Tài liệu PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Phương trình tuyến tính cấp n hệ số hằng Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạng an y an y (n) (n) ( n 1)  ...  a1 y  a0 y  0 (1) ( n 1)  ...  a1 y  a0 y  f ( x) (2)  an1 y  an1 y Trong đó a1,a2 , … , an là các hằng số thực PT (1) gọi là pt thuần nhất PT (2) gọi là pt không thuần nhất Phương trình tuyến tính cấp n hệ số hằng Hệ hàm độc lập tuyến tính trên (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), …, yn(x)} được gọi là độc lập tuyến tính trong (a,b) nếu từ đẳng thức λ1y1(x)+λ2y2(x)+…+λnyn(x)=0 Ta suy ra λ1= λ2 =… = λn=0 Định thức Wronski của các hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b) là W ( y1 , y2 ,..., yn )  y1 y1 y2 y2 ... ... yn yn : : : : y1( n1) y2( n1) ... yn ( n1) Phương trình tuyến tính cấp n hệ số hằng Định lý: Cho các hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b). Nếu W ( y1 , y2 ,..., yn )  0 thì hệ trên đltt trong (a,b) Ví dụ: 2 hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với mọi x Ta đi tính định thức Wronski của 2 hàm đã cho W ( y1 , y2 )  e x e x e 2x xe x e (1  x) x  0, x  e (1  x)  xe 2x 2x Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất y  a1 y  a0 y  0 (1.1) Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng đltt của (1.1) thì NTQ của pt (1.1) là ytn=C1y1(x)+C2y2(x) Ta đi tìm nghiệm của (1.1) ở dạngy  ekx Thay vào (1.1) k: 2ekx  a1kekx  a2ekx  0  k 2  a1k  a2  0 (3) Vậy hàm y  ekx là nghiệm của pt (1.1) khi và chỉ khi k là nghiệm của pt (3) Ta gọi pt (3) là pt đặc trưng của pt (1.1) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Pt thuần nhất : y  a1 y  a2 y  0 Pt đặc trưng : k 2  a1k  a2  0 (3) TH 1: (3) có 2 nghiệm thực k1  k 2: y1  ek1x , y2  ek2 xđltt TH 2: (3) có 1 nghiệm thực k  k1  k2 : y1  ekx ,y2  xekx đltt TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp x x k    i  : y1  e cos  x, y2  e sin  x NTQ của pt thuần nhất là y  C1 y1  C2 y2 đltt Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Ví dụ: Tìm NTQ của các pt 1. y  5 y  6 y  0 2. y  4 y  4 y  0 3. y  y  0  k1  2 2x 3x  y  C1e  C2e 1.k  5k  6  0    k2  3 2 2.k  4k  4  0  k1  k2  2 2  y  C1e 3.k  1  0 2 2 x  C2 xe 2 x  k1,2  0  i  y  C1 cos x  C2 sin x Phương trình tt cấp cao hệ số hằng thuần nhất Tương tự cho các pt tuyến tính cấp cao hệ số hằng thuần nhất. Ta sẽ làm với ví dụ sau Ví dụ: Tìm NTQ của các pt 1. y  5 y  4 y  0  y  C1e0 x  C2e x  C3e 4 x 2. y  3 y  3 y  y  0 x x 2 x ( y  C1e  C2 xe  C3 x e ) 3. y  8 y  0 x x ( y  C1e  C2e cos 3x  C3e sin 3x) 2x 4. y (4)  y  0 (y  e 2 x 2  2 x  2 2  2 2  2 x  C2 sin x  e x  C4 sin x )  C1 cos  C3 cos 2 2  2 2    Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất y  a1 y  a0 y  f ( x) (2.1) Cấu trúc nghiệm của pt không thuần nhất Ta gọi ytn là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất (1.1) và yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất (2.1) Thì NTQ của pt không thuần nhất (2.1) là ytq=ytn+yr NTQ của pt thuần nhất (1.1) là ytn ta đã tìm ở trên Ta chỉ cần tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất là yr Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Trường hợp đặc biệt : f(x) có thể viết dưới dạng x f ( x)  e  Pn ( x)cos  x  Qm ( x)sin  x  Ta sẽ viết yr dưới dạng sau h x yr  x e Ts ( x)cos  x  Rs ( x)sin  x  Trong đó : s  max{m, n},   i là nghiệm bội h của pt đặc trưng Sau đó, ta sẽ tính các đh cấp 1, cấp 2 của hàm yr rồi thay vào pt ban đầu để tìm các đa thức Ts(x) và Rs(x) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất 2x   Ví dụ: Gpt y  5 y  6 y  xe PT đặc trưng: k 2  5k  6  0  k  2,3 2x 3x NTQ của pt thuần nhất: y tn  C1e  C2e Hàm vế phải có dạng đặc biệt : f ( x)  xe 2x  e ( x . cos 0 x  x .sin 0 x) 2x 1 0 So với dạng chính tắc: x f ( x)  e  Pn ( x)cos  x  Qm ( x)sin  x    2,   0, n  1, m  0   i  2 Là nghiệm đơn (bội 1) của ptđt, h=1 Ta được:   s  max(m, n)  1 Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất 1. y  5 y  6 y  xe2 x y tn  C1e2 x  C2e3 x y r  x he x Ts ( x)cos  x  Rs ( x)sin  x  xe 1 2x  (2ax 1b)cos0x  (cx  d )sin 0x  1 1  e (ax  bx ) 2x Ta tính đh cấp 1, cấp 2 của yr và thay vào pt đã cho 2x 2 1  yr  e (2ax  