Tài liệu Phương trình vi phân cấp 1

Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa. II – Các dạng phương trình vi phân: 1 – Phương trình vi phân tách biến 2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 4 – Phương trình vi phân toàn phần 5 – Phương trình Bernoulli I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi là phương trình vi phân thường (Differential Equation) Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE). 1 I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân. y '' ( x)  3 y'  x sin x x phương trình vi phân cấp 2 d3y d2y 3  e2 x 3 dx dx phương trình vi phân cấp 3.  2u  2u  1 x 2 xy phương trình đạo hàm riêng cấp 2 I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n F ( x, y, y ' ,..., y ( n ) )  0 Ví dụ: (1) (3 y 2 x  e y ) y '  ( y3  2 x)  0 Nếu giải ra được y ( n ) : y ( n)   ( x, y, y ' ,..., y ( n 1) ) Ví dụ: x 2     xy dy  2 x 2  y 2 dx Giải ra được: dy 2 x 2  y 2 y   2 dx x  xy ' 2 I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm y   ( x) xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được đồng nhất thức. Đồ thị của nghiệm y   ( x ) gọi là đường cong tích phân Ví dụ: Phương trình vi phân y '  1 y  0 có nghiệm là x y  Cx, C  R vì thỏa phương trình vi phân đã cho. I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 F ( x, y , y ' )  0 (2) Nếu giải ra được y ' : y '   ( x, y) (3) Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1: dạng (3) y '  y  xe x ( y 2  x 2 )dy  ( xy  y 2 ) dx  0   y  xy '  1  y ' 2 dạng (3) phương trình Clairaut, dạng (2) 3 I. Các khái niệm cơ bản Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) y ( x0 )  y0 (4) Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong tích phân phụ thuộc hằng số C. Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân đi qua điểm cho trước ( x0 , y0 ) I. Các khái niệm cơ bản Ví dụ: Phương trình vi phân y '  3 y0 x nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân: y  Cx3 , C  R Xét bài toán Cauchy y '  3 y  0, y (1)  3 x Ta có 3  C 13  C  3 Nghiệm của bài toán Cauchy y  3 x3 4 I. Các khái niệm cơ bản Đường cong tích phân trong vài trường hợp y  2 x3 y  3x y  x Nghiệm của bài toán Cauchy là 3 3 đường cong màu đỏ. Đường cong điểm (1,3). qua y  x3 I. Các khái niệm cơ bản Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy) Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở D  R 2 , thì với mọi điểm  x0 , y0   D , bài toán Côsi (3) với điều kiện (4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0. Ngoài ra nếu đạo hàm riêng f cũng liên tục trong D, thì y nghiệm này là duy nhất. 5 I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C. Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: y   ( x, C ) Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán Côsi). Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào. I. Các khái niệm cơ bản Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó. Trong chương trình này, ta giải phương trình theo cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia cho y không biết y có triệt tiêu không). Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4. 6 II.1 Phương trình vi phân tách biến Dạng f ( x)dx  g ( y )dy  0 Cách giải: tích phân hai vế ta được  f ( x)dx   g ( y )dy  C Ví dụ Giải pt  dy dx  0 2 1  y 1  x2 dy dx  C 2 1 y 1  x2 Nghiệm của phương trình: arctan y  arctan x  C arctan y  arctan x  C arctan y  arctan x  C 7 Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến Dạng 1 f1 ( x) g1 ( y )dx  f 2 ( x) g 2 ( y )dy  0 Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến Nếu g1 ( y )  0 tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng. Nếu f 2 ( x)  0 tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng. Nếu f 2 ( x ) g1 ( y )  0, chia hai vế cho f 2 ( x ) g1 ( y )  0 f1 ( x) g ( y) dx  2 dy  0 f 2 ( x) g1 ( y ) Phương trình tách biến II.1 Phương trình vi phân tách biến Ví dụ Giải pt tan x  sin 2 ydx  cos 2 x  cot ydy  0 tan x cot y dx  dy  0 cos 2 x sin 2 y  tan x cot y dx  dy  C  cos 2 x sin 2 y Nghiệm của phương trình: tan 2 x  cot 2 y  C Ví dụ Giải pt x  (1  x 2 )dy  (1  y 2 )dx  0 dy dx  0 2 1 y x(1  x 2 )  dy dx  C 2 1 y x (1  x 2 ) 1 Nghiệm của phương trình: arctan y  ln | x |  ln(1  x 2 )  C 2 8 3 2 Ví dụ Giải phương trình ( x  1) dy  ( y  2) dx  0 Phương trình trên được viết lại: dy dx  0 2 ( y  2) ( x  1)3 Tích phân hai vế  ( y  2) 2  dy dx  C ( y  2) 2  ( x  1)3 d ( y  2)   ( x  1)3 d ( x  1)  C Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:  1 1 1  C y  2 2 ( x  1)2  Ví dụ Giải phương trình  xy  x y '  y  0 Phương trình trên được viết lại: x   y0  dy dx y 1 Tích phân hai vế    y 1/ 2    y 1 dx dy  0 y x y 1 dx dy   C y x 1 dy   x 1/ 2 dx  C  y Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: 2 y  ln | y | 2 x  C 9 2 y  ln | y | 2 x  C Ví dụ Giải phương trình 2 x  y  3x 2 y y '  0 Phương trình trên được viết lại: 2 x 32 y dy  y 0 3x 2 dx Tích phân hai vế 2  x x 2    dx  18 y dy  0 3 y 1 dx dy   C y x   3  dx   18 y dy  C Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: x  2 / 3  18 y  C ln  2 / 3 ln(18) 10 Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến Dạng 2 y '  f (ax  by  c ), b  0, a  0 Cách giải: Đặt u  ax  by  c  u '  a  by ' u '  a  b  f (u ) u '  a  b  f (u ) Nếu a  b  f (u )  0, giải tìm u. Kiểm tra có phải là nghiệm. Nếu a  b  f (u )  0, chia hai vế cho a  bf (u )  du  dx a  b  f (u ) Đây là phương trình tách biến (biến u riêng, biến x riêng) Ví dụ Giải phương trình y'  1 2x  3y 4x  6 y  5 2 x  3 y  1 u  2 x  3 y  1  u '  2  3 y ' 2( 2 x  3 y  1)  3 u'  2 u 3u Thay vào pt đã cho  u'  2 3 2u  3 2u  3 y'   du  u  6 2u  3 2u  3 dx  du  dx   du    dx 2u  3 u6 u6  2u  9ln | u  6 |  x  C Nghiệm của phương trình vi phân là 2( 2 x  3 y  1)  9ln | 2 x  3 y  7 |  x  C 11 Chú ý: Ví dụ Giải phương trình y'  2 x  3 y 4x  6 y  5 Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạng đang xét. Ví dụ Giải phương trình y'  1 2x  3y 2x  6 y  5 Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trình này không có dạng phương trình vi phân đang xét. II.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 y '  p( x) y  q( x) Dạng Cách giải: Nhân hai vế cho e p ( x ) dx y '  e  p ( x ) dx  p( x) y  e  p ( x ) dx  q( x)  e  p ( x ) dx  y e  p ( x ) dx '   q ( x)  e  p ( x ) dx y  e  p ( x ) dx   q ( x)  e  p ( x ) dx dx  C y  e   p ( x ) dx  q ( x)  e  p ( x ) dx dx  C  12 Ví dụ Giải phương trình y '  y cot x  sin x p ( x)   cot x, q( x)  sin x y  e  p ( x ) dx   q ( x)  e  p ( x ) dx dx  C  y  e   cot xdx   sin x  e   cot xdx dx  C  cos x    dx ye   sin x  e sin x dx  C     sin x  y  sin x   dx  C   sin x  x  C   sin x   cos x dx sin x Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của  p( x)dx Ví dụ Giải phương trình ( x 2  1) y '  4 xy  3 Chia hai vế cho x 2  1  0 y'  p ( x)  4x 3 , q( x)  2 x 1 x 1 2 4x 3 y  x2  1 x2  1 4 xdx  2ln( x 2  1) 2 1  p( x)dx   x y  e   p ( x ) dx   q ( x )  e  p ( x ) dx dx  C  y  e 2ln( x 2 1)  3  2ln( x 2 1)  e dx  C   x 2  1   x3  3 x  C 2 1  3  2 y 2  x  1 dx  C   ( x  1) 2   x 2  1 ( x 2  1)2     13 Ví dụ Giải phương trình (1  x )( y '  y )  e  x , y(2) = 1. e x y y 1 x e x p ( x)  1, q ( x )  1 x '  p( x)dx   dx  x  y  e   p ( x ) dx   q( x)  e  p ( x ) dx dx  C   e x x   e x    e dx  C   1 x  y  e  x   ln |1  x | C  2 Với điều kiện y(2) = 1: 1  e   ln |1  2 | C   C  e 2 Nghiệm của phương trình: x 2 x y  e  x   ln |1  x |  e 2   e ln |1  x |  e II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 Dạng  y y'  f   x Cách giải: Đặt u  y  y  xu  y '  u  x  u ' x Khi đó: u  x  u '  f (u )  x  u '  f (u )  u Nếu f (u )  u  0, thì giải pt này ta có các nghiệm riêng. Nếu f (u )  u  0 : x   du dx  f (u )  u x du  f (u)  u dx là phương trình tách biến 14 Ví dụ Giải phương trình y  x  y '  y ln x y y y y y y y  y '   ln   ln  y ' x x x x x x Đặt u  y / x  y '  u  x  u '  u  x  u '  u  u ln u  du  x  u ln u dx du dx du dx     C u ln u x u ln u x ln u  ln | ln | u || ln | x |  ln C  ln | | ln C x   ln u  C x Cx  u  eC1x  y  xe 1 Ví dụ Giải phương trình xdy  ydx  ydy, y(-1)  1 dy y y/ x   dx x  y 1  y / x ' ' Đặt u  y / x  y  u  x  u ( x  y )dy  ydx  y '  du u u2 u  x  u   u  x u  dx 1 u 1 u 1 u (1  u )du dx (1  u )du dx      C 2 2 x x u u 1 1    ln | u | ln | x | C   ln | xu | C  x  y  C  ln | y | u u kết hợp 1   C  ln1 nghiệm pt: x   y (1  ln | y |) điều kiện  C  1 ' 15 II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp y '  f  x, y  Dạng với f ( x, y ) là hàm đẳng cấp bậc 0 (  t  f (tx, ty )  f ( x, y ) ) x 2  2 xy f ( x, y )  xy  y 2 2  tx   2  tx  ty  f (tx, ty )  2  tx  ty    ty  x 2  2 xy   f ( x, y ) xy  y 2 là hàm đẳng cấp bậc 0. 