Tài liệu Phương trình với toán tử d accretive

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đặng Thị Hồng Dương PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đặng Thị Hồng Dương PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cho X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt cùng với không gian đối ngẫu X ∗ của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k. Ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X là hx∗ , xi. Toán tử A : X → 2X được gọi là toán tử d-accretive nếu hJx1 − Jx2 , y1 − y2 i ≥ 0 với mọi x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 , ở đây D(A) là kí hiệu miền xác định của toán tử A. Chúng ta xét phương trình toán tử Ax = f. Phương pháp hiệu chỉnh toán tử được Lavrent’ev [6] đưa ra đầu tiên cho phương trình toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert. Những nghiên cứu sâu sắc cho bài toán này được công bố trong [3]-[5]. Trong không gian Banach X, nhưng không phải không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X là không tuyến tính. Khi đó, không thể áp dụng phương pháp hiệu chỉnh toán tử trong [3]-[6] cho phương trình toán tử Ax = f trong không gian Banach. Khi đó đòi hỏi những nghiên cứu mới về phương pháp hiệu chỉnh toán tử cho phương trình toán tử phi tuyến. i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày một số kết quả cơ bản về phương trình toán tử Ax = f với toán tử d-accretive trong không gian Banach. Các vấn đề đề cập trong luận văn được tập hợp từ tài liệu [2], trong các mục về: Toán tử accretive và toán tử d-accretive; Phương trình toán tử accretive và phương trình toán tử d-accretive; Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử d-accretive. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về toán tử accretive và toán tử d-accretive và một số tính chất hình học của không gian. Chương 2 sẽ trình bày phương trình toán tử accretive, phương trình toán tử d-accretive và phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử daccretive. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của cô trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ của các giáo sư công tác tại trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam và Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống để tôi có điều kiện tốt nhất khi học tập nghiên cứu. Do điều kiện thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi hy vọng được tiếp tục nghiên cứu đề tài trên trong thời gian tới. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Đặng Thị Hồng Dương iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp của X Rn không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x inf x∈X F (x) infimum của tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị của ma trận A a∼b a tương đương với b A∗ toán tử liên hợp của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A xk → x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk * x dãy {xk } hội tụ yếu tới x iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục 1 Toán tử accretive và d-accretive 1.1 Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Toán tử d-accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Một số tính chất hình học của không gian . . . . . . . . 