Tài liệu Rèn luyện tư duy giải toán thông qua phương trình và bất phương trình

0 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Trêng thpt quúnh lu 2 båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh trung häc phæ th«ng qua viÖc t×m tßi lêi gi¶i c¸c bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ®Ò tµi SKKN bé m«n to¸n NguyÔn ®×nh ®øc Quúnh lu – 2012 së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Trêng thpt quúnh lu 2 NguyÔn ®×nh ®øc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh trung häc phæ th«ng qua viÖc t×m tßi lêi gi¶i c¸c bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh Quúnh lu - 2012 Môc lôc Trang A, ®Æt vÊn ®Ò.............................................................................................. I. Lý do chän ®Ò tµi.................................................................................. 1. Lý luËn vÒ d¹y häc gi¶i bµi tËp to¸n häc........................................................ a, Vai trß cña bµi tËp to¸n trong qu¸ tr×nh d¹y häc................................... b, C¸c chøc n¨ng cña bµi tËp to¸n............................................................ c, Ph©n lo¹i bµi tËp to¸n............................................................................ d, D¹y häc gi¶i bµi tËp to¸n häc............................................................... 2. Thực trạng việc dạy học giải to¸n ë trêng phổ thông hiện nay..................... 7 II. Nh÷ng vÊn ®Ò ®îc nªu trong ®Ò tµi ………………………..7 B, Néi dung..................................................................................................8 I. Chñ ®Ò ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ë trêng tHPT.8 1. Giíi thiÖu hÖ thèng kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh................ 2. C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh................................................................................................. 3. TiÒm n¨ng ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cña to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh................................................................................... II. Mét sè ®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh qua viÖc t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh............................................................................... 1. Båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh qua viÖc ph©n tÝch qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n.................................................................................. 2. Båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh qua viÖc ®Þnh híng vµ x¸c ®Þnh ®êng lèi gi¶i to¸n................................................................. 3. Båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh qua viÖc lùa chän c¸c ph¬ng ph¸p vµ c«ng cô thÝch hîp ®Ó gi¶i to¸n........................................ 4. Båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh qua viÖc kiÓm tra bµi gi¶i......... 5. Båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh qua viÖc t×m kiÕm c¸c bµi to¸n liªn quan vµ s¸ng