Rèn luyện tư duy hàm trong giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

  • Số trang: 23 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Hng Yªn Trêng THPT Kim §éng ---------- ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm rÌn luyÖn t duy hµm qua c¸c bµi tËp gi¶i ph¬ng tr×nh bÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh Gi¸o viªn: §inh V¨n H÷u §¬n vÞ: Trêng THPT Kim §éng Kim ®éng, th¸ng 5 - 2012 PhÇn 1: më ®Çu I. Lý do chän ®Ò tµi: Theo quan ®iÓm môc tiªu ch¬ng tr×nh phæ th«ng m«n To¸n lÊy hµm sè lµm nÒn t¶ng träng t©m x©y dùng ch¬ng tr×nh. C¸c vÊn ®Ò vÒ ph¬ng tr×nh, bpt vµ hÖ ph¬ng tr×nh chiÕm mét lîng kh¸ lín trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng ®îc ®Þnh nghÜa theo quan ®iÓm hµm sè. NhiÒu ph¬ng tr×nh, bpt vµ hÖ ph¬ng tr×nh sö dông hµm sè ®Ó gi¶i ®¬n gi¶n h¬n. Tuy nhiªn trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa ®Ò cËp rÊt Ýt. Trong thùc tÕ häc sinh líp 10 chØ ®îc häc hµm sè (sù biªn thiªn cña hµm sè) ë ch¬ng 2 líp 10, c¸c ch¬ng tiÕp theo kh«ng nh¾c ®Õn hµm sè ë c¶ lÝ thuyÕt vµ bµi tËp, ®Õn líp 11 l¹i ®îc lít qua mét chót vÒ hµm lîng gi¸c, nhng kh«ng cã bµi tËp øng dông sù biÕn thiªn cña nã. Nh÷ng øng dông cña hµm sè, ®Æc biÖt lµ dông ®¹o hµm cña hµm sè ®Ó gi¶i lµ rÊt lín, chÝnh v× vËy t«i chän ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm lµ: "RÌn luyÖn t duy hµm trong gi¶i ph¬ng tr×nh, bpt vµ hÖ ph¬ng tr×nh". II. Môc ®Ých nghiªn cøu: - Trang bÞ cho häc sinh vÒ mét ph¬ng ph¸p gi¶i PT, BPT vµ HPT mang l¹i hiÖu qu¶ râ nÐt. - Gãp phÇn lµm s¸ng të tÝnh nÒn t¶ng tÝnh träng t©m cña hµm sè - Båi dìng cho häc sinh vÒ ph¬ng ph¸p, kü n¨ng gi¶i to¸n. Qua ®ã häc sinh n©ng cao kh¶ n¨ng t duy, s¸ng t¹o. III. §èi tîng nghiªn cøu: - C¸c d¹ng to¸n gi¶i PT, BPT vµ HPT n»m trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng . - Ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n thêng gÆp vµ ph¬ng ph¸p gi¶i mçi d¹ng. IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: Nghiªn cøu, ®¸nh gi¸ qua c¸c chuyªn ®Ò, bµi gi¶i cña häc sinh, bµi kiÓm tra, kÕt qu¶ thi ®¹i häc. Cô thÓ lµ: - Víi c¸c PT, BPT vµ HPT kh«ng chøa tham sè, ta sö dông c¸c tÝnh chÊt vÒ tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i. - Víi c¸c PT, BPT vµ HPT cã chøa tham sè, ta t×m c¸ch c« lËp tham sè vÒ mét vÕ, ®a ph¬ng tr×nh, bpt vÒ d¹ng: f(x) = m hoÆc f(x) > m ( hoÆc f(x) < m; f(x) �m; hoÆc f(x) �m ). Sau ®ã sö dông c¸c tÝnh chÊt vÒ tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i. PhÇn 2: Néi dung I. D¹ng 1: øng dông hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, vµ hÖ ph¬ng tr×nh TÝnh chÊt 1: Cho ph¬ng tr×nh: f(x) = g(x) x¸c ®Þnh trªn D. NÕu mét trong hai hµm sè f(x) hoÆc g(x) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu, hµm cßn l¹i lµ hµm h»ng hoÆc ®¬n ®iÖu ngîc víi hµm kia th× ph¬ng tr×nh nÕu cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. TÝnh chÊt 2: Cho ph¬ng tr×nh f(x) = m x¸c ®Þnh trªn D. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ m thuéc miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè f(x). TÝnh chÊt 3: Cho ph¬ng tr×nh f(x) = m x¸c ®Þnh trªn D 2 NÕu f(x) lµ hµm sè liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu trªn D th× ph¬ng tr×nh trªn cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm. TÝnh chÊt 4: Cho bÊt ph¬ng tr×nh: f(x) > m (hay f(x) < m ) i) NÕu f(x) lµ hµm ®¬n ®iÖu t¨ng trªn D vµ tån t¹i x0 �D sao cã f(x0) = m th× tËp nghiÖm cña bÊt PT lµ: T = D � (x0 ; + �) ( T = D � (- � ; x0 )) . ii) NÕu f(x) lµ hµm ®¬n ®iÖu gi¶m trªn D vµ tån t¹i x 0 � D sao cã f(x0) = m th× tËp nghiÖm cña bÊt PT lµ: T = D � (- � ; x0 ) (T = D � (x0 ; + �) ). TÝnh chÊt 5: Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn D 1. f(x) �m ,  x �D � m �min f ( x ) x�D 2. f(x) �m ,  x �D � m �max f ( x ) x�D 3. f(x) �m cã nghiÖm x �D � m �max f ( x ) x�D 4. f(x) �m cã nghiÖm x �D � m �min f ( x ) x�D 5. NÕu f(x) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu t¨ng trªn D vµ tån t¹i u, v �D. Khi ®ã: f (u)  f (v) � u > v , f(u) = f(v) � u = v 6. NÕu f(x) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu gi¶m trªn D vµ tån t¹i u, v �D. Khi ®ã: f (u)  f (v) � u < v , f(u) = f(v) � u = v 1. øng dông hµm sè ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh Ph¬ng ph¸p : D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh ®· cho biÕn ®æi ®îc vÒ d¹ng f ( x )  g( x ) (hoÆc f (u)  g (u) ) trong ®ã u  u( x ) . Bíc 1: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng f ( x )  g( x ) (hoÆc f (u)  g (u) ) Bíc 2: XÐt hai hµm sè y  f ( x ); y  g( x ) trªn D * TÝnh y1' , xÐt dÊu y1' , kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y1  f ( x ) trªn D * TÝnh y2' , xÐt dÊu y2' ,kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y2  g( x ) trªn D * KÕt luËn hai hµm sè y  f ( x ); y  g( x ) ®¬n ®iÖu ngîc nhau, hoÆc mét trong hai hµm sè lµ hµm sè h»ng. * T×m x 0 sao cho f ( x 0 )  g( x 0 ) (hoÆc t×m u0 sao cho f (u0 )  g (u0 ) ) Bíc 3: KÕt luËn: * Ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi vµ chØ khi x  x 0 (hoÆc u  u0 råi gi¶i ph¬ng tr×nh ) 3 * KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho D¹ng 2: PT ®· cho biÕn ®æi ®îc vÒ d¹ng f (u)  f (v) trong ®ã u  u( x ) , v  v( x ) Bíc 1: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f (u)  f (v) Bíc 2: XÐt hµm sè y  f ( x ) trªn D * TÝnh y ' , xÐt dÊu y' * KÕt luËn hµm sè y  f ( x ) lµ hµm sè ®¬n ®iÖu trªn D. Bíc 3: KÕt luËn: * Ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi vµ chØ khi u  v , gi¶i PT : u  v * KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho 2. øng dông hµm sè ®Ó gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh Ph¬ng ph¸p : D¹ng 1: BPT biÕn ®æi vÒ d¹ng f ( x )  g ( x ) (hoÆc f (u)  g (u) ) trong ®ã u  u( x ) . Bíc 1: BiÕn ®æi BPT ®· cho vÒ d¹ng f ( x )  g( x ) (hoÆc f (u)  g(u) ) Bíc 2: XÐt hai hµm sè y1  f ( x ); y2  g( x ) trªn D * TÝnh y1' , xÐt dÊu y1' , kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y1  f ( x ) trªn D * TÝnh y2' ,xÐt dÊu y2' , kÕt luËn tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y2  g( x ) trªn D * T×m x 0 sao cho f ( x 0 )  g( x 0 ) (hoÆc t×m u0 sao cho f (u0 )  g (u0 ) ) * NÕu f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng, g(x) ®¬n ®iÖu gi¶m (hoÆc lµ hµm h»ng) th× f ( x )  g( x ) � x  x 0 , x �D (hoÆc f (u)  g(u) � u  u0 , x �D ) NÕu f(x) ®¬n ®iÖu gi¶m, g(x) ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc lµ hµm h»ng) th× f ( x )  g( x ) � x  x 0 , x �D (hoÆc f (u)  g(u) � u  u0 , x �D ) Bíc 3: KÕt luËn nghiÖm cña bpt ®· cho D¹ng 2: BPT biÕn ®æi ®îc vÒ d¹ng f (u)  f ( v) trong ®ã u  u( x ) , v  v( x ) Bíc 1: BiÕn ®æi bpt vÒ d¹ng f (u)  f ( v) Bíc 2: XÐt hµm sè y  f ( x ) trªn D * TÝnh y ' , xÐt dÊu y'. KÕt luËn hµm sè y  f ( x ) ®¬n ®iÖu trªn D. * NÕu f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng th×: f (u)  f ( v) � u  v, x �D 4 NÕu f(x) ®¬n ®iÖu gi¶m th×: f (u)  f ( v) � u  v, x �D Bíc 3: KÕt luËn nghiÖm cña bpt ®· cho Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. x 1  x  6  x  2  6 b. e 2 x 5 e x 1  1 1  2x  5 x  1 c. 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) d. 2 x 2 x  2 x 1  ( x  1)2 Tríc hÕt, ta nhËn thÊy c¸c ph¬ng tr×nh trªn kh«ng gi¶i ®îc b»ng c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng hoÆc cã gi¶i ®îc th× còng rÊt khã kh¨n. Ta sÏ t×m c¸ch ®Ó sö dông hµm sè gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nµy. Gi¶i: a. x 1  x  6  x  2  6  TX§: D  2 ; + � XÐt hµm sè: f ( x )  x 1  x  6  x  2  + TX§ : D  2 ; + � + §¹o hµm : f '( x )  1 1 1    0, x  2 2 x 1 2 x  6 2 x  2 Do ®ã hµm sè f ( x ) ®ång biÕn trªn D, vËy ph¬ng tr×nh trªn nÕu cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. MÆt kh¸c ta cã: f(3) = 6. VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3. b. e 2 x 5 e x 1  1 1  2x  5 x 1 2 x  5 �0 � �x �5 / 2 �� �x  1 �0 �x �1 §iÒu kiÖn: � ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng : e XÐt hµm sè f (t )  e t  2 x 5  1 1 x 1 e  2x  5 x 1 1 víi t > 0 t 5 (1) + §¹o hµm : f '(t )  et  1  0, t  0 t2 � Hµm sè f (t ) lu«n ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; �) . Khi ®ã: ph¬ng tr×nh (1) � f ( 2 x  5 )  f ( x  1 ) � 2 x  5  x  1 2x  5  x 1 x4 � � �� �� 2x  5  x 1 � x 2 � VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x=2 vµ x=4. c. 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (1) Víi ph¬ng tr×nh nµy ta cha thÓ cã hµm sè gièng nh hai c©u trªn mµ ta ph¶i biÕn ®æi ®Ó t×m ®îc hµm sè mµ ta muèn xÐt. TX§: D = � Trªn D (1) � log2 ( x 2  x  5) 3  8 x2  x  5 ( do x 2  x  5 > e > 0 ) log 2 t 3  (2) t 8 §Æt t = x 2  x  5 víi t > e, th× ph¬ng tr×nh trªn trë thµnh: XÐt hµm sè: f (t )  log 2 t víi t > e t Ta cã f '(t )  1  ln t <0  t>e 2 t ln 2 Tõ ®ã, vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh (2) lµ hµm nghÞch biÕn  t > e; vÕ ph¶i lµ h»ng sè Do ®ã ph¬ng tr×nh (2) nÕu cã nghiÖm th× ®ã lµ nghiÖm duy nhÊt. MÆt kh¸c f (8)  3 � Ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt t = 8 8 Víi t = 8 ta cã x 2  x  5  8 � x = 1  13 ; x = 1  13 2 2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x = 1  13 ; x = 1  13 2 d. 2 x 2 x 2  2 x 1  ( x  1)2 (1) T¬ng tù nh c©u c) ®èi víi ph¬ng tr×nh nµy ta còng cÇn biÕn ®æi ®Ó xuÊt hiÖn hµm sè cÇn xÐt. TX§: D = � Trªn D; (1) � 2 x 2  x  2 x 1  x 2  2 x  1 6 � 2 x 1  x  1  2 x 2 x  x2  x XÐt hµm sè f (t )  2t  t víi t � � f� (t )  2 t .ln2  1  0� t � � � f(t) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn � MÆt kh¸c (1) � f(x - 1) = f(x2 - x) � x - 1 = x2 - x � x2 - 2x + 1 = 0 � x = 1 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x = 1 Bµi 2: Gi¶i c¸c bpt sau: x 6  x 2  4 x  3 a. b. 4 2 x  1 ( x 2  x  1)  x 3  6 x 2  15 x  14 c. log 2 d. 3 x  1  log 3 x  9  1 2( x 1) 1  3 x �x 2  4 x  3 Gi¶i: a. x 6  x 2  4 x  3  TX§: D = 2;4 XÐt hµm sè: f(x) =  x  6  x  2  4  x víi x �D Ta còng nhËn thÊy f(x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn D (v× f’(x) > 0  x �(2;4))   L¹i cã: f(3) = 3; do ®ã, bpt cã nghiÖm x th× x �(3; �) . VËy tËp nghiÖm lµ: T = 2;4 � ( 3 ; + �) =  3;4  b. 4 2 x  1 ( x 2  x  1)  x 3  6 x 2  15 x  14 (1) 3 TX§: D = � , BPT (1) � 2 x  1 � (2 x  1)2  3� � � ( x  2)  3 x  6 3 � 2 x  1  3 2 x  1  ( x  2)3  3( x  2) (2) XÐt hµm sè : f ( x )  x 3  3 x lµ hµm sè ®ång biÕn trªn �. Khi ®ã : (2) � f ( 2 x  1 )  f ( x  2) � 2 x  1  x  2 2x 1  x  2 x  1 � � �� �� � x �� 2 x  1   x  2 x  1 � � VËy bpt nghiÖm ®óng víi mäi x��. c. log 2 x  1  log3 x  9  1 (1) 7 §iÒu kiÖn : x>-1, c¸c hµm sè f1 ( x )  log 2 x  1 vµ f2 ( x )  log 3 x  9 lµ c¸c hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (1; �) , nªn hµm sè f ( x )  log 2 x  1  log3 x  9 lµ hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (1; �) . MÆt kh¸c f (0)  1 vËy (1) � f ( x )  f (0) � x  0 . VËy nghiÖm cña bpt lµ x > 0. d. 3 2( x 1) 1  3 x �x 2  4 x  3 (1) x 1 . VËy TX§: D =  1;� §iÒu kiÖn: x �۳ 1 0 (1) � 3 2( x 1) 1  2( x  1) �3x  x 2  2 x  1 �3 2( x 1) 1  2( x  1) �3( x 1) 1  ( x  1)2 (2) XÐt hµm sè f (t )  3t 1  t 2 , thÊy ngay hµm sè ®ång biÕn trªn D. VËy trªn D; (2) � f ( 2( x  1)) �f ( x  1) � 2( x  1) �x  1 � 2( x  1) �( x  1)2 ,(do x �1) � x 2  4 x  3 �0 � x = 1 hoÆc x �3. VËy nghiÖm cña bpt lµ x = 1 vµ  x �3. Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: 2 � �3 x 2 x  3 y � 2 � �3 y  2 y  3 x Gi¶i: §iÒu kiÖn x �0, y �0 . HÖ ®· cho trë thµnh: 2 � �3 x 2 x  3 y � 3  x 2  3 x  3  3  y2  3 y  3 � � 3  x  3  y2  2 y � XÐt hµm sè f (t )  (1) 3  t2  3 t  3  + TX§: D  0; � + §¹o hµm f '(t )  t 3  t2  3 2 t  0, t  0 suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn D. VËy trªn D, ph¬ng tr×nh (1) ®îc viÕt díi d¹ng f ( x )  f ( y ) � x  y . � � 3  x2  2 x  3  y Khi ®ã hÖ ®· cho trë thµnh � �x  y 8 � 3  x 2  3  x (2) � �� �x  y Gi¶i (2): Ta ®o¸n ®îc x=1 lµ mét nghiÖm cña (2), mÆt kh¸c dÔ nhËn thÊy ph¬ng tr×nh (2) cã vÕ tr¸i lµ hµm sè ®ång biÕn, vÕ ph¶i lµ hµm sè nghÞch biÕn. VËy x=1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña PT (2), VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=y=1. NhËn xÐt: §èi víi hÖ ph¬ng tr×nh, hÖ bpt nhiÒu Èn sè ta t×m c¸ch biÕn ®æi lµm xuÊt hiÖn c¸c ph¬ng tr×nh gi¶i ®îc b»ng ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó ®a vÒ mèi quan hÖ gi÷a c¸c Èn sè ®¬n gi¶n h¬n råi tuú tõng trêng hîp t×m ra c¸ch gi¶i tiÕp. NhËn xÐt: §èi víi gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, hÖ bpt cã 1 Èn sè ta cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p hµm sè ®Ó gi¶i tõng ph¬ng tr×nh hay bpt cña hÖ råi kÕt hîp c¸c tËp nghiÖm t×m ®îc ®Ó ®a ra kÕt luËn vÒ nghiÖm cho hÖ bÊt ph¬ng tr×nh. II. D¹ng 2: Sö dông hµm sè ®Ó biÖn luËn ph¬ng tr×nh Bµi 4: BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau: a) x2  4x  3  x m 2 b) mx  1 ( m 2 x 2  2 mx  2)  x 3  3 x 2  4 x  2 2 c) 2 m x 6  2 4 x 3 m  (4  m2 ) x  3m  6 2 2 d) log2 x  3 x  2  log 1 ( x  m)  x  3 x  2 - x + m = 0 2 Gi¶i: x (1) m 2 NhËn xÐt: Bµi tËp nµy ta cã thÓ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p th«ng thêng. Tuy nhiªn, nÕu gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p ®ã, ta ph¶i kiÓm tra ®iÒu kiÖn cña Èn sè rÊt phøc t¹p. Ta sÏ gi¶i bµi nµy b»ng c¸ch sö dông hµm sè a) x2  4x  3    Gi¶i: TX§: D =  �;1 � 3;  � x2  4x  3  Trªn D; (1) � XÐt hµm sè f(x) = Ta cã: f’(x) = x2  4x  3  x 2 x2  4x  3 Trªn D ta cã: f’(x) > 0 � f’(x) < 0 � x m 2  x víi x �D 2 1 2 x 2 x2  4x  3 x 2 x2  4x  3  1 > 0 � x > 3; 2  1 <0 � x<1 2 9 Tõ ®ã, ta cã b¶ng biÕn thiªn: -� x f’(x) 1 3 - + + +� + f(x)  1 2 Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ ®êng th¼ng y =  m. Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn sau: - NÕu m <  3 2 3 , ®êng th¼ng y = m kh«ng c¾t ®å thÞ hµm sè y = f(x), do ®ã ph¬ng tr×nh 2 (1) v« nghiÖm. - NÕu  3 m < 1 , ®êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè y = f(x) t¹i 1 ®iÓm, do ®ã ph�  2 2 ¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm. - NÕu m �  1 , ®êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè y = f(x) t¹i 2 ®iÓm, do ®ã ph¬ng 2 tr×nh (1) cã 2 nghiÖm. b) mx  1 (m 2 x 2  2 mx  2)  x 3  3 x 2  4 x  2 3 ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng mx  1 � (mx  1)2  1� � � ( x  1)  ( x  1) 3 � mx  1  mx  1  ( x  1)3  ( x  1) (2) XÐt hµm sè f (t )  t 3  t lµ hµm sè ®ång biÕn trªn �� VËy (2) � f ( mx  1 )  f ( x  1) � mx  1  x  1 � � �x �1 �x �1 � � � � mx  1  x  1 (m  1) x  2 (3) � � �� �� � � �x �1 �x �1 � � (4) � � mx  1   x  1 � (m  1) x  0 � � � + Gi¶i vµ biÖn luËn (I) - Víi m=1 th× (3) v« nghiÖm nªn (I) v« nghiÖm - Víi m �1 th× (3) cã nghiÖm x   2 , m 1 10 (I ) ( II ) nã lµ nghiÖm cña (I) khi x �1 �  2 �1 � 1 �m  1 m 1 + Gi¶i vµ biÖn luËn (II) - Víi m = -1 th× (4) nghiÖm ®óng víi mäi x, nªn (II) nhËn x �1 lµm nghiÖm - Víi m �-1 th× (4) cã nghiÖm x = 0, nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (II) KÕt luËn: - Víi m < -1 hoÆc m �1: ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Víi m = -1: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  x �1 - Víi -1 < m < 1: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x   2 m 1 2 c) 2 m x 6  2 4 x 3 m  (4  m2 ) x  3m  6 (1) ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng 2 m2 x 6  m 2 x  6  2 4 x  3m  4 x  3m (2) XÐt hµm sè f (t )  2t  t lµ hµm sè ®ång biÕn trªn �, vËy (2) � f (m 2 x  6)  f (4 x  3m) � m 2 x  6  4 x  3m � (m 2  4) x  3m  6 (3) - NÕu m 2  4  0 � m  �2 + Víi m = 2, (3) � 0.x = 0, nghiÖm ®óng víi x �� + Víi m = - 2, (3) � 0.x=-9, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - NÕu m 2 �۹� 4 0 m 2 Ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm duy nhÊt x  3 m2 KÕt luËn: - Víi m ��2 : ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x  - Víi m = 2: ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi x �R - Víi m = - 2: ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 3 m2 2 2 d) log2 x  3 x  2  log 1 ( x  m)  x  3 x  2 - x + m = 0 (1) 2 ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: log2 x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  log2 ( x  m)  x  m (2) 11 §iÒu kiÖn: x2 - 3x + 2 > 0 � x < 1 hoÆc x > 2. TX§: D = (�;1) �(2; �) XÐt hµm sè f (t )  log2 t  t ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; �) . VËy trªn D, ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh : f ( x 2  3 x  2)  f ( x  m) � x 2  3 x  2  x  m �x  m  0 �� (2m  3) x  m 2  2 (3) � (I ) BiÖn luËn: - Víi 2m - 3 = 0 � m  3 , khi ®ã (3) v« nghiÖm nªn (I) v« nghiÖm 2 - Víi 2m �۹ 3 0 2 3 , khi ®ã (3) cã nghiÖm duy nhÊt x  m  2 , lµ 2 2m  3 m m 1 � 2 2 m  2 m  3 m  2 nghiÖm cña (I) khi m� 0�� 3 � m2 2m  3 2m  3 � 2 KÕt luËn: 2 �3 � - Víi m � �;1 �� ;2 �th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  m  2 2m  3 �2 � � 3� - Víi m �� 1; �� 2; � th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. � 2� III. D¹ng 3: Sö dông hµm sè t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh, bpt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tríc. Bµi 5: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 2 x 2  2(m  4) x  5m  10  3  x  0 Gi¶i: (1) � � (1) (m - tham sè) 2 x 2  2(m  4) x  5m  10 = x - 3 �x  3 �0 � 2 2 x  2(m  4) x  5m  10  ( x  3)2 � 12 � �x �3 �2 �x  2(m  1) x  5m  1  0 � �x �3 �2 �x  2 x  1 m � � 2x  5 (2) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm � ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm tho¶ m·n x �3 ë bµi nµy ta cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai ®Ó gi¶i. Tuy nhiªn ta sÏ sö dông hµm sè ®Ó gi¶i bµi nµy. XÐt ph¬ng tr×nh (2) : §Æt f(x) = Ta cã: f’(x) = x2  2x  1 2x  5 2 x 2  10 x  8 (2 x  5)2 víi x �3 f’(x) = 0 x 1 � � x4 � � Ta cã b¶ng biÕn thiªn: -� x f’(x) 3 4 - 0 + + f(x) 4 Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy: Ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm x �3 � m �3 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm � m �3. Bµi 6: T×m m ®Ó bpt sau cã nghiÖm: 4cosx - m.2cosx + m + 3 �0 (3) Gi¶i: §Æt 2cosx = t víi (m - tham sè) 1 � t � 2 (v× -1 �cosx � 1) 2 Khi ®ã bpt (3) trë thµnh: t2 - mt + m + 3 �0 � m(t - 1) � t2 + 3 (4) + NhËn thÊy: t = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh, nªn: (4) � +� � 1  t �2 � � � � t2  3 � m� � � t 1 � � �1 � �t  1 � � �2 � � t2  3 � � m� � t 1 � (I) ( II ) 13 3 XÐt hµm sè: f(t) = Ta cã: f’(t) = t2  3 t 1 t 2  2t  3 �1 � <0  t� ; 1 ��  1 ; 2  �2 (t  1)2 � � Do ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn: t -� 1 2 1 f’(t) +� 2 - + - + + f(t) 7 + Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã bpt (4) cã nghiÖm+ � hÖ (I) cã nghiÖm hoÆc hÖ (II) cã - 13 � m �  nghiÖm � � 2 � m �7 � VËy bpt (3) cã nghiÖm � 13 � m �  � 2 � m �7 � Bµi 7: T×m m ®Ó bpt sau nghiÖm ®óng víi mäi x �� cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2 �0 (5) (m - tham sè) Gi¶i: TX§: D = � Trªn D, (5) � 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2 �0  §Æt t = cosx víi t �  1;1  Khi ®ã, ta cã bÊt ph¬ng tr×nh: 3t4 - 20t3 + 36t2 + 24m - 12m2 �0 � 3t4 - 