2bx  2ax  b) 2x 2  yr  e (4ax  (4b  4a) x  4ax  2a  2b) Ta được:  (2a  4b) x  (2a  3b)  e  (1.x  0)e Đồng nhất hệ số 2 vế: a=3/2, b=1 2x 3x 2x 3 2 Vậy NTQ: ytq  ytn  yr  C1e  C2e  e ( x  x) 2 2x 2x Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Ví dụ: Tìm dạng nghiệm riêng của các pt 1. y   5 y   6 y  xe2 x 2. y   2 y   y  2e x 3. y   4 y   5 y  e2 x  sin x  cos x  PT k1,k2   i  h n, m S 1 2, 3 2 1 1, 0 1 2 1, 1 1 2 0, 0 0 3 2i 2i 1 0 yr yr  x1e2 x  (ax  b)cos 0 x  yr  x e 2 1x  (a) cos 0 x  0 yr  x1e2 x  a.cos(1. x )  b.sin(1. x)  Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Nếu f(x) có thể tách được thành tổng 2 hàm f1(x) và f2(x) có dạng đặc biệt Ta sử dụng nguyên lý chồng nghiệm như sau: Nếu y1, y2 là nghiệm riêng của pt sau y  a1 y  a2 y  f1( x), y  a1 y  a2  f 2 ( x) Thì y1+y2 là nghiệm riêng của pt y  a1 y  a2 y  f1( x)  f 2 ( x) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Ví dụ: Gpt y  3 y  2 y  3x  5sin 2 x ytn  C1e x  C2e2 x f ( x)  3x  5sin 2 x  f1( x)  f 2 ( x) yr1  ax  b, yr 2  c cos 2 x  d sin 2 x yr 1  a, yr1  0 yr 2  2c sin 2 x  2d cos 2 x, yr2  4c cos 2 x  4d sin 2 x Thay yr1, yr2 vào 2 pt tương ứng, ta được: a  3 , b  0, c  3 , d  1 2 4 4 3 1 x 2x 3 Vậy NTQ là ytq  C1e  C2e  x  cos 2 x  sin 2 x 2 4 4 Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Trường hợp hàm f(x) không thể viết như trên Ta sẽ dùng phương pháp biến thiên hằng số bằng cách khi NTQ của pt thuần nhất (1.1) là ytn  C1 y1( x)  C2 y2 ( x) tìm NTQ của pt không thuần nhất (2) ở dạng ytq  C1( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x) (*) Từ (*) :   C1 ( x) y1( x)  C1( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x)  C2 ( x) y2 ( x) ytq Để việc tính toán đơn giản hơn, ta thêm điều kiện C1 ( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x)  0 (a) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Khi đó:   C1( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x) ytq Ta tính tiếp đh cấp 2, rồi thay y’, y’’ vào pt không t.nhất   C1 ( x) y1 ( x)  C1( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x)  C2 ( x) y2 ( x) ytq Lưu ý rằng y1, y2 là nghiệm của pt t.nhất, tức là y1  a1 y1  a2 y1  0, y2  a1 y2  a2 y2  0 Ta được C1 ( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x)  f ( x) Suy ra, C1’(x), C2’(x) là nghiệm của hpt (a), (b) C  ( x) y ( x)  C  ( x) y ( x)  0 1 1 2 2  C1 ( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x)  f ( x) (b) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Phương pháp biến thiên hằng số để giải pt y  a1 y  a2 y  f ( x) (2) 1. Giải pt đặc trưng k 2  a1k  a2  0 2. Viết 2 nghiệm riêng y1(x), y2(x) của pt thuần nhất 3. Tìm NTQ ở dạng ytq  C1( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x) Rồi đi tìm C1’(x), C2’(x) bằng cách giải hpt C  ( x) y ( x)  C  ( x) y ( x)  0 1 1 2 2  C1 ( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x)  f ( x) 4. Lấy tích phân C1’(x), C2’(x) rồi thay vào ytq Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Ví dụ: Gpt y  4 y  4 y  e2 x ln x 2 x 2 x Từ pt đ.tr k  4k  4  0  y1( x)  e , y2 ( x)  xe Ta giải hpt C1 ( x)e2 x  C2 ( x) xe2 x  0  C1 ( x)(2)e2 x  C2 ( x)e2 x (1  2 x)  e2 x ln x 2 2  x x C  ( x)   x ln x C1( x)   ln x   C1 1  2 4  C ( x)  x ln x  x  C C2 ( x)  ln x 2  2 Vậy nghiệm của pt đã cho là 2 ytq  C1( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x) 2 2  3x 2 x 2 x 2 x x ytq  C1e  C2 xe e ln x    4   2 Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-Cauchy PT Euler – Cauchy là pt có dạng n ( n) an x y  an1x n 1 ( n 1) y  ...  a0 y  f ( x) Ta đưa về pt tt hệ số không đổi bằng cách đặt x = et (x>0) hoặc x = -et (x<0) Sau đây, giả sử x=et dy dy dx dy t dy   e ( x )  xyx  yt dt dx dt dx dx d2y dy d 2 y dx d dy dx dy d  dy   ( x )   x  x  x   2 dt 2 dt dx dt dx dt dx dx   dx dt 2 dy 2d y  2  x    x y  y  y x t t dt dx 2 Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-Cauchy Thay x yx  yt  yt , xyx  yt vào pt ban đầu cấp 2: 2 a2 x 2 y  a1xy  a2 y  f ( x) Ta được pt tuyến tính cấp 2 hệ số hằng t    a2  yt  yt   a1 yt  a2 y  f (e )  a2 yt  (a1  a2 ) yt  a2 y  f (et ) Giải pt trên rồi thay x=et, ta được nghiệm của pt Euler – Cauchy cấp 2