t¹o c¸c bµi to¸n míi................................. III. Mét sè biÖn ph¸p rÌn luyÖn c¸c yÕu tè cña t duy s¸ng t¹o..................................................................................................... 1. RÌn luyÖn tÝnh mÒm dÎo trong viÖc sö dông kiÕn thøc ®Ó t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh........................... 1 2. RÌn luyÖn tÝnh nhuÇn nhuyÔn trong nh×n nhËn vÊn ®Ò díi nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau.......................................................................... 3. RÌn luyÖn tÝnh ®éc ®¸o trong viÖc t×m lêi gi¶i “®Æc biÖt” cho nh÷ng bµi to¸n “®Æc biÖt”............................................................. 4. RÌn luyÖn tÝnh nh¹y c¶m trong chuyÓn ho¸ néi dung, h×nh thøc, c«ng cô gi¶i to¸n.......................................................................... 5. RÌn luyÖn tÝnh hoµn thiÖn trong kiÓm tra, ®¸nh gi¸ lêi gi¶i bµi to¸n............................................................................................... IV. Thùc nghiÖm s ph¹m....................................................................... 1. Môc ®Ých thùc nghiÖm......................................................................... 2. Néi dung vµ tæ chøc thùc nghiÖm......................................................... a, Tæ chøc thùc nghiÖm................................................................ b, Néi dung thùc nghiÖm.............................................................. 3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm.............................................................. a, §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh..................................................................... b, §¸nh gi¸ ®Þnh lîng................................................................... 4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm s ph¹m................................................ KÕt luËn...................................................................................................... Tµi liÖu tham kh¶o............................................................................... ......57 1 A, ®Æt vÊn ®Ò I. LÝ do chän ®Ò tµi SKKN Gi¸o dôc To¸n häc cho häc sinh lµ mét qu¸ tr×nh phøc t¹p bao gåm nh÷ng bé phËn, nh÷ng vÊn ®Ò sau ®©y: + TruyÒn thô cho häc sinh hÖ thèng nhÊt ®Þnh nh÷ng kiÕn thøc To¸n häc. + RÌn luyÖn nh÷ng kü n¨ng vµ kü x¶o To¸n häc. + Ph¸t triÓn t duy To¸n häc. To¸n häc chøa ®ùng nhiÒu tiÒm n¨ng to lín trong viÖc båi dìng vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o cho häc sinh. Bªn c¹nh viÖc gióp häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa, gi¸o viªn cã thÓ khai th¸c c¸c tiÒm n¨ng ®ã th«ng qua viÖc x©y dùng hÖ thèng bµi tËp míi trªn c¬ së hÖ thèng bµi tËp c¬ b¶n, vµ th«ng qua sù híng dÈn cña gi¸o viªn, häc sinh huy ®éng kiÕn thøc ®Ó gi¶i quyÕt hÖ thèng c¸c bµi tËp míi ®ã, ®ång thêi ®Ó c¸c em ph¸t hiÖn c¸c vÊn ®Ò míi kh¸c, ®Ó tõ ®ã c¸c em ph¸t triÓn n¨ng lùc s¸ng t¹o cña m×nh. 1. Lý luËn vÒ d¹y häc gi¶i bµi tËp to¸n häc a, Vai trß cña bµi tËp to¸n trong qu¸ tr×nh d¹y häc Theo t¸c gi¶ NguyÔn B¸ Kim