1 1 8 14 2 Phương trình với toán tử d-accretive 2.1 Phương trình toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phương trình toán tử d- accretive . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hiệu chỉnh phương trình toán tử d-accretive . . . . . . . 26 26 32 34 Tài liệu tham khảo 40 v Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Toán tử accretive và d-accretive Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử accretive và d-accretive. Các khái niệm và kết quả của chương này được tham khảo trong tài liệu [1], [2]. 1.1 Toán tử accretive Cho X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt cùng với không gian đối ngẫu X ∗ của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k. Ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X là hx∗ , xi. Định nghĩa 1.1.1. Toán tử A : X → X ∗ được gọi là i) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty) * Ax, khi t → 0, ∀x, y ∈ X. ii) demi-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra Axn * Ax, n → ∞. iii) liên tục yếu theo dãy (weak-to-weak continuous) nếu với bất kỳ dãy xn ⊂ X, xn * x0 thì Axn * Ax0 . 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive ∗ Định nghĩa 1.1.2. Toán tử J : X → 2X được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X nếu hJ(x), xi = kJ(x)kkxk = kxk2 , ∀x ∈ X. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó, i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) với mọi λ > 0; ii) J là toán tử đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì J ≡ I (trong đó I là toán tử đơn vị trong X). Định lý 1.1.4. Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệu chặt. Định nghĩa 1.1.5. Toán tử A : X → 2X gọi là toán tử accretive nếu hJ(x1 − x2 ), y1 − y2 i ≥ 0 (1.1) với mọi x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 , ở đây D(A) là kí hiệu miền xác định của toán tử A. Nếu toán tử A khả vi Gâteaux thì ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.1.6. Toán tử khả vi Gâteaux A : X → X là toán tử accretive nếu hJh, A0 (x)hi ≥ 0, ∀x, h ∈ X. Sau đây là một định nghĩa khác của toán tử accretive. Định nghĩa 1.1.7. Toán tử A : X → 2X được gọi là toán tử accretive nếu kx1 − x2 k ≤ kx1 − x2 + λ(y1 − y2 )k, λ > 0, (1.2) với mọi x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 . 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Định lý 1.1.8. Định nghĩa 1.1.5 và Định nghĩa 1.1.7 là tương đương. Chứng minh: Thật vậy, giả sử (1.1) thỏa mãn, khi đó bất đẳng thức hJ(x1 − x2 ), x1 − x2 + λ(y1 − y2 )i ≥ kx1 − x2 k2 , λ > 0, có giá trị và từ đó suy ra (1.2). Hơn nữa, ta biết rằng nếu X ∗ là không gian lồi chặt thì X là không gian trơn và Jx = 2−1 gradkxk2 . Từ tính lồi của hàm kxk2 ta có bất đẳng thức kx1 − x2 k2 ≥ kx1 − x2 + λ(y1 − y2 )k2 −2λhJ(x1 −x2 +λ(y1 −y2 )), y1 −y2 i. Nếu (1.2) thỏa mãn thì hJ(x1 − x2 + λ(y1 − y2 )), y1 − y2 i ≥ 0. Cho λ → 0 và sử dụng tính chất hemi-liên tục của J ta nhận được (1.1) 2 Sau đây là một số tính chất của toán tử accretive. Định nghĩa 1.1.9. Toán tử accretive A : X → 2X là toán tử bức nếu hJx, yi ≥ c(kxk)kxk, ∀y ∈ Ax, ở đây c(t) → +∞ khi t → +∞. Định nghĩa 1.1.10. Toán tử A : X → 2X được gọi là bị chặn địa phương tại điểm x ∈ D(A) nếu tồn tại một lân cận M của điểm đó sao cho tập hợp A(M ) = {y : y ∈ Ax, x ∈ M ∩ D(A)} là bị chặn trong X. Định lý 1.1.11. Cho A : X → 2X là toán tử accretive, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ và J ∗ : X ∗ → X liên tục trong X và X ∗ tương ứng. Khi đó toán tử A bị chặn địa phương tại mọi điểm x ∈ intD(A). 