghiªn cøu:
- C¸c d¹ng to¸n gi¶i PT, BPT vµ HPT n»m trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng .
- Ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n thêng gÆp vµ ph¬ng ph¸p gi¶i mçi d¹ng.
IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
Nghiªn cøu, ®¸nh gi¸ qua c¸c chuyªn ®Ò, bµi gi¶i cña häc sinh, bµi kiÓm tra, kÕt qu¶ thi
®¹i häc.
Cô thÓ lµ:
- Víi c¸c PT, BPT vµ HPT kh«ng chøa tham sè, ta sö dông c¸c tÝnh chÊt vÒ tÝnh ®¬n ®iÖu
cña hµm sè ®Ó gi¶i.
- Víi c¸c PT, BPT vµ HPT cã chøa tham sè, ta t×m c¸ch c« lËp tham sè vÒ mét vÕ, ®a ph¬ng tr×nh, bpt vÒ d¹ng: f(x) = m hoÆc f(x) > m ( hoÆc f(x) < m; f(x) �m; hoÆc f(x) �m ). Sau
®ã sö dông c¸c tÝnh chÊt vÒ tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i.
PhÇn 2: Néi dung
I. D¹ng 1: øng dông hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, vµ hÖ ph¬ng tr×nh
TÝnh chÊt 1:
Cho ph¬ng tr×nh: f(x) = g(x) x¸c ®Þnh trªn D.
NÕu mét trong hai hµm sè f(x) hoÆc g(x) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu, hµm cßn l¹i lµ hµm h»ng
hoÆc ®¬n ®iÖu ngîc víi hµm kia th× ph¬ng tr×nh nÕu cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy
nhÊt.
TÝnh chÊt 2:
Cho ph¬ng tr×nh f(x) = m x¸c ®Þnh trªn D.
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ m thuéc miÒn gi¸ trÞ cña
hµm sè f(x).
TÝnh chÊt 3:
Cho ph¬ng tr×nh f(x) = m x¸c ®Þnh trªn D
2
NÕu f(x) lµ hµm sè liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu trªn D th× ph¬ng tr×nh trªn cã kh«ng
qu¸ mét nghiÖm.
TÝnh chÊt 4:
Cho bÊt ph¬ng tr×nh: f(x) > m (hay f(x) < m )
i) NÕu f(x) lµ hµm ®¬n ®iÖu t¨ng trªn D vµ tån t¹i x0 �D sao cã f(x0) = m th×
tËp nghiÖm cña bÊt PT lµ: T = D � (x0 ; + �) ( T = D � (- � ; x0 )) .
ii) NÕu f(x) lµ hµm ®¬n ®iÖu gi¶m trªn D vµ tån t¹i x 0 � D sao cã f(x0) = m th× tËp
nghiÖm cña bÊt PT lµ: T = D � (- � ; x0 ) (T = D � (x0 ; + �) ).
TÝnh chÊt 5:
Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn D
1. f(x) �m , x �D � m �min f ( x )
x�D
2. f(x) �m , x �D � m �max f ( x )
x�D
3. f(x) �m cã nghiÖm x �D � m �max f ( x )
x�D
4. f(x) �m cã nghiÖm x �D � m �min f ( x )
x�D
5. NÕu f(x) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu t¨ng trªn D vµ tån t¹i u, v �D. Khi ®ã:
f (u) f (v) � u > v , f(u) = f(v) � u = v
6. NÕu f(x) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu gi¶m trªn D vµ tån t¹i u, v �D. Khi ®ã:
f (u) f (v) � u < v , f(u) = f(v) � u = v
1. øng dông hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
Ph¬ng ph¸p :
D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh ®· cho biÕn ®æi ®îc vÒ d¹ng f ( x ) g( x ) (hoÆc f (u) g (u) ) trong ®ã
u u( x ) .
Bíc 1: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng f ( x ) g( x ) (hoÆc f (u) g (u) )
Bíc 2: XÐt hai hµm sè y f ( x ); y g( x ) trªn D
* TÝnh y1' , xÐt dÊu y1' , kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y1 f ( x ) trªn D
* TÝnh y2' , xÐt dÊu y2' ,kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y2 g( x ) trªn D
* KÕt luËn hai hµm sè y f ( x ); y g( x ) ®¬n ®iÖu ngîc nhau, hoÆc
mét
trong hai hµm sè lµ hµm sè h»ng.