trong [18] th× vai trß cña bµi tËp To¸n ®îc thÓ hiÖn trªn c¸c b×nh diÖn sau: + Thø nhÊt, trªn b×nh diÖn môc tiªu d¹y häc, bµi tËp to¸n häc ë trêng phæ th«ng lµ gi¸ mang nh÷ng ho¹t ®éng mµ viÖc thùc hiÖn c¸c ho¹t ®éng ®ã thÓ hiÖn møc ®é ®¹t môc tiªu. MÆt kh¸c, nh÷ng bµi tËp còng thÓ hiÖn nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau híng ®Õn viÖc thùc hiÖn c¸c môc tiªu d¹y häc m«n To¸n, cô thÓ lµ: - H×nh thµnh, cñng cè tri thøc, kü n¨ng, kü x¶o ë nh÷ng kh©u kh¸c nhau cña qu¸ tr×nh d¹y häc, kÓ c¶ kü n¨ng øng dông To¸n häc vµo thùc tiÔn. - Ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ: rÌn luyÖn nh÷ng ho¹t ®éng t duy, h×nh thµnh nh÷ng phÈm chÊt trÝ tuÖ. - Båi dìng thÕ giíi quan duy vËt biÖn chøng, h×nh thµnh nh÷ng phÈm chÊt ®¹o ®øc cña ngêi lao ®éng míi. + Thø hai, trªn b×nh diÖn néi dung d¹y häc, nh÷ng bµi tËp to¸n häc lµ gi¸ mang ho¹t ®éng liªn hÖ víi nh÷ng néi dung nhÊt ®Þnh, lµ mét ph¬ng tiÖn cµi ®Æt néi dung ®Ó hoµn chØnh hay bæ sung cho nh÷ng tri thøc nµo ®ã ®· ®îc tr×nh bµy trong phÇn lÝ thuyÕt. 2 + Thø ba, trªn b×nh diÖn ph¬ng ph¸p d¹y häc, bµi tËp to¸n häc lµ gi¸ mang ho¹t ®éng ®Ó ngêi häc kiÕn t¹o nh÷ng tri thøc nhÊt ®Þnh vµ trªn c¬ së ®ã thùc hiÖn c¸c môc tiªu d¹y häc kh¸c. Khai th¸c tèt c¸c bµi tËp nh vËy sÏ gãp phÇn tæ chøc cho häc sinh häc tËp trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng tù gi¸c, tÝch cùc, chñ ®éng vµ s¸ng t¹o ®îc thùc hiÖn ®éc lËp hoÆc trong giao lu. Trong thùc tiÔn d¹y häc, bµi tËp ®îc sö dông víi nh÷ng dông ý kh¸c nhau vÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc: ®¶m b¶o tr×nh ®é xuÊt ph¸t, gîi ®éng c¬, lµm viÖc víi néi dung míi, cñng cè hoÆc kiÓm tra,...§Æc biÖt lµ vÒ mÆt kiÓm tra, bµi tËp lµ ph¬ng tiÖn ®Ó ®¸nh gi¸ møc ®é, kÕt qu¶ d¹y vµ häc, kh¶ n¨ng lµm viÖc ®éc lËp vµ tr×nh ®é ph¸t triÓn cña häc sinh,...Vµ mét bµi tËp cô thÓ cã thÓ nh»m vµo mét hay nhiÒu dông ý trªn. b, C¸c chøc n¨ng cña bµi tËp to¸n ë trêng phæ th«ng, d¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng To¸n häc cho häc sinh, trong ®ã gi¶i bµi tËp to¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu. Do vËy, d¹y häc gi¶i bµi tËp to¸n cã tÇm quan träng ®Æc biÖt vµ tõ l©u ®· lµ mét vÊn ®Ò träng t©m cña ph¬ng ph¸p d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng. §èi víi häc sinh cã thÓ coi viÖc gi¶i bµi tËp to¸n lµ mét h×nh thøc chñ yÕu cña viÖc häc To¸n, v× bµi tËp to¸n cã nh÷ng chøc n¨ng sau: - Chøc n¨ng d¹y häc: Bµi tËp nh»m cñng cè, rÌn luyÖn kü n¨ng, kü x¶o nh÷ng vÊn ®Ò vÒ lý thuyÕt ®· häc. Trong nhiÒu trêng hîp gi¶i to¸n lµ mét h×nh thøc rÊt tèt ®Ó dÉn d¾t häc sinh tù m×nh ®i ®Õn kiÕn thøc míi. Cã khi bµi tËp l¹i lµ mét ®Þnh lý, mµ v× mét lÝ do nµo ®ã kh«ng ®a vµo lý thuyÕt. Cho nªn qua viÖc gi¶i bµi tËp mµ häc sinh më réng ®îc tÇm hiÓu biÕt cña m×nh. - Chøc n¨ng gi¸o dôc: Th«ng qua viÖc gi¶i bµi tËp mµ h×nh thµnh cho häc sinh thÕ giíi quan duy vËt biÖn chøng, niÒm tin vµ phÈm chÊt ®¹o ®øc cña ngêi lao ®éng míi. Qua nh÷ng bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn, häc sinh nhËn thøc ®óng ®¾n vÒ tÝnh chÊt thùc tiÔn cña To¸n häc, gi¸o dôc lßng yªu níc th«ng qua c¸c bµi to¸n tõ cuéc sèng chiÕn ®Êu vµ x©y dùng tæ quèc. §ång thêi, häc sinh ph¶i thÓ hiÖn mét sè phÈm chÊt ®¹o ®øc cña ngêi lao ®éng míi qua ho¹t ®éng To¸n mµ rÌn luyÖn ®îc: ®øc tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c, chu ®¸o, lµm viÖc cã kÕ ho¹ch, kü luËt, n¨ng suÊt cao, kh¾c phôc khã kh¨n, d¸m nghÜ d¸m lµm, trung thùc, khiªm tèn, tiÕt kiÖm, biÕt ®îc ®óng sai trong To¸n häc vµ trong thùc tiÔn. - Chøc n¨ng ph¸t triÓn: 3 Gi¶i bµi tËp to¸n nh»m ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy cho häc sinh, ®Æc biÖt lµ ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, h×nh thµnh nh÷ng phÈm chÊt t duy khoa häc. - Chøc n¨ng kiÓm tra: Bµi tËp nh»m ®¸nh gi¸ møc ®é, kÕt qu¶ d¹y häc, ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng häc To¸n vµ tr×nh ®é ph¸t triÓn cña häc sinh còng nh kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc ®· häc. Trong viÖc lùa chän bµi tËp to¸n vµ híng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp to¸n, gi¸o viªn cÇn ph¶i chó ý ®Çy ®ñ ®Õn t¸c dông vÒ nhiÒu mÆt cña c¸c bµi tËp to¸n ®ã. Thùc tiÔn s ph¹m cho thÊy, gi¸o viªn thêng cha chó ý ®Õn viÖc ph¸t huy t¸c dông gi¸o dôc cña bµi to¸n, mµ thêng chó träng cho häc sinh lµm nhiÒu bµi tËp to¸n. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc, viÖc chó ý ®Õn chøc n¨ng cña bµi tËp to¸n lµ cha ®ñ mµ gi¸o viªn cÇn quan t©m tíi lêi gi¶i cña bµi tËp to¸n. Lêi gi¶i cña bµi tËp to¸n ph¶i ®¶m b¶o nh÷ng yªu cÇu sau: - Lêi gi¶i kh«ng cã sai lÇm. Häc sinh ph¹m sai lÇm trong khi gi¶i bµi tËp thêng do ba nguyªn nh©n sau: + Sai sãt vÒ kiÕn thøc to¸n häc, tøc lµ hiÓu sai ®Þnh nghÜa cña kh¸i niÖm, gi¶ thiÕt hay kÕt luËn cña ®Þnh lý, ... + Sai sãt vÒ ph¬ng ph¸p suy luËn. + Sai sãt do tÝnh sai, sö dông ký hiÖu, ng«n ng÷ diÔn ®¹t hay do h×nh vÏ sai. - Lêi gi¶i ph¶i cã c¬ së lý luËn. - Lêi gi¶i ph¶i ®Çy ®ñ. - Lêi gi¶i ®¬n gi¶n nhÊt. c, Ph©n lo¹i bµi tËp to¸n §øng tríc mét bµi to¸n, hÇu hÕt nh÷ng ngêi lµm to¸n thêng ®Æt ra c©u hái: “Bµi to¸n nµy thuéc kiÓu nµo?”, vµ tõ ®ã dÉn tíi c©u hái: “Cã thÓ ¸p dông biÖn ph¸p nµo ®Ó gi¶i bµi to¸n kiÓu nµy?”. §iÒu ®ã nãi lªn sù cÇn thiÕt ph¶i ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n, v¹ch ra sù kh¸c biÖt gi÷a c¸c bµi to¸n theo tõng kiÓu, cã thÓ gióp Ých cho ta khi gi¶i to¸n. - Nh÷ng bµi to¸n t×m tßi: Môc ®Ých cuèi cïng cña nh÷ng bµi to¸n t×m tßi lµ t×m ra (dùng, thu ®îc, x¸c ®Þnh…) mét ®èi tîng nµo ®ã, tøc lµ t×m ra Èn sè cña bµi to¸n. - Nh÷ng bµi to¸n chøng minh: Môc ®Ých cuèi cïng cña mét bµi to¸n chøng minh lµ x¸c ®Þnh xem mét kÕt luËn nµo ®ã lµ ®óng hay sai, lµ x¸c nhËn hay b¸c bá kÕt luËn ®ã. 4 - §øng trªn quan ®iÓm m«n häc th× ta cã thÓ ph©n chia c¸c bµi tËp to¸n trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng thµnh ba lo¹i: C¸c bµi tËp to¸n ®¹i sè s¬ cÊp; c¸c bµi tËp to¸n gi¶i tÝch vµ c¸c bµi tËp to¸n h×nh häc s¬ cÊp. - NÕu theo tiªu chÝ vÒ sè lîng c¸c ®¹i lîng thay ®æi trong mét bµi tËp to¸n, th× ta cã thÓ chia c¸c bµi tËp tËp to¸n trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng thµnh hai d¹ng: d¹ng to¸n kh«ng chøa tham sè vµ d¹ng to¸n cã chøa tham sè. - NÕu theo tiªu chÝ thuËt gi¶i th× ta