I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
TRN VN TÎI
PH×ÌNG TRNH V BT
PH×ÌNG TRNH LAPLACE
Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG
M¢ sè: 60. 46. 01. 12
LUN VN THC S TON HÅC
H÷îng d¨n khoa håc
PGS. TS H TIN NGON
Th¡i Nguy¶n - 2014
Möc löc
Mð ¦u
1
1 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace 3
1.1 C¡c ành ngh¾a. Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n . . . .
1.1.1 H m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v h m tr¶n
i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n . . . . . . . . .
1.2 ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc èi vîi gi¡ trà trung b¼nh .
1.2.1 C¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh . . . . . . . . . . .
1.3 Nguy¶n lþ cüc ¤i v cüc tiºu . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh v nguy¶n lþ cüc tiºu
m¤nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 T½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet
cho ph÷ìng tr¼nh Laplace v ph÷ìng tr¼nh Poisson
2 C¡c t½nh ch§t cõa h m i·u háa
2.1 B§t ¯ng thùc Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Cæng thùc Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Cæng thùc Green thù nh§t v cæng thùc Green
thù hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . .
i
3
3
4
5
5
6
7
7
8
11
11
13
13
13
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.2.3 H m Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u. Cæng
thùc Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u
2.3.2 Cæng thùc Poisson . . . . . . . . . . . . . . . .
ành lþ hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 i·u ki»n c¦n v õ º mët h m l i·u háa . .
2.4.2 C¡c ành lþ hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . .
¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi c¡c ¤o h m cõa h m
i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m c§p 1
2.5.2 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m b§t ký
B i to¡n Dirichlet. Ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi . .
2.6.1 Mð rëng kh¡i ni»m h m d÷îi i·u háa v h m
tr¶n i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m d÷îi i·u háa v h m
tr¶n i·u háa mð rëng . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Ph÷ìng ph¡p Perron (Ph÷ìng ph¡p h m i·u
háa d÷îi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 H m chn t¤i mët iºm tr¶n bi¶n, kh¡i ni»m
iºm ch½nh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 T½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet . . . . . .
2.6.6 i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i . . . . . . . . . . . . .
Dung l֖ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
16
18
19
19
20
21
21
21
22
23
23
25
26
28
30
30
K¸t luªn
32
T i li»u tham kh£o
33
ii
Líi cam oan
Tæi xin cam oan, Luªn v«n n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi
d÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa PGS. TS H Ti¸n Ngo¤n.
Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu · t i Luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa th nh
qu£ khoa håc cõa c¡c nh To¡n håc v c¡c nh Khoa håc vîi sü tr¥n
trång v bi¸t ìn.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2014
T¡c gi£
Tr¦n V«n Tîi
iii
Líi c£m ìn
Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc
Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa PGS. TS H Ti¸n Ngo¤n.
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc v· sü tªn t¥m v
nhi»t t¼nh cõa Th¦y trong suèt qu¡ tr¼nh tæi thüc hi»n luªn v«n.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, pháng o t¤o Khoa
håc v Quan h» quèc t¸, Khoa To¡n - Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc,
¤i håc Th¡i Nguy¶n v quþ th¦y cæ tham gia gi£ng d¤y lîp cao håc
khâa 6 (2012 - 2014) ¢ quan t¥m, gióp ï v mang ¸n cho tæi nhi·u
ki¸n thùc bê ½ch trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng.
Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v c¡c çng nghi»p
¢ ëng vi¶n, gióp ï trong qu¡ tr¼nh håc tªp cõa m¼nh.
Do thíi gian v ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nh
khäi nhúng thi¸u sât. T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ
th¦y cæ v b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2014
T¡c gi£
Tr¦n V«n Tîi
iv
Mð ¦u
Ph÷ìng tr¼nh Laplace l mët ph÷ìng tr¼nh cì b£n v cê iºn cõa
lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. ¥y l ¤i di»n quan trång
cõa lîp ph÷ìng tr¼nh elliptic. Vi»c têng quan c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa
nghi»m ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace l c¦n thi¸t. â l
c¡c h m i·u háa, tr¶n i·u háa v d÷îi i·u háa. èi vîi c¡c h m
n y câ r§t nhi·u t½nh ch§t, ành lþ ¢ ÷ñc nghi¶n cùu. Ch¯ng h¤n
nh÷ nguy¶n lþ cüc ¤i, c¡c ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh, ...
