Quá trình Markov trên time scale

  • Số trang: 65 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 55 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- Trịnh Thị Bích Hiên Quá trình Markov trên Time scale Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- Trịnh Thị Bích Hiên Quá trình Markov trên Time scale Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2011 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa và tính chất cơ bản về thang thời gian 1.1.1 Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Toán tử cực vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Kiến thức cơ bản về hàm siêu bội . . . . . . . . . . . . . 1.4 Kiến thức về quan hệ truy hồi và các liên phân số . . . . 1.5 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Thời gian địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Quá trình Feller - Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Công thức Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Toán tử đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Tính thuận nghịch của một quá trình Markov . . . . . . 1 1 1 2 5 11 11 13 17 18 19 20 21 22 23 2 Chuyển động Brown trên một thang thời gian 2.1 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tính duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tính thuận nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Thời điểm chạm đầu tiên của quá trình sinh và chết hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Thời điểm chạm trên một tập con rời rạc của T . . . . . 24 24 30 35 36 39 3 Một số tính chất của chuyển động Brown trên thang thời gian rời rạc Tq 42 3.1 Giới thiệu quá trình trên Tq . . . . . . . . . . . . . . . . 42 i 3.2 3.3 Phân phối thời điểm chạm cho Tq . . . . . . . . . . . . . Giải thức của quá trình tiêu vong trên Tq ∩ (0, ∞) . . . . 45 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Lời nói đầu Lý thuyết về thang thời gian (time scale), lần đầu tiên được trình bày bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sỹ khoa học của ông vào năm 1988 (với sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất việc trình bày các bài toán trong trường hợp liên tục và rời rạc. Cho đến nay đã có hàng chục quyển sách và hàng ngàn bài báo viết về thang thời gian. Các yếu tố giải tích trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu một cách sâu rộng và tương đối đầy đủ. Và từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được "chuyển dịch" sang thời gian. Chẳng hạn về hệ động lực trên thang thời gian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên,... Nếu như lý thuyết tất định trên thang thời gian đã nhận được rất nhiều sự chú ý trong thời gian gần đây và gần như toàn bộ lý thuyết giải tích trên đường thẳng thực đã được phát triển trên thang thời gian thì những nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian lại rất hạn chế và chỉ mới đạt được những kết quả ban đầu. Ngay cả việc xây dựng các quá trình ngẫu nhiên có các đặc tính tương tự như các quá trình quen thuộc trên R vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Mục đích của luận văn này là xây dựng quá trình chuyển động Brown với không gian trạng thái là một