* T×m x 0 sao cho f ( x 0 ) g( x 0 ) (hoÆc t×m u0 sao cho f (u0 ) g (u0 ) )
Bíc 3: KÕt luËn:
* Ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi vµ chØ khi x x 0 (hoÆc u u0 råi gi¶i ph¬ng tr×nh )
3
* KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho
D¹ng 2: PT ®· cho biÕn ®æi ®îc vÒ d¹ng f (u) f (v) trong ®ã u u( x ) , v v( x )
Bíc 1: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f (u) f (v)
Bíc 2: XÐt hµm sè y f ( x ) trªn D
* TÝnh y ' , xÐt dÊu y'
* KÕt luËn hµm sè y f ( x ) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu trªn D.
Bíc 3: KÕt luËn:
* Ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi vµ chØ khi u v , gi¶i PT : u v
* KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho
2. øng dông hµm sè ®Ó gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
Ph¬ng ph¸p :
D¹ng 1: BPT biÕn ®æi vÒ d¹ng f ( x ) g ( x ) (hoÆc f (u) g (u) ) trong ®ã u u( x ) .
Bíc 1: BiÕn ®æi BPT ®· cho vÒ d¹ng f ( x ) g( x ) (hoÆc f (u) g(u) )
Bíc 2: XÐt hai hµm sè y1 f ( x ); y2 g( x ) trªn D
* TÝnh y1' , xÐt dÊu y1' , kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y1 f ( x ) trªn D
* TÝnh y2' ,xÐt dÊu y2' , kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y2 g( x ) trªn D
* T×m x 0 sao cho f ( x 0 ) g( x 0 ) (hoÆc t×m u0 sao cho f (u0 ) g (u0 ) )
* NÕu f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng, g(x) ®¬n ®iÖu gi¶m (hoÆc lµ hµm h»ng) th×
f ( x ) g( x ) � x x 0 , x �D (hoÆc f (u) g(u) � u u0 , x �D )
NÕu f(x) ®¬n ®iÖu gi¶m, g(x) ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc lµ hµm h»ng) th×
f ( x ) g( x ) � x x 0 , x �D (hoÆc f (u) g(u) � u u0 , x �D )
Bíc 3: KÕt luËn nghiÖm cña bpt ®· cho
D¹ng 2: BPT biÕn ®æi ®îc vÒ d¹ng f (u) f ( v) trong ®ã u u( x ) , v v( x )
Bíc 1: BiÕn ®æi bpt vÒ d¹ng f (u) f ( v)
Bíc 2: XÐt hµm sè y f ( x ) trªn D
* TÝnh y ' , xÐt dÊu y'. KÕt luËn hµm sè y f ( x ) ®¬n ®iÖu trªn D.
* NÕu f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng th×: f (u) f ( v) � u v, x �D
4
NÕu f(x) ®¬n ®iÖu gi¶m th×: f (u) f ( v) � u v, x �D
Bíc 3: KÕt luËn nghiÖm cña bpt ®· cho
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.
x 1 x 6 x 2 6
b. e
2 x 5
e
x 1
1
1
2x 5 x 1
c. 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5)
d. 2 x
2
x
2 x 1 ( x 1)2
Tríc hÕt, ta nhËn thÊy c¸c ph¬ng tr×nh trªn kh«ng gi¶i ®îc b»ng c¸c ph¬ng
ph¸p th«ng thêng hoÆc cã gi¶i ®îc th× còng rÊt khã kh¨n. Ta sÏ t×m c¸ch ®Ó sö dông
hµm sè gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nµy.
Gi¶i:
a.
x 1 x 6 x 2 6
TX§: D 2 ; + �
XÐt hµm sè: f ( x )
x 1 x 6 x 2
+ TX§ : D 2 ; + �
+ §¹o hµm : f '( x )
1
1
1
0, x 2
2 x 1 2 x 6 2 x 2
Do ®ã hµm sè f ( x ) ®ång biÕn trªn D, vËy ph¬ng tr×nh trªn nÕu cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy
nhÊt.