èi vîi h m i·u háa, nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n Dirichlet
luæn tçn t¤i. Nh÷ng ð luªn v«n n y nghi¶n cùu nghi»m cê iºn cõa
b i to¡n bi¶n Dirichlet, cö thº x²t t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n bi¶n
Dirichlet trong mët mi·n bà ch°n, nghi¶n cùu khi n o b i to¡n Dirichlet
l gi£i ÷ñc trong mi·n Ω. Ch½nh v¼ vªy, trong luªn v«n n y ¢ ÷a
v i kh¡i ni»m iºm ch½nh quy tr¶n bi¶n m ÷ñc ành ngh¾a thæng qua
kh¡i ni»m h m chn.
K¸t qu£ cì b£n trong luªn v«n n y l ành lþ nâi r¬ng b i to¡n
Dirichlet gi£i ÷ñc khi v ch¿ khi måi iºm tr¶n bi¶n ·u l iºm
ch½nh quy. Ph¦n cuèi cõa luªn v«n nghi¶n cùu khi n o mët iºm l
ch½nh quy.
Luªn v«n gçm 2 ch÷ìng:
Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v· nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh Laplace v c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace. â l c¡c ành
ngh¾a v· h m i·u háa, h m d÷îi i·u háa, tr¶n i·u háa, cæng thùc
t½ch ph¥n tøng ph¦n, c¡c ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung
1
b¼nh, nguy¶n lþ cüc ¤i v cüc tiºu.
Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m i·u háa. â
l b§t ¯ng thùc Harnack, ÷a v o cæng thùc Green, h m Green èi
vîi b i to¡n Dirichlet, nghi¶n cùu ành lþ hëi tö v c¡c ¡nh gi¡ b¶n
trong èi vîi h m i·u háa. Ph¦n cuèi nghi¶n cùu b i to¡n Dirichlet
cho h m i·u háa b¬ng ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi. B¬ng ph÷ìng
ph¡p n y ¢ ÷a v o kh¡i ni»m iºm ch½nh quy tr¶n bi¶n, ph¡t biºu
v chùng minh ành lþ v· i·u ki»n c¦n v õ cho t½nh gi£i ÷ñc cõa
b i to¡n bi¶n Dirichlet. ÷a v o i·u ki»n õ cho t½nh ch½nh quy, â l
i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i cõa mi·n. i·u ki»n c¦n v õ cho t½nh ch½nh
quy cõa mët iºm tr¶n bi¶n ÷ñc ph¡t biºu thæng qua kh¡i ni»m dung
l֖ng.
T i li»u tham kh£o ch½nh cõa luªn v«n l ch÷ìng 2 cõa t i li»u [2].
2
Ch֓ng 1
Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v b§t
ph÷ìng tr¼nh Laplace
1.1 C¡c ành ngh¾a. Cæng thùc t½ch ph¥n tøng
ph¦n
1.1.1 H m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v h m tr¶n i·u
háa
Kþ hi»u:
ành ngh¾a 1.1.1.
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ,
q
||x|| = x21 + x22 + ... + x2n .
Cho Ω l mët mi·n trong Rn v h m sè u thuëc C 2(Ω) . To¡n tû
Laplace t¡c ëng l¶n u, k½ hi»u l ∆u, ÷ñc x¡c ành bði:
∆u =
n
X
Dj 2 u = divDu,
j=1
trong â,
Du = (D1 u, D2 u, ..., Dn u)
∂u
Dj u =
,
∂xj
3
l gradient cõa u,
(1.1)
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∆u =
+
+ ... +
= div(Du).
∂x1 2 ∂x2 2
∂xn 2
H m sè u ÷ñc gåi l h m i·u háa (h m d÷îi i·u háa, h m tr¶n
i·u háa ) trong Ω n¸u nâ thäa m¢n:
∆u(x) = 0 (≥ 0, ≤ 0), ∀x ∈ Ω.