thang thời gian. Chúng tôi cũng nghiên cứu vài tính chất của quá trình chuyển động Brown trên một thang thời gian cụ thể Tq . Nhờ định lý nổi tiếng của Levy chúng ta biết rằng chuyển động Brown trên R được đặc trưng bởi các tính chất sau: một quá trình ngẫu nhiên (ξt )t∈R+ nhận giá trị trên R là chuyển động Brown khi và chỉ khi: (I.) ξ có quỹ đạo mẫu liên tục, (II.) ξ là một martingale, iii (III.) (ξt2 − t)t∈R+ là một martingale. Đối với quá trình với thời gian liên tục nhận giá trị trên Z, nếu chúng ta thay điều kiện (I) bằng giả thiết tương tự là tất cả những bước nhảy của quá trình chỉ có kích thước ±1 thì sẽ nhận được đặc trưng của quá trình Poisson (định lý Wantanabe (1972)). Chú ý rằng với cả hai trường hợp khi quá trình nhận giá trị trên R hay Z thì tính Markov của ξ là một hệ quả hiển nhiên từ các giả thiết. Trong luận văn này chúng tôi chỉ muốn thống nhất cách nhìn định lý Levy và định lý Wantanabe bằng cách chỉ ra rằng, trên một thang thời gian T tuỳ ý không bị chặn trên và dưới, luôn tồn tại duy nhất (theo phân phối) một quá trình ξ thoả mãn điều kiện (II) và (III) cộng với một giả thiết tương tự của (I) hoặc tính chất "trượt tự do" của bước nhảy ngẫu nhiên. Cụ thể (I’.) Với x < y < z trên T và các thời điểm 0 ≤ r < t < ∞ nếu ξr = x và ξt = z hoặc ξr = z và ξt = x thì ξs = y với s nào đó thoả mãn r < s < t. Hơn nữa chúng tôi chứng minh rằng quá trình này là một quá trình Markov Feller - Dynkin thuận-nghịch với toán tử cực vi được tính toán hiển. Để chứng minh sự tồn tại, ta xây dựng hiển một phép chuyển đổi thời gian cho chuyển động Brown chuẩn tắc. Sau đó, dựa trên kết quả nói rằng nếu một quá trình ngẫu nhiên có phân phối thời điểm chạm của một quá trình Markov mạnh thì nó là một chuyển đổi thời gian của quá trình Markov đó (kết quả của Chacon và Jamison và được mở rộng bởi Walsh, xem [5]). Cùng với việc thiết lập sự tồn tại và tính duy nhất của chuyển động Brown trên T trong chương 2, ta đưa ra toán tử sinh của nó. Toán tử sinh này là một phiên bản tự nhiên của toán tử sinh của chuyển động Brown chuẩn tắc f → 21 f ” . Chú ý rằng từ (II) và (III) ta có hệ quả đơn giản là ξ có cùng cấu trúc covariance như chuyển động Brown trên R, nghĩa là Ex [ξs ξt ] − Ex [ξs ]Ex [ξt ] = s ∧ t với mọi x ∈ T. Việc nghiên cứu những tính chất xa hơn của chuyển động Brown trên T là một yêu cầu tự nhiên. Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu vấn đề này cho trường hợp đặc biệt khi T = Tq := {(±q)k : k ∈ Z} ∪ {0} với q > 1. Trong trường hợp này, quá trình ξ bắt đầu tại x có cùng phân bố như quá trình ( q1k ξq2k t )t∈R+ khi ξ được bắt đầu tại q k x với k ∈ Z. Tính chất "chia thang" như chuyển động Brown này cho phép ta tính toán iv hiển những biến đổi Laplace của thời điểm chạm và giải thức của ξ dưới dạng các số hạng của các liên phân số. Ta có thể đánh giá những liên phân số này dưới dạng các hàm siêu bội cơ bản Nội dung của khóa luận gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi liệt kê các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên; định nghĩa và một số tính chất của chuyển động Brown; định nghĩa về time scale; các tính chất cơ bản nhất về ∆-đạo hàm, tích phân trên