Mô tả:
0 tån t¹i mét sè δ(ε) > 0 sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ë ®©y xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2. Chó ý 1.1.2. Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nhng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c. Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.1) thêng ®îc cho bëi ®o ®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c f , ta chØ biÕt xÊp xØ fδ cña nã tho¶ m·n kfδ − f k ≤ δ . Gi¶ sö xδ lµ nghiÖm cña (1.1) víi f thay bëi fδ (gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi chØnh th× δ → 0 th× fδ → f nhng víi bµi to¸n ®Æt kh«ng xδ nãi chung kh«ng héi tô ®Õn x. 1.1.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Tríc khi tr×nh bµy mét sè vÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, trong môc nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi. C¸c kh¸i niÖm nµy ®îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [4], [9] vµ [12]. • Kh«ng gian Banach: Kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh X trong ®ã øng víi mçi phÇn tö x ∈ X ta cã mét sè kxk gäi lµ chuÈn cña x, tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1) kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c); 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3) kαxk = |α|.kxk, ∀x ∈ X, α ∈ R. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy ®ñ gäi lµ kh«ng gian Banach. VÝ dô 1.1.1. Kh«ng gian Lp [a, b] víi 1 ≤ p < ∞ lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn kϕk = Z b p |ϕ(x)| dx p1 , ϕ ∈ Lp [a, b]. a • Sù héi tô trong kh«ng gian Banach: gian Banach D·y c¸c phÇn tö xn trong kh«ng X ®îc gäi lµ héi tô ®Õn phÇn tö x0 ∈ X khi n → ∞, nÕu kxn − x0 k → 0 khi n → ∞, ký hiÖu lµ xn → x0 . Sù héi tô theo chuÈn ®îc gäi lµ héi tô m¹nh. D·y {xn } ⊂ X ®îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn x0 ∈ X , ký hiÖu lµ xn * x0 , nÕu víi ∀f ∈ X ∗ , kh«ng gian liªn hîp cña X , ta cã f (xn ) → f (x0 ), khi n → ∞. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã c¸c tÝnh chÊt sau. TÝnh chÊt 1.1.1. i) Tõ sù héi tô m¹nh cña mét d·y {xn } suy ra sù héi tô yÕu cña d·y ®ã; ii) Giíi h¹n yÕu cña mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt; iii) NÕu xn * x th× sup kxn k < ∞ vµ kxk ≤ limn→∞ kxn k. 1≤n<∞ NhËn xÐt 1.1.1. Mét sè trêng hîp tõ héi tô yÕu cã thÓ suy ra héi tô m¹nh lµ: i) ii) • X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu; {xn } ⊂ M víi M lµ mét tËp compact trong X . Kh«ng gian ph¶n x¹: Gi¶ sö kh«ng gian liªn hîp cña thø hai cña X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn R, X ∗ lµ X vµ gäi X ∗∗ = L(X ∗ , R) lµ kh«ng gian liªn hîp X . Ta cho t¬ng øng víi mçi x ∈ X mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn liªn tôc x∗∗ trªn X ∗∗ nhê hÖ thøc ë ®©y x∗∗ , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗ , hf, xi lµ kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f ∈ X ∗ t¹i x ∈ X . Ta cã kxk = kx∗∗ k. §Æt h(x) = x∗∗ , nÕu h : X → X ∗∗ lµ toµn ¸nh th× kh«ng gian VÝ dô 1.1.2. X ®îc gäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Kh«ng gian Lp [0, 1], p > 1 lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu ph¶n x¹. §Þnh lý 1.1.1. (xem [12]) NÕu X lµ kh«ng gian Banach