20t3 + 36t2 � 12m2 - 24m (6)  Bpt (5) nghiÖm ®óng víi mäi x ���� bpt (6) nghiÖm ®óng víi  t �  1;1 XÐt hµm sè: f(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 víi t �   1;1  Ta cã: f’(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t(t2 - 5t + 6) 14  t0 � f’(t) = 0 � 12t(t2 - 5t + 6) = 0 � � t2 � � t 3 � Khi ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn: t f’(t) -� -1 0 - 1 0 2 +� 3 + 59 f(t) 19 0 Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã:  f(t) � 12m2 - 24m  t �  1;1  f (t ) � 12m2 - 24m � xmin � 1;1 � 12m2 - 24m � 0 � 0 � m � 2   VËy víi m � 0;2 th× bpt (5) nghiÖm ®óng víi mäi x �� NhËn xÐt: Trong mét sè bµi tËp gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô, ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña Èn phô. Tuy nhiªn, viÖc t×m ®iÒu kiÖn ®ã gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n. NÕu ta sö dông hµm sè th× viÖc t×m ®iÒu kiÖn sÏ ®¬n gi¶n h¬n. Ta xÐt vÝ dô sau: Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh: 2 42 x  x  22 x  x 2 1  m  3  0 (1) (m - tham sè) � 3� � � T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x � 0; � 2� Gi¶i: §Æt t = 22 x  x 2 ë ®©y, ®iÒu kiÖn cÇn lµ t > 0 nhng nÕu chØ cã ®iÒn kiÖn ®ã th× cha ®ñ vµ ta cha gi¶i ®îc bµi nµy. Ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña t b»ng c¸ch xÐt hµm sè. � 3� � � XÐt hµm sè y = 2x - x2 víi x � 0; � 2� Ta cã: y’(x) = 2 - 2x � y’(x) = 0 x=1 Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x y’(x) y(x) -� 0 3 2 1 + 0 +� - 1 15 3 4 0   Tõ ®ã suy ra tËp gi¸ trÞ cña y lµ y � 0;1 � 20 � 22 x  x2 � 21 � 1 �t �2 Víi ®iÒu kiÖn ®ã cña t th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: � t2 + 2t + m - 3 = 0 m = -t2 - 2t + 3 (2) � 3� � � Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x � 0; � 2 �� ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm 1 �t �2 XÐt hµm sè: g(t) = -t2 - 2t + 3  víi t � 1;2  g’(t) = -2t - 2 g’(t) = 0 � t = -1 Tõ ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn: 16 x y’(x) -� 1 +� 2 - y(x) 0 -5  Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã: ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm � m � 5; 0  VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm � m � 5; 0   Bµi 10: Cho bÊt ph¬ng tr×nh: x  3 � m + 1 (1) (m - tham sè) mx - a. T×m m ®Ó bpt cã nghiÖm. b. T×m m ®Ó bpt nghiÖm ®óng 3 . 62 3 Gi¶i:  TX§: D = 3; � Trªn D, (1) � m(x - 1) � x  3 + 1 � m � x 3 1 x 1 (v×: x �D nªn x - 1 > 0) §Æt f(x) = Khi ®ã: f’(x) = x  3  1 víi x � D x 1 5 x 2 x 3 2 x  3( x  1)2 , f’(x) = 0 � 5 x 2 x 3 2 x  3( x  1)2 = 0 � x = 7-2 3 Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x -� 3 7-2 3 + 0 f’(x) 1 3 4 17 7 - +� - f(x) 1 2 1 2 0 Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã: a. Bpt cã nghiÖm � m �max f ( x ) � m �1  3 x�D 4  b. Bpt nghiÖm ®óng  x � 3;7  f (x) � m �1 � m �xmin � 3;7 2 Bµi 11: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 2 + 2sin2x = m(1 + cosx)2 (1) Gi¶i: Tríc hÕt ta nhËn thÊy:  m , 1 + cosx �0 (v× nÕu 1 + cosx = 0 th×: vÕ tr¸i PT (1) = 2 v« lý) 2  2 sin 2 x Khi ®ã (1) � m = � m= (1  cos x )2 §Æt t = tg 2 �sin x  cos x � 2� � � 1  cos x �  � � x ; víi x ��   k. ;  k . �, k �� 2 2 2 �2 � 2 2t 1  t Khi ®ã: sinx = , cosx = 1  t2 1  t2 Theo (1) ta ®îc ph¬ng tr×nh: � sin x  cos x 1  2t  t 2 = 1  cos x 2 2m = (1+2t-t2)2 (2) Khi ®ã PT (1) cã nghiÖm � PT (2) cã nghiÖm XÐt hµm sè: f(t) = (1+2t-t2)2 t 1 � � f’(t) = 4(t - 1)( t2 - 2t - 1) , f’(t) = 0 � � t  1 2 � t  1 2 � Ta cã b¶ng biÕn thiªn: t f’(t) -� 1- 1 2 0 + 18 1+ 0 - +� 2 0 + +� +� 2 f(t) 0 0 Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra: ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm � 2m �0 � m �0 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm � m �0 IV. D¹ng 4: Sö dông hµm sè ®Ó ®o¸n vµ vÐt hÕt tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: D¹ng nµy thêng ®îc sö dông khi ta nhËn thÊy 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c hµm ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn, ®ång thêi ta ®· nhÈm ®îc 1 hay 2 nghiÖm. D¹ng bµi tËp nµy cho phÐp chóng ta dù ®o¸n vµ chøng minh ph¬ng tr×nh chØ chã c¸c nghiÖm mµ ta ®· dù ®o¸n. Ta xÐt c¸c vÝ dô sau: Bµi 12: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 2x + 3x = 3x + 2 b. log5(2x + 1) = log3(x+1) c. 3 x  1  x  log3 (1  2 x ) NhËn xÐt: ë c¶ hai vÝ dô trªn ta ®Òu thÊy hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ®Òu lµ c¸c hµm ®ång biÕn. MÆt kh¸c ë vÝ dô a) ta nhÈm ®îc 2 nghiÖm lµ x = 0; x = 1 ë vÝ dô b) ta nhÈm ®ùoc 2 nghiÖm lµ x = 0; x = 2 Ngoµi c¸c nghiÖm ®ã ra ta cha biÕt lµ ph¬ng tr×nh cã cßn nghiÖm nµo n÷a kh«ng. Ta sÏ t×m c¸ch chøng minh ph¬ng tr×nh kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c n÷a. Gi¶i: a. 2x + 3x = 3x + 2 (1) TX§: D = � Trªn D (1) � 2x + 3x - 3x - 2 = 0 víi x �D XÐt hµm sè: f(x) = 2x + 3x - 3x - 2 Ta cã: f’(x) = 2xln2 + 3xln3 - 3 f’’(x) = 2xln2x + 3xln2x > 0  x �� � f’(x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn � MÆt kh¸c f’(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn � Mµ f’(0) = ln2 + ln3 - 3 < 0 f’(1) = 2ln2 + 3ln3 - 3 > 0 � f’(0).f’(1) < 0 �  x0 �(0;1) sao cho f’(x0) = 0 �  x �  �; x0  th× f’(x) < 0 19  x �  x0 ;  � th× f’(x) > 0 Khi ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn: -� x f’(x) x0 0 - + +� + f(x) + f(x0) Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ trôc hoµnh. Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn, ta thÊy ®å thÞ hµm sè nÕu c¾t trôc hoµnh th× sÏ c¾t nhiÒu nhÊt t¹i 2 ®iÓm. Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) sÏ cã nhiÒu nhÊt 2 nghiÖm MÆt kh¸c ta nhÈm ®îc: f(0) = 0 ; f(1) = 0 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã ®óng 2 nghiÖm x = 0; x = 1. b. log5(2x + 1) = log3(x+1) �1 � ;  �� �2 � TX§: D = �  §Æt log3(x+1) = t � x + 1 = 3t � 2x + 1 = 2(3t - 1) + 1 = 2.3t - 1 Khi ®ã ta cã ph¬ng tr×nh: � log5(2.3t - 1) = t 2.3t - 1 = 5t � 2.3t - 5t - 1 = 0 XÐt hµm sè: f(t) = 2.3t - 5t - 1 víi t � � Ta cã: f’(t) = 2.3t.ln3 - 5tln5 f’(t) = 0 � 2.3t.ln3 - 5tln5 = 0 � t = log 3 (log 9 5) 5 f’(t) > 0 � t < log 3 (log 9 5) ; 5 f’(t) < 0 � t > log 3 (log 9 5) 5 Ta cã b¶ng biÕn thiªn: t f’(t) log 3 (log9 5) -� +� 5 + 0 - f() f(t) Sè nghiÖm cña PT lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(t) vµ trôc hoµnh. 20 -
- Xem thêm -