(1.2)
Trong ch÷ìng n y chóng ta ph¡t triºn mët sè t½nh ch§t cõa h m
i·u háa, h m d÷îi i·u háa v h m tr¶n i·u háa dòng º nghi¶n
cùu t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn cho ph÷ìng tr¼nh
Laplace, ∆u = 0. Ph÷ìng tr¼nh Laplace v ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n
nh§t t÷ìng ùng cõa nâ, ph÷ìng tr¼nh Poisson −∆u = f , l mæ h¼nh
cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh eliptic.
1.1.2 Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n
Gi£ sû Ω
⊂ Rn l mi·n bà ch°n trong Rn vîi bi¶n ∂Ω, kþ hi»u
µ = (µ1 , µ2 , ..., µn ) l v²ctì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và t¤i iºm x ∈ ∂Ω,
dS l ph¦n tû di»n t½ch cõa ∂Ω.
Vîi u,v ∈ C 1(Ω) ∩ C 0(Ω̄), ta câ cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n:
Z
Z
Z
(Dj u)vdx = − u(Dj v)dx + uvµj dS.
(1.3)
Ω
Ω
∂Ω
Tø cæng thùc tr¶n ta suy ra ành lþ ph¥n k¼ sau ¥y. Cho tr÷íng
v²ctì b§t k¼ w = (w1, w2, ..., wn) trong C 1(Ω̄). Khi â ta câ
Z
Z
divwdx =
Ω
(w, µ)dS,
Ω
n
P
j
.
trong â, divw = ∂w
∂x
j
j=1
Thªt vªy, ¡p döng cæng thùc (1.3) ta câ:
4
(1.4)
Z
divwdx =
Z X
n
Dj wj dx =
Ω j=1
Ω
=
Z X
n
Ω j=1
Z X
n
(Dj wj ).1.dx
wj .1.µj dS
∂Ω j=1
Z
=
∂Ω
C 2 (Ω̄)
°c bi»t n¸u u l mët h m trong
trong (1.4) chóng ta câ:
Z
Z
∆udx =
Ω
trong â
(w, µ)dS.
b¬ng c¡ch °t w = Du
Z
Z
div(Du)dx =
Ω
Du.µ.dS =
∂Ω
∂u
dS,
∂µ
(1.5)
∂Ω
n ∂u
P
∂u
=
µj .
∂µ j=1 ∂xj
1.2 ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc èi vîi gi¡ trà
trung b¼nh
1.2.1 C¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh
Kþ hi»u ωn l thº t½ch cõa h¼nh c¦u ìn và trong Rn. Khi â:
Thº t½ch cõa h¼nh c¦u b¡n k½nh R l ωnRn.
Di»n t½ch cõa m°t c¦u ìn và l : nωn.
Di»n t½ch cõa m°t c¦u b¡n k½nh R l nωnRn−1.
¤i l÷ñng trung b¼nh cõa h m sè u tr¶n m°t c¦u B b¡n k½nh R l :
Z
1
nωn Rn−1
udS.
∂B
¤i l÷ñng trung b¼nh cõa h m sè u trong h¼nh c¦u B b¡n k½nh R l :
1
ωn R n
Z
udx.
B
5
1.2.2 ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh
ành lþ ¦u ti¶n cõa chóng ta â l mët h» qu£ cõa çng nh§t thùc
(1.5), bao gçm c¡c t½nh ch§t nêi ti¸ng v· gi¡ trà trung b¼nh cõa h m
i·u háa, h m d÷îi i·u háa v h m tr¶n i·u háa.
ành l½ 1.2.1.
Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) thäa m¢n ∆u = 0 (≥ 0, ≤ 0) trong Ω. Cho h¼nh
c¦u b§t ký t¥m t¤i y v b¡n k½nh R: B = BR(y) ⊂⊂ Ω, khi â ta câ:
Z
1
u(y) = (≤, ≥)
udS,
(1.6)
nω Rn−1
n
∂B
u(y) = (≤, ≥)
Z
1
ωn R n
(1.7)
udx.
B
èi vîi c¡c h m i·u háa, ành lþ 1.2.1 kh¯ng ành r¬ng gi¡ trà cõa
h m t¤i t¥m cõa h¼nh c¦u B b¬ng gi¡ trà trung b¼nh t½ch ph¥n tr¶n c£
m°t c¦u ∂B v trong h¼nh c¦u B . Nhúng k¸t qu£ tr¶n gåi l ành lþ
gi¡ trà trung b¼nh, tr¶n thüc t¸ chóng công mæ t£ t½nh ch§t °c tr÷ng
cõa h m i·u háa (xem ành lþ 2.4.1 d÷îi ¥y).
Chùng minh.
Cho ρ ∈ (0, R) v ¡p döng çng nh§t thùc (1.5) cho h¼nh c¦u
Bρ = Bρ (y) chóng ta thu ÷ñc:
Z
∂u
dS =
∂µ
Z
∆udx = (≥, ≤)0.
Bρ
∂Bρ
Dòng ph²p bi¸n êi tåa ë theo b¡n k½nh v gâc
x−y
v vi¸t u(x) = u(y + rω), chóng ta câ:
ω=
r
Z
∂Bρ
∂u
dS =
∂µ
Z
∂u
(y + rω)dS = ρn−1
∂r
=ρ
∂u
(y + rω)dω
∂r
|ω|=1
∂Bρ
n−1
Z
r = |x − y|,
∂
∂ρ
Z
u(y + rω)dω = ρ
|ω=1|
n−1
∂ h n−1
ρ
∂ρ
Z
∂Bρ
= (≥, ≤) 0.
6
udS
i
Do â, vîi ρ ∈ (0, R) b§t ký ta câ:
ρ
1−n
Z
udS = (≤, ≥) R
1−n
Z
udS.
∂BR
∂Bρ
M°t kh¡c, ta câ:
lim ρ
1−n
Z
ρ→0
udS = nωn u(y),
∂Bρ
trong â ωn l di»n t½ch m°t cõa m°t c¦u ìn và.
Tø â suy ra cæng thùc (1.6).
º nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung b¼nh trong h¼nh c¦u th¼
ta vi¸t l¤i (1.6) d÷îi d¤ng sau:
nωn ρ
n−1
Z
u(y) = (≤, ≥)
udS, ρ ≤ R,
∂Bρ
v l§y t½ch ph¥n hai v¸ èi vîi ρ tø 0 ¸n R. Tø â cæng thùc (1.7)
÷ñc suy ra ngay lªp tùc.
1.3 Nguy¶n lþ cüc ¤i v cüc tiºu
1.3.1 Nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh v nguy¶n lþ cüc tiºu m¤nh
Tø ành lþ 1.2.1 ta suy ra ÷ñc nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh cho h m
d÷îi i·u háa v nguy¶n lþ cüc tiºu m¤nh cho h m tr¶n i·u háa.
ành l½ 1.3.1.
Cho ∆u ≥ 0 (≤ 0) trong Ω v gi£ sû r¬ng tçn t¤i mët iºm y ∈ Ω
m u(y) = sup u (inf
u) th¼ h m u l h¬ng sè. Do â mët h m i·u
Ω
Ω
háa khæng thº nhªn gi¡ trà cüc ¤i ho°c cüc tiºu trong mi·n Ω trø khi
nâ l h¬ng sè.
7
Chùng minh.
Cho ∆u ≥ 0 trong Ω, M = sup u v °t
Ω
ΩM = {x ∈ Ω | u(x) = M }.
Theo gi£ thi¸t ΩM kh¡c réng. Hìn núa u l li¶n töc tr¶n ΩM m
l tªp âng t÷ìng èi tr¶n Ω.