time scale; khái niệm toán tử cực vi của quá trình Markov; khái niệm toán tử đặc trưng; khái niệm về thời gian địa phương; quá trình Feller-Dynkin; công thức Dynkin; các kiến thức cơ bản về hàm siêu bội; kiến thức về các quan hệ truy hồi và các liên phân số. Chương 2: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của chuyển động Brown trên một thang thời gian cho trước. Để chứng minh sự tồn tại, chúng tôi áp dụng một phép chuyển đổi thời gian thích hợp vào chuyển động Brown trên đường thẳng thực để xây dựng được một quá trình Markov Feller-Dynkin thoả mãn những đặc trưng Levy của chuyển động Brown trên thang thời gian. Tính duy nhất suy ra từ việc so sánh phân phối của thời điểm chạm và dựa vào một kết quả rằng nếu một quá trình có cùng phân phối thời điểm chạm với một quá trình Markov mạnh, quá trình đó sẽ là ảnh của quá trình Markov qua một phép chuyển đổi thời gian. Chương 3: Nghiên cứu một số tính chất của chuyển động Brown trên thang thời gian rời rạc Tq . Bằng việc ước lượng những liên phân số dưới dạng các hàm siêu hình học, chúng tôi đưa ra công thức hiển cho biến đổi Laplace của thời điểm chạm cũng như giải của chuyển động Brown trên Tq . Ngoài ra, sử dụng tính thuận nghịch của quá trình đối với độ đo tự nhiên trên không gian trạng thái, chúng tôi tìm ra "phân phối của thời điểm chạm" của độ đo Itô tương ứng và số mũ Laplace của nghịch đảo của thời gian địa phương. Vì thời gian và khả năng có hạn cùng với tài liệu tham khảo rất hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót và tính chưa hoàn thiện của vấn đề đặt ra, mặc dù bản thân tôi đã cố gắng rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin tiếp thu mọi ý kiến nhận xét của các thầy cô, các nhà toán học và các nghiên cứu sinh và các học viên cao học. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, GS. TS Nguyễn Hữu Dư, người đã cho tôi đề tài, hướng dẫn và tận tình v chỉ bảo tôi trong suốt quá trình tôi hoàn thành luận văn. Nhân đây tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô và bạn bè trong Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã trang bị cho tôi những kiến thức bổ ích trong những năm vừa qua, cũng như các thầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu. Hà Nội, năm 2011 Học viên Trịnh Thị Bích Hiên vi Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa và tính chất cơ bản về thang thời gian 1.1.1 Các định nghĩa cơ bản Thang thời gian là một tập con đóng tuỳ ý khác rỗng của tập các số thực R. Thường ta ký hiệu là T. Ta trang bị cho thang thời gian T tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường trên tập các số thực R. Các thí dụ về thang thời gian là (a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3]; tập Cantor là những thang thời gian. (b) Q; R\Q không phải là thang thời gian vì nó không phải là tập đóng. Định nghĩa 1.1.1. Cho T là một thang thời gian. Với mỗi t ∈ T, ta định nghĩa toán tử bước nhảy tiến (forward jump) và toán tử bước nhảy lùi (backward jump) như sau: (i) Toán tử bước nhảy tiến: σ : T → T σ(t) := inf {s ∈ T, s > t} ; (ii) Toán tử bước nhảy lùi: ρ : T → T ρ(t) := sup {s ∈ T, s < t} . 1 Ngoài ra: - Nếu σ(t) > t thì ta nói t là điểm cô lập phải (right-scattered). - Nếu ρ(t) < t thì ta nói t là điểm cô lập trái (left-scattered). - Điểm t ∈ T mà nó vừa là cô lập phải, vừa là cô lập trái gọi là điểm cô lập (isolated). - Nếu t < sup T và σ(t) = t thì ta nói t là điểm trù mật phải (rightdense). - Nếu t > inf T và ρ(t) = t thì ta nói t là điểm trù mật trái (left-dense). - Điểm vừa là trù mật phải vừa là trù mật trái gọi là điểm trù mật (dense). - Hàm hạt graininess: µ : T → [0; +∞), µ(t) := σ(t) − t. - Ta ký hiệu: Tk :=   T\ {sup T} nếu sup T < ∞ nếu sup T = ∞  T Để cho đơn giản, ngoại trừ những trường cần nhấn mạnh, từ đây trở đi ta ký hiệu các đoạn trên thang thời gian là (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho cách viết (a; b]T ; [a; b)T ; [a; b]T . Quy ước: inf ∅ = sup T (nghĩa là, nếu t = max T thì σ(t) = t). sup ∅ = inf T (nghĩa là, nếu t = min T thì ρ(t) = t). 1.1.2 Phép tính vi phân Định nghĩa 1.1.2. Xét hàm số f : T → R. ∆-đạo hàm (còn gọi là đạo hàm Hilger) của f tại t ∈ T là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho ∆ [f (σ(t)) − f (s)] − f (t)[σ(t) − s] ≤ ε |σ(t) − s| với mọi s ∈ U . Hàm f được gọi là ∆-khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên Tk nếu f ∆ (t) tồn tại với mọi t ∈ Tk . 2 Định lý 1.1.3. Xét hàm số f : T → R và t ∈ Tk . Khi đó ta có: 1. Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t. 2. Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f khả vi tại t và f ∆ (t) = f (σ(t)) − f (t) . µ(t) 3. Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn f (t) − f (s) f (t) − f (s) lim tồn tại hữu hạn và khi đó f ∆ (t) = lim . s→t s→t t−s t−s 4. Nếu f là khả vi tại t thì f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) Nhận xét 1.1.4. Ta xét hai trường hợp T = R và T = Z 1. Nếu T = R thì từ định lý 1.1.3.3 suy ra hàm f : R → R là ∆-khả vi f (t) − f (s) 0 khi và chỉ khi f (t) = lim tồn tại, tức là f khả vi (theo s→t t−s nghĩa thông thường) tại t. f (t) − f (s) 0 = f (t). Trường hợp này ta có f ∆ (t) = lim s→t t−s 2. Nếu T = Z thì từ định lý 1.1.3.2 suy ra f : Z → R là ∆-khả vi tại t ∈ Z và f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t) = ∆f (t), ở đây ∆ là toán tử sai phân tiến thông thường. Định lý 1.1.5. Cho f và g : T → R là các hàm khả vi tại t ∈ Tk . Khi đó: 1. Hàm tổng f + g : T → R khả vi tại t và (f + g)∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t). 2. Với hằng số α tuỳ ý, hàm αf : T → R khả vi tại t và (αf )∆ (t) = αf ∆ (t). 3. Hàm tích f g : T → R khả vi tại t và (f g)∆ (t) = f ∆ (t)g(t) + f (σ(t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g(σ(t)). 1 1 ∆ f ∆ (t) 4. Nếu f (t)f (σ(t)) 6= 0 thì khả vi tại t và ( ) (t) = − . f f f (t)f (σ(t)) 3 f ∆ f ∆ (t)g(t) − f (t)g ∆ (t) f . 5. Nếu g(t)g(σ(t)) 6= 0 thì khả vi tại t và ( ) (t) = g g g(t)g(σ(t)) Định lý 1.1.6. Cho α là một hằng số, m ∈ N. 1. Hàm f được xác định bởi f (t) = (t − α)m , ta có ∆ f (t) = m−1 X (σ(t) − α)k (t − α)m−1−k . k=0 2. Hàm g được xác định bởi g(t) = ∆ g (t) = − 1 , ta có (t − α)m m−1 X k=0 1 (σ(t) − α)m−k (t − α)k+1 , với (t − α)(σ(t) − α) 6= 0. Đạo hàm cấp cao được định nghĩa theo quy nạp như sau: 3 n f ∆∆ = (f ∆ )∆ ; f ∆ = (f ∆∆ )∆ ; · · · ; f ∆ = (f ∆ n−1 )∆ . Tương tự, 2 n f σ (t) = f (σ(t)); f σ = (f σ )σ ; · · · ; f σ = (f σ n−1 )σ . (n) Ký hiệu Sk là tập tất cả các dòng ∧ có độ dài n có dạng a1 a2 · · · an . Trong đó ai là σ hay ∆ với ký hiệu σ có mặt đúng k lần và ký hiệu ∆ có mặt đúng n − k lần. (n) Định lý 1.1.7. (Công thức Leibniz). Nếu f ∧ tồn tại với mọi ∧ ∈ Sk thì n X  X ∧  ∆k ∆n (f g) = f g , k=0 (n) ∧∈Sk với mọi n ∈ N. (n) Thí dụ: Nếu T = R thì f ∧ = f (n−k) với mọi ∧ ∈ Sk , ở đây f (n) là (n)  đạo hàm cấp n thông thường của f nếu nó tồn tại và Sk = nk (lực (n) lượng của tập Sk ). 4 Ta có n (f g)∆ = n   X  n (n−k) (k) k f ∧ g∆ = f g , k (n) n X  X k=0 k=0 ∧∈Sk đây là công thức Leibniz thông thường. Nếu T = Z thì     n  X n−k k X X n ∆n i n−k j k (f g) (t) = (−1) f (t+n−i) (−1) g(t+k−j), k i=0 i j j=0 k=0 với f và g là các hàm xác định trên Z. 1.1.3 Tích phân Việc xây dựng độ đo Lebesgue trên thang thời gian; định nghĩa và tính chất của tích phân Riemann và tích phân Lebesgue cũng như mối quan hệ giữa hai loại tích phân này được trình bày rất đầy đủ trong [22]. Sau đây ta chỉ đưa ra một số định nghĩa và tính chất cơ bản mà sẽ được sử dụng trong các chương sau. Định nghĩa 1.1.8. 1. Một hàm f : T → R gọi là regulated nếu tồn tại giới hạn bên phải (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật phải trong T và tồn tại giới hạn bên trái (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật trái trong T. 2. Một hàm f : T → R gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại các điểm trù mật phải và giới hạn bên trái là tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong T. 3. Cho X là một không gian Banach, ánh xạ f : Tk × X −→ X (t, x) 7−→ f (t, x) gọi là rd-liên tục nếu thoả mãn các điều kiện sau: (a) f liên tục tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật phải hay t = max T, 5 (b) Các giới hạn f (t− , x) := lim f (s, y) và lim f (t, y) tồn tại tại (s,y)→(t,x) y→x mỗi điểm (t, x) với t là trù mật trái. Ta ký hiệu: Crd (T, R) = {f : T −→ R, f là rd-liên tục}. 1 Crd (T, R) = {f : T −→ R, f là khả vi và f ∆ ∈ Crd (T, R)}. Định lý 1.1.9. Tập hợp Crd R(T, C) tất cả các hàm rd-liên tục và regressive trên T cùng với phép toán ⊕ xác định bởi p ⊕ q := p + q + µpq lập thành một nhóm Abel. −q Phần tử khả nghịch của phần tử q của nhóm này là q = . 1 + µq Định lý 1.1.10. Xét hàm f : T −→ R, ta có 1. Nếu f liên tục thì f là rd-liên tục. 2. Nếu f là rd-liên tục thì f là regulated. 3. Toán tử bước nhảy σ là rd-liên tục. 4. Nếu f là regulated (hay rd-liên tục) thì f σ cũng là regulated (rd-liên tục) 5. Giả sử f là liên tục. Nếu g : T −→ R là regulated hay rd-liên tục f g cũng có tính chất như vậy. Định nghĩa 1.1.11. Hàm liên tục f : T −→ R gọi là tiền khả vi với miền khả vi D nếu các điều kiện sau đồng thời được thoả mãn: + D ⊂ Tk , + Tk \ D là không quá đếm được và không chứa điểm cô lập phải nào của T, + f khả vi tại mỗi t ∈ D. Định lý 1.1.12. Mỗi hàm regulated trên một khoảng compact đều bị chặn. 6 Định lý 1.1.13. (Định lý giá trị trung bình). Cho f và g là các hàm nhận giá trị thực, xác định trên T và là tiền khả vi với miền khả vi D. Khi đó, nếu |f ∆ (t)| ≤ g ∆ (t) với mọi t ∈ D thì |f (s) − f (r)| ≤ g(s) − g(r) với mọi r, s ∈ T, r ≤ s. Hệ quả 1.1.14. Cho f, g : T −→ R là tiền khả vi với miền khả vi D. 1. Nếu f ∆ (t) ≥ 0 ∀t ∈ D thì f (t) ≥ f (s) với mọi t, s ∈ T, t ≥ s. 2. Nếu U là khoảng compact với các điểm mút là r, s ∈ T thì   |f (s) − f (r)| ≤ sup |f ∆ (t)| |s − r|. t∈U k ∩D 3. Nếu f ∆ (t) = 0 với mọi t ∈ D thì f là hàm hằng. 4. Nếu f ∆ (t) = g ∆ (t) với mọi t ∈ D thì g(t) = f (t) + C với mọi t ∈ D, với C là một hằng số. Định lý 1.1.15. (Sự tồn tại tiền nguyên hàm). Cho f là một hàm regulated. Khi đó tồn tại một hàm tiền khả vi F với miền khả vi D sao cho F ∆ (t) = f (t) với mọi t ∈ D. Định nghĩa 1.1.16. Ta gọi hàm F trong định lý 1.1.15 là một tiền nguyên hàm của f . R Tích phân bất định của một hàm regulated f là f (t)∆t := F (t)+C, ở đây C là một hằng số tuỳ ý và F là một tiền nguyên hàm của f . Tích phân xác định của một hàm regulated f là Zs f (t)∆t := F (s) − F (r) (r, s ∈ T). r Một hàm F : T −→ R gọi là một nguyên hàm của f : T −→ R nếu F ∆ (t) = f (t), với mọi t ∈ Tk Ví dụ - Khi T = R thì Zb Zb f (t)∆t = a f (t) dt, a ở đây f là hàm liên tục. 7 - Khi T = Z thì  Pb−1     t=a f (t)  Zb  f (t)∆t = 0    a P   − a−1 t=b f (t) nếu a < b nếu a = b nếu a > b, với f là một hàm tuỳ ý: Z −→ R. - Khi T = hZ = {hk, k ∈ Z} (h > 0) thì  b    P h −1    nếu a < b a f (kh)h    k=   Zb h  f (t)∆t = 0 nếu a = b   a  a    P h −1   − f (kh)h nếu a > b,   b   k= h với f là một hàm tuỳ ý: hZ −→ R. Định lý 1.1.17. Cho a, b, c ∈ T, α ∈ R, f, g ∈ Crd (T, R). Ta có 1. σ(t) R f (s) ∆s = f (t)µ(t),ở đây t ∈ Tk . t 2. Rb [f (t) + g(t)] ∆t = a 3. Rb 4. αf (t) ∆t = α Rb a Rb Rb g(t) ∆t. a f (t) ∆t. a f (t) ∆t = − a 5. f (t) ∆t + a a Rb Rb Ra f (t) ∆t. b f (t) ∆t = Rc a f (t) ∆t + Rb f (t) ∆t. c 8 6. Rb f (σ(t))g ∆ (t) ∆t = (f g)(b) − (f g)(a) − a 7. Rb 8. f ∆ (t)g(t) ∆t. a ∆ f (t)g (t) ∆t = (f g)(b) − (f g)(a) − a Ra Rb Rb f ∆ (t)g(σ(t)) ∆t. a f (t) ∆t = 0. a 9. Nếu |f (t)| ≤ g(t) với mọi t ∈ [a; b) thì | Rb f (t) ∆t |≤ a 10. Nếu f (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [a; b) thì Rb Rb g(t)∆t. a f (t) ∆t ≥ 0. a Định nghĩa 1.1.18. Cho a ∈ T, sup T = ∞ và f là rd-liên tục trên [a; ∞). Tích phân suy rộng của hàm f trên [a; ∞) được định nghĩa như sau: Z∞ Zb f (t) ∆t := lim f (t) ∆t. b→∞ a a Định lý 1.1.19. Cho f : R −→ R là khả vi liên tục và g : T −→ R là ∆-khả vi. Khi đó hàm f ◦ g : T −→ R là ∆-khả vi và ta có   1  Z ∆ 0 ∆ (f ◦ g) (t) = f (g(t) + hµ(t)g (t)) dh g ∆ (t).   0  Với mỗi thang thời gian T tuỳ ý thì tập t ∈ T, t là điểm cô lập phải là không quá đếm được (Kết quả này được chứng minh trong [15]). Với a, b tuỳ ý thuộc T, a < b, ta ký hiệu tập  Ia,b := i, ti ∈ [a; b)và là điểm cô lập phải . Định lý sau đây cho ta mối quan hệ đầy ý nghĩa giữa tích phân Riemann trên thang thời gian và tích phân Riemann thông thường. Cách chứng minh của định lý này có thể được tìm thấy trong [23]. 9 Định lý 1.1.20. Cho f : [a; b] ∩ T −→ R bị chặn. Ta có Zb Zb f (t) ∆t = a f (t) dt + XZ i∈Ia,b a σ(ti ) (f (ti ) − f (t)) dt. ti Áp dụng định lý 1.1.20, ta tính được: ) ( Rb n bn+1 − an+1 P n n Pn−1 (σ(ti )n−j )tji + i∈Ia,b t − j=0 µ(ti ). 1. t ∆t = n+1 n+1 i n+1 a Rb 1 b P 2. ∆t = ln + i∈Ia,b a a t  σ(ti ) µ(ti ) − ln . ti ti  1−n  1−n Rb 1 b1−n − a1−n P (σ(t )) − t i i 3. ∆t = + i∈Ia,b µ(ti )t−n , i + n t 1 − n 1 − n a ở đây 0 ∈ / [a; b], n ∈ N, n 6= 1. 4. Rb a Rb  o P 1 n b a ti µ(ti ) α ∆t = α − α + i∈Ia,b α µ(ti )lnα + 1 − α , với α > 0. ln α t P 1n sin αb − sin αa + i∈Ia,b αµ(ti ) cos αti α a P αµ(ti ) o µ(ti ) −2 i∈Ia,b cos[α(ti + ] sin , với α 6= 0. 2 2 Rb P 1n 6. sin αt ∆t = cos αa − cos αb + i∈Ia,b αµ(ti ) sin αti α a P µ(ti ) αµ(ti ) o ]sin , với α 6= 0. −2 i∈Ia,b sin[α(ti + 2 2 5. cos αt ∆t = Định lý 1.1.21. (Về đổi biến đổi với tích phân). Giả sử V : T −→ R là e = V (T) là một thang thời gian . một hàm tăng chặt và T Nếu f : T −→ R là một hàm rd-liên tục, V là khả vi và có đạo hàm V ∆ là rd-liên tục thì Zb a V (b) Z e với a, b ∈ T. f (t)V ∆ (t)∆t = (f ◦ V −1 )(s) ∆s, V (a) 10 1.2 Toán tử cực vi Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian Banach E. Giả sử P t là một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính bị chặn trên E, tức là P (t + s) = P (t)P (s) ∀t, s ≥ 0 và với mỗi x ∈ E ánh xạ t → P (t)x liên tục trên R+ . Toán tử cực vi (ký hiệu là A) được xác định trên tập con DA nào đó của E, trong đó DA là tập các x ∈ E sao cho giới hạn lim t−1 (P t x − x) t→0 tồn tại (theo sự hội tụ theo chuẩn). Ta định nghĩa toán tử A như sau: Ax = lim t−1 (P t x − x). t→0 Nói cách khác, Ax là đạo hàm bên phải của ánh xạ t → P t x tại t = 0 d+ t Ax = P x|t=0 . dt Người ta chứng minh được rằng miền xác định DA của toán tử A là không gian con tuyến tính, trù mật trong E, còn A là toán tử tuyến tính đóng. 1.3 Kiến thức cơ bản về hàm siêu bội Những kiến thức này có thể tìm thấy ở bài báo [20] hoặc các cuốn sách [14, 21]. Ta lấy 0 < q < 1. Định nghĩa các lũy thừa q-dịch chuyển bởi: (z; q)n := n−1 Y (1 − zq k ) với n ∈ N, z ∈ C, k=0 (z; q)∞ ∞ Y := (1 − zq k ) với z ∈ C. k=0 Định nghĩa của (z; q)n có thể mở rộng nhất quán bởi việc đặt: (z; q)k = (z; q)∞ với k ∈ Z; z ∈ C. (zq k ; q)∞ Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu: (a1 , a2 , ..., ar ; q)k = (a1 ; q)k (a2 ; q)k ...(an ; q)k . 11 Ta đánh số chuỗi q−siêu hình học r Φs bởi hai số nguyên không âm r và s. Với bất kỳ {ai } ∈ C; {bi } ∈ C\{q −k }k≥0 chuỗi này được xác định như sau: r Φs (a1 , ..., ar ; b1 , ...bs ; q; z) := k(k−1) ∞ X (a1 , ..., ar ; q)k ((−1)k q 2 )1+s−r z −k (b1 , ..., bs , q; q)k k=0 . Chuỗi này hội tụ với tất cả z ∈ C nếu r ≤ s và hội tụ trên miền |z| < 1 nếu r = s + 1. Chuỗi hội tụ chỉ tại z = 0 nếu r > s + 1. Sử dụng tính chất: (a; q)n n n(n−1) = (−1) q 2 , a→∞ an lim chúng ta nhận được các đẳng thức hữu ích sau: lim a→∞ r+1 Φs (a, a1 , ..., ar ; b1 , ..., bs ; q; z ) = r Φs (a1 , ...ar ; b1 , ..., bs ; q; z) (1.1) a lim r Φs+1 (a1 , ..., ar ; b, b1 , ..., bs ; q; bz) = r Φs (a1 , ...ar ; b1 , ..., bs ; q; z) (1.2) b→∞ với những z nằm ở miền hội tụ của các chuỗi trên. Định lý 1.3.1 (Định lý q−nhị thức). 1 Φ0 (a; −; q; z) = (az; q)∞ nếu |z| < 1; |q| < 1, a ∈ C. (z; q)∞ Trong luận văn này chúng ta sử dụng hai q−phiên bản của hàm mũ. Đó là, ∞ X zk 1 eq (z) := 1 Φ0 (0; −; q; z) = = (z; q)∞ (q; q)k với |z| < 1 k=0 và 1 = (−z; q)∞ eq (−z) k(k−1) ∞ X q 2 (−z)k = với z ∈ C (q; q)k Eq (z) := 0 Φ0 (−; −; q; −z) = k=0 12
- Xem thêm -