Tài liệu Rèn kĩ năng giải hệ pt và hình phẳng oxy (phần 08)

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 8) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 x3 − 1 + 3x 2 − 3 ≥ 4 x3 + 6 x 2 − 8 ( x ∈ ℝ). Ví dụ 2: Giải bất phương trình 4 x 2 + 13x − 173 + 6 x − 5 ≥ 2 x 2 − x − 1 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm ( x ∈ ℝ) . D ( 2;0 ) . Điểm I là một điểm thuộc 1 1 1 + = , biết điểm C thuộc 2 2 DI DK 10 đường thẳng d : x − 2 y − 3 = 0 và có tung độ dương. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. cạnh AB , đường thẳng DI cắt đường thẳng BC tại K thoả mãn Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) , phân giác trong  15 3   3 7  và phân giác ngoài góc A cắt đường tròn ( C ) lần lượt tại điểm thứ 2 là M  ; −  ; N  − ; −  . Tìm 2  2 2  2 toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AB và BC lần lượt đi qua các điểm E ( 4;3) ; F ( 0;11) x 2 + 3x + 2 + x − 1 ≥ 3x 2 − 9 Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( x ∈ ℝ). Lời giải:  x 2 + 3x + 2 ≥ 0  ĐK:  x ≥ 1 ⇔ x ≥ 3 (*). Khi đó (1) ⇔ x 2 + 4 x + 1 + 2 x − 1. x 2 + 3x + 2 ≥ 3x 2 − 9  2 3 x ≥ 9 ⇔ 2 x 2 − 4 x − 10 − 2 ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x − 5 − ⇔ ( x 2 − 1) − 2 ( x + 2 ) − (x 2 − 1) ( x + 2 ) ≤ 0 ⇔ ( (x x2 −1 + x + 2 2 )( − 1) ( x + 2 ) ≤ 0 ) x2 −1 − 2 x + 2 ≤ 0 (2) Với (*) ⇒ x 2 − 1 + x + 2 > 0 khi đó ( 2 ) ⇔ x 2 − 1 − 2 x + 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − 1 ≤ 2 x + 2 ⇔ x 2 − 1 ≤ 4 ( x + 2 ) ⇔ x 2 − 4 x − 9 ≤ 0 ⇔ 2 − 13 ≤ x ≤ 2 + 13. Kết hợp với (*) ta được Đ/s: 3 ≤ x ≤ 2 + 13. 3 ≤ x ≤ 2 + 13. Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải bất phương trình x 2 − 2 x + 2 + 2 x + 3 ≥ 2 x 2 + 10 ( x ∈ ℝ). Lời giải: ĐK: x ≥ − 3 (*). Khi đó (1) ⇔ x 2 + 5 + 2 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2 ≥ 2 x 2 + 10 2 ⇔ x 2 + 5 − 2 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2 ≤ 0 ⇔ ( x 2 − 2 x + 2 ) + ( 2 x + 3) − 2 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2 ≤ 0 ⇔ ( x2 − 2 x + 2 − 2 x + 3 ) 2 ≤ 0 ⇔ x2 − 2x + 2 − 2x + 3 = 0 2 x + 3 ≥ 0 2 x + 3 ≥ 0 ⇔ x2 − 2 x + 2 = 2 x + 3 ⇔  2 ⇔ ⇔ x = 2 ± 5.  x − 2 x + 2 = 2 x + 3  x = 2 ± 5 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Kết hợp với (*) ta được x = 2 ± 5 thỏa mãn. Đ/s: x = 2 ± 5. Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có B ( 2;5 ) , N là điểm thuộc cạnh CD sao cho DN = 2 NC , gọi K là trọng tâm tam giác ABD, biết phương trình đường thẳng NK là: x + 3 y − 7 = 0 và điểm N có hoành độ dương. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD. Lời giải: Chứng minh tam giác NKB vuông cân tại K ( với K là trọng tâm tam giác ABD). Khi đó phương trình đường thẳng KB là: 3 x − y − 1 = 0 Do vậy K = KB ∩ KN ⇒ K (1; 2 ) . Gọi N ( 7 − 3t ; t ) ta có: KD 2 = KN 2 ⇔ ( 6 − 3t ) + ( t − 2 ) = 10 2 2 t = 3 ( loai ) 2 ⇔ (t − 2) = 1 ⇔  t = 1 ⇒ N ( 4;1) KN KC 1 1 Khi đó M  ;  , E là giao điểm của KN và AB ta có: = =2. KE KA 2 2    1 5 Do vậy NK = 2 KE ⇒ E  − ;  ⇒ AB : x − y + 3 = 0; AD : x + y − 1 = 0  2 2 Tìm được A ( −1; 2 ) ; D ( 2; −1) ; C ( 5; 2 ) . Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải bất phương trình x 2 − 8 x + 7 + 4 x − 3 ≤ 2 x 2 + 19 x − 143 ( x ∈ ℝ) . Lời giải.  x − 8x + 7 ≥ 0  Điều kiện  x − 3 ≥ 0 ⇔ x≥7.  2 2 x + 19 x − 143 ≥ 0 Bất phương trình đã cho tương đương với 2 x 2 − 8 x + 7 + 16 x − 48 + 8 ⇔8 ( x − 1)( x − 3). ( x − 1)( x − 7 )( x − 3) ≤ 2 x 2 + 19 x − 143 x − 7 ≤ x 2 + 11x − 102 ⇔ 8 x 2 − 4 x + 3. x − 7 ≤ x 2 − 4 x + 3 + 15 ( x − 7 ) Đặt ( ∗) x 2 − 4 x + 3 = u; x − 7 = v ( u > 0; v ≥ 0 ) , khi đó (*) trở thành 8uv ≤ u 2 + 15v 2 ⇔ ( u − 3v )( u − 5v ) ≥ 0 ⇔ ⇔ ( x 2 − 13 x + 66 )( x 2 − 29 x + 178 ) ≥ 0 u 2 − 3v 2 u 2 − 25v 2 . ≥0 u + 3v u + 5v (1) Do x 2 − 13 x + 66 > 0, ∀x ∈ ℝ; x 2 − 29 x + 178 > 0, ∀x ∈ ℝ nên (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm S = [ 7; +∞ ) . Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A ( −2; −1) , trực tâm H ( 2;1) và BC = 2 5 . Gọi D, E là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C. Biết trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng d : x − 2 y − 1 = 0 và DE đi qua điểm N ( 3; −4 ) . Viết phương trình BC. Lời giải: Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Gọi (C) là đường tròn tâm M đường kính BC. Gọi M ( 2t + 1; t ) ta có: ( C ) : ( x − 2t − 1) + ( y − t ) = 5 (1) . Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE khi đó đường tròn (T) đường kính AH: (T ) : x 2 + y 2 = 5 ( 2 ) Do 2 điểm D và E đều thoả mãn các phương trình (1) và (2) ( x − 2t − 1) 2 + ( y − t ) 2 = 5 Ta xét hệ  2 2  x + y = 5 2 2 ⇒ 2 ( 2t + 1) x + 2 yt − 1 − t 2 = 0 là phương trình đường thẳng DE. t = 5 ⇒ M (11;5 ) Do DE đi qua điểm N nên ta có: 6 ( 2t + 1) − 8t = 1 + t 2 ⇔  t = −1 ⇒ M ( −1; −1) 2 x + y + 3 = 0 Khi đó phương trình đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH có dạng   2 x + y − 27 = 0 Đ/s: 2 x + y + 3 = 0; 2 x + y − 27 = 0 . Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải bất phương trình 2 x + 1 + 3x 2 + 5 x − 2 ≥ 18 x 2 + 18 x − 5 ( x ∈ ℝ) . Lời giải.  x ≥ −1 1  Điều kiện 3 x 2 + 5 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 3  2 18 x + 18 x − 5 ≥ 0 Bất phương trình đã cho tương đương với 4 x + 4 + 3x 2 + 5 x − 2 + 4 ⇔4 Đặt ( x + 1)( 3x − 1). ( x + 1)( 3x − 1)( x + 2 ) ≥ 18 x 2 + 18 x − 5 x + 2 ≥ 15 x 2 + 9 x − 7 ⇔ 4 3 x 2 + 2 x − 1. x + 2 ≥ 5 ( 3 x 2 + 2 x − 1) − ( x + 2 ) (∗) 3x 2 + 2 x − 1 = u; x + 2 = v ( u ≥ 0; v > 0 ) thì (*) trở thành 4uv ≥ 5u 2 − v 2 ⇔ ( u − v )( 5u + v ) ≤ 0 ⇔ u ≤ v ⇔ 3 x 2 + 2 x − 1 ≤ x + 2 ⇔ 3x 2 + x − 3 ≤ 0 ⇔ − Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm 1 + 37 37 − 1 ≤x≤ 6 6 1 37 − 1 ≤x≤ . 3 6 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có ( C ) là đường tròn tâm  32 11  A bán kính AB, điểm K thuộc ( C ) , gọi E (1; 4 ) , F  ;  lần lượt là chân đường cao hạ từ D xuống  5 5 AK và từ K xuống CD. Viết phương trình cạnh AB biết D thuộc đường thẳng d : x − y = 0 . Lời giải:   Ta có: KDA = AKD ( do tam giác ADK cân tại K) Lại có  ADK =  AKF (so le trong) Từ đó chứng minh được ∆DEK = ∆DFK , từ đó suy ra E và F đối xứng nhau qua DK. Phương trình đường thẳng DK: 3 x − y − 8 = 0 . Khi đó D ( 4;4 ) do vậy phương trình đường thẳng AK qua E và vuông góc với DE là AK : x = 1 Phương trình đường thẳng AD qua D và vuông góc với DF là: 4 x − 3 y − 4 = 0 . Suy ra A = AB ∩ AK ⇒ A (1;0 ) Phương trình đường thẳng AB là: 3 x + 4 y − 3 = 0 Vậy AB : 3 x + 4 y − 3 = 0 là đường thẳng cần tìm. Đáp số: D ( 4; 4 ) ; C ( 8;1) ; A (1;0 ) ; B ( 5; −3) ; K (1; −5 ) . Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!