MÆt kh¸c ta cã: f(3) = 6. VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3.
b. e
2 x 5
e
x 1
1
1
2x 5 x 1
2 x 5 �0
�
�x �5 / 2
��
�x 1 �0
�x �1
§iÒu kiÖn: �
ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng : e
XÐt hµm sè f (t ) e t
2 x 5
1
1
x 1
e
2x 5
x 1
1
víi t > 0
t
5
(1)
+ §¹o hµm : f '(t ) et
1
0, t 0
t2
� Hµm sè f (t ) lu«n ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; �) .
Khi ®ã: ph¬ng tr×nh (1) � f ( 2 x 5 ) f ( x 1 ) � 2 x 5 x 1
2x 5 x 1
x4
�
�
��
��
2x 5 x 1 �
x 2
�
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x=2 vµ x=4.
c. 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5)
(1)
Víi ph¬ng tr×nh nµy ta cha thÓ cã hµm sè gièng nh hai c©u trªn mµ ta ph¶i biÕn ®æi ®Ó t×m
®îc hµm sè mµ ta muèn xÐt.
TX§: D = �
Trªn D
(1)
�
log2 ( x 2 x 5) 3
8
x2 x 5
( do x 2 x 5 > e > 0 )
log 2 t 3
(2)
t
8
§Æt t = x 2 x 5 víi t > e, th× ph¬ng tr×nh trªn trë thµnh:
XÐt hµm sè:
f (t )
log 2 t
víi t > e
t
Ta cã f '(t )
1 ln t
<0 t>e
2
t ln 2
Tõ ®ã, vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh (2) lµ hµm nghÞch biÕn t > e; vÕ ph¶i lµ h»ng sè
Do ®ã ph¬ng tr×nh (2) nÕu cã nghiÖm th× ®ã lµ nghiÖm duy nhÊt.
MÆt kh¸c f (8)
3
� Ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt t = 8
8
Víi t = 8 ta cã x 2 x 5 8 �
x = 1 13 ; x = 1 13
2
2
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x = 1 13 ; x = 1 13
2
d. 2 x
2
x
2
2 x 1 ( x 1)2 (1)
T¬ng tù nh c©u c) ®èi víi ph¬ng tr×nh nµy ta còng cÇn biÕn ®æi ®Ó xuÊt hiÖn hµm sè cÇn xÐt.
TX§: D = �
Trªn D; (1) � 2 x 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1
6
�
2 x 1 x 1 2 x
2
x
x2 x
XÐt hµm sè f (t ) 2t t víi t � �
f�
(t ) 2 t .ln2 1 0� t � � � f(t) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn �
MÆt kh¸c (1) � f(x - 1) = f(x2 - x) � x - 1 = x2 - x � x2 - 2x + 1 = 0 � x = 1
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x = 1
Bµi 2: Gi¶i c¸c bpt sau:
x 6 x 2 4 x 3
a.
b. 4 2 x 1 ( x 2 x 1) x 3 6 x 2 15 x 14
c. log 2
d. 3
x 1 log 3 x 9 1
2( x 1) 1
3 x �x 2 4 x 3
Gi¶i:
a.
x 6 x 2 4 x 3
TX§: D = 2;4
XÐt hµm sè: f(x) =
x 6 x 2 4 x víi x �D
Ta còng nhËn thÊy f(x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn D (v× f’(x) > 0 x �(2;4))
L¹i cã: f(3) = 3; do ®ã, bpt cã nghiÖm x th× x �(3; �) . VËy tËp nghiÖm lµ: T = 2;4 � ( 3
; + �) = 3;4
b. 4 2 x 1 ( x 2 x 1) x 3 6 x 2 15 x 14 (1)
3
TX§: D = � , BPT (1) � 2 x 1 �
(2 x 1)2 3�
�
� ( x 2) 3 x 6
3
� 2 x 1 3 2 x 1 ( x 2)3 3( x 2) (2)
XÐt hµm sè : f ( x ) x 3 3 x lµ hµm sè ®ång biÕn trªn �.
Khi ®ã : (2)
� f ( 2 x 1 ) f ( x 2) � 2 x 1 x 2
2x 1 x 2
x 1
�
�
��
��
� x ��
2
x
1
x
2
x
1
�
�
VËy bpt nghiÖm ®óng víi mäi x��.
c. log 2
x 1 log3 x 9 1 (1)
7
§iÒu kiÖn : x>-1, c¸c hµm sè f1 ( x ) log 2
x 1 vµ f2 ( x ) log 3 x 9 lµ c¸c hµm sè
®ång biÕn trªn kho¶ng (1; �) , nªn hµm sè f ( x ) log 2
x 1 log3 x 9 lµ hµm sè
®ång biÕn trªn kho¶ng (1; �) .