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Chứng minh: Giả sử ngược lại. Lấy x0 ∈ intD(A), xn ∈ D(A), n = 1 1, 2, ..., xn → x0 và kyn k → ∞, ở đây yn ∈ Axn . Lấy tn = kxn − x0 k 2 . Với bất kì z ∈ X ∗ , ta xây dựng dãy {zn } bởi zn = J(xn − x0 − tn w) + tn z, ở đây w = J ∗ z. Dãy phần tử zn xác định vì D(J) = X. Từ tính liên tục của J và từ tn → 0 suy ra zn → θX ∗ và phần tử x0 + tn w ∈ D(A) với mọi w ∈ X và n > 0 đủ lớn. Nếu f ∈ Av, v = x0 + σw, un ∈ A(x0 + tn w) thì từ tính chất accretive của toán tử A ta nhận được (tn − σ)hz, un − f i ≥ 0, từ đó hz, un i ≤ kzk∗ kf k với tn < σ. Vì R(J) = X ∗ , ở đây R(J) là kí hiệu miền giá trị của toán tử J, ta được lim sup hz, un i < ∞, ∀z ∈ X ∗ . n→∞ Sử dụng định lý Banach-Steinhaus suy ra tính bị chặn của dãy {un }, hay kun k ≤ C với mọi n > 0. Hơn nữa, vì A là toán tử accretive, ta có hzn − tn z, yn − un i ≥ 0. Vì vậy, 1 1 kzn k∗ kyn k + C hz, yn i ≤ hzn , yn i − hzn − tn z, un i ≤ tn tn tn Đặt   kzn k∗ + kzn k∗ . tn kzn k∗ x − x n 0 ∗ τn (z) = = J( − J z) + z tn tn ∗ ta suy ra hz, yn i < ∞. n→∞ 1 + kyn kτn (z) lim sup Hàm ϕ(z) = hz, yn i 1 + kyn kτn (z) 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive liên tục theo biến z vì J và J ∗ liên tục. Do đó, theo chứng minh định lý Banach-Steinhaus, ta suy ra tồn tại các hằng số C1 > 0 và r > 0 sao cho hz, yn i ≤ C1 , n = 1, 2, ... 1 + kyn kτn (z) (1.3) nếu z ∈ X ∗ với kzk∗ ≤ r. Trong (1.3) lấy z = z n ∈ B ∗ (θX ∗ , r) thỏa mãn điều kiện hz n , yn i = rkyn k. Do đó C1 kyn k ≤ . 1 + kyn kτn (z̄n ) r Suy ra, C1 kyn k ≤ r −1  C1 1 − τn (z n ) . r Từ tính liên tục của J suy ra   x − x n 0 ∗ ∗ J τn (z n ) = − J z + JJ z n n → 0, n → ∞. tn ∗ Vì vậy, với ε > 0 thỏa mãn 1 − C1 r−1 ε > 0 và với n > 0 đủ lớn, bất đẳng thức sau thỏa mãn  −1 C1 C1 kyn k ≤ 1− ε . r r Điều này mâu thuẫn với giả thiết kyn k → ∞ khi n → ∞. 2 Hệ quả 1.1.12. Nếu A : X → 2X là một toán tử accretive, J là ánh xạ liên tục, D(A) = X và X là không gian hữu hạn chiều thì toán tử A bị chặn. Định lý 1.1.13. Nếu toán tử T : X → X là không giãn trong D(A) thì A = I − T là toán tử accretive. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Chứng minh: Với mọi x, y ∈ D(A) ta có hJ(x − y), Ax − Ayi = −hJ(x − y), T x − T yi + hJ(x − y), x − yi ≥ kx − yk2 − kT x − T ykkx − yk ≥ kx − yk2 − kx − yk2 = 0. 