l¹i cã thÓ chia c¸c bµi tËp to¸n thµnh hai lo¹i: Lo¹i c¸c bµi tËp to¸n ®· cã quy tr×nh gi¶i vµ lo¹i c¸c bµi tËp to¸n kh«ng cã quy tr×nh gi¶i (kh«ng cã quy tr×nh gi¶i theo nghÜa lµ kh«ng ®îc tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn hµnh). d, D¹y häc gi¶i bµi tËp To¸n häc Trong d¹y häc gi¶i to¸n, kü n¨ng t×m kiÕm lêi gi¶i lµ mét trong c¸c kü n¨ng quan träng, mµ viÖc rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy lµ mét thµnh phÇn kh«ng thÓ thiÕu trong d¹y häc gi¶i To¸n. Trong t¸c phÈm [25] cña G. P«lya «ng ®· ®a ra 4 bíc ®Ó ®i ®Õn lêi gi¶i bµi to¸n. 1) HiÓu râ bµi to¸n: §Ó gi¶i mét bµi to¸n, tríc hÕt ph¶i hiÓu bµi to¸n vµ h¬n n÷a cßn ph¶i cã høng thó gi¶i bµi to¸n ®ã. V× vËy ®iÒu ®Çu tiªn ngêi gi¸o viªn cÇn chó ý híng dÉn häc sinh gi¶i To¸n lµ khªu gîi trÝ tß mß, lßng ham muèn gi¶i To¸n cña c¸c em, gióp c¸c em hiÓu bµi to¸n ph¶i gi¶i, muèn vËy cÇn ph¶i: Ph©n tÝch gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n: §©u lµ Èn, ®©u lµ d÷ kiÖn? §©u lµ ®iÒu kiÖn? §iÒu kiÖn, d÷ kiÖn nµy liªn quan tíi ®iÒu g×?. Cã thÓ biÓu diÔn bµi to¸n díi mét h×nh thøc kh¸c ®îc kh«ng?. Nh vËy, ngay ë bíc “HiÓu râ ®Ò to¸n” ta ®· thÊy ®îc vai trß cña t duy s¸ng t¹o trong viÖc ®Þnh híng ®Ó t×m tßi lêi gi¶i. 2) X©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Trong bíc thø 2 nµy, ta l¹i thÊy vai trß cña t duy s¸ng t¹o ®îc thÓ hiÖn râ nÐt h¬n qua viÖc ph©n tÝch bµi to¸n ®· cho thµnh nhiÒu bµi to¸n ®¬n gi¶n h¬n. BiÕn ®æi bµi to¸n ®· cho, mß mÉm vµ dù ®o¸n th«ng qua xÐt c¸c trêng hîp ®Æc biÖt, xÐt c¸c bµi to¸n t¬ng tù hay kh¸i qu¸t ho¸ h¬n vv... th«ng qua c¸c kü n¨ng sau b»ng c¸ch ®Æt c¸c c©u hái: - Huy ®éng kiÕn thøc cã liªn quan: * Bµi to¸n nµy cã thuËt gi¶i hay kh«ng? * Em ®· gÆp bµi to¸n nµy hay bµi nµy ë d¹ng h¬i kh¸c lÇn nµo cha? Em cã biÕt mét bµi nµo liªn quan kh«ng? Mét ®Þnh lý cã thÓ dïng ®îc kh«ng?. * Thö nhí l¹i mét bµi to¸n quen thuéc cã cïng Èn hay Èn sè t¬ng tù?. 5 * Cã thÓ sö dông mét bµi to¸n nµo ®ã mµ em ®· cã lÇn gi¶i råi hoÆc sö dông kÕt qu¶ cña nã kh«ng? - Dù ®o¸n kÕt qu¶ ph¶i t×m: * Em cã thÓ nghÜ ra mét bµi to¸n cã liªn quan mµ dÔ h¬n kh«ng? Mét bµi to¸n tæng qu¸t h¬n? Mét trêng hîp riªng? Mét bµi to¸n t¬ng tù? Em cã thÓ gi¶i mét phÇn cña bµi to¸n? * Em ®· sö dông mäi d÷ kiÖn cha? §· sö dông hÕt ®iÒu kiÖn cha? §· ®Ó ý ®Õn mäi kh¸i niÖm chñ yÕu trong bµi to¸n cha? * H·y gi÷ l¹i mét phÇn ®iÒu kiÖn, bá qua phÇn kia, khi ®ã Èn ®îc x¸c ®Þnh ®Õn chõng mùc nµo vµ biÕn ®æi thÕ nµo? - Sö dông phÐp ph©n tÝch ®i lªn vµ phÐp ph©n tÝch ®i xuèng ®Ó t×m kiÕm híng gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc nÕu gi¸o viªn khai th¸c triÖt ®Ó ®îc nh÷ng gîi ý trªn th× sÏ h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn ë häc sinh kü n¨ng t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi to¸n. Tuy nhiªn ®Ó ®¹t ®îc ®iÒu nµy th× gi¸o viªn ph¶i thùc hiÖn kiªn tr× tÊt c¶ c¸c giê d¹y To¸n, ®ång thêi häc sinh ph¶i ®îc tù m×nh ¸p dông vµo ho¹t ®éng gi¶i to¸n cña m×nh. 3) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: Khi thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i h·y kiÓm tra l¹i tõng bíc. Em ®· thÊy râ rµng lµ mçi bíc ®Òu ®óng cha? Em cã thÓ chøng minh lµ nã ®óng kh«ng? 4) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i ®· t×m ®îc: Häc sinh phæ th«ng thêng cã thãi quen khi ®· t×m ®îc lêi gi¶i cña bµi to¸n th× tho¶ m·n, Ýt ®i s©u kiÓm tra l¹i lêi gi¶i xem cã sai lÇm thiÕu sãt g× kh«ng, Ýt quan t©m tíi viÖc nghiªn cøu c¶i tiÕn lêi gi¶i, khai th¸c lêi gi¶i. V× vËy trong qu¸ tr×nh d¹y häc, gi¸o viªn cÇn chó ý cho häc sinh thêng xuyªn thùc hiÖn c¸c yªu cÇu sau: - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶, kiÓm tra l¹i suy luËn. - Xem xÐt ®Çy ®ñ c¸c trêng hîp cã thÓ x¶y ra cña bµi to¸n. - T×m c¸ch gi¶i kh¸c cña bµi to¸n: Mét bµi to¸n thêng cã nhiÒu c¸ch gi¶i, häc sinh thêng cã nh÷ng suy nghÜ kh¸c nhau tríc mét bµi to¸n, vµ kÕt qu¶ lµ cã nhiÒu lêi gi¶i ®éc ®¸o vµ s¸ng t¹o. V× vËy, gi¸o viªn cÇn lu ý ®Ó ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh trong viÖc t×m lêi gi¶i gän, hay cña mét bµi to¸n. Tuy nhiªn còng kh«ng nªn qu¸ thiªn vÒ lêi gi¶i hay, lµm cho häc sinh trung b×nh vµ kÐm ch¸n n¶n. 2. Thùc tr¹ng viÖc d¹y häc gi¶i To¸n ë trêng phæ tr«ng hiÖn nay 6 Thùc tÕ d¹y häc phÇn bµi tËp ë c¸c trêng phæ th«ng hiÖn nay cã thÓ ®îc m« t¶ nh sau: Gi¸o viªn cho häc sinh chuÈn bÞ ë nhµ hoÆc chuÈn bÞ Ýt phót t¹i líp, sau ®ã gäi mét vµi häc sinh lªn b¶ng ch÷a, nh÷ng häc sinh kh¸c nhËn xÐt lêi gi¶i, gi¸o viªn söa hoÆc ®a ra lêi gi¶i mÉu vµ qua ®ã cñng cè kiÕn thøc cho häc sinh. Mét sè bµi to¸n sÏ ®îc ph¸t triÓn theo híng kh¸i qu¸t hãa, ®Æc biÖt hãa, t¬ng tù hãa cho ®èi tîng häc sinh kh¸ giái. ViÖc rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh kh«ng ®Çy ®ñ, thêng chó ý ®Õn viÖc rÌn luyÖn kh¶ n¨ng suy diÔn, coi nhÑ kh¶ n¨ng quy n¹p. Gi¸o viªn Ýt khi chó ý ®Õn viÖc d¹y To¸n b»ng c¸ch tæ chøc c¸c t×nh huèng cã vÊn ®Ò ®ßi hái dù ®o¸n, nªu gi¶ thuyÕt, tranh luËn gi÷a nh÷ng ý kiÕn tr¸i ngîc hay c¸c t×nh huèng cã chøa mét sè ®iÒu kiÖn xuÊt ph¸t råi yªu cÇu häc sinh ®Ò xuÊt c¸c gi¶i ph¸p. HÇu hÕt c¸c gi¸o viªn cßn sö dông nhiÒu ph¬ng ph¸p thuyÕt tr×nh vµ ®µm tho¹i chø cha chó ý ®Õn nhu cÇu, høng thó cña häc sinh trong qu¸ tr×nh häc. II. Nh÷ng vÊn ®Ò ®îc nªu trong ®Ò tµi 1. HÖ thèng ho¸ một số phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình và bất phương trình. 2. HÖ thèng ho¸ c¸c ph¬ng ph¸p båi dìng tư duy s¸ng t¹o cho häc sinh. 3. Đề xuất một số biện pháp s ph¹m nh»m bồi dưỡng c¸c yếu tố của tư duy sáng tạo th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh. 4. TiÕn hµnh thùc nghiÖm s ph¹m nh»m ®¸nh gi¸ tÝnh kh¶ thi, tÝnh hiÖn thùc, tÝnh hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi. B, Néi dung I. Chñ ®Ò ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ë trêng tHPT 1. Giíi thiÖu hÖ thèng kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh lµ mét trong nh÷ng néi dung c¬ b¶n cña ch¬ng tr×nh m«n To¸n ë nhµ trêng phæ th«ng. Nh÷ng vÊn ®Ò lÝ luËn nh kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh; quan hÖ t¬ng ®¬ng ®èi víi hai ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh; ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh ®îc ®a dÇn ë møc ®é thÝch hîp víi tõng bËc, líp ®i lªn theo vßng trßn xo¸y