2 2 Ví dụ Giải phương trình ( x  y )dx  2 xydy  0 dy x2  y 2 1   y / x  ' y   dx 2 xy 2 y / x 2 hàm đẳng cấp bậc 0. Đặt u  y / x  y '  u  x  u ' 1 u2 du 1 u2 1 u2  x  u  2u dx 2u 2u 2udu dx 2udu dx      C 2 2 x x 1 u 1 u  u  x  u'    ln |1  u 2 | ln | x |  ln C  ln | x(1  u 2 ) | ln C 2  x (1  u 2 )  C  x (1  u )  C  C1 16 II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp Dạng  a x  b1 y  c1  y'  f  1   ax  by  c   a x  b1 y  c1  0 Trường hợp 1:  1  ax  by  c  0 có duy nhất nghiệm ( x0 , y0 ) Đổi biến: X  x  x0 , Y  y - y0  y '  Y '  a ( X  x0 )  b1 (Y  y0 )  c1 )  Y'  f  1   a( X  x0 )  b(Y  y0 )  c   a  b Y / X   Y'  f  1 1  a  b Y / X      a X  b1Y  f 1   aX  bY  là phương trình đẳng cấp. II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 Trường hợp 2: a1 b1 a Đổi biến: u  ax  by b 0 Giả sử a1 b1  k a b  u '  a  by '  a x  b1 y  c1  y'  f  1   ax  by  c   a x  b1 y  c1   b  y'  b  f  1   ax  by  c  du  a b dx  k  u  c1  f   uc   k  u  c1   u'  a  b  f    uc  phương trình tách biến 17 Ví dụ Giải phương trình (1  x  y) dy  ( x  y  3)dx  0 dy x  y 3  a x  b1 y  c1   y'   f 1  dx 1 x  y  ax  by  c   x  y  3  0  x , y  2,1 Giải hệ:   0 0    x  y  1  0   y'  Y ' Đổi biến: X  x  2, Y  y -1 Y'  1  Y / X  ( X  2)  (Y  1)  3 X Y   1  ( X  2)  (Y  1)  X  Y 1  Y / X  Đây là phương trình vi phân đẳng cấp. II.4 Phương trình vi phân toàn phần Dạng P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 trong đó Q P  x y Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình: u ( x, y )  C x Với y u ( x, y )   P ( x, y )dx   Q( x0 , y )dy  C x0 y0 trong đó  x0 , y0  là một điểm tùy ý mà P, Q liên tục. 18 II.4 Phương trình vi phân toàn phần Cách khác: Nghiệm tổng quát : u ( x, y )  C Với du ( x, y)  P( x, y )dx  Q( x, y)dy  u  x  P( x, y )  u ( x, y )   P ( x, y ) dx  g ( y )  u   Q( x, y ) Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)  y u  y   P( x, y)dx  ' y  g ' ( y )  Q ( x, y )  g ' ( y )  g ( y )  u ( x, y ) Ví dụ Giải phương trình (2 y  3) dx  (2 x  3 y 2 ) dy  0 P 2 y Q P  2 Q x y 2 Q ( x, y )  2 x  3 y  2 x Đây là phương trình vi phân toàn phần. P ( x, y )  2 y  3   Nghiệm tổng quát: u ( x, y )  C x x y y 2 u ( x, y )   P ( x, y )dx   Q(0, y )dy   (2 y  3)dx   3 y dy 0 0 0 u ( x, y )  2 xy  3 x  y 0 3 Nghiệm tổng quát: 2 xy  3 x  y 3  C 19 Ví dụ Giải phương trình (3 x 2 y 2  7)dx  2 x 3 ydy  0  P  6x2 y Q P y   6 x2 y x y Q Q ( x, y )  2 x  3 y 2   6x2 y x Đây là phương trình vi phân toàn phần. P ( x, y)  3 x 2 y 2  7  Nghiệm tổng quát: u ( x, y )  C y x y x 2 2 u ( x, y )   P ( x, y )dx   Q(0, y )dy   (3 x y  7) dx   0dy 0 0 0 0 3 2 u ( x, y )  x y  7 x Nghiệm tổng quát: Ví dụ Giải x3 y 2  7 x  C (2 x  ye xy )dx  (1  xe xy ) dy  0 y (0)  1 P Q  e xy  xye xy   e xy  xye xy y x Phương trình vi phân toàn phần. Nghiệm tổng quát: u ( x, y )  C y x x u ( x, y )   (2 x  ye )dx   (1  0e0 y ) dy  x 2  e xy  y y 0 xy 0 0 0 Nghiệm tổng quát: x 2  e xy  y  C Điều kiện 02  e0.1  1  C  C  2 Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: x 2  e xy  y  2 20