th× c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng: 1) X ph¶n x¹; 2) Mäi d·y giíi néi lµ compact yÕu, nghÜa lµ ∀ {xn } ⊂ X : kxn k ≤ K ⇒ ∃ {xnk }, xnk * x ∈ X ; 3) H×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong X lµ compact yÕu; 4) Mçi tËp bÞ chÆn ®ãng yÕu trong 5) Mçi tËp låi ®ãng bÞ chÆn trong • X X Kh«ng gian E-S (Ephimov Stechkin): lµ compact yÕu; lµ compact yÕu. Kh«ng gian Banach X ®îc gäi lµ kh«ng gian Ephimov Stechkin (hay kh«ng gian cã tÝnh chÊt E-S) x¹ vµ trong nÕu X ph¶n X sù héi tô yÕu c¸c phÇn tö (xn * x) vµ sù héi tô chuÈn (kxn k → kxk) lu«n kÐo theo sù héi tô m¹nh (kxn − xk → 0). VÝ dô 1.1.3. Kh«ng gian Hilbert cã tÝnh chÊt E-S. Víi to¸n tö r : X → Y tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian Banach Y , ta sÏ viÕt r(x) = O(kxk) víi x → θX , nÕu r(x)/kxk → 0 khi x → θX . KÝ hiÖu L(X, Y ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc T : X → Y . 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • §¹o hµm FrÐchet: Cho A : X → Y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian Banach Y . To¸n tö A ®îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm x ∈ X , nÕu tån t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho A(x + h) = A(x) + T h + O(khk), víi mäi h thuéc mét l©n cËn cña ®iÓm θ. NÕu tån t¹i, th× T ®îc gäi lµ ®¹o hµm FrÐchet cña • h→0 A t¹i x, vµ ta viÕt A0 (x) = T . TËp ®ãng yÕu: TËp M ⊂ X ®îc gäi lµ tËp ®ãng (®ãng yÕu) nÕu tõ xn → x (xn * x), trong ®ã xn ∈ M, ∀n ≥ 0, suy ra x ∈ M . §Þnh lý 1.1.2. (xem [12]) (Mazur) Mét tËp låi ®ãng trong kh«ng gian Ba- nach lµ ®ãng yÕu. Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vµi vÝ dô vÒ to¸n tö A mµ (1.1) lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §Þnh nghÜa 1.1.3. To¸n tö (phi tuyÕn) A ®îc gäi lµ liªn tôc m¹nh, nÕu nã ¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu xn * x suy ra Axn → Ax. MÖnh ®Ò 1.1.1. NÕu (xem [12]) Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc. A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh. VÝ dô 1.1.4. NÕu A lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.1) (v« h¹n chiÒu) nãi chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ThËt vËy, gi¶ sö vµ {xn } lµ mét d·y chØ héi tô yÕu ®Õn x, xn * x, xn 6→ x yn = A(xn ), y = A(x). Khi ®ã, do tÝnh liªn tôc m¹nh cña A suy ra yn → y vµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh A(x) = f kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Tuy nhiªn, còng cã mét vµi trêng hîp ®Æc biÖt cho ph¬ng tr×nh to¸n tö víi to¸n tö liªn tôc m¹nh. Ch¼ng h¹n, nÕu miÒn x¸c ®Þnh 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên D(A) cña http://www.lrc-tnu.edu.vn to¸n tö A lµ h÷u h¹n chiÒu th× mäi d·y héi tô yÕu ®Òu héi tô m¹nh, do ®ã chøng minh trªn kh«ng ¸p dông ®îc. Vµ nÕu ta xÐt mét to¸n tö tuyÕn tÝnh compact víi miÒn ¶nh R(A) h÷u h¹n chiÒu th× to¸n tö ngîc A−1 nãi chung lµ liªn tôc vµ khi ®ã bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh A(x) = f lµ bµi to¸n ®Æt chØnh. VÝ dô 1.1.5. (xem [1]) XÐt ph¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I Z b K(x, s)ϕ(s)ds = f0 (x), (1.2) x ∈ [a, b], a ë ®©y nghiÖm lµ mét hµm ϕ(x), vÕ ph¶i f0 (x) lµ mét hµm cho tríc, K(x, s) lµ h¹ch cña tÝch ph©n. Gi¶ thiÕt h¹ch trªn h×nh vu«ng K(x, s) cïng víi [a, b] × [a, b]. Ta xÐt hai trêng hîp sau: ∂K(x, s) liªn tôc ∂x • Trêng hîp 1 A: C[a, b] → L2 [a, b] Z ϕ(x) 7→ f0 (x) = b K(x, s)ϕ(s)ds. a Sù thay ®æi cña vÕ ph¶i ®îc ®o b»ng ®é lÖch trong kh«ng gian L2 [a, b], tøc L2 [a, b] ®îc cho bëi Z b 21 ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |f0 (x) − f1 (x)|2 dx . lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm f0 (x) vµ f1 (x) trong a Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1.2) cã nghiÖm lµ ϕ0 (x). Khi ®ã víi vÕ ph¶i b Z f1 (x) = f0 (x) + N K(x, s)sin(ωs)ds a th× ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin(ωx). Víi N bÊt k× vµ ω ®ñ lín th× kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm f0 vµ f1 trong kh«ng gian L2 [a, b] lµ Z bZ b 2 21 ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N | K(x, s)sin(ωs)ds dx a a 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cã thÓ lµm nhá tuú ý. ThËt vËy, ®Æt Kmax = |K(x, s)|, max x∈[a,b],s∈[a,b] ta tÝnh ®îc Z ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N | d c ≤ b 1 Kmax cos(ωs)a ω 12 2 dx |N |Kmax c0 , ω ë ®©y c0 lµ mét h»ng sè d¬ng. Ta chän N vµ ω lín tuú ý nhng N/ω l¹i nhá. Trong khi ®ã ρC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N | x∈[a,b] cã thÓ lín bÊt k×. • Trêng hîp 2 A: L2 [a, b] → L2 [a, b] Z ϕ(x) 7→ f0 (x) = b K(x, s)ϕ(s)ds. a T¬ng tù, ta còng chØ ra kho¶ng c¸ch gi÷a hai nghiÖm ϕ0 vµ ϕ1 trong kh«ng L2 [a, b] cã thÓ lín bÊt k×. ThËt vËy, Z b 21 Z b 12 ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx = |N | sin2 (ωx)dx a a r b−a 1 = |N | − sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)). 2 2ω gian DÔ dµng nhËn thÊy r»ng hai sè N vµ ω cã thÓ chän sao cho ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) rÊt nhá nhng ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) l¹i rÊt lín. V× tÝnh kh«ng duy nhÊt cña nghiÖm cña bµi to¸n (1.1), nªn ngêi ta thêng cã mét tiªu chuÈn cho sù lùa chän cña nghiÖm. Ta sÏ sö dông 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nghiÖm x0 cã x∗ -chuÈn nhá nhÊt, nghÜa lµ ta t×m nghiÖm tho¶ m·n A(x0 ) = f, vµ kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : A(x) = f }. B»ng c¸ch chän 1.2 x∗ ta cã thÓ cã ®îc nghiÖm mµ ta muèn xÊp xØ. Ph¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc, A : D(A) → X ∗ lµ mét to¸n tö víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) = X vµ miÒn ¶nh R(A) n»m trong X ∗ . C¸c kh¸i niÖm trong môc nµy ®îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [3], [4] vµ [12]. • To¸n tö ®¬n ®iÖu: To¸n tö A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu (monotone) nÕu (1.3) hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X. To¸n tö A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt x¶y ra khi (strictly monotone) nÕu dÊu b»ng chØ x = y . Trong trêng hîp A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh th× tÝnh ®¬n ®iÖu t¬ng ®¬ng víi tÝnh kh«ng ©m cña to¸n tö. • To¸n tö ®¬n ®iÖu m¹nh: To¸n tö A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m δ(t) kh«ng gi¶m víi t ≤ 0, δ(0) = 0 vµ hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk , ∀x, y ∈ D(A). NÕu δ(t) = cA t2 víi cA lµ mét h»ng sè d¬ng th× to¸n tö A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu m¹nh. VÝ dô 1.2.1. To¸n tö tuyÕn tÝnh A : RM → RM ®îc x¸c ®Þnh bëi A = B T B, 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn víi • B lµ mét ma trËn vu«ng cÊp M , lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu. To¸n tö h-liªn continuous) trªn tôc, d-liªn tôc: To¸n tö A ®îc gäi lµ h-liªn tôc (hemi- X nÕu A(x + ty) * Ax khi t → 0 víi mäi x, y ∈ X vµ A ®îc gäi lµ d-liªn tôc (demicontinuous) trªn X nÕu tõ xn → x suy ra Axn * Ax khi n → ∞. VÝ dô 1.2.2. Hµm hai biÕn liªn tôc theo tõng biÕn t¹i ϕ(x, y) = xy 2 (x2 + y 4 )−1 kh«ng liªn tôc, nhng (0, 0) do ®ã nã h-liªn tôc t¹i (0, 0). • To¸n tö bøc: To¸n tö A ®îc gäi lµ to¸n tö bøc (coercive) nÕu Ax, x lim = +∞, ∀x ∈ X. ||x||→+∞ ||x|| Sù tån t¹i nghiÖm cña ph¬ng tr×nh to¸n tö (1.1) ®îc cho trong ®Þnh lý sau. §Þnh lý 1.2.1. (xem [9]) Cho A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ bøc tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ cã nghiÖm víi mäi X vµo X ∗. Khi ®ã ph¬ng tr×nh A(x) = f f ∈ X ∗. • ¸nh x¹ ®èi ngÉu: ¸nh x¹ U s : X → X ∗ ®îc ®Þnh nghÜa bëi U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s }, s ≥ 2 ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña viÕt lµ (1.4) X . Trong trêng hîp s = 2 ta U vµ gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cña X . TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®îc cho trong mÖnh ®Ò sau. MÖnh ®Ò 1.2.1. (xem [9]) Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã, 1) U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R; 2) U lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi trêng hîp X lµ kh«ng gian Hilbert th× 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên X∗ lµ kh«ng gian låi chÆt. Trong U = I , to¸n tö ®¬n vÞ trong X . http://www.lrc-tnu.edu.vn ¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach. §Þnh lý 1.2.2. (xem [4]) NÕu ®èi ngÉu chuÈn t¾c H¬n n÷a, nÕu X X∗ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹ U : X → X∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× U d-liªn tôc. lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu chÆt. Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ cña lý thuyÕt to¸n tö ®¬n ®iÖu ®îc sö dông trong phÇn sau. Bæ ®Ò 1.2.1. thùc, f ∈ X∗ (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn) vµ Cho lµ mét kh«ng gian Banach A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc tõ X hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, th× X vµo X ∗ . Khi ®ã, nÕu ∀x ∈ X A(x0 ) = f. NÕu A lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu trªn X th× ®iÒu kiÖn trªn t¬ng ®¬ng víi hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Bæ ®Ò 1.2.1 cã tªn lµ bæ ®Ò Minty, tªn mét nhµ to¸n häc Mü, ngêi ®· chøng minh kÕt qu¶ trªn trong trêng hîp kh«ng gian Hilbert vµ sau nµy chÝnh «ng vµ Browder ®· chøng minh mét c¸ch ®éc lËp trong kh«ng gian Banach. 1.2.2. Ph¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu Cho hîp cña X lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, X ∗ lµ kh«ng gian liªn X . Víi f ∈ X ∗ cho tríc, ph¬ng tr×nh (1.1) ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh to¸n tö. NÕu A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu th× ph¬ng tr×nh to¸n tö (1.1) nãi chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn