Tài liệu Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học nội dung lượng giác ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ HOÀNG CÚC RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG LƢỢNG GIÁC Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2013 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC LƢỢNG GIÁC Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Tiến sĩ Lê Phê Đô HÀ NỘI – 2013 2 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 1. ĐPCM 2. GTLN 3. GTNN 4. THPT 5. VT 6. VP Điều phải chứng minh Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Trung học phổ thông Vế trái Vế phải 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Ngày nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách và lâu dài là nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Tầm quan trọng đó đặt lên vai những người làm công tác giáo dục và dạy học nhiều trách nhiệm nặng nề. Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và nổi bật. Công việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước. Ở trường phổ thông dạy toán học là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Như vậy việc hướng dẫn cho học sinh giải toán là một trong những khâu then chốt, chiến lược trong quá trình dạy học môn toán. Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh chúng ta học môn toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó. 4 Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việc tìm lời giải cho bài toán đối với rất nhiều học sinh là rất khó khăn , không thể tự tim ̀ đường lố i giải được . Quá trình tìm đường lối giải có tính chất quan trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán. Quá trình này là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo - một khả năng không thể thiếu đối với một người giải toán. Lươ ̣ng giác là mô ̣t trong những phân môn quan tro ̣ng và chiế m nhiề u thời lươ ̣ng trong chương trình Toán bâ ̣c THPT . Lươ ̣ng giác đươ ̣c ứng du ̣ng rấ t nhiề u trong viê ̣c giải phương trình , hê ̣ phương trình , bấ t phương trình ; ứng dụng trong tính tích phân bằ ng phương pháp đổ i biế n số … Các em được rèn luyện nhiều trong việc biến đổi các công thức lượng giác và giải phương trình lươ ̣ng giác . Tuy nhiên giải các bài toán lượng giác vẫn còn là vấn đề tương đối khó và lúng túng đối với đại đa số học sinh cả về tư duy và cách tìm ra lời giải của bài toán. Chính vì những điều trên đây, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là: “ Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học nội dung lƣợng giác ở trƣờng trung học phổ thông.” 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất một số biện pháp sư phạm hướng vào việc phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong điều kiện và hoàn cảnh hiện nay nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong trường trung học phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận phương pháp dạy học tìm tòi lời giải các bài toán. 5 - Đề ra một số biện pháp sư phạm nhằm giúp rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác, từ đó nâng cao năng lực giải toán cho học sinh THPT - Thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài. 4. Giả thuyết nghiên cứu Các biện pháp sư phạm hợp lý nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác nếu được vận dụng tốt sẽ có vai trò quyết định trong việc rèn luyện phương pháp suy luận và khả năng tư duy của học sinh trong toàn bộ quá trình dạy toán và học toán từ đó góp phần nâng cao chất lượng học toán ở trường THPT. 5. Các phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán - Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp - Nghiên cứu tài liệu tham khảo, các báo và tạp chí - Thực nghiệm sư phạm 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài. Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học lượng giác ở trường trung học phổ thông. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 6 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Dạy học giải bài tập toán 1.1.1 Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán học Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh… Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu. Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn Toán, bài tập mang các chức năng sau: Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào giải quyết các tình huống cụ thể. Có khi bài tập là một định lí vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết cho nên qua việc giải bài tập học sinh còn mở rộng được tầm hiểu biết của mình. Với chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. 7 Với chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. Với chức năng kiểm tra: Bài tập đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh. Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập. Các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội dung và phương pháp khai thác lời giải của nó. Điều đó định hướng cho việc lựa chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập một cách tùy hứng hoặc chỉ chủ trọng đến số lượng thuần túy. Tóm lại người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những chức năng đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình. 1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán: Để phát huy tác dụng và khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải. a) Lời giải không có sai lầm: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét, kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp học sinh kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo các 8 phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm. Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì “ con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (Polya 1975). Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh không nắm vững các định nghĩa, định lí, quy tắc… vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện ấy hạn chế phạm vi tác dụng của chúng. Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong tính toán, không ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài. b) Lập luận phải có căn cứ chính xác: Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức… đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí. c) Lời giải phải đầy đủ: Điều này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết nào. Nó cũng có ý nghĩa là lời giải phải không thừa, không thiếu. Muốn vậy cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn luôn suy xét và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còn trường hợp nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa? Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham biến, những bài toán đòi hỏi phải biện luận… Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí. Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán, 9 điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” ( Polya 1975 ) 1.1.3 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G. Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình dạy học giải bài tập toán. Đó là lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán chứ không phải là những bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán. Tiếp thu những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về cách thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người không đi đến kết quả. Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò của việc này. Không có thuật toán nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tời nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán. “ Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Polya, 1975 ). Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo 4 bước: - Tìm hiểu nội dung của bài toán - Xây dựng chương trình giải - Thực hiện chương trình giải - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải 10 a) Tìm hiểu nội dung bài toán: Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó. Vì thế người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học sinh và giúp các em hiểu bài toán phải giải. Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu toán bộ bài toán, tránh vội vàng đi vào ngay các chi tiết. Tiếp theo, phải phân tích bài toán: cái gì đã cho, cái gì chưa biết? có mối liên hệ nào giữa cái phải tìm và cái đã cho? … Chẳng hạn cho bài toán: Biết tan(a+b) = 5 và tan(a-b) = 3. Tính tan2a và tan 2b. Hãy chú ý xem xét bài toán, chưa nên vội vàng khai triển tan(a+b) và tan(a-b) ( mặc dù cũng đi đến kết quả nhưng dài và phức tạp ). Ta đã biết tan(a+b) và tan(a-b), phải tính tan2a và tan2b thì ta xem góc 2a và 2b có mối quan hệ gì với các góc đã cho là a+b và a-b. Điểm mấu chốt đó được khám phá: 2a = (a+b)+(a-b) Do đó việc tính tan2a = tan [(a+b)+(a-b)] rồi sử dụng giả thiết ta sẽ được kết quả phải tìm. b) Xây dựng chương trình giải: Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc… ) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc một bài toán khái quát của bài toán đã cho … Ví dụ cho bài toán: Chứng minh rằng ba cạnh a, b, c của một tam giác bất kì thỏa mãn bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) 11 Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác. Hãy huy động những định lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác: a>b–c a b2 + c2 – 2bc Tương tự ta có: b2 > c2 + a2 – 2ca c2 > a2 + b2 – 2ab cộng từng vế và ước lược ta sẽ có điều phải chứng minh. Hãy tiếp tục thử với bất đẳng thức thứ 2, nếu được ta sẽ có cách giải khác, bằng không thì cũng là một bước luyện tập. Nếu làm như trên thì ta được : a2 + b2 + c2 > - ( ab + bc + ca ) là điều hiển nhiên nhưng không phải là điều cần chứng minh. Thử chọn phép biến đổi khác, để xuất hiện bình phương của mỗi cạnh, nhân 2 vế của bất đẳng thức với a ta được : a2 < ab + ac tương tự : b2 < ab + bc c2 < ac + bc cộng các vế và ước lược ta lại có điều cần chứng minh. Như vậy ta lại có được cách giải khác. Trong quá trình giải toán, có khi ta phải biến đổi bài toán, thay điều phải chứng minh hay cái phải tìm bằng cái tương đương, phát biểu bài toán dưới 12 một dạng khác… Việc tìm tòi lời giải bài toán nhiều khi đạt được bằng cách xét một bài toán tương tự. c) Thực hiện chương trình giải: Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: Cần phải luyện tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán, xem xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là các bài toán có đặt điều kiện hay phải biện luận. Đồng thời cũng nâng dần yêu cầu đi sâu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Việc kiểm tra lại kết quả phải yêu cầu học sinh tiến hành thường xuyên. Chẳng hạn, khi giải một phương trình sau khi tìm được nghiệm, học sinh phải đối chiếu lại với điều kiện đã nêu hoặc thay vào phương trình đã cho để đánh giá kết quả. Đặc biệt đối với phương trình lượng giác, học sinh thường dễ mắc sai lầm khi kiểm tra nghiệm hoặc loại nghiệm. Ví dụ: Cho phương trình sinx + cosx = cos2x 2 Có học sinh giải như sau: Điều kiện: cos2x ≠ 0 tức là x   4 k  2   Thay sin x  cosx  2 cos x   phương trình rồi ước lược ta được: 4    cos x    cos2x 4     2x  k2  x    x    k2  4   x    k 2  12 3 4 (1) (2) 13 Giá trị (1) của x không thỏa mãn điều kiện đã nêu nên bị loại, vậy nghiệm của phương trình là (2). Trong cách giải này học sinh đã tiến hành kiểm tra lại nghiệm nhưng chưa triệt để. Nhìn hình thức thì dễ ngộ nhận cho rằng các giá trị ở (2) đều thỏa mãn điều kiện đã nêu. Với phương tiện đơn giản là đường tròn đơn vị, cần lưu ý học sinh biểu diễn cả điều kiện lẫn các giá trị (2) trên đó mới thấy trong các giá trị này phải loại đi những trường hợp ứng với k = 1, 4, 7, …nghĩa là nghiệm của phương trình có dạng: x  Hoặc viết theo cách khác: x   12  12 k 2 với k  1  3t ( t nguyên ) 3  k2 ; x   7  k2 12 Cần phải nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán hay chưa, nhất là bài toán có liên quan đến những đối tượng hay quan hệ có nhiều khả năng xảy ra hoặc bài toán có chứa tham biến. Bằng cách này sẽ dần dần luyện tập cho học sinh thói quen nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện, theo nhiều khía cạnh, tránh phiến diện, hời hợt. Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất. Ví dụ: Xét bài toán Cho a, b là các góc nhọn, dương và cosa  Học sinh thường khai triển  11  cos(a  b)  cosa cosb  sin asin b 14 14 1 11 , cos(a  b)   . Tính cosb? 7 14 1 1 48 Rồi thay cosa  , sin a  1  và thay sin b  1  cos2b ( vì a, b  7 49 7 là các góc nhọn dương ) để được: 1 48 11 cosb  1  cos2b   7 7 4 Đặt x = cosb > 0 sẽ đi đến phương trình: 48 x 11 1  x2   7 7 4 Giải phương trình này ta được x  cosb  1 71 còn giá trị x   bị loại 2 98 Có một cách giải quyết khác. Hãy chú ý tìm mối quan hệ giữa góc b cần phải tính với các góc đã biết a và a + b. Đó chính là: b = ( a + b ) – a cho nên cosb = cos[( a + b ) – a ] = cos(a + b)cosa + sin( a + b )sina 1 1 48 thay cosa  , sin a  1  ,  7 49 7 cos(a  b)   75 11 , sin(a  b)  1  cos2 (a  b)  vào rồi ước lược ta 14 14 được ngay kết quả cosb  1.2 1 2 Tìm tòi lời giải bài toán trong