Tài liệu Rèn kĩ năng giải hệ pt và hình phẳng oxy (phần 04)

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 4) Thầy Đặng Việt Hùng  x + 2 y + 2 2x + y + x − y = 3 3 y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x2 − y + 1 1 − y + x =  2 y 2 − 3x + 2   x3 + x 2 + 2 x = y 3 + y 2 + 2 y + xy ( x − y ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   9 − x + 2 x − y + x ( y + 1) = 3 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đường thẳng AB đi qua điểm E ( −5; −1) . Gọi M , N ( 2; −2 ) lần lượt là trung điểm của BC và DC; H là giao điểm của AM và BN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB bằng 8 2 và 5 hoành độ điểm A không âm. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có điểm C (1;7 ) và nội tiếp đường tròn ( C ) tâm I .Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC tại điểm thứ 2 là K ( −2;6 ) , biết điểm I có hoành độ dương và đường thẳng AI đi qua E ( 0; 2 ) . Tìm toạ độ các đỉnh A, B. ( y + 1) x 2 + 3 = 4 + ( x + 1)( y − 1) (1)  Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  2  y + ( x − 1) + y ( y − 2 x ) = 1 + 3x −1 + x 2 + 3 (2) Lời giải  x + 3 ≥ 0 2 ĐK:  ⇔ ( x − 1) + y ( y − 2 x ) ≥ 0 (*) 2 ( x − 1) + y ( y − 2 x ) ≥ 0 2 Khi đó (1) ⇔ y x 2 + 3 + x 2 + 3 = 4 + xy − x + y − 1 ⇔y ⇔ ( ) x + 3 − x + x + 3 + x − y − 3 = 0 ⇔ y. 2 3y 2 −3+ x − y + x +3 = 0 ⇔ 2 x+ x +3 2 x2 + 3 − x2 x +3 + x 2 ( 3 y − x − x2 + 3 x+ x +3 2 − 3 + x − y + x2 + 3 = 0 )− (y−x− ) x2 + 3 = 0  y − x − x2 + 3 = 0  y = x + x2 + 3   3  ⇔ y− x− x +3  − 1 = 0 ⇔  ⇔ 3 2 = 1  x + x 2 + 3 = 3  x+ x +3   2 x + x + 3  ( • 2 ) 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x ≤ 3 TH1. x + x 2 + 3 = 3 ⇔ x 2 + 3 = 3 − x ⇔  2 ⇔ ⇔ x =1 2 ⇔  3 = 9 − 6 x x = 1  x + 3 = ( 3 − x ) Thế x = 1 vào (2) ta được y + y ( y − 2 ) = 1 + 1 + 2 Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn y ≤ 4 y ≤ 4 8 4 − y ≥ 0  y − 2y = 4 − y ⇔  2 ⇔ 8⇔ y= . 2 ⇔  3 −2 y = 16 − 8 y  y = 3  y − 2 y = ( 4 − y ) ⇔ 2  8 Kết hợp với (*) ⇒ ( x; y ) = 1;  là một nghiệm của hệ.  3 • TH2. y = x + x 2 + 3. Ta có (2) ⇔ y − x 2 + 3 − 1 − 3x −1 + x 2 − 2 xy + y 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ y − x 2 + 3 − 1 − 3x −1 + ( y − x) 2 − 2 x + 1 = 0. (x + Mà y = x + x 2 + 3 ⇒ x + x 2 + 3 − x 2 + 3 − 1 − 3x −1 + ⇔ x − 1 − 3x −1 + x 2 − 2 x + 1 + 3 = 0 ⇔ x − 1 + ( x − 1) 2 ) 2 x2 + 3 − x − 2 x + 1 = 