tr«n èc tõ líp 8 7 ®Õn líp 12. §ång thêi häc sinh còng ®îc dÇn dÇn lµm viÖc víi tõng lo¹i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh thÝch øng víi n¨ng lùc nhËn thøc To¸n häc cña häc sinh. ë ®Çu bËc Trung häc phæ th«ng, cô thÓ lµ s¸ch gi¸o khoa §¹i sè 10, N©ng cao, häc sinh ®îc häc vÒ ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh víi c¸c kh¸i niÖm chung vµ ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai mét Èn sè. NÕu kh«ng nghiªn cøu kü th× cã thÓ ®a ra kÕt luËn: kiÕn thøc nµy lµ sù tr×nh bµy l¹i nh÷ng g× mµ häc sinh ®· ®îc lµm quen ë bËc trung häc c¬ së. Thùc chÊt ë ®©y cã sù lÆp l¹i vÒ h×nh thøc nhng l¹i cã sù kh¸c biÖt vÒ néi dung. §Õn ®Çu líp 11, S¸ch gi¸o khoa tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh lîng gi¸c. §©y lµ sù tiÕp nèi m¹ch kiÕn thøc vÒ hµm sè luîng gi¸c vµ c¸c c«ng thøc lîng gi¸c ®· ®îc häc tõ cuèi líp 10. Tuy nhiªn so víi s¸ch chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000 th× c¸c kiÕn thøc ë m¶ng nµy ®îc tr×nh bµy ®¬n gi¶n h¬n: ChØ giíi thiÖu vµ nªu c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n; ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai ®èi víi mét hµm sè lîng gi¸c; ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai, vµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx. Cßn ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx còng nh bÊt ph¬ng tr×nh lîng gi¸c ®îc ®a vµo phÇn ®äc thªm. Nh vËy ch¬ng tr×nh míi phï hîp víi tinh thÇn gi¶m t¶i cña Bé GD&§T ®· ®Ò ra. §Õn ch¬ng tr×nh líp 12, S¸ch gi¸o khoa ®· ®a ra ®Þnh nghÜa vµ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ logarit, ®©y còng lµ d¹ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cuèi cïng ®îc tr×nh bµy trong ch¬ng tr×nh To¸n trung häc phæ th«ng. 2. C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh + Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh ®a thøc vµ ph©n thøc: §èi víi d¹ng to¸n ph¬ng tr×nh ®a thøc vµ ph©n thøc, th× c¸c ph¬ng tr×nh “c¬ b¶n” ®îc tr×nh bµy trong ch¬ng tr×nh lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ ph¬ng tr×nh bËc hai. Th«ng thêng, c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh kh¸c, trong qu¸ tr×nh gi¶i ®Òu ®a vÒ c¸c d¹ng c¬ b¶n trªn. V× vËy S¸ch gi¸o khoa ®· nªu thuËt gi¶i chi tiÕt ®Ó gi¶i c¸c lo¹i ph¬ng tr×nh ®ã. Bªn c¹nh ®ã, nh»m môc ®Ých phôc vô cho viÖc kh¶o s¸t hµm sè ë líp 12, nªn tõ líp 10, S¸ch gi¸o khoa còng ®· ®a ra ph¬ng tr×nh bËc ba vµ ph¬ng tr×nh bËc bèn. 8 Ph¬ng tr×nh bËc ba ®îc nªu ra trong ch¬ng tr×nh chñ yÕu lµ c¸c ph¬ng tr×nh ®Æc biÖt, cã thÓ t×m ra mét nghiÖm nguyªn mét c¸ch t¬ng ®èi dÓ dµng, sau ®ã häc thùc hiÖn phÐp ph©n tÝch ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai. Ph¬ng tr×nh bËc bèn chØ giíi thiÖu d¹ng trïng ph¬ng, b»ng c¸ch ®Æt Èn phô sÏ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai. §èi víi c¸c bµi tËp bÊt ph¬ng tr×nh ®a thøc vµ ph©n thøc, th× kiÕn thøc vÒ xÐt dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt vµ tam thøc bËc hai l¹i lµ kiÕn thøc c¬ b¶n. BÊt ph¬ng tr×nh ®a thøc vµ ph©n thøc tæng qu¸t ®îc gi¶i b»ng c¸ch chuyÓn tÊt c¶ c¸c h¹ng tö vÒ mét vÕ, ph©n tÝch