MÆt kh¸c f (0) 1 vËy (1) � f ( x ) f (0) � x 0 .
VËy nghiÖm cña bpt lµ x > 0.
d. 3
2( x 1) 1
3 x �x 2 4 x 3 (1)
x 1 . VËy TX§: D = 1;�
§iÒu kiÖn: x �۳
1 0
(1) � 3
2( x 1) 1
2( x 1) �3x x 2 2 x 1
�3
2( x 1) 1
2( x 1) �3( x 1) 1 ( x 1)2
(2)
XÐt hµm sè f (t ) 3t 1 t 2 , thÊy ngay hµm sè ®ång biÕn trªn D.
VËy trªn D; (2) � f ( 2( x 1)) �f ( x 1) �
2( x 1) �x 1
� 2( x 1) �( x 1)2 ,(do x �1) � x 2 4 x 3 �0 � x = 1 hoÆc x �3.
VËy nghiÖm cña bpt lµ x = 1 vµ x �3.
Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
2
�
�3 x 2 x 3 y
�
2
�
�3 y 2 y 3 x
Gi¶i:
§iÒu kiÖn x �0, y �0 .
HÖ ®· cho trë thµnh:
2
�
�3 x 2 x 3 y
� 3 x 2 3 x 3 3 y2 3 y 3
�
�
3 x 3 y2 2 y
�
XÐt hµm sè f (t )
(1)
3 t2 3 t 3
+ TX§: D 0; �
+ §¹o hµm f '(t )
t
3 t2
3
2 t
0, t 0 suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn D.
VËy trªn D, ph¬ng tr×nh (1) ®îc viÕt díi d¹ng f ( x ) f ( y ) � x y .
�
� 3 x2 2 x 3 y
Khi ®ã hÖ ®· cho trë thµnh �
�x y
8
� 3 x 2 3 x (2)
�
��
�x y
Gi¶i (2): Ta ®o¸n ®îc x=1 lµ mét nghiÖm cña (2), mÆt kh¸c dÔ nhËn thÊy ph¬ng tr×nh (2) cã vÕ
tr¸i lµ hµm sè ®ång biÕn, vÕ ph¶i lµ hµm sè nghÞch biÕn.
VËy x=1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña PT (2), VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=y=1.
NhËn xÐt: §èi víi hÖ ph¬ng tr×nh, hÖ bpt nhiÒu Èn sè ta t×m c¸ch biÕn ®æi lµm xuÊt hiÖn c¸c ph¬ng tr×nh gi¶i ®îc b»ng ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó ®a vÒ mèi quan hÖ gi÷a c¸c Èn sè ®¬n gi¶n h¬n råi
tuú tõng trêng hîp t×m ra c¸ch gi¶i tiÕp.
NhËn xÐt: §èi víi gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, hÖ bpt cã 1 Èn sè ta cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó
gi¶i tõng ph¬ng tr×nh hay bpt cña hÖ råi kÕt hîp c¸c tËp nghiÖm t×m ®îc ®Ó ®a ra kÕt luËn vÒ
nghiÖm cho hÖ bÊt ph¬ng tr×nh.
II. D¹ng 2: Sö dông hµm sè ®Ó biÖn luËn ph¬ng tr×nh
Bµi 4: BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau:
a)
x2 4x 3
x
m
2
b) mx 1 ( m 2 x 2 2 mx 2) x 3 3 x 2 4 x 2
2
c) 2 m x 6 2 4 x 3 m (4 m2 ) x 3m 6
2
2
d) log2 x 3 x 2 log 1 ( x m) x 3 x 2 - x + m = 0
2
Gi¶i:
x
(1)
m
2
NhËn xÐt: Bµi tËp nµy ta cã thÓ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p th«ng thêng. Tuy nhiªn, nÕu
gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p ®ã, ta ph¶i kiÓm tra ®iÒu kiÖn cña Èn sè rÊt phøc t¹p. Ta sÏ
gi¶i bµi nµy b»ng c¸ch sö dông hµm sè
a)
x2 4x 3
Gi¶i: TX§: D = �;1 � 3; �
x2 4x 3
Trªn D; (1) �
XÐt hµm sè f(x) =
Ta cã: f’(x) =
x2 4x 3
x 2
x2 4x 3
Trªn D ta cã: f’(x) > 0 �
f’(x) < 0 �
x
m
2
x
víi x �D
2
1
2
x 2
x2 4x 3
x 2
x2 4x 3
1
> 0 � x > 3;
2
1
<0 � x<1
2
9
Tõ ®ã, ta cã b¶ng biÕn thiªn:
-�
x
f’(x)
1
3
-
+
+
+�
+
f(x)
1
2
Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ ®êng th¼ng y =
m.
