Phương trình và bất phương trình Laplace

  • Số trang: 39 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 29 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27616 tài liệu

Mô tả:

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TR†N V‹N TÎI PH×ÌNG TRœNH V€ B‡T PH×ÌNG TRœNH LAPLACE Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG M¢ sè: 60. 46. 01. 12 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H÷îng d¨n khoa håc PGS. TS H€ TI˜N NGO„N Th¡i Nguy¶n - 2014 Möc löc Mð ¦u 1 1 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace 3 1.1 C¡c ành ngh¾a. Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n . . . . 1.1.1 H m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n . . . . . . . . . 1.2 ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc èi vîi gi¡ trà trung b¼nh . 1.2.1 C¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh . . . . . . . . . . . 1.3 Nguy¶n lþ cüc ¤i v  cüc tiºu . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh v  nguy¶n lþ cüc tiºu m¤nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 T½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh Poisson 2 C¡c t½nh ch§t cõa h m i·u háa 2.1 B§t ¯ng thùc Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Cæng thùc Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Cæng thùc Green thù nh§t v  cæng thùc Green thù hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . i 3 3 4 5 5 6 7 7 8 11 11 13 13 13 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.2.3 H m Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u. Cæng thùc Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u 2.3.2 Cæng thùc Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . ành lþ hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 i·u ki»n c¦n v  õ º mët h m l  i·u háa . . 2.4.2 C¡c ành lþ hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi c¡c ¤o h m cõa h m i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m c§p 1 2.5.2 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m b§t ký B i to¡n Dirichlet. Ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi . . 2.6.1 Mð rëng kh¡i ni»m h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa mð rëng . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Ph÷ìng ph¡p Perron (Ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 H m ch­n t¤i mët iºm tr¶n bi¶n, kh¡i ni»m iºm ch½nh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 T½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet . . . . . . 2.6.6 i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i . . . . . . . . . . . . . Dung l÷ñng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 16 18 19 19 20 21 21 21 22 23 23 25 26 28 30 30 K¸t luªn 32 T i li»u tham kh£o 33 ii Líi cam oan Tæi xin cam oan, Luªn v«n n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa PGS. TS H  Ti¸n Ngo¤n. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu · t i Luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh  To¡n håc v  c¡c nh  Khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2014 T¡c gi£ Tr¦n V«n Tîi iii Líi c£m ìn Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa PGS. TS H  Ti¸n Ngo¤n. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c v· sü tªn t¥m v  nhi»t t¼nh cõa Th¦y trong suèt qu¡ tr¼nh tæi thüc hi»n luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, pháng  o t¤o Khoa håc v  Quan h» quèc t¸, Khoa To¡n - Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  quþ th¦y cæ tham gia gi£ng d¤y lîp cao håc khâa 6 (2012 - 2014) ¢ quan t¥m, gióp ï v  mang ¸n cho tæi nhi·u ki¸n thùc bê ½ch trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng. Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v  c¡c çng nghi»p ¢ ëng vi¶n, gióp ï trong qu¡ tr¼nh håc tªp cõa m¼nh. Do thíi gian v  ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v  b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Xin tr¥n trång c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2014 T¡c gi£ Tr¦n V«n Tîi iv Mð ¦u Ph÷ìng tr¼nh Laplace l  mët ph÷ìng tr¼nh cì b£n v  cê iºn cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. ¥y l  ¤i di»n quan trång cõa lîp ph÷ìng tr¼nh elliptic. Vi»c têng quan c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa nghi»m ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace l  c¦n thi¸t. â l  c¡c h m i·u háa, tr¶n i·u háa v  d÷îi i·u háa. èi vîi c¡c h m n y câ r§t nhi·u t½nh ch§t, ành lþ ¢ ÷ñc nghi¶n cùu. Ch¯ng h¤n nh÷ nguy¶n lþ cüc ¤i, c¡c ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh, ... èi vîi h m i·u háa, nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n Dirichlet luæn tçn t¤i. Nh÷ng ð luªn v«n n y nghi¶n cùu nghi»m cê iºn cõa b i to¡n bi¶n Dirichlet, cö thº x²t t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n bi¶n Dirichlet trong mët mi·n bà ch°n, nghi¶n cùu khi n o b i to¡n Dirichlet l  gi£i ÷ñc trong mi·n Ω. Ch½nh v¼ vªy, trong luªn v«n n y ¢ ÷a v i kh¡i ni»m iºm ch½nh quy tr¶n bi¶n m  ÷ñc ành ngh¾a thæng qua kh¡i ni»m h m ch­n. K¸t qu£ cì b£n trong luªn v«n n y l  ành lþ nâi r¬ng b i to¡n Dirichlet gi£i ÷ñc khi v  ch¿ khi måi iºm tr¶n bi¶n ·u l  iºm ch½nh quy. Ph¦n cuèi cõa luªn v«n nghi¶n cùu khi n o mët iºm l  ch½nh quy. Luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace v  c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace. â l  c¡c ành ngh¾a v· h m i·u háa, h m d÷îi i·u háa, tr¶n i·u háa, cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n, c¡c ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung 1 b¼nh, nguy¶n lþ cüc ¤i v  cüc tiºu. Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m i·u háa. â l  b§t ¯ng thùc Harnack, ÷a v o cæng thùc Green, h m Green èi vîi b i to¡n Dirichlet, nghi¶n cùu ành lþ hëi tö v  c¡c ¡nh gi¡ b¶n trong èi vîi h m i·u háa. Ph¦n cuèi nghi¶n cùu b i to¡n Dirichlet cho h m i·u háa b¬ng ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi. B¬ng ph÷ìng ph¡p n y ¢ ÷a v o kh¡i ni»m iºm ch½nh quy tr¶n bi¶n, ph¡t biºu v  chùng minh ành lþ v· i·u ki»n c¦n v  õ cho t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n bi¶n Dirichlet. ÷a v o i·u ki»n õ cho t½nh ch½nh quy, â l  i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i cõa mi·n. i·u ki»n c¦n v  õ cho t½nh ch½nh quy cõa mët iºm tr¶n bi¶n ÷ñc ph¡t biºu thæng qua kh¡i ni»m dung l÷ñng. T i li»u tham kh£o ch½nh cõa luªn v«n l  ch÷ìng 2 cõa t i li»u [2]. 2 Ch÷ìng 1 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace 1.1 C¡c ành ngh¾a. Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n 1.1.1 H m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa Kþ hi»u: ành ngh¾a 1.1.1. x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , q ||x|| = x21 + x22 + ... + x2n . Cho Ω l  mët mi·n trong Rn v  h m sè u thuëc C 2(Ω) . To¡n tû Laplace t¡c ëng l¶n u, k½ hi»u l  ∆u, ÷ñc x¡c ành bði: ∆u = n X Dj 2 u = divDu, j=1 trong â, Du = (D1 u, D2 u, ..., Dn u) ∂u Dj u = , ∂xj 3 l  gradient cõa u, (1.1) ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + + ... + = div(Du). ∂x1 2 ∂x2 2 ∂xn 2 H m sè u ÷ñc gåi l  h m i·u háa (h m d÷îi i·u háa, h m tr¶n i·u háa ) trong Ω n¸u nâ thäa m¢n: ∆u(x) = 0 (≥ 0, ≤ 0), ∀x ∈ Ω. (1.2) Trong ch÷ìng n y chóng ta ph¡t triºn mët sè t½nh ch§t cõa h m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa dòng º nghi¶n cùu t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn cho ph÷ìng tr¼nh Laplace, ∆u = 0. Ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t t÷ìng ùng cõa nâ, ph÷ìng tr¼nh Poisson −∆u = f , l  mæ h¼nh cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh eliptic. 1.1.2 Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n Gi£ sû Ω ⊂ Rn l  mi·n bà ch°n trong Rn vîi bi¶n ∂Ω, kþ hi»u µ = (µ1 , µ2 , ..., µn ) l  v²ctì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và t¤i iºm x ∈ ∂Ω, dS l  ph¦n tû di»n t½ch cõa ∂Ω. Vîi u,v ∈ C 1(Ω) ∩ C 0(Ω̄), ta câ cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n: Z Z Z (Dj u)vdx = − u(Dj v)dx + uvµj dS. (1.3) Ω Ω ∂Ω Tø cæng thùc tr¶n ta suy ra ành lþ ph¥n k¼ sau ¥y. Cho tr÷íng v²ctì b§t k¼ w = (w1, w2, ..., wn) trong C 1(Ω̄). Khi â ta câ Z Z divwdx = Ω (w, µ)dS, Ω n P j . trong â, divw = ∂w ∂x j j=1 Thªt vªy, ¡p döng cæng thùc (1.3) ta câ: 4 (1.4) Z divwdx = Z X n Dj wj dx = Ω j=1 Ω = Z X n Ω j=1 Z X n (Dj wj ).1.dx wj .1.µj dS ∂Ω j=1 Z = ∂Ω C 2 (Ω̄) °c bi»t n¸u u l  mët h m trong trong (1.4) chóng ta câ: Z Z ∆udx = Ω trong â (w, µ)dS. b¬ng c¡ch °t w = Du Z Z div(Du)dx = Ω Du.µ.dS = ∂Ω ∂u dS, ∂µ (1.5) ∂Ω n ∂u P ∂u = µj . ∂µ j=1 ∂xj 1.2 ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc èi vîi gi¡ trà trung b¼nh 1.2.1 C¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh Kþ hi»u ωn l  thº t½ch cõa h¼nh c¦u ìn và trong Rn. Khi â: Thº t½ch cõa h¼nh c¦u b¡n k½nh R l  ωnRn. Di»n t½ch cõa m°t c¦u ìn và l : nωn. Di»n t½ch cõa m°t c¦u b¡n k½nh R l  nωnRn−1. ¤i l÷ñng trung b¼nh cõa h m sè u tr¶n m°t c¦u B b¡n k½nh R l : Z 1 nωn Rn−1 udS. ∂B ¤i l÷ñng trung b¼nh cõa h m sè u trong h¼nh c¦u B b¡n k½nh R l : 1 ωn R n Z udx. B 5 1.2.2 ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh ành lþ ¦u ti¶n cõa chóng ta â l  mët h» qu£ cõa çng nh§t thùc (1.5), bao gçm c¡c t½nh ch§t nêi ti¸ng v· gi¡ trà trung b¼nh cõa h m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa. ành l½ 1.2.1. Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) thäa m¢n ∆u = 0 (≥ 0, ≤ 0) trong Ω. Cho h¼nh c¦u b§t ký t¥m t¤i y v  b¡n k½nh R: B = BR(y) ⊂⊂ Ω, khi â ta câ: Z 1 u(y) = (≤, ≥) udS, (1.6) nω Rn−1 n ∂B u(y) = (≤, ≥) Z 1 ωn R n (1.7) udx. B èi vîi c¡c h m i·u háa, ành lþ 1.2.1 kh¯ng ành r¬ng gi¡ trà cõa h m t¤i t¥m cõa h¼nh c¦u B b¬ng gi¡ trà trung b¼nh t½ch ph¥n tr¶n c£ m°t c¦u ∂B v  trong h¼nh c¦u B . Nhúng k¸t qu£ tr¶n gåi l  ành lþ gi¡ trà trung b¼nh, tr¶n thüc t¸ chóng công mæ t£ t½nh ch§t °c tr÷ng cõa h m i·u háa (xem ành lþ 2.4.1 d÷îi ¥y). Chùng minh. Cho ρ ∈ (0, R) v  ¡p döng çng nh§t thùc (1.5) cho h¼nh c¦u Bρ = Bρ (y) chóng ta thu ÷ñc: Z ∂u dS = ∂µ Z ∆udx = (≥, ≤)0. Bρ ∂Bρ Dòng ph²p bi¸n êi tåa ë theo b¡n k½nh v  gâc x−y v  vi¸t u(x) = u(y + rω), chóng ta câ: ω= r Z ∂Bρ ∂u dS = ∂µ Z ∂u (y + rω)dS = ρn−1 ∂r =ρ ∂u (y + rω)dω ∂r |ω|=1 ∂Bρ n−1 Z r = |x − y|, ∂ ∂ρ Z u(y + rω)dω = ρ |ω=1| n−1 ∂ h n−1 ρ ∂ρ Z ∂Bρ = (≥, ≤) 0. 6 udS i Do â, vîi ρ ∈ (0, R) b§t ký ta câ: ρ 1−n Z udS = (≤, ≥) R 1−n Z udS. ∂BR ∂Bρ M°t kh¡c, ta câ: lim ρ 1−n Z ρ→0 udS = nωn u(y), ∂Bρ trong â ωn l  di»n t½ch m°t cõa m°t c¦u ìn và. Tø â suy ra cæng thùc (1.6). º nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung b¼nh trong h¼nh c¦u th¼ ta vi¸t l¤i (1.6) d÷îi d¤ng sau: nωn ρ n−1 Z u(y) = (≤, ≥) udS, ρ ≤ R, ∂Bρ v  l§y t½ch ph¥n hai v¸ èi vîi ρ tø 0 ¸n R. Tø â cæng thùc (1.7) ÷ñc suy ra ngay lªp tùc. 1.3 Nguy¶n lþ cüc ¤i v  cüc tiºu 1.3.1 Nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh v  nguy¶n lþ cüc tiºu m¤nh Tø ành lþ 1.2.1 ta suy ra ÷ñc nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh cho h m d÷îi i·u háa v  nguy¶n lþ cüc tiºu m¤nh cho h m tr¶n i·u háa. ành l½ 1.3.1. Cho ∆u ≥ 0 (≤ 0) trong Ω v  gi£ sû r¬ng tçn t¤i mët iºm y ∈ Ω m  u(y) = sup u (inf u) th¼ h m u l  h¬ng sè. Do â mët h m i·u Ω Ω háa khæng thº nhªn gi¡ trà cüc ¤i ho°c cüc tiºu trong mi·n Ω trø khi nâ l  h¬ng sè. 7 Chùng minh. Cho ∆u ≥ 0 trong Ω, M = sup u v  °t Ω ΩM = {x ∈ Ω | u(x) = M }. Theo gi£ thi¸t ΩM kh¡c réng. Hìn núa u l  li¶n töc tr¶n ΩM m  l  tªp âng t÷ìng èi tr¶n Ω. Cho z l  iºm b§t ký trong ΩM v  ¡p döng b§t ¯ng thùc gi¡ trà trung b¼nh (1.7) cho h m d÷îi i·u háa u − M trong mët h¼nh c¦u B = BR (z) ⊂⊂ Ω. Do â chóng ta thu ÷ñc: 1 0 = u(z) − M ≤ ωn R n Z (u − M )dx ≤ 0, B suy ra u = M trong BR(z). Do â ΩM mð t÷ìng èi trong Ω. Tø â ΩM = Ω, v¼ vªy u l  h m h¬ng tr¶n Ω. K¸t qu£ cho c¡c h m tr¶n i·u háa câ ÷ñc b¬ng c¡ch thay th¸ u bði −u. ành l½ 1.3.2. Cho u ∈ C 2(Ω) ∩ C 0(Ω̄) vîi ∆u ≥ 0 (≤ 0) tr¶n Ω, vîi Ω l  bà ch°n, khi â sup u = sup u (inf u = inf u). (1.8) Ω ∂Ω Ω ∂Ω Do â cho h m i·u háa u, ta câ: inf u ≤ u(x) ≤ sup u, x ∈ Ω. ∂Ω ∂Ω T½nh duy nh§t nghi»m cho b i to¡n Dirichlet cê iºn cho ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh Poisson trong mi·n bà ch°n ÷ñc suy ra tø ành lþ 1.3.2 trong möc d÷îi ¥y. 1.3.2 T½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh Poisson A. B i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Laplace: 8 Cho Ω l  mi·n bà ch°n tr¶n Rn, khi â b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Laplace l : t¼m mët h m u : Ω → R thäa m¢n u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄), v  trong Ω , u = ϕ, tr¶n ∂Ω trong â ϕ ∈ C(∂Ω) l  h m cho tr÷îc. B. B i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Poisson: Cho Ω l  mi·n bà ch°n tr¶n Rn, khi â b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Poisson l : t¼m mët h m u : Ω → R thäa m¢n ( ∆u = 0, u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄), v  trong Ω , u = ϕ, tr¶n ∂Ω trong â f ∈ C(Ω) v  ϕ ∈ C(∂Ω) l  h m cho tr÷îc. ( −∆u = f, ành l½ 1.3.3. Cho u, v ∈ C 2(Ω) ∩ C 0(Ω̄) thäa m¢n ∆u = ∆v trong Ω, u = v tr¶n ∂Ω th¼ u = v trong Ω. Chùng minh. °t w = u − v. Ta câ: ∆w = 0 tr¶n Ω ngh¾a l  w l  h m i·u háa v  w = 0 trong ∂Ω (do u = v tr¶n ∂Ω). Do 0 = inf w ≤ w(x) ≤ sup w = 0, x ∈ Ω, (ành ∂Ω ∂Ω lþ 1.3.2). Suy ra w = 0 trong Ω hay u = v trong Ω. Chó þ r¬ng b¬ng ành lþ 1.3.2, chóng ta câ n¸u u v  v l  c¡c h m i·u háa v  h m d÷îi i·u háa t÷ìng ùng, u = v tr¶n bi¶n ∂Ω, khi â v ≤ u trong Ω. T½nh ch§t n y gi£i th½ch t¤i sao v ÷ñc gåi l  h m d÷îi i·u háa. Nhªn x²t t÷ìng ùng công óng cho h m tr¶n i·u háa, 9 ngh¾a l  u l  h m i·u háa, v l  h m tr¶n i·u háa, u = v tr¶n ∂Ω th¼ u ≤ v trong Ω. Sau ¥y, chóng ta sû döng t½nh ch§t h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n i·u háa º mð rëng nhúng ành ngh¾a èi vîi c¡c lîp h m rëng hìn. 10 Ch÷ìng 2 C¡c t½nh ch§t cõa h m i·u háa 2.1 B§t ¯ng thùc Harnack H» qu£ ti¸p theo cõa ành lþ 1.2.1 s³ l  b§t ¯ng thùc Harnack cho h m i·u háa. ành l½ 2.1.1. Cho u l  mët h m i·u háa khæng ¥m trong Ω, v  cho b§t ký mi·n con Ω ⊂⊂ Ω bà ch°n, khi â tçn t¤i mët h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o n, Ω v  Ω sao cho: sup u ≤ C inf u. (2.1) 0 0 Ω0 Ω0 Chùng minh. Cho y ∈ Ω, B4R(y) ⊂ Ω. Vîi hai iºm b§t ký x1, x2 ∈ B4R(y), ¡p döng cæng thùc (1.7) ta câ: 1 u(x1 ) = ωn R n Z udx BR (x1 ) 1 ≤ ωn R n Z udx, B2R (y) v  11 Z 1 u(x2 ) = ωn (3R)n udx B3R (x2 ) Z 1 ≥ ωn (3R)n udx. B2R (y) Do â chóng ta câ ÷ñc: sup u ≤ 3n . inf u. BR (y) BR (y) B¥y gií cho Ω 0 ⊂⊂ Ω (2.2) v  chån x1, x2 ∈ Ω̄ º 0 u(x1 ) = sup u, Ω0 v  u(x2 ) = inf0 u. Ω Cho Γ ⊂ Ω̄ l  mët cung âng x1 v  x2 v  chån R º 0 4R ≤ dist(Γ, ∂Ω). Theo ành lþ Heine-Borel, Γ câ thº ÷ñc bao phõ bði sè húu h¤n N (ch¿ phö thuëc trong Ω v  Ω) c¡c h¼nh c¦u b¡n k½nh R. p döng gi£ thi¸t (2.2) tr¶n méi h¼nh c¦u v  k¸t hñp c¡c k¸t qu£ cõa b§t ¯ng thùc, chóng ta câ: 0 u(x1 ) ≤ 3nN u(x2 ). Do â gi£ thi¸t (2.1) ÷ñc chùng minh vîi C = 3nN . Chó þ r¬ng h¬ng sè C tr¶n (2.1) l  h¬ng sè khæng êi èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi çng d¤ng v  bi¸n êi trüc giao. 12 2.2 Cæng thùc Green 2.2.1 Cæng thùc Green thù nh§t v  cæng thùc Green thù hai Nh÷ mët sü mð ¦u º x²t sü tçn t¤i, b¥y gií chóng ta suy ra mët v i h» qu£ xa hìn cõa ành lþ ph¥n k¼, â l  cæng thùc Green. Cho Ω l  mët mi·n m  ð â ành lþ ph¥n k¼ câ thº ¡p döng, gi£ sû u v  v l  h m sè tr¶n C 2(Ω̄). Chóng ta chån w = vDu trong cæng thùc (1.4) º câ ÷ñc cæng thùc Green thù nh§t: Z Z v(y)∆u(y)dy + Ω Z v(y) Du(y)Dv(y)dy = Ω ∂u(y) dSy , ∂µy (2.3) ∂Ω trong â µy l  vectì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và t¤i y ∈ ∂Ω. êi ché u v  v trong (2.3) v  thüc hi»n ph²p trø chóng ta ÷ñc cæng thùc Green thù hai: Z  Z   ∂u(y) ∂v(y)  v(y)∆u(y) − u(y)∆v(y) dy = v(y) − u(y) dSy . ∂µy ∂µy Ω ∂Ω (2.4) 2.2.2 Nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace Ph÷ìng tr¼nh Laplace câ r2−n l  nghi»m vîi n > 2 v  logr vîi n = 2, trong â r l  kho£ng c¡ch tø iºm x ¸n iºm y . Ti¸p töc tø (2.4) chóng ta cè ành iºm x trong Ω v  ÷a v o h m sè sau: Γ(x − y) = Γ(|x − y|) =  1  |x − y|2−n , n > 2,    n(2 − n)ωn     1 log|x − y|, 2π (2.5) n = 2. Khi â, Γ(x − y) x¡c ành nh÷ tr¶n gåi l  nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace. H m Γ(x − y) x¡c ành vîi måi x 6= y. 13 B¬ng c¡ch t½nh to¡n ìn gi£n ta câ: vîi Dj = ∂y∂ Di Γ(x − y) = j 1 (xi − yi )|x − y|−n , nωn o 1 n 2 Dij Γ(x − y) = |x − y| δij − n(xi − yi )(xj − yj ) |x − y|−n−2 . nωn (2.6) Rã r ng Γ l  h m i·u háa vîi x 6= y. Chóng ta câ c¡c ÷îc l÷ñng sau èi vîi ¤o h m: |Di Γ(x − y)| ≤ 1 |x − y|1−n , nωn |Dij Γ(x − y)| ≤ (2.7) 1 |x − y|−n . ωn °c bi»t khi x = y, chóng ta khæng thº dòng Γ trong vi»c °t v(y) = Γ(x − y) v o çng nh§t thùc Green thù hai (2.4). Mët c¡ch º v÷ñt qua v§n · n y l  thay Ω b¬ng Ω\B̄ρ, trong â Bρ = Bρ(x) vîi ρ õ nhä. Sau â chóng ta câ thº k¸t luªn tø (2.4) r¬ng: Z Z Γ∆udy = ∂u ∂Γ (Γ − u )dS + ∂µ ∂µ ∂Ω Ω\Bρ Z (Γ ∂u ∂Γ − u )dS. ∂µ ∂µ ∂Bρ Vîi Z ∂Bρ ∂u Γ dS = Γ(ρ) ∂µ Z ∂u dS ∂µ ∂Bρ ≤ nωn ρn−1 Γ(ρ) sup |Du| → 0, Bρ v  14 khi ρ → 0, (2.8) Z 0 ∂Γ u dS = −Γ (ρ) ∂µ Z udS, ∂Bρ ∂Bρ (Chó þ r¬ngZµ l  v²ctì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và cõa Ω − Bρ) −1 = udS → −u(x), vîi ρ → 0. nω ρn−1 n ∂Bρ Do â, cho ρ ti¸n ¸n 0 ð cæng thùc (2.8) chóng ta câ cæng thùc Green: Z  u(x) = ∂Ω ∂Γ ∂u(y)  u(y) (x − y)−Γ(x − y) dSy ∂µy ∂µy Z + Γ(x − y)∆u(y)dy, (x ∈ Ω). (2.9) Ω N¸u u l  h m i·u háa th¼ chóng ta nhªn ÷ñc cæng thùc biºu di¹n sau ¥y thæng qua nghi»m cì b£n Γ(x − y) u(x) = Z  ∂Γ ∂u(y)  u(y) (x − y) − Γ(x − y) dSy , (x ∈ Ω). ∂µy ∂µy (2.10) ∂Ω 2.2.3 H m Green B¥y gií ta gi£ sû r¬ng h(y) ∈ C 1(Ω̄) ∩ C 2(Ω) thäa m¢n ∆h(y) = 0 trong Ω. Khi â, tø cæng thùc Green thù hai ta câ: − Z  ∂u(y)  ∂h(y) u(y) − h(y) dSy = ∂µy ∂µy Z h(y)∆u(y)dy. (2.11) Ω ∂Ω °t G(x, y) = Γ(x − y) + h(y), tø (2.9) v  (2.11) chóng ta câ ÷ñc mët cæng thùc têng qu¡t hìn v· cæng thùc ¤i di»n Green u(x) = Z  ∂G(x, y) ∂u(y)  u(y) − G(x, y) dSy + ∂µy ∂µy Z G(x, y)∆u(y)dy. Ω ∂Ω 15 (2.12)
- Xem thêm -