0 + 3 = 3x −1 Đặt x − 1 = t ( t ∈ ℝ ) . Phương trình mới t + t 2 + 3 = 3t (3) t 2 + 3 > t 2 = t ≥ −t ⇒ t + t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ ℝ. Với ∀t ∈ ℝ có ) ( ) ( Do đó (3) ⇔ ln t + t 2 + 3 = ln ( 3t ) ⇔ ln t + t 2 + 3 − t ln 3 = 0 (4) ) ( Xét hàm số f ( t ) = ln t + t 2 + 3 − t ln 3 = 0 với t ∈ ℝ có   t 1 t2 + 3 + t 1 f '(t ) = . 1 + . = > 0, ∀t ∈ ℝ = 2 2 2 2 2 t + t +3  t +3  t + t +3 t +3 t +3 1 ⇒ f ( t ) đồng biến trên ℝ. Do đó trên ℝ phương trình f ( t ) = 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất. Mà f (1) = 0 ⇒ t = 1 là nghiệm duy nhất của (4). Với t = 1 ⇒ x − 1 = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 + 22 + 3 = 2 + 7. ( ) Kết hợp với (*) ⇒ ( x; y ) = 2; 2 + 7 là một nghiệm của hệ. ( )   8  Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) =  2; 2 + 7 , 1;   .  3    x + 2 + x 2 + y 2 − xy ( x − y ) = 2 + y + 4 (1) Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  (2)  1 − y + x + 2 = x 2 ( y − 1) + 4 x − 3  x 2 + y 2 − xy ( x − y ) ≥ 0  ĐK:  x ≥ −2 (*)  −4 ≤ y ≤ 1  Lời giải: Khi đó (1) ⇔ x + 2 − y + 4 + x 2 + y 2 − xy ( x − y ) − 2 = 0 (3) Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY x 2 + y 2 − xy ( x − y ) + 2 > 0. Với ĐK (*) thì Từ (2) ⇒ 4 x − 3 = x 2 (1 − y ) + 1 − y + x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ Do đó (3) ⇔ www.Moon.vn ( x + 2) − ( y + 4) + x+2 + y+4 x 2 + y 2 − xy ( x − y ) − 4 3 ⇒ x + 2 + y + 4 > 0. 4 x 2 + y 2 − xy ( x − y ) + 2 =0 (4) Ta có x 2 + y 2 − xy ( x − y ) − 4 = ( x − y ) − 4 + 2 xy − xy ( x − y ) 2 = ( x − y − 2 )( x − y + 2 ) − xy ( x − y − 2 ) = ( x − y − 2 )( x − y − xy + 2 ) Do đó (4) ⇔ ( x − y − 2 )( x − y − xy + 2 ) = 0 x− y−2 + x+2 + y+4 x 2 + y 2 − xy ( x − y ) + 2   x − y − xy + 2 1 =0 ⇔ ( x − y − 2)  + 2 2  x+2 + y+4  x + y − xy x − y + 2 ( )   (5) Lại có x − y − xy + 2 = x (1 − y ) + (1 − y ) + 1 = ( x + 1)(1 − y ) + 1 3 Do x ≥ ; y ≤ 1 ⇒ ( x + 1)(1 − y ) ≥ 0 ⇒ ( x + 1)(1 − y ) + 1 > 0 ⇒ x − y − xy + 2 > 0 4 ⇒ 1 x − y − xy + 2 + > 0. 2 x+2+ y+4 x + y 2 − xy ( x − y ) + 2 Khi đó (5) ⇔ x − y − 2 = 0 ⇔ y = x − 2. Thế y = x − 2 vào (2) ta được 3 − x + x + 2 = x 2 ( x − 3) + 4 x − 3 ⇔ x3 − 3x 2 + 4 x − 3 − x + 2 − 3 − x = 0 (6) 3  Xét hàm số f ( x ) = x3 − 3 x 2 + 4 x − 3 − x + 2 − 3 − x với x ∈  ;3 có 4  f ' ( x ) = 3x 2 − 6 x + 4 − 1 1 x + 2 − 3− x 2 + = 3 ( x − 1) + 1 + 2 x + 2 2 3− x 2 x + 2. 