Cho z l iºm b§t ký trong ΩM v ¡p döng b§t ¯ng thùc gi¡ trà
trung b¼nh (1.7) cho h m d÷îi i·u háa u − M trong mët h¼nh c¦u
B = BR (z) ⊂⊂ Ω. Do â chóng ta thu ÷ñc:
1
0 = u(z) − M ≤
ωn R n
Z
(u − M )dx ≤ 0,
B
suy ra u = M trong BR(z). Do â ΩM mð t÷ìng èi trong Ω. Tø â
ΩM = Ω, v¼ vªy u l h m h¬ng tr¶n Ω.
K¸t qu£ cho c¡c h m tr¶n i·u háa câ ÷ñc b¬ng c¡ch thay th¸ u
bði −u.
ành l½ 1.3.2.
Cho u ∈ C 2(Ω) ∩ C 0(Ω̄) vîi ∆u ≥ 0 (≤ 0) tr¶n Ω, vîi Ω l bà ch°n,
khi â
sup u = sup u (inf u = inf u).
(1.8)
Ω
∂Ω
Ω
∂Ω
Do â cho h m i·u háa u, ta câ:
inf u ≤ u(x) ≤ sup u, x ∈ Ω.
∂Ω
∂Ω
T½nh duy nh§t nghi»m cho b i to¡n Dirichlet cê iºn cho ph÷ìng
tr¼nh Laplace v ph÷ìng tr¼nh Poisson trong mi·n bà ch°n ÷ñc suy
ra tø ành lþ 1.3.2 trong möc d÷îi ¥y.
1.3.2 T½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet cho
ph÷ìng tr¼nh Laplace v ph÷ìng tr¼nh Poisson
A. B i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Laplace:
8
Cho Ω l mi·n bà ch°n tr¶n Rn, khi â b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng
tr¼nh Laplace l : t¼m mët h m u : Ω → R thäa m¢n
u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄),
v
trong Ω
,
u = ϕ, tr¶n ∂Ω
trong â ϕ ∈ C(∂Ω) l h m cho tr÷îc.
B. B i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Poisson:
Cho Ω l mi·n bà ch°n tr¶n Rn, khi â b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng
tr¼nh Poisson l : t¼m mët h m u : Ω → R thäa m¢n
(
∆u = 0,
u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄),
v
trong Ω
,
u = ϕ, tr¶n ∂Ω
trong â f ∈ C(Ω) v ϕ ∈ C(∂Ω) l h m cho tr÷îc.
(
−∆u = f,
ành l½ 1.3.3.
Cho u, v ∈ C 2(Ω) ∩ C 0(Ω̄) thäa m¢n ∆u = ∆v trong Ω, u = v tr¶n
∂Ω th¼ u = v trong Ω.
Chùng minh.
°t w = u − v. Ta câ: ∆w = 0 tr¶n Ω ngh¾a l w l h m i·u háa
v w = 0 trong ∂Ω (do u = v tr¶n ∂Ω). Do
0 = inf w ≤ w(x) ≤ sup w = 0, x ∈ Ω, (ành
∂Ω
∂Ω
lþ 1.3.2).
Suy ra w = 0 trong Ω hay u = v trong Ω.
Chó þ r¬ng b¬ng ành lþ 1.3.2, chóng ta câ n¸u u v v l c¡c h m
i·u háa v h m d÷îi i·u háa t÷ìng ùng, u = v tr¶n bi¶n ∂Ω, khi
â v ≤ u trong Ω. T½nh ch§t n y gi£i th½ch t¤i sao v ÷ñc gåi l h m
d÷îi i·u háa. Nhªn x²t t÷ìng ùng công óng cho h m tr¶n i·u háa,
9
ngh¾a l u l h m i·u háa, v l h m tr¶n i·u háa, u = v tr¶n ∂Ω th¼
u ≤ v trong Ω. Sau ¥y, chóng ta sû döng t½nh ch§t h m d÷îi i·u
háa v h m tr¶n i·u háa º mð rëng nhúng ành ngh¾a èi vîi c¡c
lîp h m rëng hìn.
10
Ch֓ng 2
C¡c t½nh ch§t cõa h m i·u háa
2.1 B§t ¯ng thùc Harnack
H» qu£ ti¸p theo cõa ành lþ 1.2.1 s³ l b§t ¯ng thùc Harnack cho
h m i·u háa.