hoạt động toán học, hoạt động giải toán của học sinh a) Hoạt động học toán của học sinh là hoạt động nhằm lĩnh hội các tri thức, khái niệm, kỹ năng giải quyết các vấn đề toán học. Nó bao gồm việc định hướng tìm tòi, lập kế hoạch thực hiện, bản thân hoạt động và kiểm tra hiệu quả của nó. Vấn đề tâm lý chủ yếu ở đây là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết và mong muốn hoàn thiện bản thân. Nếu sự hứng thú không được hình thành thì bản thân sự lĩnh hội sẽ diễn ra thấp hơn nhiều so với tiềm năng sẵn có ở học sinh. 15 Động cơ học toán đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung toán học, nghĩa là nắm vững các khái niệm, định lý, hệ quả, quy luật phát triển toán học, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn,… Động cơ này lại được cụ thể hóa thành từng nhiệm vụ học tập của hoạt động học toán. Để giải quyết nhiệm vụ đó, học sinh phải tiến hành một loạt các hành động với các thao tác tương ứng và được diễn ra theo các giai đoạn sau: - Tiếp nhận nhiệm vụ đề ra chương trình hành động. - Thực hiện các hành động và các thao tác tương ứng. - Điều chỉnh hoạt động học toán dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên, của sự tự điều chỉnh và tự kiểm tra của bản thân. - Phân tích các kết quả thu được của hoạt động học, từ đó dần hình thành được phương pháp học tập có hiệu quả cho mình. b) Trong hoạt động giải toán, hành động dự đoán chiếm vị trí trung tâm, nó xuất hiện sau khi đã hiểu kĩ đề bài, phải dự đoán giới hạn phạm vi đi tìm lời giải. Tiếp theo trong tư duy diễn ra hai hành động trí tuệ: động viên và tổ chức kiến thức. Động viên thường bắt đầu bằng thao tác nhận biết một số yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán và được tiếp tục bằng thao tác nhớ lại những yếu tố khác đã quen thuộc và có liên quan tới yếu tố vừa nhận biết. Hành động tổ chức bào hàm trong nó thao tác bổ sung và nhóm lại. Hành động tách biệt một chi tiết, một bộ phận ra khỏi cái tổng thể bao quanh nó nhằm tập trung chú ý vào chi tiết, bộ phận đó. Hành động kết hợp lại liên kết những chi tiết, bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong cái toàn thể. Có thể sử dụng sơ đồ của G. Polia để biểu thị mối quan hệ qua lại giữa các thành tố trên: Tách biệt Nhận biết Nhóm lại 16 Động viên Dự đoán Nhớ lại Tổ chức Bổ sung Kết hợp Trong đó hành động dự đoán đặt ở vị trí trung tâm của hình vuông, các cặp hành động trí tuệ đối lập nhưng thống nhất như: động viên – tổ chức, tách biệt – kết hợp được đặt ở các đỉnh đối nhau của hình vuông, các thao tác trí tuệ được đặt trên các cạnh của hình vuông ấy. Cơ chế hoạt động được tóm tắt như sau: từ những chi tiết được động viên đi đến cái toàn thể có tổ chức. Từ một tổ chức, một chi tiết phân biệt được tách ra để nghiên cứu rồi lại được liên kết lại với nhau có thể dẫn đến việc thay đổi quan niệm của người giải bài toán. Còn các thao tác trí tuệ sẽ xuất hiện khi người giải thực hiện các nhiệm vụ nhận thức. Trong quá trình giải toán, cứ một lần trí tuệ vận hành theo cơ chế trên là một lần người giải toán lại nhìn bài toán ở các khía cạnh khác nhau. Tất nhiên sẽ có lần kết quả của hoạt động không đem lại lời giải của bài toán nhưng đó cũng là bổ ích bởi ta loại bỏ được một con đường và hơn thế nữa, học sinh lại một lần nữa được rèn luyện năng lực giải toán. 1.3 Quan niệm về vấn đề dạy giải toán Bµi tËp to¸n häc rÊt ®a d¹ng vµ phong phó. ViÖc gi¶i bµi tËp lµ mét yªu cÇu quan träng ®èi víi mäi häc sinh. Cã thÓ chia bµi tËp to¸n häc ra lµm hai lo¹i: a) Lo¹i cã s½n thuËt to¸n. §Ó gi¶i lo¹i nµy häc sinh ph¶i n¾m v÷ng c¸c quy t¾c gi¶i ®· häc rÌn luyÖn kü n¨ng, kü x¶o. §©y lµ c¬ së quan träng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n. Yªu cÇu cho häc sinh lµ: 17 - N¾m v÷ng quy t¾c gi¶i ®· häc. - NhËn d¹ng ®óng bµi to¸n - Gi¶i theo quy t¾c ®· häc mét c¸ch thµnh th¹o b) Lo¹i ch-a cã s½n thuËt to¸n. Lo¹i bµi tËp nµy chiÕm sè l-îng kh¸ lín trong s¸ch gi¸o khoa vµ g©y cho häc sinh kh«ng Ýt khã kh¨n dÉn ®Õn t©m lý sî vµ ng¹i, thiÕu tù tin vµo kh¶ n¨ng cña m×nh. §©y lµ mét trë ng¹i lín cho ý chÝ tiÕn thñ v-¬n lªn trong häc tËp cña häc sinh. Do vËy khi d¹y häc sinh gi¶i bµi tËp, kh«ng chØ ®¬n thuÇn cung cÊp lêi gi¶i mµ quan träng h¬n lµ: D¹y cho häc sinh biÕt c¸ch suy nghÜ t×m ra con ®-êng hîp lý ®Ó gi¶i bµi to¸n. Tuy nhiên thực tế cho thấy hiện