Tài liệu PT, HPT hay và khó

Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài 1. Giải hệ phương trình   xy  1 x  y  1  x 2  1  0   2x  1  x , y     2 2 4 y  10   y  4 x  5 x   y  4 x  3  Thi thử Vted.vn – Đặng Thành Nam Phân tích ý tưởng: Ta thấy phương trình hai trong hệ phức tạp chưa khai thác được gì nhiều, ta sẽ chuyển hướng lên phương trình một. Cái đích của việc giải hệ chính là tìm mối liên hệ giữa x , y sau đó thế vào phương trình còn lại tìm nghiệm. Phương trình một có chứa căn thức nên để đơn giản ta xy 1 , mục đích của ta muốn là t  k  const để từ đó biểu 2x  1 diễn x , y . Với phép đặt trên ta có thể dễ dàng rút y theo x , t như sau: sẽ đặt t  t xy 1 xy 1  t2   y  x  1  2 x  1t 2 2x  1 2x  1   Khi đó pt 1  x  x  1  2 x  1t 2   1 t  x 2  1  0    xt  x  1  2 x 2  xt 3  t  x 2  1  0  Bây giờ ta sẽ đưa phương trình  về dạng phương trình bậc hai ẩn x để xét đenta hoặc nhóm nhân tử chung, vì thế ta có:   x2 t  xt  2 x2  xt 3  t  x2  1  0  x 2 t  1  2t 3   x t  t 3   t  1  0  x 2 2t 3  t  1  x t 3  t   t  1  0 Và có thể thấy ngay nhân tử t  1  0 vì 2t 3  t  1  t  12t 2  t  1 và với t 3  t  t  1t 2  t  , do đó suy ra:   x2 t  12t 2  t  1  xt  1t 2  t  t  1  0  t  1  x 2 2t 2  t  1  x t 2  t  1  0   Với x , t  0 suy ra x 2 2t 2  t  1  x t 2  t  1  0 , nên   t  1 . Hay nói cách khác x  y  1  2 x  1  x  y  0 . 1 Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited Tuy nhiên, với công cụ máy móc phát triển, ta có thể xử lý phương trình một của hệ bằng CASIO rất đơn giản như sau: Xét phương trình  xy  1 xy 1  x2  1  0 . 2x  1 x  99  x2  1  0 . 2x  1 Dùng SHIFT SOLVE ta được nghiệm x  100  x  y  0 .  Gán y  100 ta được 100 x  1  Gán y  500 ta được 500 x  1 x  499  x2  1  0 . 2x  1 Dùng SHIFT SOLVE ta được nghiệm x  500  x  y  0 . xy 1  1 nên ta sẽ lựa chọn phương pháp liên hợp để 2x  1 tìm nhân tử chung, đó là:  xy 1 xy 1   x 2  1  1  xy  0  x 2  xy  1  xy  1  0 2x  1   2 x  1   x  0   1  xy   0  x  y  0 vì    x  y  x     1  xy  0 2 x  1 x  y  1  2 x  1   Với x  y  0    Với x  y  0 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: 4 x 2  10   x 2  4 x  5 x  4  x x  3 Tiếp tục, phương trình trên chứa hai căn thức, có lẽ hướng tối ưu là liên hợp, để tìm được nhân tử chung ta cần tìm nghiệm của bài toán trước. Vẫn bằng máy tính CASIO ( thực chất có thể không dùng tới máy ) ta sẽ tìm được phương trình có hai nghiệm x  1 và x  4 . Mặt khác, ở biểu thức x  4 x  5   x  1 x  5 nên ta sẽ liên hợp 2 sẽ phải liên hợp x đã chứa x với 2 , tương tự x  3 với 2 , do đó ta được: 4 x  10   x 2  4 x  5 x  4  x x  3 2   2  x 2  5 x  4   x  1 x  5  2  x  5 x  4  2 x  5 x2  5x  4 x 2   x  2   x  4  x32 x 2  5x  4 x3 2  2 Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited    x 2  5 x  4  0   x  1 x  4  0   x  1  x  4    x  5 1 2   i   x2 x3 2  Với điều kiện x  0 ta thấy i   x 1  x 2 2 1  x3 2  0 vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là  x; y  1; 1 ,4; 4 . Nhận xét: Nói chung câu hệ phương trình này là hay và chuẩn mực, đi sâu vào những kiến thức cơ bản. Nhưng trong quá trình làm lại phát hiện ra có thể làm khó phương trình hai sau khi thế x  y  0 là phương trình sau: Bài 2. Giải phương trình trên tập số thực 16 x 3  45 x 2  129 x  172  12  x 2  4 x  5 x  12 4  x x  3 Nguyễn Thế Duy – Đại Học Dược Hà Nội Lời giải: Điều kiện: x  0 .   Ta có: 12  x  4 x  3  3 x  4 4 x  3  x  7  3 x  4 x  7    Và 12  x 2  4 x  5 x  4  x  1 x  5 3 x  x  2  4  x  1 x  5 x  2 Do đó phương trình đã cho tương đương với:    12  x  1  x  4  4  x  1 x  5 3 x  x  2  3 x  4 4 x  3  x  7 2 4  x  5 x  1  x  4 2  12  x  1  x  4  2 3 x  1  x  4  2  3 x x2 4 x3 x7 x  1 2   x  1  x  4. f  x  0   vì f  x  0 với mọi x  0 . x  4  4  x  5 3 Với f  x  12  .  3 x x2 4 x3  x7 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1; 4 . Kết luận: Bài trên thực ra là khó để thi và khó về tư duy, chỉ là hướng phát triển từ bài đầu. Vậy tư duy kiểu gì thì mọi người hãy theo dõi hai ví dụ dưới đây nhé để có cái nhìn tổng quát. 3 Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited Bài 3. Giải phương trình 2  x  2 5  x 2   x  1 5  x 2  7 x  5 x   Trần Quốc Luật – THPT Chuyên Hà Tĩnh Phân tích ý tưởng: Đây là một bài toán bất phương trình nhưng trước hết ta cần xử lý dấu bằng để tìm nghiệm của nó trước khi xét dấu đẳng thức. Vẫn bằng công cụ CASIO, ta sẽ đi dò nghiệm của phương trình: f  x  2  x  2 5  x 2   x  1 5  x 2  7 x  5  0 Nhập máy, ta thấy rằng với điều kiện x   5; 5  ta sẽ gán các giá trị x   nguyên từ 2  2 và máy sẽ báo hai nghiệm là x  1 hoặc x  2 . Tuy nhiên, đến đây mọi thứ vẫn chưa rõ ràng, có nghiệm nhưng ta vẫn loay hoay chưa biết xử lý như thế nào. Vậy nên ta sẽ có thêm một bước nữa là kiểm tra tính chất nghiệm, tính chất nghiệm ở đây có phải là nghiệm bội hay không. Chả mất bao nhiêu công sức để ta tính được f ' x ( đây là bước cần thiết khi gặp một bài phương trình, cũng không tốn nhiều thời gian nên gặp bài toán nào đó, có nghiệm thì hãy cứ đạo hàm nên nhé ) như sau: 2 x x  2 x  x  1 f '  x  2 5  x 2   5  x2  7 2 5x 5  x2  Với x  1 suy ra f '1  6  6  0 .  Với x  2 suy ra f '2  0 . Dựa vào các số liệu trên, ta khẳng định phương trình có nghiệm x  1 và nghiệm kép x  2 . Mục đích của ta là “ tìm biểu thức liên hợp với hai căn “ mà với nghiệm tìm được ta đưa ra các kết luận sau:  Với biểu thức 2  x  2 5  x 2 vì đã chứa nghiệm x  2  0 , nên ta sẽ ghép biểu thức liên hợp 5  x 2 với ax  b sao cho xuất hiện hai nghiệm x  1 và x  2 . Do đó ta có hệ phương trình:  5  x 2  ax  b 2 a  b  1 1 5    a  ; b  x  1; x  2 b  a  2 3 3    1 Vậy là ta đã có được nhân tử  5  x 2  5  x .   