2 Định nghĩa 1.1.14. Toán tử accretive A : X → 2X được gọi là toán tử accretive cực đại nếu đồ thị của nó không được chứa thực sự trong bất kỳ đồ thị của một toán tử accretive B : X → 2X nào khác. Bổ đề sau đây chỉ ra rằng đồ thị của bất kỳ một toán tử accretive cực đại nào cũng demi-đóng. Bổ đề 1.1.15. Cho A : X → 2X là toán tử accretive cực đại, xn ∈ D(A), yn ∈ Axn . Giả sử xn → x, yn * y và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục hoặc xn * x, yn → y và J liên tục yếu theo dãy. Khi đó x ∈ D(A) và y ∈ Ax. Chứng minh: Từ tính chất accretive của A suy ra hJ(xn − u), yn − vi ≥ 0, ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ Au. Cho n → ∞. Với giả thiết của định lý, ta nhận được hJ(x − u), y − vi ≥ 0, ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ Au. Từ tính accretive cực đại của A suy ra x ∈ D(A) và y ∈ Ax. 2 Bổ đề 1.1.16. Tập giá trị của toán tử accretive cực đại A : X → 2X tại bất kỳ điểm nào thuộc tập xác định của nó là một tập lồi đóng. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Định lý 1.1.17. Cho A : X → X là toán tử accretive và hemi-liên tục với D(A) = X. Khi đó A là toán tử accretive cực đại. Chứng minh: Từ bất đẳng thức hJ(x − y), Ax − f i ≥ 0, ∀x ∈ X, (1.4) suy ra f = Ay. Từ D(A) = X ta có thể đặt trong (1.4) x = xt = y + tz, ∀z ∈ X, t > 0. Khi đó, hJz, Axt − f i ≥ 0. Cho t → 0 và sử dụng tính chất hemi-liên tục của A ta nhận được hJz, Ay − f i ≥ 0, ∀z ∈ X. Vì R(J) = X ∗ , ta suy ra f = Ay. 2 Định lý 1.1.18. Cho A : X → X là một toán tử accretive với D(A) = X, ánh xạ đối ngẫu J và J ∗ liên tục. Khi đó tính chất hemi-liên tục và demi-liên tục của A trong intD(A) trùng nhau. Định nghĩa 1.1.19. Toán tử A : X → 2X được gọi là accretive chặt nếu dấu bằng trong (1.1) chỉ thỏa mãn khi x1 = x2 . Định nghĩa 1.1.20. Toán tử A : X → 2X được gọi là accretive đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 sao cho: hJ(x1 − x2 ), y1 − y2 i ≥ γ(kx1 − x2 k), ở đây, x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 . Một toán tử A được gọi là accretive mạnh nếu γ(t) = ct2 , c > 0. Định nghĩa 1.1.21. Toán tử A : X → 2X được gọi là m-accretive nếu R(A + αI) = X với mọi α > 0, ở đây I là toán tử đơn vị trong X. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Bổ đề 1.1.22. Nếu toán tử A là m-accretive thì nó là toán tử accretive cực đại. Chứng minh: Theo Định nghĩa 1.1.21, R(A + I) = X. Vì A + I là toán tử accretive mạnh, nên tồn tại duy nhất cặp (x, y) ∈ grA sao cho y + x = f với mọi f ∈ X. Giả sử à là toán tử accretive cực đại chứa toán tử A (nó tồn tại theo bổ đề Zorn’s). Nếu tồn tại một cặp (x̃, ỹ) thuộc đồ thị của à và không thuộc vào đồ thị của A, thì dẫn đến mâu thuẫn với nghiệm duy nhất của phương trình Ãx + x = f . Vậy à = A. 2 Chiều ngược lại của Bổ đề 1.1.22 không đúng. Tuy nhiên ta có kết quả sau đây. Định lý 1.1.23. Giả sử X ∗ là không gian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J ∗ liên tục, toán tử A : X → 2X là toán tử accretive và D(A) là tập mở. Khi đó A là m-accretive khi và chỉ khi A là accretive cực đại. Tiếp theo đây là kết quả quan trọng về tổng của các toán tử maccretive. Định lý 1.1.24. Cho X và X ∗ là các không gian Banach lồi đều, A : X → 2X và B : X → 2X là các toán tử m-accretive trong X, D(A) ∩ D(B) 6= ∅ và một trong chúng bị chặn địa phương. Khi đó A + B là toán tử m-accretive. 1.2 Toán tử d-accretive Cho X là không gian Banach lồi chặt và phản xạ và không gian liên hợp X ∗ cũng lồi chặt. Trong mục này chúng tôi nghiên cứu toán tử d-accretive cổ điển. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Định nghĩa 1.2.1. Một toán tử A : X → 2X với D(A) ⊆ X được gọi là toán tử d-accretive nếu hJx − Jy, u − vi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A), ∀u ∈ Ax, ∀v ∈ Ay. (1.5) Sau đây là một vài ví dụ về toán tử d-accretive. Ví dụ 1.2.2. Nếu F là toán tử đơn điệu từ X ∗ vào X, thì toán tử A = F J với D(A) = {x ∈ X : Jx ∈ D(F )} là toán tử d-accretive từ X vào X. Thật vậy, vì F thỏa mãn điều kiện hϕ1 − ϕ2 , ψ1 − ψ2 i ≥ 0, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D(F ) ⊂ X ∗ , ∀ψ1 ∈ F ϕ1 , ∀ψ2 ∈ F ϕ2 , ta có thể viết hJJ ∗ ϕ1 − JJ ∗ ϕ2 , ψ1 − ψ2 i ≥ 0, ∀ψ1 ∈ F ϕ1 , ∀ψ2 ∈ F ϕ2 , bởi vì JJ ∗ = IX ∗ . Đặt J ∗ ϕ1 = x và J ∗ ϕ2 = y, ta có hJx − Jy, ψ1 − ψ2 i ≥ 0, ∀ψ1 ∈ Ax, ∀ψ2 ∈ Ay. Ta cũng nhận thấy rằng nếu A : X → 2X là toán tử d-accretive thì AJ ∗ : X ∗ → 2X là toán tử đơn điệu. Ví dụ 1.2.3. Giả sử toán tử T : X → X thỏa mãn bất đẳng thức kT x − T yk ≤ hJx − Jy, x − yi , ∀x, y ∈ D(T ). kJx − Jyk∗ (1.6) Khi đó toán tử A = I − T , ở đây I là toán tử đơn vị trong X, là toán tử d-accretive. Thật vậy, hJx − Jy, Ax − Ayi = hJx − Jy, (I − T )x − (I − T )yi = hJx − Jy, x − yi − hJx − Jy, T x − T yi ≥ hJx − Jy, x − yi − kT x − T ykkJx − Jyk ≥ 0. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Chú ý rằng từ (1.6) suy ra kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T ), nghĩa là T là ánh xạ không giãn. Chiều ngược lại nói chung không đúng. Trong không gian Hilbert, vế phải của (1.6) là kx − yk. Ví dụ 1.2.4. Cho Ω là một con lồi đóng khác rỗng của X. Ta xét hàm Lyapunov W : X × X → R+ xác định bởi W (x, ξ) = 2−1 (kxk2 − 2hJx, ξi + kξk2 ) (1.7) Theo tính chất của hàm W (x, ξ), với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất một phần tử x b ∈ Ω là nghiệm của bài toán cực trị min{W (x, ξ)|ξ ∈ Ω}. Ký hiệu x b bởi ΠΩ x, ta xác định toán tử chiếu suy rộng ΠΩ : X → Ω ⊆ X. Phần tử x b được gọi là phần tử chiếu suy rộng của x lên Ω. Ta thấy ΠΩ là toán tử d-accretive trong không gian X. Thật vậy, với x b1 = ΠΩ x1 và x b2 = ΠΩ x2 bất đẳng thức W (x1 , ξ) ≥ W (x1 , x b1 ) và W (x2 , η) ≥ W (x2 , x b2 ) thỏa mãn với mọi ξ, η ∈ Ω và mọi x1 , x2 ∈ X. Suy ra ξ = x b2 và η = x b1 . Khi đó, W (x1 , x b2 ) ≥ W (x1 , x b1 ) và W (x2 , x b1 ) ≥ W (x2 , x b2 ) Suy ra kx1 k2 − 2hJx1 , x b2 i + kb x2 k2 + kx2 k2 − 2hJx2 , x b1 i + kb x1 k2 ≥ kx1 k2 − 2hJx1 , x b1 i + kb x1 k2 + kx2 k2 − 2hJx2 , x b2 i + kb x2 k2 . Do vậy hJx1 , x b1 i + hJx2 , x b2 i ≥ hJx1 , x b2 i + hJx2 , x b1 i 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive và hJx1 − Jx2 , ΠΩ x1 − ΠΩ x2 i ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ X. Điều này nghĩa là ΠΩ là toán tử d-accretive. Định nghĩa 1.2.5. Cho W(x, ξ) định nghĩa bởi W(x, ξ) = 2−1 (kxk2 − 2hJξ, xi + kξk2 ). Ta nói rằng A : X → 2X với miền xác định D(A) là toán tử d-accretive nếu W(x1 , x2 ) ≤ W(x1 + λ(y1 − y2 ), x2 ) (1.8) với mọi x1 , x2 ∈ D(A), với mọi y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 và λ > 0. Định lý 1.2.6. Định nghĩa 1.2.1 và 1.2.5 là tương đương. Chứng minh: Cho ξ là một điểm xác định. Dễ ràng suy ra gradW(x, ξ) = Jx − Jξ, do đó nó là toán tử đơn điệu. Suy ra W(x, ξ) là hàm lồi với mọi x ∈ X. Do đó