ành l½ 2.1.1.
Cho u l mët h m i·u háa khæng ¥m trong Ω, v cho b§t ký mi·n
con Ω ⊂⊂ Ω bà ch°n, khi â tçn t¤i mët h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o
n, Ω v Ω sao cho:
sup u ≤ C inf u.
(2.1)
0
0
Ω0
Ω0
Chùng minh.
Cho y ∈ Ω, B4R(y) ⊂ Ω. Vîi hai iºm b§t ký x1, x2 ∈ B4R(y), ¡p
döng cæng thùc (1.7) ta câ:
1
u(x1 ) =
ωn R n
Z
udx
BR (x1 )
1
≤
ωn R n
Z
udx,
B2R (y)
v
11
Z
1
u(x2 ) =
ωn (3R)n
udx
B3R (x2 )
Z
1
≥
ωn (3R)n
udx.
B2R (y)
Do â chóng ta câ ÷ñc:
sup u ≤ 3n . inf u.
BR (y)
BR (y)
B¥y gií cho Ω
0
⊂⊂ Ω
(2.2)
v chån x1, x2 ∈ Ω̄ º
0
u(x1 ) = sup u,
Ω0
v
u(x2 ) = inf0 u.
Ω
Cho Γ ⊂ Ω̄ l mët cung âng x1 v x2 v chån R º
0
4R ≤ dist(Γ, ∂Ω).
Theo ành lþ Heine-Borel, Γ câ thº ÷ñc bao phõ bði sè húu h¤n
N (ch¿ phö thuëc trong Ω v Ω) c¡c h¼nh c¦u b¡n k½nh R.
p döng gi£ thi¸t (2.2) tr¶n méi h¼nh c¦u v k¸t hñp c¡c k¸t qu£
cõa b§t ¯ng thùc, chóng ta câ:
0
u(x1 ) ≤ 3nN u(x2 ).
Do â gi£ thi¸t (2.1) ÷ñc chùng minh vîi C = 3nN .
Chó þ r¬ng h¬ng sè C tr¶n (2.1) l h¬ng sè khæng êi èi vîi c¡c
ph²p bi¸n êi çng d¤ng v bi¸n êi trüc giao.
12
2.2 Cæng thùc Green
2.2.1 Cæng thùc Green thù nh§t v cæng thùc Green thù
hai
Nh÷ mët sü mð ¦u º x²t sü tçn t¤i, b¥y gií chóng ta suy ra mët
v i h» qu£ xa hìn cõa ành lþ ph¥n k¼, â l cæng thùc Green.
Cho Ω l mët mi·n m ð â ành lþ ph¥n k¼ câ thº ¡p döng, gi£
sû u v v l h m sè tr¶n C 2(Ω̄). Chóng ta chån w = vDu trong cæng
thùc (1.4) º câ ÷ñc cæng thùc Green thù nh§t:
Z
Z
v(y)∆u(y)dy +
Ω
Z
v(y)
Du(y)Dv(y)dy =
Ω
∂u(y)
dSy ,
∂µy
(2.3)
∂Ω
trong â µy l vectì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và t¤i y ∈ ∂Ω.
êi ché u v v trong (2.3) v thüc hi»n ph²p trø chóng ta ÷ñc
cæng thùc Green thù hai:
Z
Z
∂u(y)
∂v(y)
v(y)∆u(y) − u(y)∆v(y) dy =
v(y)
− u(y)
dSy .
∂µy
∂µy
Ω
∂Ω
(2.4)
2.2.2 Nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace
Ph÷ìng tr¼nh Laplace câ r2−n l nghi»m vîi n > 2 v logr vîi
n = 2, trong â r l kho£ng c¡ch tø iºm x ¸n iºm y . Ti¸p töc tø
(2.4) chóng ta cè ành iºm x trong Ω v ÷a v o h m sè sau:
Γ(x − y) = Γ(|x − y|) =
1
|x − y|2−n , n > 2,
n(2 − n)ωn
1 log|x − y|,
2π
(2.5)
n = 2.