3 4 Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited  Với căn thức thứ hai  x  1 5  x 2 vì đã chứa nghiệm x  1  0 , lượng căn 5  x 2 sẽ ghép liên hợp với mx  n xuất hiện nghiệm kép là x  2 . Do đó ta có hệ phương trình:  mx  n  5  x 2 2 5 x 2   m ; n   2 3 3 mx  n'  5  x ' x2    1 Vậy là ta đã có được nhân tử  5  x 2  2 x  5 .   3   Khi ghép biểu thức liên hợp, đại lượng còn dư là: 1 1 2  x  2. 5  x   x  1. 2 x  5  7 x  5 . 3 3 Do đó, phương trình f  x  0 tương đương với:     1 1 2  x  2  5  x 2  5  x   x  1  5  x 2   2 x  5  0     3 3  2  x  2  3 5  x 2   5  x   x  1  3 5  x 2   2 x  5  0     20  x  2  x  1 5 x  2  x  1 2  2  0 3 5  x2  5  x 3 5  x2  2x  5  2 1 4    x  2  x  1   0  3 5  x 2  2 x  5 3 5  x 2  5  x  Và ta sẽ đi chứng minh cụm phương trình còn lại vô nghiệm. Với điều kiện bài cho, ta sẽ khảo sát nó trên bảng TABLE như sau: 1 4   Nhập F X  . 2 3 5  X  2X  5 3 5  X 2  5  X  Nhập Start ?  2  End ?  2  Step ?  0.2  "  " .  Ta sẽ thấy tất cả giá trị đều cho F X   0 . Quy đồng F X ta được g  x  3 5  x 2  12 5  x 2  9 x  15 và với kết luận trên ta sẽ chứng minh với x   5; 5  thì g  x  0 . Điều này dễ thấy   vì g  x  3   5  x 2  5  x 2  9 5  x 2  9 x  15  0 . Việc còn lại là đưa dấu bất đẳng thức và tìm nghiệm của bất phương trình. 5 Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited Lời giải: Điều kiện: x   5; 5  .   Bất phương trình đã cho tương đương với:     1 1 2  x  2  5  x 2  5  x   x  1  5  x 2  2 x  5  0     3 3  2  x  2  3 5  x 2  5  x   x  1  3 5  x 2  2 x  5  0     20  x  2  x  1 2  5 x  2  x  1 2  0 3 5  x2  5  x 3 5  x2  2 x  5  2 1 4    x  2  x  1   0  3 5  x 2  2 x  5 3 5  x 2  5  x      x  2  x  1 3 5  x 2  12 5  x 2  9 x  15  0 2 Ta thấy  x  2  0 và 3 2    5  x 2  5  x 2  9 5  x 2  9 x  15  0 do đó x  2 x  2   bất phương trình   . x  1  0 x  1  Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là S  1; 5  / 2 .  Bài 4. Giải hệ phương trình  x  y  2 x  y  x  3 y  x, y   .  2  x  y  4 y  3  2 x  y  5  4 y 2  3 x  3  Trích đề thi mẫu hướng đến kì thi THPT Quốc Gia 2016 Phân tích ý tưởng: Quan sát phương trình thứ hai của hệ, là một phương trình dài và khá phức tạp. Chính vì thế ta sẽ đi xét phương trình một để tìm mối quan hệ giữa x , y . Xét phương trình  x  y  2 x  y  x  3 y .  Chọn y  1 suy ra  x  1 x  1  x  3 . Dùng máy tính CASIO với chức năng SHIFT SOLVE ta được x  5  1  4  y  4 .  