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn sau:
- NÕu m <
3
2
3 , ®êng th¼ng y = m kh«ng c¾t ®å thÞ hµm sè y = f(x), do ®ã ph¬ng tr×nh
2
(1) v« nghiÖm.
- NÕu
3 m < 1 , ®êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè y = f(x) t¹i 1 ®iÓm, do ®ã ph�
2
2
¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm.
- NÕu m �
1 , ®êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè y = f(x) t¹i 2 ®iÓm, do ®ã ph¬ng
2
tr×nh (1) cã 2 nghiÖm.
b) mx 1 (m 2 x 2 2 mx 2) x 3 3 x 2 4 x 2
3
ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng mx 1 �
(mx 1)2 1�
�
� ( x 1) ( x 1)
3
� mx 1 mx 1 ( x 1)3 ( x 1) (2)
XÐt hµm sè f (t ) t 3 t lµ hµm sè ®ång biÕn trªn ��
VËy (2) � f ( mx 1 ) f ( x 1) � mx 1 x 1
�
�
�x �1
�x �1
�
�
�
�
mx
1
x
1
(m 1) x 2 (3)
�
�
��
��
�
�
�x �1
�x �1
�
�
(4)
�
�
mx 1 x 1 �
(m 1) x 0
�
�
�
+ Gi¶i vµ biÖn luËn (I)
- Víi m=1 th× (3) v« nghiÖm nªn (I) v« nghiÖm
- Víi m �1 th× (3) cã nghiÖm x
2
,
m 1
10
(I )
( II )
nã lµ nghiÖm cña (I) khi x �1 �
2
�1 � 1 �m 1
m 1
+ Gi¶i vµ biÖn luËn (II)
- Víi m = -1 th× (4) nghiÖm ®óng víi mäi x, nªn (II) nhËn x �1 lµm nghiÖm
- Víi m �-1 th× (4) cã nghiÖm x = 0, nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (II)
KÕt luËn:
- Víi m < -1 hoÆc m �1: ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Víi m = -1: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x �1
- Víi -1 < m < 1: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x
2
m 1
2
c) 2 m x 6 2 4 x 3 m (4 m2 ) x 3m 6 (1)
ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng 2 m2 x 6 m 2 x 6 2 4 x 3m 4 x 3m (2)
XÐt hµm sè f (t ) 2t t lµ hµm sè ®ång biÕn trªn �, vËy (2)
� f (m 2 x 6) f (4 x 3m) � m 2 x 6 4 x 3m � (m 2 4) x 3m 6 (3)
- NÕu m 2 4 0 � m �2
+ Víi m = 2, (3) � 0.x = 0, nghiÖm ®óng víi x ��
+ Víi m = - 2, (3) � 0.x=-9, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
- NÕu m 2 �۹�
4 0
m
2
Ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm duy nhÊt x
3
m2
KÕt luËn:
- Víi m ��2 :
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x
- Víi m = 2:
ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi x �R
- Víi m = - 2:
ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
3
m2
2
2
d) log2 x 3 x 2 log 1 ( x m) x 3 x 2 - x + m = 0 (1)
2
ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng:
log2 x 2 3 x 2 x 2 3 x 2 log2 ( x m) x m (2)
11
§iÒu kiÖn: x2 - 3x + 2 > 0 � x < 1 hoÆc x > 2.
TX§: D = (�;1) �(2; �)
XÐt hµm sè f (t ) log2 t t ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; �) . VËy trªn D,
ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh : f ( x 2 3 x 2) f ( x m) � x 2 3 x 2 x m
�x m 0
��
(2m 3) x m 2 2 (3)
�
(I )
BiÖn luËn:
- Víi 2m - 3 = 0 � m
3
, khi ®ã (3) v« nghiÖm nªn (I) v« nghiÖm
2
- Víi 2m �۹
3 0
2
3
, khi ®ã (3) cã nghiÖm duy nhÊt x m 2 , lµ
2
2m 3
m
m 1
�
2
2
m
2
m
3
m
2
nghiÖm cña (I) khi
m�
0��
3
�
m2
2m 3
2m 3
�
2
KÕt luËn:
2
�3 �
- Víi m � �;1 �� ;2 �th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x m 2
2m 3
�2 �
� 3�
- Víi m ��
1; �� 2; � th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
� 2�
III. D¹ng 3: Sö dông hµm sè t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh, bpt tho¶ m·n ®iÒu
kiÖn cho tríc.
Bµi 5: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
2 x 2 2(m 4) x 5m 10 3 x 0
Gi¶i:
(1) �
�
(1)
(m - tham sè)
2 x 2 2(m 4) x 5m 10 = x - 3
�x 3 �0
� 2
2 x 2(m 4) x 5m 10 ( x 3)2
�
12
�
�x �3
�2
�x 2(m 1) x 5m 1 0
�
�x �3
�2
�x 2 x 1
m
�
� 2x 5
(2)
Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm � ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm tho¶ m·n x �3
ë bµi nµy ta cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai ®Ó gi¶i. Tuy nhiªn ta sÏ sö dông
hµm sè ®Ó gi¶i bµi nµy.
XÐt ph¬ng tr×nh (2) : §Æt f(x) =
Ta cã:
f’(x) =
x2 2x 1
2x 5
2 x 2 10 x 8
(2 x 5)2
víi x �3
f’(x) = 0
x 1
�
�
x4
�
�
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
-�
x
f’(x)
3
4
-
0
+
+
f(x)
4
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy:
Ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm x �3 � m �3
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm � m �3.
Bµi 6: T×m m ®Ó bpt sau cã nghiÖm:
4cosx - m.2cosx + m + 3 �0 (3)
Gi¶i: §Æt 2cosx = t víi
(m - tham sè)
1
� t � 2 (v× -1 �cosx � 1)
2
Khi ®ã bpt (3) trë thµnh:
t2 - mt + m + 3 �0 � m(t - 1) � t2 + 3 (4)
+ NhËn thÊy: t = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh, nªn:
(4) �
+�
�
1 t �2
�
�
�
� t2 3
�
m�
�
�
t 1
�
�
�1
�
�t 1
�
�
�2
�
�
t2 3
�
�
m�
�
t 1
�
(I)
( II )
13
3
XÐt hµm sè: f(t) =
Ta cã: f’(t) =
t2 3
t 1
t 2 2t 3
�1
�
<0 t�
;
1
�� 1 ; 2
�2
(t 1)2
�
�
Do ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn:
t
-�
1
2
1
f’(t)
+�
2
-
+
-
+
+
f(t)
7
+
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã bpt (4) cã nghiÖm+ � hÖ (I) cã nghiÖm hoÆc hÖ (II) cã
-
13
�
m
�
nghiÖm � �
2
�
m �7
�
VËy bpt (3) cã nghiÖm �
13
�
m
�
�
2
�
m �7
�
Bµi 7: T×m m ®Ó bpt sau nghiÖm ®óng víi mäi x ��
cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2 �0
(5)
(m - tham sè)
Gi¶i: TX§: D = �
Trªn D, (5) � 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2 �0
§Æt t = cosx víi t � 1;1
Khi ®ã, ta cã bÊt ph¬ng tr×nh:
3t4 - 20t3 + 36t2 + 24m - 12m2 �0
�
3t4 - 20t3 + 36t2 � 12m2 - 24m
(6)
Bpt (5) nghiÖm ®óng víi mäi x ���� bpt (6) nghiÖm ®óng víi t � 1;1
XÐt hµm sè: f(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 víi t �
1;1
Ta cã: f’(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t(t2 - 5t + 6)
14
t0
�
f’(t) = 0 � 12t(t2 - 5t + 6) = 0 � �
t2
�
�
t 3
�
Khi ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn:
t
f’(t)
-�
-1
0
-
1
0
2
+�
3
+
59
f(t)
19
0
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã:
f(t) � 12m2 - 24m t � 1;1
f (t )
� 12m2 - 24m � xmin
� 1;1
� 12m2 - 24m � 0 � 0 � m � 2
VËy víi m � 0;2 th× bpt (5) nghiÖm ®óng víi mäi x ��
NhËn xÐt: Trong mét sè bµi tËp gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô, ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña Èn
phô. Tuy nhiªn, viÖc t×m ®iÒu kiÖn ®ã gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n. NÕu ta sö dông hµm sè th× viÖc t×m
®iÒu kiÖn sÏ ®¬n gi¶n h¬n. Ta xÐt vÝ dô sau:
Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh:
2
42 x x 22 x x
2
1
m 3 0 (1) (m - tham sè)
� 3�
� �
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x � 0;
� 2�
Gi¶i:
§Æt t = 22 x x 2 ë ®©y, ®iÒu kiÖn cÇn lµ t > 0 nhng nÕu chØ cã ®iÒn kiÖn ®ã th× cha ®ñ vµ ta cha
gi¶i ®îc bµi nµy. Ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña t b»ng c¸ch xÐt hµm sè.
� 3�
� �
XÐt hµm sè y = 2x - x2 víi x � 0;
� 2�
Ta cã: y’(x) = 2 - 2x
�
y’(x) = 0
x=1
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
x
y’(x)
y(x)
-�
0
3
2
1
+
0
+�
-
1
15
3
4
0
Tõ ®ã suy ra tËp gi¸ trÞ cña y lµ y � 0;1
� 20 � 22 x x2 � 21 �
1 �t �2
Víi ®iÒu kiÖn ®ã cña t th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh:
�
t2 + 2t + m - 3 = 0
m = -t2 - 2t + 3 (2)
� 3�
� �
Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x � 0;
� 2 �� ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm 1 �t �2
XÐt hµm sè: g(t) = -t2 - 2t + 3
víi t � 1;2
g’(t) = -2t - 2
g’(t) = 0 � t = -1
Tõ ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn:
16
x
y’(x)
-�
1
+�
2
-
y(x)
0
-5
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã: ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm � m � 5; 0
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm � m � 5; 0
Bµi 10: Cho bÊt ph¬ng tr×nh:
x 3 � m + 1 (1) (m - tham sè)
mx -
a. T×m m ®Ó bpt cã nghiÖm.
b. T×m m ®Ó bpt nghiÖm ®óng
3
.
62 3
Gi¶i:
TX§: D = 3; �
Trªn D, (1) � m(x - 1) � x 3 + 1 � m �
x 3 1
x 1
(v×: x �D nªn x - 1 > 0)
§Æt f(x) =
Khi ®ã: f’(x) =
x 3 1 víi x � D
x 1
5 x 2 x 3
2 x 3( x 1)2
, f’(x) = 0 �
5 x 2 x 3
2 x 3( x 1)2
= 0
� x = 7-2 3
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
x
-�
3
7-2 3
+
0
f’(x)
1 3
4
17
7
-
+�
-
f(x)
1
2
1
2
0
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã:
a. Bpt cã nghiÖm � m �max f ( x ) � m �1 3
x�D
4
b. Bpt nghiÖm ®óng x � 3;7
f (x) � m �1
� m �xmin
� 3;7
2
Bµi 11: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
2 + 2sin2x = m(1 + cosx)2
(1)
Gi¶i:
Tríc hÕt ta nhËn thÊy: m , 1 + cosx �0
(v× nÕu 1 + cosx = 0 th×: vÕ tr¸i PT (1) = 2
v« lý)
2 2 sin 2 x
Khi ®ã (1) � m =
� m=
(1 cos x )2
§Æt t = tg
2
�sin x cos x �
2�
�
� 1 cos x �
�
�
x ; víi x
��
k. ; k . �, k ��
2
2
2
�2
�
2
2t
1
t
Khi ®ã: sinx =
, cosx =
1 t2
1 t2
Theo (1) ta ®îc ph¬ng tr×nh:
�
sin x cos x 1 2t t 2
=
1 cos x
2
2m = (1+2t-t2)2
(2)
Khi ®ã PT (1) cã nghiÖm � PT (2) cã nghiÖm
XÐt hµm sè: f(t) = (1+2t-t2)2
t 1
�
�
f’(t) = 4(t - 1)( t2 - 2t - 1) , f’(t) = 0 � �
t 1 2
�
t 1 2
�
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
t
f’(t)
-�
1-
1
2
0
+
18
1+
0
-
+�
2
0
+
+�
+�
2
f(t)
0
0
Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra:
ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm � 2m �0 � m �0
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm
� m �0
IV. D¹ng 4: Sö dông hµm sè ®Ó ®o¸n vµ vÐt hÕt tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
D¹ng nµy thêng ®îc sö dông khi ta nhËn thÊy 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c hµm ®ång biÕn
hoÆc nghÞch biÕn, ®ång thêi ta ®· nhÈm ®îc 1 hay 2 nghiÖm. D¹ng bµi tËp nµy cho phÐp chóng ta
dù ®o¸n vµ chøng minh ph¬ng tr×nh chØ chã c¸c nghiÖm mµ ta ®· dù ®o¸n. Ta xÐt c¸c vÝ dô sau:
Bµi 12: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 2x + 3x = 3x + 2
b. log5(2x + 1) = log3(x+1)
c. 3 x 1 x log3 (1 2 x )
NhËn xÐt:
ë c¶ hai vÝ dô trªn ta ®Òu thÊy hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ®Òu lµ c¸c hµm ®ång biÕn.
MÆt kh¸c ë vÝ dô a) ta nhÈm ®îc 2 nghiÖm lµ x = 0; x = 1
ë vÝ dô b) ta nhÈm ®ùoc 2 nghiÖm lµ x = 0; x = 2
Ngoµi c¸c nghiÖm ®ã ra ta cha biÕt lµ ph¬ng tr×nh cã cßn nghiÖm nµo n÷a kh«ng. Ta sÏ
t×m c¸ch chøng minh ph¬ng tr×nh kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c n÷a.
Gi¶i:
a.
2x + 3x = 3x + 2
(1)
TX§: D = �
Trªn D
(1) � 2x + 3x - 3x - 2 = 0
víi x �D
XÐt hµm sè: f(x) = 2x + 3x - 3x - 2
Ta cã: f’(x) = 2xln2 + 3xln3 - 3
f’’(x) = 2xln2x + 3xln2x > 0 x ��
� f’(x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn �
MÆt kh¸c f’(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn �
Mµ f’(0) = ln2 + ln3 - 3 < 0
f’(1) = 2ln2 + 3ln3 - 3 > 0
� f’(0).f’(1) < 0 � x0 �(0;1) sao cho f’(x0) = 0
� x � �; x0 th× f’(x) < 0
19
x � x0 ; � th× f’(x) > 0
Khi ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn:
-�
x
f’(x)
x0
0
-
+
+�
+
f(x)
+
f(x0)
Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ trôc hoµnh.
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta thÊy ®å thÞ hµm sè nÕu c¾t trôc hoµnh th× sÏ c¾t nhiÒu nhÊt t¹i
2 ®iÓm. Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) sÏ cã nhiÒu nhÊt 2 nghiÖm
MÆt kh¸c ta nhÈm ®îc: f(0) = 0 ; f(1) = 0
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã ®óng 2 nghiÖm x = 0; x = 1.
b. log5(2x + 1) = log3(x+1)
�1
�
; ��
�2
�
TX§: D = �
§Æt log3(x+1) = t � x + 1 = 3t � 2x + 1 = 2(3t - 1) + 1 = 2.3t - 1
Khi ®ã ta cã ph¬ng tr×nh:
�
log5(2.3t - 1) = t
2.3t - 1 = 5t
� 2.3t - 5t - 1 = 0
XÐt hµm sè: f(t) = 2.3t - 5t - 1 víi t � �
Ta cã: f’(t) = 2.3t.ln3 - 5tln5
f’(t) = 0 � 2.3t.ln3 - 5tln5 = 0 � t = log 3 (log 9 5)
5
f’(t) > 0 � t < log 3 (log 9 5) ;
5
f’(t) < 0 � t > log 3 (log 9 5)
5
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
t
f’(t)
log 3 (log9 5)
-�
+�
5
+
0
-
f()
f(t)
Sè nghiÖm cña PT lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(t) vµ trôc hoµnh.
20
-
- Xem thêm -
.DOC 
23 
86 
135 
