Tài liệu Rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ THANH THUỶ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học (Bộ môn Toán học) Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. BÙI VĂN NGHỊ HÀ NỘI - 2010 1 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy PGS.TS Bùi Văn Nghị đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Em xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu cho em trong thời gian học cao học vừa qua. Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, công tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Xin gửi lời biết ơn đến gia đình nhỏ của em, nơi đã cho em thêm niềm tin và động lực để tập trung học tập và nghiên cứu. Hải Phòng, ngày 10 tháng 12 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thủy 2 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 1. BĐT Bất đẳng thức 2. CM Chứng minh 3. GT Giả thiết 4. GTLN Giá trị lớn nhất 5. GTNN Giá trị nhỏ nhất 6. GV Giáo viên 7. HS Học sinh 8. KL Kết luận 9. mp Mặt phẳng 10. THPT Trung học phổ thông 11. TXĐ Tập xác định 3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1 2. Lịch sử nghiên cứu .................................................................................. 1 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu.............................................................................. 2 5. Mẫu khảo sát ........................................................................................... 2 6. Vấn đề nghiên cứu................................................................................... 3 7. Giả thuyết khoa học ................................................................................ 3 9. Cấu trúc luận văn .................................................................................... 3 Chƣơng 1: KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ......................................................... 4 1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán ............................................. 4 1.1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán........................................... 4 1.1.2. Điều kiện để có kĩ năng ..................................................................... 4 1.1.3. Các mức độ của kĩ năng giải toán ..................................................... 5 1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ............................. 5 1.2.1. Mục tiêu dạy học môn toán ............................................................... 5 1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT .........6 1.3. Giải bài tập toán học ........................................................................... 6 1.3.1. Vai trò của bài tập toán học .............................................................. 6 1.3.2. Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách ................................ 7 1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức ...................................................................................................... 8 1.4.1. Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số ................................................................... 8 1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức ................................................................................... 8 1.4.3. Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN, 4 GTNN .......................................................................................................... 8 1.4.4. Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức ......................................................................10 1.5. Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá,giỏi ...........11 1.6. Định hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ..............................................................................................................11 1.6.1. Quy trình hình thành kĩ năng ............................................................11 1.6.2. Những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh .........................................................................12 1.7. Tóm tắt chương 1 .................................................................................13 Chƣơng 2: GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH .................................................................................................14 2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số ...................................................14 2.2. Dạng biểu thức chỉ chứa một biến .......................................................17 2.3. Dạng biểu thức chứa hai biến...............................................................29 2.4. Dạng biểu thức có từ ba biến số trở lên .............................................54 2.5. Dạng biểu thức lượng giác ...................................................................82 2.6. Dạng hình học ......................................................................................93 2.7. Tóm tắt chương 2 .................................................................................95 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................97 3.1. Mục đích, tổ chức thực nghiê ̣m sư pha ̣m .............................................97 3.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm .............................................................97 3.3. Đánh giá kế t quả thực nghiê ̣m sư pha ̣m ...............................................112 3.4. Tóm tắt chương 3 .................................................................................117 KẾT LUẬN ................................................................................................118 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................119 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông của chúng ta là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc ”. Về phương pháp giáo dục, cần phải “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [12, chương 1] Môn Toán là môn học công cụ, giữ một vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT. Trong đó các bài toán về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất là những bài toán yêu cầu cao ở học sinh về tư duy, về kĩ năng. Song, đối với học sinh thì dạng toán này là một trong những dạng toán khó, cần phải chú ý và có những biện pháp để rèn luyện kĩ năng giải dạng toán này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này. Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT”. 2. Lịch sử nghiên cứu Hiện nay đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này, nhưng chủ yếu nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng cho HS trong giải toán Hình học. Một số trong những đề tài đó là: “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ của Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ năng giải các 1 bài toán thiết diện của các hình không gian trong chương trình Hình học PT" - luận văn thạc sĩ của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, "Rèn luyện kĩ năng giải toán về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông ", luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Định, K3, ĐHGD - ĐHQG HN, năm 2010 v.v.... Đề tài này khác những đề tài nói trên về chủ đề cần rèn luyện và đối tượng học sinh. Đó là chủ đề tìm GTLN, GTNN và đối tượng là HS khá, giỏi cuối cấp THPT. Sở dĩ chúng tôi chọn đối tượng là HS khá, giỏi cuối cấp THPT, bởi vì, có ở cuối cấp thì các em mới biết được nhiều phương pháp giải dạng toán này. Hơn nữa, như chúng tôi đã trình bày ở trên, đây là dạng toán khó, nên với HS khá, giỏi là phù hợp hơn. 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu + Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện có hiệu quả kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS. + Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu hệ thống lí luận về kĩ năng giải toán, giải bài tập toán học. - Nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp tìm GTLN, GTNN. - Nghiên cứu và đề xuất một giải pháp rèn luyện có hiệu quả kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS khá, giỏi cuối cấp THPT. - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: là quá trình dạy học tìm GTLN, GTNN ở trường THPT. + Phạm vi nghiên cứu: là các bài toán tìm GTLN, GTNN ở trường THPT. + Khách thể nghiên cứu: là HS khá, giỏi cuối cấp THPT. 5. Mẫu khảo sát Một số lớp 12, trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng. 2 6. Vấn đề nghiên cứu + Các kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức? + Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT? 7. Giả thuyết nghiên cứu Giải pháp quan trọng cho việc nâng cao kĩ năng giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thông là việc hệ thống hóa được các dạng toán, các kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và có biện pháp thích hợp rèn luyện cho học sinh. 8. Phƣơng pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng giải toán, về dạy học giải bài tập toán học. + Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học nội dung tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, về kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở lớp cuối cấp THPT. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở một số lớp chuyên, chọn cuối cấp THPT, đánh giá kết quả thực nghiệm, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa của đề tài. 9. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Kĩ năng giải toán Chương 2. Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 3 CHƢƠNG 1 KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán 1.1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán Tùy theo các phương diện nhìn nhận khác nhau về kĩ năng: xét về tâm lí, hành vi, hay xét theo năng lực vận dụng, hành động, hay xét theo phương diện giáo dục, mà có những cách định nghĩa khác nhau về kĩ năng. Theo giáo trình Tâm lí học đại cương: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”; “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”; “ Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. (dẫn theo [7]) Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm: Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức (khái niệm, định lí, thuật giải, phương pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Như vậy, tri thức (bao gồm cả tri thức sự vật, tri thức phương pháp) là cơ sở của kĩ năng. Từ quan niệm về kĩ năng, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán như sau: Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được. KÜ n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n cña HS lµ kh¶ n¨ng sö dông cã môc ®Ých, s¸ng t¹o nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc ®· häc ®Ó gi¶i bµi tËp to¸n häc. 1.1.2. Điều kiện để có kĩ năng Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải: 4 - Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động. - Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó. - Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra. - Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau. - Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài. 1.1.3. Các mức độ của kĩ năng giải toán KÜ n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n häc có thể chia thành ba møc ®é kh¸c nhau: - BiÕt lµm: vËn dông được lÝ thuyÕt ®Ó gi¶i nh÷ng bµi tËp c¬ b¶n, h×nh thµnh c¸c thao t¸c c¬ b¶n nh-: viÕt c¸c ®¹i l-îng theo ng«n ng÷ to¸n häc, viÕt chÝnh x¸c c«ng thøc, kÝ hiÖu, tÝnh gi¸ trÞ dùa vµo c«ng thøc; n¾m ®-îc quy tr×nh gi¶i mét dạng to¸n nµo ®ã t-¬ng tù nh- bài mÉu. - Thµnh th¹o: gi¶i nhanh, ng¾n gän, chÝnh x¸c bài toán theo c¸ch gi¶i đã biết, trong những hoàn cảnh mới, điều kiện mới tương tự nh- bµi đã biết; gi¶i được nh÷ng bµi tËp tæng hîp, phøc t¹p, ®a d¹ng. - MÒm dÎo, linh ho¹t, s¸ng t¹o: đ-a ra ®-îc nh÷ng c¸ch gi¶i ng¾n gän, cách chuyển hóa vấn đề khéo léo, cách giải quyết vấn đề ®éc ®¸o. 1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 1.2.1. Mục tiêu dạy học môn toán Mục tiêu dạy học môn Toán nằm trong mục tiêu giáo dục nói chung "Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Theo [12]). Mục tiêu dạy học môn Toán là: 5 - Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực. - Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS. - Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên. - Tạo cơ sở để HS tiếp tục học CĐ, ĐH, TCCN, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. Các mục tiêu thể hiện sự toàn diện, thống nhất và có quan hệ mật thiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau: tri thức là cơ sở để thực hiện các mục tiêu khác; trong các mục tiêu thì mục tiêu phát triển trí tuệ là quan trọng nhất; thông qua hoạt động mà rèn luyện kĩ năng, củng cố tri thức. 1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT Việc rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau: + Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trình. + Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ. Cụ thể là phát triển: - Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác. - Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian. - Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái quát hóa .... - Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo. 1.3. Giải bµi tËp to¸n häc 1.3.1. Vai trò của bài tập toán học Theo [11] bµi tËp cã vai trß quan träng trong bé m«n to¸n. Th«ng qua viÖc gi¶i bµi tËp häc sinh ph¶i thùc hiÖn nh÷ng ho¹t ®éng nhÊt ®Þnh bao gåm c¶ nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn ®Þnh nghÜa, ®Þnh lí nh÷ng ho¹t ®éng to¸n häc phøc hîp, nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ phæ biÕn trong to¸n häc, nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ chung vµ nh÷ng ho¹t ®éng ng«n ng÷. Nh÷ng bµi tËp còng thÓ hiÖn 6 nh÷ng kh¶ n¨ng kh¸c nhau h-íng ®Õn viÖc thùc hiÖn c¸c môc tiªu d¹y häc m«n to¸n: H×nh thµnh, cñng cè tri thøc kÜ n¨ng kÜ x¶o ë nh÷ng kh©u kh¸c nhau cña qu¸ tr×nh d¹y häc, kÜ n¨ng øng dông to¸n häc vµo thùc tiÔn ; ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ ; Båi d-ìng thÕ giíi quan duy vËt biện chứng.... Thông qua bài tập, giáo viên có thể hoµn chØnh hay bæ sung nh÷ng tri thøc nµo ®ã ®· ®-îc tr×nh bµy trong phÇn lý thuyÕt. Điều quan trọng hơn cả là thông qua bài tập giáo viên sẽ rèn luyện các kĩ năng giải toán cho học sinh. CÇn ®Æt cho häc sinh c©u hái gîi ý ®óng t×nh huèng ®Ó häc sinh dÇn biÕt sö dông nh÷ng c©u hái nµy nh- c«ng cô kÝch thÝch sù t×m tßi, ph¸t hiÖn ®Ó thùc hiÖn tõng b-íc cña ph-¬ng ph¸p chung gi¶i to¸n. 1.3.2.Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách ViÖc ®i s©u vµo t×m hiÓu nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau cho mét bµi to¸n cã vai trß to lín trong viÖc rÌn luyÖn kÜ n¨ng, cñng cè kiÕn thøc, rÌn luyÖn trÝ th«ng minh, ãc s¸ng t¹o cho häc sinh. Cã thÓ thÊy râ ®iÒu ®ã trong c¸c t¸c dông sau: - Nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau cña mét bµi to¸n gãp phÇn h×nh thµnh vµ cñng cè cho häc sinh vÒ tÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝnh sè häc, vÒ quan hÖ gi÷a c¸c phÐp tÝnh sè häc. - Trong qu¸ tr×nh t×m ra nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau, häc sinh cã dÞp suy nghÜ ®Õn nh÷ng khÝa c¹nh kh¸c nhau cña bµi to¸n, tõ ®ã sÏ hiÓu s©u h¬n vÒ c¸c mèi quan hÖ trong bµi to¸n ®ã, n¾m v÷ng vµ cñng cè c¸c kiÕn thøc cã liªn quan. - ViÖc t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau sÏ gióp häc sinh cã dÞp so s¸nh c¸c c¸ch gi¶i ®ã, chän ra ®-îc c¸ch hay h¬n vµ tÝch luü ®-îc nhiÒu kinh nghiÖm ®Ó gi¶i to¸n. - ViÖc t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i còng gãp phÇn rÌn luyÖn ®øc tÝnh kiªn tr×, tiÕt kiÖm, v× tõ nhiÒu c¸ch gi¶i Êy häc sinh cã thÓ chän ra ®-îc con ®-êng ng¾n nhÊt ®Ó ®i tíi ®Ých, kh«ng véi b»ng lßng víi viÖc t×m ra con ®-êng ®Çu tiªn. - Qu¸ tr×nh t×m tßi nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau cña bµi to¸n còng lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn trÝ th«ng minh, ãc s¸ng t¹o vµ kh¶ n¨ng suy nghÜ linh ho¹t cho häc sinh. 7 1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1.4.1. Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số + Dựa vào bất đẳng thức + Dựa vào khảo sát hàm số + Tìm tập giá trị Giả sử cần tìm GTLN, GTNN của biểu thức y  f ( x) với x thuộc tập số D , ta tìm các giá trị của y làm cho phương trình f ( x)  y  0 có nghiệm x thuộc D . Từ tập giá trị này ta chỉ ra được GTLN, GTNN của biểu thức. 1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức + Phương pháp sử dụng bất đẳng thức + Phương pháp khảo sát hàm số + Phương pháp Hình học hóa + Phương pháp Lượng giác hóa 1.4.3. Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN 1.4.3.1. Những bất đẳng thức cơ bản có trong SGK: BĐT tam giác: Với 3 điểm bất kỳ A; B; C ta có: AB  AC  BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC AB  AC  BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc B thuộc đoạn AC hoặc C thuộc đoạn AB . BĐT lượng giác: sin   1; cos   1 .  n   * : sin n   sin  ; co sn   co s  tan   cot   2 ; tan 2   cot 2   2   k BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối: 8  2 Với hai số thực bất kì a; b ta có: a  b  a  b ; a  b  a  b . Dấu "  " xảy ra  ab  0 1.4.3.2. Những BĐT mở rộng BĐT Cô-si : xi  0 i  1; n : 1  x1  x2  ...  xn   n x1x2...xn . n Dấu "  " xảy ra  xi  x j i; j  1; n, i  j BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski : Cho 2n số thực ai ; xi (i  1; n) ,ta có:  a1x1  a2 x2  ...  an xn  2   a12  a2 2  ...  an 2  x12  x2 2  ...  xn 2  . Dấu "  " xảy ra  t   : xi  t.ai i  1; n BĐT Trê-bư-sép : Cho hai dãy số cùng tăng ( hoặc cùng giảm ): a1  a2  ...  an ; x1  x2  ...  xn Ta có:  a1  a2  ...  an  x1  x2  ...  xn   n  a1x1  a2 x2  ...  an xn  .  a  a  ...  a n Dấu "  " xảy ra   1 2  x1  x2  ...  xn Trong chương trình phổ thông: - Ta chỉ được sử dụng BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhia-côp-ski (đối với n  2 hoặc n  3 ). - Khi cần dùng BĐT Trê-bư-sep (đối với n  2 hoặc n  3 ) , ta phải chứng minh lại trước khi dùng. 1.4.3.3. Một số hệ quả của BĐT Cô-si     xi  0 i  1, n ; 1 1 1 n2   ...   x1 x2 xn x1  x2  ...  xn  xi  0 i  1, n ; 1  x1 1  x2  ... 1  xn   1  n x1 x2 ...xn 9  n   xi  0 i  1, n ; 1 1 1 n   ...   n 1  x1 1  x2 1  xn 1  x1 x2 xn Dấu "  " xảy ra  xi  x j i; j  1; n, i  j 1.4.3.4. Một số hệ quả của BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski a 2  b2  c 2  d 2  a  c2  b  d 2 . Dấu "=" xảy ra x 2 y 2 z 2 x  y  z     a b c abc 2  ad  bc a, b, c  0 . Dấu "=" xảy ra  x y z   a b c 1.4.4. Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức - Các phương pháp chứng minh BĐT là các phương pháp chủ yếu sử dụng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức và ngược lại. - Về cơ bản hai dạng toán này có thể chuyển hóa cho nhau. Tuy nhiên cũng có những điểm khác nhau: Có thể tìm GTLN, GTNN theo những cách khác nhau (tìm tập giá trị, khảo sát hàm số), trong đó có cách sử dụng BĐT. Ngược lại, có những cách chứng minh BĐT không liên quan gì đến bài toán tìm GTLN, GTNN, như BĐT: 1 + 1 1 1   ...   n  1 (với n > 2). 2 3 n - Về yêu cầu: Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì bắt buộc phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào, còn bài toán chứng minh BĐT không nhất thiết phải làm điều đó. Ví dụ: CM: a2  1  0 a   và Tìm GTLN, GTNN của biểu thức  a 2  1 . - Bài toán chứng minh BĐT là bài toán có thể đưa về bài toán so sánh một biểu thức với một số đã biết (chứng minh a  b tức là so sánh  a  b  với số 0 ), còn trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức, ta phải so sánh biểu thức đó với một số chưa biết mà ta phải tìm. Nếu dự đoán được số là GTLN, GTNN của biểu thức thì bài toán sẽ trở thành bài toán chứng minh BĐT. Tuy nhiên, như đã trình bày ở trên: bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì 10 bắt buộc phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào, còn bài toán chứng minh BĐT không nhất thiết phải làm điều đó. 1.5. Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi Những HS khá, giỏi thường có một số đặc điểm chung về phong cách học tập như sau: + Thể hiện rõ những đặc điểm của tư duy toán học. Theo Viện sĩ B.V. Gờ-nhe-den-cô (1964), những đặc điểm của tư duy toán học (theo[17]) là : - Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh - Sự cô đọng - Sự chính xác của các kí hiệu - Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận - Thói quen lí lẽ đầy đủ về lôgic. + Thể hiện được những nét độc đáo của tư duy toán học. Theo A.Ia. Khin-chin (1961), những nét độc đáo của tư duy toán học, là: - Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế - Khuynh hướng tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích - Phân chia rành mạch các bước suy luận - Sử dụng chính xác các kí hiệu - Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận. + Thường ngại tính toán, không thích làm đi làm lại những điều đã biết nếu không có gì mới. HS khá giỏi thường suy nghĩ nhanh và hiệu quả, nhưng thường ngại tính toán cụ thể, không thích lặp đi lặp lại những kiểu làm nhàm chán. 1.6. Định hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 1.6.1. Quy trình hình thành kĩ năng Theo chúng tôi, quy trình hình thành kĩ năng giải toán nói chung, kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau: 11 Bước 1: Hướng dẫn HS giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có phân tích phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho HS những điểm cần thiết. Bước 2: HS tự rèn luyện kĩ năng giải toán theo hệ thống bài toán có chủ định của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó khăn, thiếu sót cho HS. Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải toán ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn. 1.6.2. Những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh §Ó h×nh thµnh kÜ n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n häc cho HS, gi¸o viªn cÇn thùc hiÖn tèt c¸c vÊn ®Ò sau: - X¸c ®Þnh tõng kÜ n¨ng cô thÓ trong hÖ thèng kÜ n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n häc cho HS THPT vµ møc ®é cña nã ë mçi líp häc, cÊp häc t-¬ng øng. - X¸c ®Þnh hÖ thèng bµi tËp to¸n häc t-¬ng øng chñ yÕu ®Ó HS luyÖn tËp kÜ n¨ng gi¶i c¸c bµi tËp c¬ b¶n, bµi tËp tæng hîp. - X©y dùng s¬ ®å ®Þnh h-íng kh¸i qu¸t, c¸c thuật toán gi¶i mçi dạng, lo¹i bµi tËp - H-íng dÉn häc sinh ho¹t ®éng t×m kiÕm lêi gi¶i, bµi tËp mÉu vµ bµi tËp t-¬ng tù nh»m gióp HS n¾m ®-îc s¬ ®å ®Þnh h-íng gi¶i bµi tËp to¸n häc nãi chung vµ mçi bµi tËp cô thÓ nãi riªng. - Sö dông hÖ thèng bµi tËp sau mçi bµi, mçi ch-¬ng ®Ó gióp HS luyÖn tËp theo mÉu, kh«ng theo mÉu, th-êng xuyªn vµ theo nhiÒu h×nh thøc gi¶i kh¸c nhau. - Chú ý đến tính hệ thống của các kĩ năng. Có những dạng kĩ năng khác nhau: KÜ n¨ng vận dụng đúng lÝ thuyÕt, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kÜ n¨ng thùc hµnh c¸c phÐp biÕn ®æi... Nhưng các kÜ n¨ng này kh«ng đứng độc lập mà nằm trong một hệ thống. C¸c kÜ n¨ng cã mèi liªn hÖ chÆt chÏ với nhau, kÜ n¨ng nµy lµ c¬ së h×nh thµnh kÜ n¨ng kia vµ ng-îc l¹i viÖc h×nh thµnh kÜ n¨ng sau l¹i cñng cè rÌn luyÖn kÜ n¨ng tr-íc ®ã.... 12 1.7. Tóm tắt chƣơng 1 Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến kĩ năng giải toán nói chung và kĩ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức nói riêng. Những vấn đề đó là: Quan niệm về kĩ năng và kĩ năng giải toán; Điều kiện để có kĩ năng; Các mức độ của kĩ năng giải toán; Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS ở trường THPT; Vai trò của bài tập toán học. Chương này cũng tóm tắt những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, gồm: Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Dựa trên những căn cứ lí luận trên, đồng thời căn cứ vào những đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi, chúng tôi xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS sẽ trình bày trong chương 2, thông qua quy trình ba bước hình thành kĩ năng giải toán nói chung, kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS và những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho HS. 13 CHƢƠNG 2 GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH Trong chương trình này chúng tôi trình bày việc rèn luyện kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh theo từng dạng khác nhau. Trong mỗi dạng sẽ sử dụng một số phương pháp như đã xác định ở mục 1.4 chương 1. Chúng tôi trình bày theo cấu trúc như vậy một mặt để thuận lợi cho việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh theo từng bài, mặt khác mỗi dạng có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau. Mỗi phần nhỏ sẽ được trình bày theo ba bước như đã xác định ở mục 1.6 chương 1. 2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của f  x    x3  3x 2  2 trên mỗi tập hợp D cho dưới đây: a. D  1;4 b. D  1;4  c. D  1;4 d. D  1;4  Lời giải: a. TXĐ: R, D  1;4  R, D là khoảng đóng. f '  x   3x 2  6 x  x  0  1;4 f ' x   0    x  2  1;4 max f  x   max  f 1 , f  2  , f  4    max  4;6; 14   6  f  2  x1;4 min f  x   min  f 1 , f  2  , f  4    min  4;6; 14   14  f  4  x1;4 b, c, d. TXĐ: D  1;4  ; 1;4; 1;4  - là khoảng không đóng. x  0 f '  x   3x 2  6 x; f '  x   0   x  2 14 Bảng biến thiên:  x 3 1 f ' x  +  4  0 6 f  x 14 4 +KL: max  6  f  2  ,max  6  f  2  ,max  6  f  2  x1;4  x1;4 x1;4  b. f 1  4  lim f  x   14   min f  x  x1;4  x4 c. f  4   14  lim f  x   4  min f  x   14  f  4  x1;4 x1 d.  min f  x  x1;4  x2  3 Ví dụ 2. Tìm GTLN, GTNN của y  2 x x2 Lời giải: Cách 1: Dựa vào định nghĩa tập giá trị của hàm số. y  1  lim y ; y '  Cách 2: TXĐ:  ; xlim  x  t  3  f '(t ) x  1 ; y'  0    x  3  x2  x  2  x2  2 x  3 2  1 0 + 1 0  2 f (t ) 1 6 7 15