nay nhiều giáo viên vẫn chưa nhận thức rõ ràng việc này. Việc giảng dạy các bài toán cho học sinh gồm 2 nội dung chủ yếu là: tìm tòi lời giải các bài toán và giải các bài toán trong đó việc rèn khả năng giải các bài toán là thứ yếu trong công việc dạy toán bởi: - Dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khi chưa có phương hướng tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lời giải tốt. - Mặt khác, phải xem lao động trong khâu thực hiện các thao tác khi đã có phương hướng là lao động có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo lớn như lao động để tìm tòi phương hướng giải. - Ngoài ra, coi trọng khâu rèn luyện phương pháp và khả năng tìm tòi lời giải các bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng độc lập, sáng tạo. Những lý do đó đã chứng tỏ tính chất quyết định của khâu rèn luyện phương pháp tìm tòi lời giải các bài toán trong toàn bộ quá trình dạy giải toán. Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên 18 trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. 1.4 Các yêu cầu trong việc giảng dạy bài tập nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh Bài giảng không thể chỉ dừng lại ở mức độ trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và mạch lạc mà phải biết cách hướng dẫn học sinh thực hành việc giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm lời giải. Nói gọn lại là việc rèn luyện học sinh giải các bài toán trong các giờ bài tập phải làm tốt cả hai khâu: Tìm tòi lời giải và lời giải. Để làm tốt khâu giảng dạy phần tìm tòi lời giải cho học sinh, trước hết người học sinh cần phải tự rèn luyện để làm tốt yêu cầu đó. Vấn đề này thuộc về nhận thức. Cần xác định rằng nếu không có phần tìm tòi lời giải các bài toán khi giảng dạy thì vai trò của người thầy giáo chưa đáp ứng đúng yêu cầu. Việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cần tiến hành theo trình tự từ thấp đến cao: - Tập dần từ những bài toán dễ, không phải là lời giải mà là công việc tìm tòi lời giải đơn giản. - Từ các bài toán đã có lời giải hay, hãy thực hành việc tìm lời giải khi đã có lời giải bài toán đó. - Đến mức cao hơn, rèn luyện toàn bộ quá trình một cách đầy đủ. Từ một bài toán chưa có lời giải, tìm cách phân tích để tìm lời giải rồi đi đến giải bài toán đó. Tóm lại, việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán là một công việc khó khăn. Phải có thói quen tốt là khi nghiên cứu một bài toán thì phải bắt đầu từ quá trình tìm tòi lời giải. 19 1.5 Một số khả năng cần thiết góp phần rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán Quá trình dạy học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của học sinh. Lâu nay, chúng ta thường chú ý nhiều đến chất lượng của hoạt động dạy. Khi dự giờ, rút kinh nghiệm ta thường phân tích nhiều về khía cạnh hoạt động của thầy giáo ở trên lớp ( chất lượng bài giảng, khả năng lôi cuốn học sinh học tập, phong thái, cách trình bày bảng...). Điều đó là cần thiết vì giáo viên là người điều khiển, tổ chức quá trình dạy học. Nhưng việc ít quan tâm hoặc quan tâm không đầy đủ, sâu sắc đến hoạt động học của học sinh lại là một thiếu sót lớn. Nhân cách của học sinh, trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội. Vì vậy, cần thiết phải chú ý đến hoạt động học, trước hết phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng học tập bộ môn. Trong tâm lí – giáo dục người ta chia kỹ năng thành 4 nhóm: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức và kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá. Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán là một kĩ năng quan trọng trong kĩ năng thực hành bởi hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với mỗi học sinh. Nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của việc dạy học môn toán ở trường phổ thông. Kĩ năng vận dụng tri thức một cách có hiệu quả vào hoạt động giải toán của học sinh được huấn luyện trong quá trình họ tìm tòi lời giải của bài toán. Để làm được điều này, người học sinh cần rèn luyện các khả năng sau: a) Rèn luyện khả năng phân tích bài toán. Đó là việc xem xét, phân tích bài toán đã cho. Ở đây vấn đề quan trọng là biết cách nhìn bài toán. Phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy, lại phải nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ. Nhìn bài toán trong bối 20