W(x1 , x2 ) ≥ W(x1 + λ(y1 − y2 ), x2 ) − λhJ(x1 + λ(y1 − y2 )) − Jx2 , y1 − y2 i. Từ bất đẳng thức này và (1.8) suy ra hJ(x1 + λ(y1 − y2 ) − Jx2 , y1 − y2 i ≥ 0. Cho λ → 0 và sử dụng tính chất hemi-liên tục của J ta nhận được tính d-accretive của toán tử A trong Định nghĩa 1.2.1. Ngược lại, giả sử (1.5) thỏa mãn, x1 , x2 ∈ D(A) và λ > 0. Khi đó (1.8) được suy ra từ tính lồi của W(x, ξ) W(x1 + λ(y1 − y2 ), x2 ) ≥ W(x1 , x2 ) + λhJx1 − Jx2 , y1 − y2 i. Kết quả nhận được suy từ tính đơn điệu của J. 2 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Định nghĩa 1.2.7. Toán tử A được gọi là d-accretive cực đại nếu đồ thị của nó không thực sự chứa trong đồ thị của bất kỳ một toán tử d-accretive B : X → 2X nào khác. Bổ đề 1.2.8. Tập giá trị của toán tử d-accretive cực đại tại điểm bất kỳ của miền xác định của nó là tập lồi và đóng. Định lý 1.2.9. Cho A : X → X là toán tử d-accretive, demi-liên tục với D(A) = X và cho ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J ∗ là liên tục. Khi đó, A là toán tử d-accretive cực đại. Chứng minh: Ta sẽ chỉ ra rằng từ bất đẳng thức hJx − Jy, Ax − f i ≥ 0, ∀x ∈ X (1.9) suy ra Ay = f . Từ D(A) = X, ta có thể đặt trong (1.9) x = xt = J ∗ (Jy + tJz) với mọi z ∈ X và t > 0. Khi đó hJz, Axt − f i ≥ 0. Cho t → 0. Sử dụng tính chất demi-liên tục của toán tử A và tính liên tục của J ∗ ta nhận được giới hạn hJz, Ay − f i ≥ 0, ∀z ∈ X. Vì R(J) ∈ X ∗ suy ra điều cần chứng minh. 2 Định lý 1.2.10. Cho A : X → 2X là toán tử d-accretive cực đại, xn ∈ D(A), yn ∈ Axn . Giả sử rằng hoặc xn → x, yn * y và ánh xạ đối ngẫu J liên tục, hoặc xn * x, yn → y và ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo dãy. Khi đó, x ∈ D(A) và y ∈ Ax. Định nghĩa 1.2.11. Một toán tử d-accretive A : X → 2X được gọi là m-d-accretive nếu R(A + αI) = X với mọi α > 0, ở đây I là toán tử đơn vị trong X. 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Bổ đề 1.2.12. Nếu toán tử A là m-d-accretive thì nó là d-accretive cực đại. Định lý 1.2.13. Cho A : X → 2X là toán tử d-accretive, ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ và J ∗ : X ∗ → X liên tục. Khi đó A bị chặn địa phương tại bất kì x0 ∈ intD(A). Chứng minh: Giả sử ngược lại, x0 ∈ D(A), xn ∈ D(A), n = 1, 2, ..., xn → x0 nhưng kyn k → ∞, ở đây yn ∈ Axn . Đặt zn = Jxn − Jx0 , 1 tn = kJxn − Jx0 k 2 và ta xây dựng một dãy phần tử wn = J ∗ (Jx0 +tn Jw) với w ∈ X. Rõ ràng rằng kzn k = t2n . Ta suy ra từ tính liên tục của J rằng tn → 0 và zn → θX ∗ khi n → ∞. Từ J ∗ J = IX và J ∗ liên tục, ta có wn → x0 . Do đó wn ∈ D(A) với tn ≤ σ. Cho v = J ∗ (Jx0 + σJw), un ∈ Awn và f ∈ Av. Khi đó, tính d-accretive của A được suy từ (tn − σ)hJw, un − f i ≥ 0, và ta nhận được từ tn ≤ σ bất đẳng thức hz, un − f i ≤ 0, z = Jw. (1.10) Vì R(J) = X ∗ , (1.10) thỏa mãn với mọi z ∈ X ∗ . Do đó, dãy {un } bị chặn theo định lý Banach-Steinhaus. Giả sử kun k ≤ C. Từ tính chất d-accretive của A suy ra hzn − tn z, yn − un i ≥ 0. Do đó, 1 1 hzn , yn i − hzn − tn z, un i tn tn   kxk∗ kzn k∗ ≤ kyn k + C + kzk∗ , tn tn hz, yn i ≤ từ bất đẳng thức sau hz, yn i < ∞, ∀z ∈ X ∗ , n→∞ 1 + kyn kτn lim sup 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn