ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————
ĐÀM VĂN HÀNH
QUỸ TÍCH MỞ CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn1
Luận văn được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG
Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................
Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
Ngày .... tháng .... năm 2012
Có thể tìm hiểu tại
Thư viện Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn2
Mục lục
Mở đầu
2
1 Kiến thức cơ sở
5
1.1
Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Môđun phẳng . . . . . . . . .
Môđun Cohen-Macaulay .
Tôpô Zariski . . . . . . . . . .
Vành và môđun phân bậc .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
1.4
1.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Quỹ tích phẳng cho trường hợp vành địa phương
2.1
2.2
Tính chất môđun phẳng .
Quỹ tích phẳng . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Quỹ tích mở của môđun phân bậc
30
3.3
Công thức Auslander-Buchsbaum mở rộng
Quỹ tích codepth . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quỹ tích Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . .
3.4
Quỹ tích (Sk ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1
3.2
. . . . . . . 30
. . . . . . . 36
. . . . . . . 41
Kết luận
51
Tài liệu tham khảo
52
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn3
Mở đầu
Một kết quả của nổi tiếng của Grothendieck nói rằng, nếu M là môđun hữu
hạn sinh trên vành Noether hoàn hảo A (xem Định nghĩa 1.5.8), thì với mọi
k ∈ N ta có quỹ đạo (Sk ) của M
USk (M ) = {p ∈ Spec(A) | Mp thỏa mãn (Sk )}
là một tập con mở của Spec(A) (xem [6]). Ở đây, (Sk ) là kí hiệu cho điều kiện
Serre, nhắc lại rằng Mp thỏa mãn điều kiện Serre (Sk ) nếu với mọi q ∈ Spec(A)
mà q ⊆ p ta luôn có
depthAq (Mq ) ≥ min{dimAq (Mq ), k}.
Từ đó ta suy ra, với vẫn môđun M như vậy, quỹ tích Cohen-Macaulay
UCM (M ) = {p ∈ Spec(A) | Mp là Cohen-Macaulay}
là một tập con mở của Spec(A).
L
Bây giờ cho A = n≥0 An là vành Noether phân bậc thuần nhất hoàn hảo
L
(xem Định nghĩa 1.5.9) và M = i∈Z Mi là một A−môđun phân bậc hữu hạn
sinh. Ta có thể xét M như là A0 −môđun, khi đó M là tổng trực tiếp của các
môđun hữu hạn sinh trên A0 . Hơn nữa, nếu vành cơ sở A0 là vành Noether địa
phương, thì khái niệm về độ sâu là có ý nghĩa cho A0 −môđun M và ta có thể
xét quỹ đạo (Sk ) của nó
US0k (M ) = {p ∈ Spec(A0 ) | Mp thỏa mãn (Sk )},
trong đó Mp kí hiệu cho địa phương hóa của M tại tập đóng nhân A0 \ p. Trong
luận văn này ta sẽ chứng minh rằng với giả thiết nêu trên thì qũy đạo (Sk ) của
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn4
A0 −môđun M là các tập con mở của Spec(A0 ) với mọi k ∈ N (xem Định lý 3.4.4).
Đặc biệt, quỹ đạo Cohen-Macaulay của M (khi xét như A0 −môđun)
0
(M ) = {p ∈ Spec(A0 ) | Mp là Cohen-Macaulay }
UCM
là một tập con mở của Spec(A0 ) (xem Định lý 3.3.5). Một thành phần quan
trọng sử dụng để chứng minh các kết quả trên đó là tiêu chuẩn Nagata về tính
mở (xem Định lý 2.2.4), và một số kết quả về tính mở của: quỹ tích phẳng (xem
Định lý 2.2.5, 3.2.1), quỹ tích Projdim (xem Định lý 3.2.2), quỹ tích codepth
(xem Định lý 3.3.4).
Nội dung chính của luận văn này được viết dựa trên hai nguồn sau đây:
thứ nhất là một số kết quả về quỹ đạo mở trong cuốn sách “Commutative ring
theory” (xem [11]) của tác giả H. Matsumura; thứ hai là một phần của bài báo
"Open loci of graded modules" của hai tác giả C. Rotthaus-L. M. Sega (xem
[13]). Ngoài ra luận văn cũng dựa vào một số tài liệu có tính chất hướng dẫn
đó là các bài giảng về nhập môn hình học đại số của GS. TSKH. Nguyễn Tự
Cường, đại số đồng điều của PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, nhập môn đaị số
giáo hoán của TS. Nguyễn Văn Hoàng.
Luận văn gồm ba chương. Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản
về chiều môđun, chiều xạ ảnh, môđun phẳng, môđun Cohen-Macaulay, Tôpô
Zaiski, Vành và môđun phân bậc. Chương 2: Trình bày chi tiết về tính chất
môđun phẳng, về tiêu chuẩn Nagata để kiểm tra tính mở, và một số kết quả
về quỹ tích mở. Nội dung chương 2 được dựa vào cuốn sách "Commutative
ring theory" của H. Matsumura. Chương 3 được viết dựa trên bài báo [13] của
Rotthaus-Sega. Chương này trình bày về công thức Auslander-Buchsbaum mở
rộng, quỹ tích codepth, quỹ tích Cohen-Macaulay, và quỹ tích (Sk ). Những kết
quả của chương 3 hoặc là mở rộng hoặc là tổng quát hóa một số kết quả ở các
chương trước và của Grothendieck được trình bày trong [6].
