Tài liệu Rèn luyện kỹ năng giải bài toán cho học sinh thông qua dạy học chương tổ hợp và xác suất lớp 11 trung học phổ thông ( ban nâng cao )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VƯƠNG THÙY DUNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO) LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Vũ Đình Hòa HÀ NỘI - 2012 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………… 2. Lịch sử nghiên cứu …………………………………………………. 3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu …………………………..…….... 4. Phạm vi nghiên cứu…………………………………………….…… 5. Mẫu khảo sát………………………………………………..………. 6. Vấn đề nghiên cứu…………………………………………...……… 7. Giả thuyết khoa học…………………………………………………. 8. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………. 9. Những đóng góp của luận văn………………………………………. 10. Cấu trúc luận văn………………………………………………….. Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI………………………… 1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán…………………………………….... 1.1.1. Khái niệm kỹ năng……………………………………………..… 1.1.2. Kỹ năng giải toán……………………………………………….... 1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán…………………………………….. 1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán………………………………. 1.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”…………………………………………… 1.2.1. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”………………………………............ 1.2.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải toán chương “Tổ hợp và xác suất”……………………………………… Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA CHƢƠNG “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO) THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN…………………………………………………………… 2.1. Nội dung chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)………………………………………………………….. 2.1.1. Mục tiêu, nhiệm vụ và cấu tạo của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) ……………………………. 3 1 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 6 7 8 9 9 10 19 19 19 2.1.2. Những chú ý khi dạy và học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)……………………………………. 2.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua một số bài tập về tổ hợp …. 2.2.1. Kỹ năng sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân ………………… 2.2.2. Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp không lặp ………………. 2.2.3. Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp lặp ……………………… 2.2.4. Kỹ năng giải các bài toán hoán vị ……………………………...... 2.2.5. Kỹ năng tính toán tổ hợp không lặp ……………………………... 2.2.6. Kỹ năng tính toán tổ hợp lặp …….………………………………. 2.2.7. Kỹ năng giải các bài toán liên quan nhị thức Newton …………... 2.3. Một số bài tập về xác suất …………...…………………………….. 2.3.1. Các bài toán cơ bản sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất …... 2.3.2. Các bài toán sử dụng quy tắc tính xác suất ……………………… 2.3.3. Các bài toán tính xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc .. 2.4. Một số bài tập nâng cao …………………………...……………..... 2.4.1. Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp nâng cao …………. 2.4.2. Các bài toán về xác suất có điều kiện ………………………….... Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM…………………………….. 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ….……………... 3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm …………………………...... 3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ……………………………. 3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ………………………………. 3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ……………………… 3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm …..………………. 3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ………..………………………... 3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm ………………………….………. 3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm ……..……………………………… 3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ……………….. 3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm ………………………….……….. 3.6. Tổng kết …………………………………………………………… KẾT LUẬN CHUNG …………………………………........................ TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………. 4 21 22 23 35 41 43 51 55 57 64 64 70 76 85 85 92 98 98 98 98 98 99 99 100 100 101 101 103 108 109 110 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học học sinh có vai trò quan trọng vì: đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu. Các kiến thức về Tổ hợp và xác suất đang ngày càng trở nên quan trọng đối với mỗi con người trong xã hội hiện đại. Vì vậy, ở nhiều quốc gia, Tổ hợp và xác suất đã được giảng dạy trong trường phổ thông từ lâu nhưng với mức độ rất khác nhau. Ở nước ta, trong sách giáo khoa năm 2000 chỉ có tổ hợp mà không có xác suất. Thực tế, xác suất mới chỉ được đưa vào chương trình phổ thông từ năm 2007 (không kể đến chương trình thí điểm phân ban năm 1995). Trong chương trình Toán phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông cũng như đề thi Đại học. Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó. Các bài toán tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn 1 đạt một cách đầy đủ. Nội dung xác suất có khá nhiều khái niệm mới và khó. Nếu học sinh không nắm chắc các khái niệm thì không thể hiểu được các công thức tính xác suất. Các bài toán về xác suất rời rạc có liên quan chặt chẽ đến vấn đề tổ hợp. Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải các bài toán tổ hợp tốt thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán xác suất rời rạc. Mục đích của chương “Tổ hợp và xác suất” là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung tổ hợp thường gặp trong đời sống và khoa học. Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp của mình là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)”. 2.Lịch sử nghiên cứu Ở nước ta, có nhiều nhà toán học nghiên cứu về tổ hợp, xác suất như: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Phan Huy Khải, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng [10, 13], … Tuy nhiên, những nghiên cứu đó đơn thuần là các kết quả chuyên môn. Ngoài ra, các thầy giáo như: GS. Nguyễn Cảnh Toàn, GS. Nguyễn Bá Kim [11, 12, 16], … cũng đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn Toán. Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh mới chỉ là lý luận chung nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài. Bên cạnh đó cũng có một số luận văn, khóa luận nghiên cứu về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội dung Toán học như: đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp vectơ, … Và cũng có một số luận văn nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua nội dung tổ hợp, nhưng chưa hề có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua nội dung xác suất rời rạc. Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” ở một số trường trung học phổ 2 thông trong giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, xin được trình bày một vấn đề rất hẹp và cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông. 3.Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao). 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. - Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học chương “Tổ hợp và xác suất”. - Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý luận khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”. - Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp dụng vào giảng dạy. 4.Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 3/2011 đến nay, cùng với 4 năm kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh Cao Bằng và trường THPT Cao Bình - Thị xã Cao Bằng - Tỉnh Cao Bằng. - Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao). 5.Mẫu khảo sát Giáo viên tổ Toán và học sinh thuộc các trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh Cao Bằng và trường THPT Cao Bình, thị xã Cao Bằng, tỉnh Cao Bằng. 3 6.Vấn đề nghiên cứu Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét: - Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán? - Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán là gì? - Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”. - Trong dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” cần rèn luyện những kỹ năng giải toán nào? 7.Giả thuyết khoa học Nếu rèn luyện được các kỹ năng giải toán cần cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) thì sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học môn Toán. 8.Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến môn học. - Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao); chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm. - Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) của các giáo viên. 4 - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh Cao Bằng và trường THPT Cao Bình, thị xã Cao Bằng, tỉnh Cao Bằng; cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm. - Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi điều tra. 9.Những đóng góp của luận văn - Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. - Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao). - Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao). - Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT. 10.Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương như sau: Chƣơng 1. Cơ sở lý luận của đề tài Chƣơng 2. Xây dựng hệ thống bài tập của chƣơng “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) theo hƣớng rèn luyện kỹ năng giải toán Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm 5 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán 1.1.1. Khái niệm kỹ năng Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [16, tr426]. Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [4, tr149]. Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [8, tr131]. Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới. 1.1.2. Kỹ năng giải toán Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản. Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học sinh. Khi học môn Toán, kỹ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt cần thiết, bởi vì nếu không có kỹ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề. Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giải toán: 6 Phương pháp gián tiếp. Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán. Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh. Phương pháp trực tiếp. Giáo viên soạn thành những bài giảng về những kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết. 1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành. Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn luyện kỹ năng giải toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: - Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán. - Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại. - Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng. 7 Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau: - Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức. - Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán. - Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh. 1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán 1.1.4.1. Kỹ năng nhận thức Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả năng nắm một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc. 1.1.4.2. Kỹ năng thực hành Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn. 1.1.4.3. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích. 1.1.4.4. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân. 8 Các tác giả: Nguyễn Bá Kim [11, 12], Vũ Dương Thụy, … đã xét kỹ năng tự kiểm tra đánh giá trên các phương diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống. 1.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chƣơng “Tổ hợp và xác suất” 1.2.1. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” Đối với giáo viên - Khi dạy lý thuyết Giáo viên không khó khăn để tạo được không khí học tập sôi nổi, hào hứng cho học sinh qua các ví dụ thực tế. Dạy định nghĩa, công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất thì giáo viên phải thuyết trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác. Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi và vẽ hình minh họa cho các quá trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng. Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví dụ ứng dụng trong thực tế. Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần xác suất. - Khi dạy bài tập Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh. Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập trên lớp cho học sinh không nhiều. Đối với học sinh - Khi học lý thuyết 9 Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học. Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu. Những học sinh trung bình thì chưa thể phân biệt được ngay sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý thuyết. Một số học sinh do chưa nắm vững được kiến thức về tổ hợp nên khi học sang nội dung xác suất gặp rất nhiều khó khăn để nắm bắt kiến thức. - Khi học bài tập Học sinh ở mức trung bình chưa biết phân biệt được bài toán khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp. Học sinh có học lực khá giỏi đôi khi vẫn lúng túng trong việc thiết kế các công đoạn chọn lựa hoặc tìm mối quan hệ giữa các khái niệm toán học để đưa về bài toán tổ hợp. Khi mới học, thậm chí đã học qua nhưng học sinh vẫn thường không biết diễn đạt ý hiểu của mình nên trình bày còn dài dòng, phức tạp, khó hiểu. Hầu như học sinh đều thấy khó rút kinh nghiệm, phương pháp làm bài và rất dễ quên khi chuyển sang học phần kiến thức mới. 1.2.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải toán chương “Tổ hợp và xác suất” - Sau khi học xong bài “Hai quy tắc đếm cơ bản”, lúc vận dụng, nhiều học sinh hay nhầm lẫn giữa cách sử dụng quy tắc nhân với quy tắc cộng [14]. Chẳng hạn, trong bài toán sau: Bài toán. Trong một lớp học có 20 nam và 23 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn hai học sinh: một bạn nam và một bạn nữ đi dự Đại hội. Hỏi giáo viên chủ nhiệm đó có bao nhiêu cách chọn? Phân tích. Sai lầm phổ biến học sinh thường mắc phải khi giải bài toán này là dùng quy tắc cộng cho rằng có 20 23 43 (cách chọn). Thực ra ở đây 10 phải dùng quy tắc nhân, tức là có 20.23 460 (cách chọn). (Nếu giáo viên chủ nhiệm chỉ được chọn một học sinh đi dự Đại hội thì ta mới áp dụng quy tắc cộng). Khi đó giáo viên chủ nhiệm đó có 20 23 43 (cách chọn). - Khó khăn, sai lầm tiếp theo của học sinh gặp phải là một bài toán không biết khi nào sử dụng tổ hợp, khi nào sử dụng chỉnh hợp. Tuy nhiên, khó khăn này sẽ nhanh chóng được giải quyết nếu học sinh để ý bản chất của tổ hợp là sắp xếp tùy ý không có thứ tự, còn chỉnh hợp thì có thứ tự. Ta xét bài toán sau: Bài toán. Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn ra 6 học sinh (3 nam và 3 nữ) để ghép thành 3 đôi biểu diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép? Lời giải 1. Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là A123 cách. Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là A103 cách. Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ theo yêu cầu bài toán là A123 . A103 cách. Lời giải 2. Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là C123 cách. Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là C103 cách. Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ theo yêu cầu bài toán là C123 .C103 cách. Lời giải 3. Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là C123 cách. Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là C103 cách. Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) là C123 .C103 cách. Vì một đôi có hai bạn (1 nam, 1 nữ) nên chọn ra 1 nam (trong 3 nam) và 1 nữ (trong 3 nữ) thì có 3.3 9 cách. Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ theo yêu cầu bài toán là 9.C123 .C103 cách. Lời giải 4. Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là C123 cách. Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là C103 cách. 11 Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) là C123 .C103 cách. Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép giữa các đôi này với nhau (là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc của 3 học sinh nữ). Vậy số cách chọn thỏa mãn là 3!.C123 .C103 cách. Phân tích. Quan sát các lời giải trên ta thấy: ở lời giải 1 - rõ ràng là sai vì bài toán không yêu cầu xếp thứ tự; lời giải 2 - thiếu số cách chọn để ghép thành các đôi; lời giải 3 - thoạt nhìn thì có vẻ như đúng, tuy nhiên ở bước cuối đã nhầm lẫn việc chọn ra 3 đôi với việc chỉ đơn thuần chọn ra 1 nam và 1 nữ; lời giải 4 - là lời giải đúng. - Một sai lầm nữa mà học sinh hay vấp phải là: “Các phần tử còn lại tùy ý trong tập còn lại”. Xin nêu ra một số bài toán đơn giản nhưng lại có nhiều cách giải như sau: Bài toán 1. Một nhóm 5 học sinh A, B, C, D, E . Cần chọn ra 3 học sinh thì có bao nhiêu cách chọn? Lời giải 1. Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh A, B, C, D, E là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử. Do đó số cách chọn là C53 cách. Lời giải 2. Trước tiên, chọn 1 học sinh thì có C51 cách. Tiếp theo chọn 1 học sinh trong 4 học sinh còn lại có C41 cách. Cuối cùng chọn 1 học sinh trong 3 học sinh còn lại có C31 cách. Vậy có tất cả C51 . C41 . C31 cách chọn. Lời giải 3. Đầu tiên, chọn 1 học sinh thì có C51 cách. Tiếp theo chọn 2 học sinh còn lại trong 4 học sinh có C42 cách. Vậy có tất cả C51 . C42 cách chọn. Lời giải 4. Đầu tiên, chọn 2 học sinh thì có C52 cách. Tiếp theo chọn 1 học sinh còn lại trong 3 học sinh có C31 cách. Vậy có tất cả C52 . C31 cách chọn. 12 Phân tích. Dễ dàng nhận thấy lời giải 1 là lời giải đúng. Nếu thế sai lầm là gì khiến các lời giải còn lại đều sai? Bây giờ, xin phân tích sai lầm của lời giải 2: Trước tiên, khi chọn 1 học sinh trong 5 học sinh thì sẽ có 5 cách chọn. Nếu lần đầu chọn A (còn lại B, C, D, E ), lần 2 chọn B (còn lại C, D, E ), lần 3 chọn C thì ta chọn được 3 học sinh là A, B, C . Nếu lần đầu chọn B (còn lại A, C, D, E ), lần 2 chọn C (còn lại A, D, E ), lần 3 chọn A thì ta cũng chọn được 3 học sinh là A, B, C . Như vậy số cách chọn ra 3 học sinh A, B, C đã bị lặp. Với cách giải thích tương tự như trên ta chỉ ra được sự sai lầm của lời giải 3 và lời giải 4. Bài toán 2. Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm 6 học sinh sao cho có ít nhất 2 học sinh nữ? Lời giải 1 (trực tiếp). Chia cụ thể các trường hợp: Trường hợp 1. Chọn ra 2 nữ, 4 nam thì có C152 .C304 cách. 3 Trường hợp 2. Chọn ra 3 nữ, 3 nam thì có C153 .C30 cách. Trường hợp 3. Chọn ra 4 nữ, 2 nam thì có C154 .C302 cách. 1 Trường hợp 4. Chọn ra 5 nữ, 1 nam thì có C155 .C30 cách. Trường hợp 5. Chọn ra 6 nữ thì có C156 cách. 3 Vậy có tất cả C152 .C304 C153 .C30 C154 .C302 1 C155 .C30 C156 cách chọn. Lời giải 2 (gián tiếp). 6 Bước 1. Chọn ra 6 học sinh bất kỳ thì có C45 cách. 5 Bước 2. Chọn ra 5 học sinh nam, 1 học sinh nữ có C30 .C151 cách. Bước 3. Chọn ra 6 học sinh nam thì có C306 cách. 6 Vậy số cách chọn thỏa mãn là C45 13 C305 .C151 C306 cách. Lời giải 3. Bước 1. Chọn ra 2 học sinh nữ (vì có ít nhất là 2 nữ) có C152 cách. 4 Bước 2. Chọn ra 4 học sinh còn lại trong 43 học sinh có C43 cách. (Khi đó 6 học sinh được chọn luôn thỏa mãn có ít nhất 2 học sinh nữ) 4 Vậy có tất cả C152 . C43 cách chọn. Phân tích. Ta dễ dàng nhận thấy rằng lời giải 1 và lời giải 2 đều đúng, còn lời giải 3 sai. Có thể phân tích như sau: giả sử bước 1 ta chọn 2 học sinh nữ A và B, bước 2 ta chọn tiếp 4 học sinh trong đó lại có 2 học sinh nữ C, D và 2 học sinh nam a, b; khi đó 6 học sinh được chọn là A, B, C, D, a, b. Sau đó, với cách khác, chẳng hạn bước 1 ta chọn 2 học sinh nữ là A và C, rồi bước 2 ta chọn 4 học sinh trong đó có 2 học sinh nữ là B, D và 2 học sinh nam a, b thì cuối cùng ta vẫn chọn được 6 học sinh là A, B, C, D, a, b. Như vậy: 2 cách chọn như trên chỉ là một. - Đôi khi, học sinh mắc phải sai lầm “Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp”. Sau đây, xét hai bài toán sau: Bài toán 1. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu hỏi dễ, 7 câu hỏi trung bình và 4 câu hỏi khó. Cần chọn ra 10 câu hỏi để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra? Lời giải. 10 Loại 1. Chọn 10 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có C20 cách. Loại 2. Chọn 10 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán (tức là có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó). Trường hợp 1. Chọn 10 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có C1610 cách. 14 10 Trường hợp 2. Chọn 10 câu hỏi dễ và khó trong 13 câu hỏi có C13 cách. Trường hợp 3. Chọn 10 câu hỏi trung bình và khó trong 11 câu hỏi 10 có C11 cách. 10 Vậy có tất cả C20 C1610 C1310 C1110 176451 đề kiểm tra. Phân tích. Dễ dàng nhận thấy lời giải của bài toán trên là lời giải đúng. Tuy nhiên, ta xét thêm bài toán sau chỉ thay đổi một chút so với bài toán trên là thay vì chọn ra 10 câu hỏi thì chọn ra 7 câu hỏi. Với sự thay đổi đó có thể gây sai lầm cho học sinh. Bài toán 2. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu hỏi dễ, 7 câu hỏi trung bình và 4 câu hỏi khó người ta chọn ra 7 câu hỏi để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra? Lời giải 1. 7 Loại 1. Chọn 7 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có C20 cách. Loại 2. Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 1. Chọn 7 câu hỏi dễ trong 9 câu hỏi có C97 cách. Trường hợp 2. Chọn 7 câu hỏi trung bình có 1 cách. Trường hợp 3. Chọn 7 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có C167 cách. Trường hợp 4. Chọn 7 câu hỏi dễ và khó trong 13 câu hỏi có C137 cách. Trường hợp 5. Chọn 7 câu hỏi trung bình và khó trong 11 câu hỏi có C117 cách. 7 Vậy có tất cả C20 1 C97 C167 C137 C117 63997 đề kiểm tra. Lời giải 2. 7 Loại 1. Chọn 7 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có C20 cách. 15 Loại 2. Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 1. Chọn 7 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có C167 cách. Trường hợp 2. Chọn 7 câu hỏi dễ và khó trong 13 câu hỏi có C137 cách. Trường hợp 3. Chọn 7 câu hỏi trung bình và khó trong 11 câu hỏi có C117 cách. 7 Vậy có tất cả C20 C167 C137 C117 64034 đề kiểm tra. Lời giải 3. 7 Loại 1. Chọn 7 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có C20 cách. Loại 2. Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 1. Chọn 7 câu hỏi chỉ có 1 loại (là 1 loại dễ hoặc trung bình) thì có C97 C77 cách. Trường hợp 2. Chọn 7 câu hỏi có đủ 2 loại: Dễ và trung bình (trong 16 câu hỏi dễ và trung bình thì khi chọn ra 7 câu hỏi thì 7 câu hỏi đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc 1 loại) thì có C167 C77 C97 cách. Dễ và khó thì có C137 C97 cách. Trung bình và khó thì có C117 C77 cách. 7 Vậy có tất cả C20 C167 C137 C97 C117 1 64071 đề kiểm tra. Phân tích. Với cách thay đổi chọn ra 10 câu hỏi bởi việc chỉ chọn ra 7 câu hỏi thì đã khiến cho học sinh mắc phải những sai lầm. Đối với bài toán 1 khi chọn ra 10 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu thì chắc chắn ta phải chọn 2 loại câu hỏi (dễ và trung bình, dễ và khó hoặc trung bình và khó); còn trong bài toán 2 việc chọn ra 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu thì có thể xảy ra trường hợp chỉ chọn 1 loại câu hỏi (dễ hoặc trung bình). 16 Trong 3 lời giải được đưa ra cho bài toán 2 thì chỉ có lời giải 1 là lời giải đúng. Lời giải 2 thì xét thiếu trường hợp chọn 7 câu hỏi chỉ thuộc 1 loại, còn lời giải 3 thì lại xét lặp trường hợp 7 câu hỏi chỉ thuộc 1 loại. - Thỉnh thoảng, khi gặp các bài toán chỉnh hợp lặp hay tổ hợp lặp thì học sinh mắc phải lỗi là đếm lặp lại các cách chọn của bài toán. Ta xét một ví dụ cụ thể như sau: Bài toán. Nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh trong đó có ít nhất một nữ. Lời giải 1. Chọn 1 học sinh nữ trong 3 học sinh nữ, có C31 cách. Sau đó, chọn 2 học sinh trong số 6 học sinh còn lại, có C62 cách. Vậy có tất cả C31C62 45 cách chọn. Lời giải 2. Số cách chọn 3 học sinh từ 7 học sinh là C73 35 cách chọn. Số cách chọn 3 học sinh mà không có nữ (là số cách chọn 3 học sinh từ 4 học sinh nam) là: C43 4 cách chọn. Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C73 C43 35 4 31 . Phân tích. Lời giải 1 sai ở chỗ đã đếm đi đếm lại cùng một cách chọn. Chẳng hạn có 7 học sinh 1,2,3,4,5,6,7 , trong đó 1,2,3,4 là các học sinh nam, 5,6,7 là các học sinh nữ. Theo cách đếm ở lời giải 1 thì các cách chọn 6, 1,5 và 5, 1,6 đã được đếm thành hai cách khác nhau (thực ra đó là một). Như vậy cách giải đúng là lời giải 2. - Đa số học sinh chưa phân biệt được vấn đề: “Hai tổ hợp khác nhau khi và chỉ khi có một phần tử của tổ hợp này không là phần tử của tổ hợp kia. Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi: hoặc có một phần tử của chỉnh hợp này không là phần tử của chỉnh hợp kia, hoặc các phần tử của chúng như nhau 17