Tài liệu Phương trình vi phân đại số

MỤC LỤC Trang Mở đầu ................................................................................................ 2 Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24 Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37 3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55 Kết luận .............................................................................................. 59 Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng: A t x '(t ) +B t x(t ) 0 ở đó, A det A t ,B C I , L Rn , x : I Rn , I a, , a là hằng số, 0 t I . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006. Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau. Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t ) 0 trong đó A, B là các ma trận thực, det A 0. Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 http://www.lrc-tnu.edu.vn A t x' t trong đó A . Lloc 0, ; K n n B t x t ,t 0 Lloc 0, ; K n , B . n , ở đây công thức bán kính ổn định được đưa ra. Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập, nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận 9 Định nghĩa 1.1.1. Cho P L  . P được gọi là một phép chiếu nếu P2 P. Nhận xét 1.1.2. i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: KerP ii) Mỗi phân tích  n U Im P  n. V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V. Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U. Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận) Cho A L  n . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerAk indA min k KerAk 1 .  : KerAk KerAk 1 Định lý 1.1.4. Với mọi A L  n ta luôn có: imAk KerAk  n với mọi k thoả mãn 00, ta tìm giá trị s0  sao cho G s0 1 1 sup G s s  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó tồn tại u  p : u G s0 . Theo một hệ quả của định 1 và G s0 u lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính y * xác định trên  q : y* 1 và y*G s0 u Đặt 1 G s0 G s0 u Vì vậy, uy*  1 G s0 G s0 1 G s0 u p q G s0 . . Rõ ràng, uy*G s0 u . Mặt khác, từ G s0 nhận Đặt E G s0 u Eu 0. s0 A B x Eu . Vậy E Fx đó có nghĩa là, s0 u. G s0 1 G s0 Kết hợp hai bất đẳng thức ta có được 1 G s0 1 u uy* ta có G s0 . Hơn nữa, từ x s0 A B 1 1 u. G s0 u u ta Eu , khi đó s0 A B x , hay là s0 A B E F x 0. Điều A, B E F , hoặc cặp A, B E F không chính quy. Do đó, hệ Ax '(t ) - B E F x(t ) 0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy. Nghĩa là, V . Mặt khác, ta có, d G s0 1 1 sup G s . s  1 Vì là bé tuý ý, nên d sup G s . s  1 Do đó, d sup G s . s  Để ý rằng, hàm G s là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng  . Do đó theo nguyên lý cực đại, G s đạt cực đại tại s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 hoặc trên biên i . http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Vậy, d sup G s . s i Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu s0  d và ma trận F s0 A B 1 sao cho G s0 1 G s0 1 max G s , s  1 E uy* , sẽ là ma trận “xấu” với Trường hợp hàm G s thì sup G s s  d . không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm hữu hạn s thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu” sao d như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường cho (ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi s ). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu G s không đạt được giá trị lớn nhất trên  thì không có một ma trận nào thoả mãn điều kiện d và hệ Ax '(t ) - B E F x(t ) 0 là không ổn định tiệm cận. Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận Lấy s0 A, B E F  như thế. và x là vectơ riêng của nó, nghĩa là, B E F x 0. Lập luận như trên ta thấy s0 Ax G s0 1 1 sup G s0 s  d . Điều này là mâu thuẫn. Hơn nữa, giả sử sn  sao cho sn Giả sử Ax '- B E n và lim G sn sup G s . s i tương ứng với sn được xây dựng như trên, khi đó hệ 0F x = 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 http://www.lrc-tnu.edu.vn