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. NGUYỄN
VĂN HOÀNG giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn5
hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm
việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện toán
học, Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học khoa học tự nhiên Thái Nguyên,
những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những
khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên, Khoa sau đại học, Sở GDĐT tỉnh Bắc Ninh, Ban giám
hiệu và Tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Văn Cừ - Từ Sơn - Bắc Ninh, đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối
cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi
có thể hoàn thành tốt khóa học của mình.
Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai sót, rất
mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi hy vọng rằng bản thân có điều kiện tiếp tục
đi sâu nghiên cứu những vấn đề đã được đặt ra trong luận văn.
Thái nguyên, Ngày .... tháng .... năm 2012
TÁC GIẢ
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn6
Chương 1
Kiến thức cơ sở
Mục đích của chương này nêu định nghĩa một số khái niệm cần thiết phục
vụ cho luận văn được viết trong giáo trình nhập môn đại số giao hoán, nhập
môn hình học đại số, đại số đồng điều và cuốn sách lý thuyết vành giao hoán
của H. Matsumura, iđêan nguyên tố liên kết, môđun xạ ảnh, chiều xạ ảnh, dãy
khớp ngắn, chiều của vành và môđun, môđun phẳng, môđun Cohen-Macaulay,
tôpô Zaiski, vành và môđun phân bậc, vành hoàn hảo, định lý Artin-Rees, công
thức Auslander-Buchsbaum. Bên cạnh đó cũng phát biểu lại nhưng không chứng
minh một số tính chất có liên quan. Nội dung của chương này được đưa vào làm
kiến thức cơ sở của luận văn.
1.1
Một số khái niệm cơ bản
Trước hết ta trình bày một số khái niệm cơ bản trong đại số giao hoán như
iđêan nguyên tố liên kết, giá của môđun, dãy khớp ngắn chẻ ra. Ta luôn giả
thiết vành A là giao hoán và có đơn vị, M là một A−môđun.
Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M là một A−môđun, một
iđêan nguyên tố p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu
tồn tại một phần tử 0 6= x ∈ M sao cho ann(x) = p. Tập các iđêan nguyên tố
liên kết của môđun M được kí hiệu bởi AssA (M ) hoặc Ass(M ).
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn7
Định nghĩa 1.1.2. (Giá của môđun) Cho M là một A-môđun, giá của môđun
M kí hiệu là SuppA (M ) hoặc Supp(M ), nó được xác định bởi
SuppA (M ) = {p ∈ Spec(A)|Mp 6= 0}.
Định nghĩa 1.1.3. (Môđun xạ ảnh) Một A−môđun P được gọi là xạ ảnh nếu
với mọi toàn cấu f : M → N với mọi đồng cấu g : P → N luôn tồn tại đồng cấu
h : P → M sao cho f h = g .
Mệnh đề 1.1.4. i. Mọi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh.
ii. Mỗi môđun M đều có một dải xạ ảnh
... → Fn → Fn−1 → ... → F0 → M → 0,
trong đó Fi là các môđun xạ ảnh.
f
g
Định nghĩa 1.1.5. (Dãy khớp ngắn chẻ ra) Một dãy khớp ngắn 0 → M −
→N →
−
P → 0 được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu h : P → N sao cho gh = 1P .
f
g
Mệnh đề 1.1.6. Nếu dãy khớp 0 → M −
→N →
− P → 0 là chẻ ra thì N ∼
= M ⊕ P.
Định nghĩa 1.1.7. (Chiều xạ ảnh) Cho M là A−môđun, chiều xạ ảnh của M ,
kí hiệu là Projdim(M ), là số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại một
giải xạ ảnh P• của M với Pi = 0 với mọi i > n. Nếu không tồn tại số nguyên n
nào như vậy thì ta đặt Projdim(M ) = ∞.
Định nghĩa 1.1.8. (Chiều Krull) Cho A là một vành giao hoán, một dãy giảm
thực sự các iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ... ⊃ pn của vành A được gọi là một
xích nguyên tố có độ dài là n. Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố
trong A được gọi là chiều Krull của A, hay chiều của vành A. Kí hiệu là dimA.
Định nghĩa 1.1.9. (Độ cao của iđêan) Cho A là vành giao hoán và p là iđêan
nguyên tố của A. Chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên
tố p = p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ... ⊃ pr xuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, kí hiệu
là ht p. Cho I là một iđêan của A. Độ cao của iđêan I kí hiệu ht I được cho bởi
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn8
công thức ht I = inf{ht p | p ∈ V (I)} trong đó V (I) là tập các iđêan nguyên tố
của A chứa I .
Định nghĩa 1.1.10. (Chiều của môđun) Cho M là một A−môđun khi đó chiều
của M kí hiệu là dimM được xác định bởi dim M = dim(A/ ann M ), trong đó
ann M = {a ∈ A | aM = 0}.
Mệnh đề 1.1.11. i. Nếu (A, m) là một vành địa phương thì dim A = ht m.
ii. Cho p là một iđêan nguyên tố của vành A, khi đó dim Ap = ht pAp = ht p.
Định nghĩa 1.1.12. a. Vành A được gọi là catenary nếu thỏa mãn điều kiện
sau: với bất kì hai iđêan nguyên tố p và p0 của A với p ⊂ p0 , thì luôn tồn tại một
dãy bão hòa các iđêan nguyên tố xuất phát từ p và kết thúc ở p0 , đồng thời mọi
dãy như vậy có cùng độ dài (hữu hạn).
b. Vành A được gọi là catenary phổ dụng nếu A là vành Noether và mọi A−đại
số hữu hạn sinh là catenary.
Định nghĩa 1.1.13. (Khái niệm thớ) Cho ϕ : A → B là đồng cấu vành và
p ∈ Spec A, đặt k(p) = Ap /pAp . Khi đó Spec(B ⊗A k(p)) gọi là thớ của ϕ trên p.
Định lý 1.1.14. Cho A là một vành Noether và M là một A−môđun hữu hạn
sinh khác không. Khi đó có dãy các môđun con của M : 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂
... ⊂ Mn = M và có các pi ∈ Spec A sao cho Mi /Mi−1 ∼
= A/pi với mọi i = 1, . . . , n.
1.2
Môđun phẳng
Định nghĩa 1.2.1. (Môđun phẳng) Một A−môđun N được gọi là A-môđun
phẳng (hoặc môđun phẳng trên A) nếu nó thỏa mãn tính chất sau: với mọi dãy
khớp ngắn 0 → M 0 → M → M 00 → 0 gồm các A−môđun, ta luôn suy ra được dãy
0 → M 0 ⊗A N → M ⊗A N → M 00 ⊗A N → 0 cũng khớp.
Ví dụ 1.2.2. Cho A là một vành giao hoán, S là một tập đóng nhân của A, và
M là A−môđun. Khi đó S −1 M ∼
= S −1 A⊗A M (do hàm tử địa phương là khớp).
Do vậy S −1 A là A−môđun phẳng.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn9
Mệnh đề 1.2.3. ([10, Mệnh đề 2.19]) Cho N là A−môđun khi đó mệnh đề sau
tương đương.
i. N là A−môđun phẳng.
ii. Nếu 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là một dãy khớp các A−môđun thì
0 → M 0 ⊗A N → M ⊗A N → M 00 ⊗A N → 0
cũng là dãy khớp.
iii. Nếu f : M 0 → M là đơn cấu thì f ⊗ 1 : M 0 ⊗A N → M ⊗A N là đơn cấu.
iv. Nếu f : M 0 → M là đơn cấu với M , M 0 là các A−môđun hữu hạn sinh, thì
M 0 ⊗A N → M ⊗A N cũng là đơn cấu.
Định lý 1.2.4. ([11, Định lý 7.7]) Cho A là một vành giao hoán và M là một
A−môđun. Khi đó M là phẳng trên A nếu và chỉ nếu với mọi iđêan hữu hạn sinh
I của A ánh xạ chính tắc I ⊗A M → A ⊗A M là đơn ánh, và do đó I ⊗A M ∼
= IM .
Mệnh đề 1.2.5. ([10, Bài tập 2.20]) Nếu f : A → A0 là một đồng cấu vành và
M là một A−môđun phẳng thì MA0 = A0 ⊗A M là một A0 −môđun phẳng.
Định lý 1.2.6. ([11, Định lý 7.1]) Cho A → B là đồng cấu vành, M là một
B−môđun, M là môđun phẳng trên A khi và chỉ khi với mọi P ∈ Spec B ta có
MP là phẳng trên Ap , trong đó p = P ∩ A.
1.3
Môđun Cohen-Macaulay
Định nghĩa 1.3.1. ([11, Trang 127]) Cho dãy x = x1 , ..., xn các phần tử của
vành A, ta định nghĩa phức K• , như sau: đặt K0 = A, và Kp là A−môđun tự do
có hạng là np với cơ sở là {ei1 ,...,ip | 1 ≤ i1 < ... < ip ≤ n}. Vi phân d : Kp → Kp−1
P
xác định bởi d(ei1 ,...,ip ) = pr=1 (−1)r−1 xir ei1 ...iˆr ...ip ; (với p = 1, đặt d(ei ) = xi ). Khi
đó dd = 0. Ta gọi K• là phức Koszul, và viết là K• (x). Đối với A−môđun M ta
viết K• (x, M ) = K• (x) ⊗A M . Môđun đồng điều của K• (x, M ) kí hiệu là Hi (x, M ).
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn10
- Xem thêm -