Chọn y  100 suy ra  x  98 x  100  x  300 . Tương tự như bên trên ta được x  104  100  4  y  4 . Vậy nhân tử có được đó chính là x  y  4  0 . Chính vì thế ta sẽ ghép biểu thức liên hợp cho x  y với 2 và ta được: 6 Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited  x  y  2  x  y  4  0   x  y  2 x  y  2   x  y  2 x  y  2  0   x  y  x  y  x  y  2  0  x  y  4  y  x  4 pt 1   x  y  2 x  y  0 Vì điều kiện bài cho  hiển nhiên phương trình x  y  x  y  0 x  y  5 sẽ vô nghiệm. Với y  x  4 thế xuống phương trình hai trong hệ, ta có: 4  x  4 x  1  2 2 x  9  4 x 2  29 x  55  Ta sẽ tiếp tục dùng máy tính CASIO để nhẩm nghiệm của phương trình  có thể dùng SHIFT SOLVE hoặc TABLE để tìm nghiệm.  Với SHIFT SOLVE, ta nhập phương trình  vào máy đồng thời gán 9  giá trị biến thuộc  ;  , ta sẽ gán một vài giá trị biến bằng các số  2  5,6,8.5,... ta sẽ được nghiệm x  5 . Đồng thời xét hàm số f  x với f  x  4  x  4 x  1  2 2 x  9  4 x 2  29 x  55 , ta thấy đạo hàm f '  x  4 x  1  2  x  4 x 1  2 2x  9  8 x  29 và có được f '5  0 nên phương trình  có nghiệm kép x  5 .  Với TABLE và f  x  4  x  4 x  1  2 2 x  9  4 x 2  29 x  55 , ta sẽ nhập các giá trị START  4.5 , END  10 , STEP  0.5 , khi đó ta được bảng giá trị như sau: 5 5.5 … 9 … 10 4.5 6 6.5 X F X 1.758 0 0.943 3.647 8.047 … 55.43 … 86.36 Dựa vào bảng trên, ta thấy các giá trị biến giảm dần sang hai biên và thực chất đó chính là một parabol tiếp xúc với trục hoành do đó phương trình  có nghiệm kép là x  5 . Với nghiệm kép tìm được, ta sẽ hướng tư duy đến các trường hợp như liên hợp, đánh giá qua bất đẳng thức, đưa về tổng các đại lượng không âm …  Phương pháp liên hợp kép do phương trình  chứa hai căn thức bậc hai nên ta sẽ có hai biểu thức liên hợp, đó là: 7 Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited ax  b  x  1  1 3 x 5 Đặt ax  b  x  1 , giải hệ   a  ;b  . ax  b'  x  1 ' 4 4  x 5    Liên hợp cần tìm là x  3  4 x  1 . mx  n  2 x  9  m  1 x5 Đặt mx  n  2 x  9 , giải hệ  .   mx  m'  2 x  9 '  n   4    x5    Liên hợp cần tìm là x  4  2 x  9 . Do đó, phương trình  trở thành:   3x  5 2       x  4 x  3  4 x  1  2 x  4  2 x  9  0  2 x4 2   0  x  5   x  5 3    x  3  4 x  1 x  4  2 x  9   x4 9  0; x  . 2 x  3  4 x  1 x  4  2x  9 Phương pháp đưa về tổng các đại lượng không âm do tìm được nghiệm 2  x  4  x  1  kép x  5 nên suy ra  vì thế ta có được:  2 x  9  1  2 2   2 x  9  1   2x  4  x  1  0 2  x  4  x  1     x5  2 x  9  1  Phương pháp đánh giá qua bất đẳng thức do với nghiệm duy nhất x  5 hay nói cách khác với điểm rơi x  5 , áp dụng bất đẳng thức 4  x  4 x  1   x  4 x  3  AM – GM chúng ta có  nên suy ra: 2 2 x  9  2 x  9  1  2 x  8    4 x2  29 x  55  x  4x  3  2 x  8 Vì 3    2    4 x 2  29 x  55  x 2  x  12  2 x  8  3x 2  30 x  75  0  3 x  5  0  x  5 2 Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y  5;1 . 8