3 − x 3  3  Do ( x + 2 ) − ( 3 − x ) = 2 x − 1 > 0, ∀x ∈  ;3  ⇒ x + 2 > 3 − x > 0, ∀x ∈  ;3  4  4  3  3  ⇒ x + 2 > 3 − x , ∀x ∈  ;3  ⇒ x + 2 − 3 − x > 0, ∀x ∈  ;3  4  4  ⇒ 3 ( x − 1) + 1 + 2 x + 2 − 3− x 3  3  > 0, ∀x ∈  ;3  ⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈  ;3  . 2 x + 2. 3 − x 4  4  3  ⇒ f ( x ) đồng biến trên đoạn  ;3 . 4  3  Do đó trên đoạn  ;3 phương trình f ( x ) = 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất. 4  Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn  3  2 ∈  ;3 Mà   4  ⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của (6).  f ( 2) = 0  Với x = 2 ⇒ y = 0. Đã thỏa mãn (*). Đ/s: Hệ có nghiệm là ( x; y ) = ( 2; 0 ) . Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong của góc A là (AD) : x + y + 2 = 0; phương trình đường cao qua B là (BH): 2x – y + 1 = 0. 27 Cạnh AB đi qua điểm M(1; 1) và diện tích tam giác ABC là . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 2 Lời giải: Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường phân giác AD, khi  đó N thuộc AC. Ta có MN ⊥ AD ⇒ n MN = (1; −1) Phương trình (MN): 1(x – 1) – 1(y – 1) = 0 hay x – y = 0. x − y = 0 Gọi I = ( MN ) ∩ ( AD ) ⇒  x + y + 2 = 0  x = −1 ⇔ ⇒ I ( −1; −1)  y = −1 Do I là trung điểm của MN nên N(–3; –3). Đường thẳng AC đi qua N(–3; –3) và vuông góc với (BH): 2x – y + 1 = 0 nên AC có phương trình (AC): 1(x + 3) + 2(y + 3) = 0 ⇔ x + 2y + 9 = 0. x + 2 y + 9 = 0 x = 5 A = ( AC ) ∩ ( AD ) ⇒ tọa độ điểm A thỏa mãn hệ  ⇔ ⇒ A ( 5; −7 ) x + y + 2 = 0  y = −7   Đường thẳng AB đi qua A và M nên có véc tơ chỉ phương u = AM = ( −4;8 ) = −4 (1; −2 ) x = 1+ t ⇒ ( AB ) :   y = 1 − 2t 1  t = − 2 x = 1+ t  1   1  Mà B = ( AB ) ∩ ( BH ) ⇒ tọa độ điểm B thỏa mãn hệ  y = 1 − 2t ⇒ x = ⇒ B ;2 2 2  2 x − y + 1 = 0   y = 2   1 +4+9 2S 1 27 27 2 Ta có BH = d ( B ;( AC ) ) = =2 5 = . Mà S ∆ABC = BH . AC ⇒ AC = ∆ABC = 27 2 BH 5 2 5 2 5 Gọi C ∈ ( AC ) : x + 2 y + 9 = 0 ⇒ C ( −9 − 2c; c ) ⇒ AC = (14 + 2c)2 + (−7 − c) 2 c = −5 ⇒ C (1; −5 ) (14 + 2c) 2 + (−7 − c) 2 = 2 5 ⇔ 5c 2 + 70c + 225 = 0 ⇔  c = −9 ⇒ C ( 9; −9 ) Do AD là phân giác trong của góc A nên B và C phải nằm về hai phía của đường thẳng AD. 1 
Với C (1; −5 ) ⇒  + 2 + 2  (1 − 5 + 2 ) < 0 ⇒ B, C nằm khác phía với (AD). 2  Từ đó ta có Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 1 