Khi â, Γ(x − y) x¡c ành nh÷ tr¶n gåi l nghi»m cì b£n cõa
ph÷ìng tr¼nh Laplace. H m Γ(x − y) x¡c ành vîi måi x 6= y.
13
B¬ng c¡ch t½nh to¡n ìn gi£n ta câ: vîi Dj = ∂y∂
Di Γ(x − y) =
j
1
(xi − yi )|x − y|−n ,
nωn
o
1 n
2
Dij Γ(x − y) =
|x − y| δij − n(xi − yi )(xj − yj ) |x − y|−n−2 .
nωn
(2.6)
Rã r ng Γ l h m i·u háa vîi x 6= y.
Chóng ta câ c¡c ÷îc l÷ñng sau èi vîi ¤o h m:
|Di Γ(x − y)| ≤
1
|x − y|1−n ,
nωn
|Dij Γ(x − y)| ≤
(2.7)
1
|x − y|−n .
ωn
°c bi»t khi x = y, chóng ta khæng thº dòng Γ trong vi»c °t
v(y) = Γ(x − y) v o çng nh§t thùc Green thù hai (2.4). Mët c¡ch º
v÷ñt qua v§n · n y l thay Ω b¬ng Ω\B̄ρ, trong â Bρ = Bρ(x) vîi
ρ õ nhä. Sau â chóng ta câ thº k¸t luªn tø (2.4) r¬ng:
Z
Z
Γ∆udy =
∂u
∂Γ
(Γ
− u )dS +
∂µ
∂µ
∂Ω
Ω\Bρ
Z
(Γ
∂u
∂Γ
− u )dS.
∂µ
∂µ
∂Bρ
Vîi
Z
∂Bρ
∂u
Γ dS = Γ(ρ)
∂µ
Z
∂u
dS
∂µ
∂Bρ
≤ nωn ρn−1 Γ(ρ) sup |Du| → 0,
Bρ
v
14
khi ρ → 0,
(2.8)
Z
0
∂Γ
u dS = −Γ (ρ)
∂µ
Z
udS,
∂Bρ
∂Bρ
(Chó þ r¬ngZµ l v²ctì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và cõa Ω − Bρ)
−1
=
udS → −u(x), vîi ρ → 0.
nω ρn−1
n
∂Bρ
Do â, cho ρ ti¸n ¸n 0 ð cæng thùc (2.8) chóng ta câ cæng thùc
Green:
Z
u(x) =
∂Ω
∂Γ
∂u(y)
u(y)
(x − y)−Γ(x − y)
dSy
∂µy
∂µy
Z
+ Γ(x − y)∆u(y)dy, (x ∈ Ω).
(2.9)
Ω
N¸u u l h m i·u háa th¼ chóng ta nhªn ÷ñc cæng thùc biºu di¹n
sau ¥y thæng qua nghi»m cì b£n Γ(x − y)
u(x) =
Z
∂Γ
∂u(y)
u(y)
(x − y) − Γ(x − y)
dSy , (x ∈ Ω).
∂µy
∂µy
(2.10)
∂Ω
2.2.3 H m Green
B¥y gií ta gi£ sû r¬ng h(y) ∈ C 1(Ω̄) ∩ C 2(Ω) thäa m¢n ∆h(y) = 0
trong Ω. Khi â, tø cæng thùc Green thù hai ta câ:
−
Z
∂u(y)
∂h(y)
u(y)
− h(y)
dSy =
∂µy
∂µy
Z
h(y)∆u(y)dy.
(2.11)
Ω
∂Ω
°t G(x, y) = Γ(x − y) + h(y), tø (2.9) v (2.11) chóng ta câ ÷ñc
mët cæng thùc têng qu¡t hìn v· cæng thùc ¤i di»n Green
u(x) =
Z
∂G(x, y)
∂u(y)
u(y)
− G(x, y)
dSy +
∂µy
∂µy
Z
G(x, y)∆u(y)dy.
Ω
∂Ω
15
(2.12)
- Xem thêm -