thµnh thõa sè bËc nhÊt hoÆc bËc hai råi lËp b¶ng xÐt dÊu ®Ó lÊy nghiÖm. VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh x 2x 1  x  1 2x  3 Gi¶i: Ta cã bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng B¶ng xÐt dÊu vÕ tr¸i: x 1 4 -1  1-4x x+1 2x-3 VÕ tr¸i 1  4x x 2x 1 0  0 � ( x  1)(2 x  3) x  1 2x  3  +   + + +   0 || Ta ®îc nghiÖm -1 < x < 1 4 ; x> 0 0  +  + 3 2 0 ||  + +  3 2 + Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi: §Ó gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, cÇn kh¾c s©u cho c¸c u A �0 �A, n� u A0 � A, n� em häc sinh ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi |A| = � Vµ c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¬ b¶n: 1) |f (x)| = |g (x)|  f2 (x)=g2 (x)  f (x) = g(x) 9 �f 2 ( x )  g 2 ( x) �f ( x )  �g ( x)  � 2) |f (x)|= g (x)  � �g ( x) �0 �g ( x ) �0 3) |f (x)|< α  - α < f (x) < α (α >0) �f ( x)   |f (x)|> α  � (α >0) �f ( x)   4) |f (x)| < |g (x)|  f2 (x) < g2 (x) g ( x)  0 � � �g ( x) �0 5) |f (x)| > g (x)  � �2 2 � �f ( x)  g ( x) � �g ( x)  0 6) f (x)| < g (x)  �  g ( x)  f ( x)  g ( x) � VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 x  x  2  1  0 NhËn xÐt: §èi víi d¹ng to¸n nµy, trong ch¬ng tr×nh to¸n trung häc phæ th«ng, thêng cã c¸c ®Þnh híng nh sau: + Thø nhÊt, nÕu dïng c«ng cô lµ ®Þnh nghi· gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, ta cã bµi to¸n t¬ng ®¬ng nh sau: NÕu x ≥2 ph¬ng tr×nh trë thµnh x +1 = 0  x = -1 (kh«ng tháa m·n). NÕu x <2 ph¬ng tr×nh trë thµnh 3x - 3 = 0  x = 1 (tháa m·n). VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1. + Thø hai, nÕu dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, ta cã: Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng x  2  2 x  1 1 §iÒu kiÖn: 2x - 1≥0  x ≥ 2 B×nh ph¬ng hai vÕ, ta cã: (x - 2)2 = (2x - 1)2  x2 = 1  x = 1 §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn x ≥ 1 2 , ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 1. + Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh v« tØ Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa biÓu thøc v« tØ cña Èn. 10 §Ó gi¶i d¹ng to¸n nµy, cÇn cho häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc: cã nghÜa  A 0 2k A 2k A 0 víi mäi A 0 Vµ cÇn ¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¬ b¶n sau ®©y: 1) 2) 3) 2 k 1 f ( x)  g ( x) � f ( x)  g 2 k 1 ( x) 2k  f ( x )  g ( x) 2 k f ( x)  g ( x )    g ( x ) 0 2 k 1 4) 2k f ( x) 2 k 1 g ( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)    g(x) 0 2k 5) �f ( x) �0 f ( x)  g ( x ) � � �f ( x)  g ( x) 6) �f ( x) �0 � f ( x)  g ( x) � �g ( x)  0 �f ( x)  g 2 ( x ) � � �f ( x)  0 � � �g ( x)  0 � 7) f ( x)  g ( x ) � � �g ( x) �0 � � 2 � �f ( x)  g ( x) � + Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ logarit Tõ ®Þnh nghÜa c¸c hµm sè mò vµ hµm sè l«garit, víi mäi a > 0 vµ a ≠ 1 ta cã c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng nh sau: 1) af (x)=b  f (x) = logab (b>0) 2) af (x)=ag (x)  f (x) = g(x) 3) logaf (x) = b  f (x) = ab 11 �f ( x )  g ( x ) �f ( x )  0 4) logaf (x) = logag (x)  � 5) a >1: af (x) g (x) �f ( x)  0 7) a >1: logaf (x) - Xem thêm -