Với C ( 9; −9 ) ⇒  + 2 + 2  ( 9 − 9 + 2 ) > 0 ⇒ B, C nằm cùng phía với (AD). 2  1  Vậy tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC là A ( 5; −7 ) , B  ; 2  , C (1; −5 ) . 2  ( x − 1) x − y + 1 + ( x − y ) 3 x + 7 = 3 x − 2 y − 1  Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  2 2 2 3 2 ( x + 3) x − 2 x + y + 1 = x − x + ( x + y − 1) Lời giải: x − y +1 ≥ 0 ĐK:  2 (*). Khi đó (1) ⇔ ( x − 1) x x y − 2 + + 1 ≥ 0  ⇔ ( x − 1) . ⇔ ( x − 1)( x − y ) + 1+ x − y +1 3 ) x − y + 1 −1 + ( x − y ) ( 3 ) x+7 −2 = 0 x − y +1 −1 x + 7−8 + ( x − y ). =0 2 3 x − y +1 +1 ( x + 7) + 2 3 x + 7 + 4 ( x − 1)( x − y ) =0 2 3 3 x + 7 + 2 x + 7 + 4 ( )  1 ⇔ ( x − 1)( x − y )  +  1+ x − y +1  Do ( ( x + 7) 2  =0 3 + 2 x + 7 + 4  1 3 ( x + 7) ( + 2 3 x + 7 + 4 = 1+ 3 x + 7 ) 2 2 (3) x = 1 + 3 > 0 ( 3) ⇔ ( x − 1)( x − y ) = 0 ⇔  x = y  y =0 y = 0 ⇔ +) TH1. x = 1 thế vào (2) ta được 4 y = y 2 ⇔  3  y y = 4  y = 16 Kết hợp với (*) ta có ( x; y ) = (1;0 ) là một nghiệm của hệ. +) TH2. x = y thế vào (2) ta được ⇔ x − x +1 = 2 (x 2 + 3) x 2 − x + 1 = x 3 − x 2 + ( 2 x − 1) x ( x 2 + 3) + 3 ( x 2 + 3) − 7 x − 8 x +3 2 ⇔ x2 − x + 1 = x + 3 − 2 7x + 8 x2 x 2 − x + 1) − ( x + 3) 7 x + 8 ( 7x + 8 ⇔ x − x + 1 − ( x + 3) + 2 =0⇒ + 2 =0 x +3 x +3 x2 − x + 1 + x + 3 2 2 ⇔  1  7x + 8 7x + 8 1 − = 0 ⇔ ( 7 x + 8)  2 − =0 2 2 x + 3 x + 3 + x2 − x + 1  x + 3 x + 3 + x − x +1  7 x + 8 = 0 ⇔ 2 2  x + 3 = x + 3 + x − x + 1 • 8 8 Ta có 7 x + 8 = 0 ⇔ x = − ⇒ y = − . Thử lại thỏa mãn hệ đã cho. 7 7 • Lại có x 2 + 3 = x + 3 + x 2 − x + 1 ⇔ ( x 2 − x + 1) − x 2 − x + 1 − 1 = 0 ⇔ x 2 − x + 1 = 1± 5 2 Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY ⇔ x2 − x + 1 = ⇔ x= www.Moon.vn 1+ 5 6+ 2 5 3+ 5 1+ 5 ⇔ x2 − x + 1 = = ⇔ x2 − x − =0 2 4 2 2 1± 3 + 2 5 1± 3 + 2 5 ⇒y= . Thử lại thỏa mãn hệ đã cho. 2 2   8 8 Đ/s: ( x; y ) = (1; 0 ) ,  − ; −  ,  7 7   1 ± 3 + 2 5 1 ± 3 + 2 5    . ;   2 2    Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 20 . Biết rằng AC = 2BD, điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng d : 2 x − y − 5 = 0 . Viết phương trình cạnh AB của hình thoi. Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I (1; −1), bán kính R = 2 5 . Đặt BI = x, ( x > 0) Do AC = 2 BD ⇒ AI = 2 BI = 2 x , Kẻ IH ⊥ AB ⇒ IH = R = 2 5 B H A d C I D 1 1 1 1 1 1 + 2 = ⇔ 2+ 2 = ⇔ x = 5 ( Do x > 0) 2 2 IA IB IH 4x x 20 Suy ra IB = 5. Gọi B (t ; 2t − 5), (t > 0) +) Trong tam giác AIB ta có: t = 4 (tm) Do IB = 5 ⇔ (t − 1) + (2t − 4) = 25 ⇔  −2 t = (ktm) 5  +) Với t = 4 ⇒ B(4;3) . Phương trình cạnh AB có dạng a ( x − 4) + b( y − 3) = 0 2 2 (a 2 + b 2 ≠ 0)  a = 2b Ta có d ( I ; AB) = IH = R ⇔ = 2 5 ⇔ 11a − 24ab + 4b = 0 ⇔  2 2 a = 2 b a +b  11 +) Với a = 2b, chọn a = 2, b = 1 , phương trình AB là: 2 x + y − 11 = 0 2 +) Với a = b, chọn a = 2, b = 11 , phương trình AB là: 2 x + 11 y − 41 = 0 11 Vậy phương trình cạnh AB là 2 x + y − 11 = 0 hoặc 2 x + 11 y − 41 = 0 −3a − 4b 2 2 2  2 ( y − 2) 2 2 ( )  x + 9 x + 3 − x − 2 = ( y + 3) y − 1 − Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  y + 2 y −1   xy + 21 = 9 x + 3 y + 7 x − 5 Lời giải: ( y − 2) Từ phương trình (1) ta có ( x 2 + 9 ) x 2 + 3 − x 2 − 2 = ( y + 3) y − 1 − 2 y + 2 y −1 Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn ⇔ ( x 2 + 9 ) x 2 + 3 − x 2 − 2 = ( y + 3) y − 1 − y + 2 y − 1 ⇔ ( x2 + 3 ) − ( x2 + 3 ) + 6 ( x2 + 3 ) = ( y − 1) − ( y − 1) + 6 ( y − 1) 3 Xét hàm số f (t ) = t 3 − t 2 + 6t với t > 0 ⇒ f 2 ( x2 + 3 ) = f 3 ( 2 y −1) Ta có f '(t ) = 3t − 2t + 6 > 0 với ∀t > 0 suy ra hàm số đồng biến với ∀t > 0 2 Mà f ( x2 + 3 ) = f ( y − 1) ⇒ x2 + 3 = y − 1 ⇒ y = x2 + 4 Thay y = x 2 + 4 vào phương trình (2) ta có xy + 21 = 9 x + 3 y + 7 x − 5 1   ⇔ x3 − 3x 2 − 5 x + 9 − 7 x − 5 = 0 ⇔ ( x 2 − 5 x + 4 )  x + 2 + =0 x + 2 + 7 x − 5  >0 x =1⇒ y = 5 ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 ⇔   x = 4 ⇒ y = 20 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) = {(1;5) , ( 4; 20 )} Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B ( 4;6 ) , gọi H là điểm thuộc cạnh BC sao cho HB = 2 HC và AH vuông góc với BC, E là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB = 4 AE , đường thẳng CE cắt đường cao AH tại D ( 0;3) . Biết trung điểm của AC thuộc đường thẳng 2 x + y − 1 = 0 tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải: Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm AH. Gọi N ( t ;1 − 2t ) là trung điểm của AC ta có:   2 ( t − 0 ) = 0 − xM 2 DN = MD ⇔  ⇒ M ( −2t ; 4t + 7 ) 2 (1 − 2t − 3) = 3 − yM Khi đó A ( −4t − 4;8t + 8)  t = −1   Giải AD.DN = 0 ⇔ ( 4t + 4 ) t + ( −8t − 5 )( −2t − 2 ) ⇔  −1 t =  2 +) Với t = −1 ⇒ A ( 0; 0 ) , N ( −1;3) ; C ( −2; 6 ) 1  1  +) Với t = − ⇒ N  − ; 2  ; A ( −2; 4 ) ; C (1;0 ) . 2  2  Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015