Phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chỉ số 1 Luận án TS. Toán học

  • Số trang: 119 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 49 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27435 tài liệu

Mô tả:

Môc lôc Më ®Çu 3 Ch−¬ng 1 Bµi to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn víi hÖ sè biÕn thiªn 1.1 1.2 12 Tr−êng hîp h¹ng cña hÖ sè c¶ lµ h»ng . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1 Kh¸i niÖm chØ sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Bµi to¸n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.3 Bµi to¸n khëi t¹o gi¸ trÞ ban ®Çu . . . . . . . . . . . . . . 28 Tr−êng hîp hÖ sè c¶ cã h¹ng thay ®æi . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ch−¬ng 2 Bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn víi hÖ sè biÕn thiªn 41 2.1 Kh¸i niÖm bµi to¸n chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n chÝnh qui . . . . . . . . 49 2.3 TÝnh gi¶i ®−îc cña bµi to¸n kh«ng chÝnh qui . . . . . . . . . . . 58 Ch−¬ng 3 Ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1 vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 3.1 76 L−îc ®å sai ph©n Euler hiÖn cho bµi to¸n Cauchy ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.1.2 3.2 77 TÝnh t−¬ng thÝch gi÷a kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè vµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn . . . . . . . . 77 Sù héi tô cña l−îc ®å Euler hiÖn . . . . . . . . . . . . . . 82 L−îc ®å sai ph©n Euler hiÖn cho bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 . . . . . . . . . . . . . . 91 i 3.2.1 3.2.2 Mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh chÝnh qui cña bµi to¸n liªn tôc vµ rêi r¹c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Sù héi tô cña l−îc ®å Euler hiÖn . . . . . . . . . . . . . . 99 KÕt luËn chung 111 Danh môc c«ng tr×nh ®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n 113 Tµi liÖu tham kh¶o 114 1 b¶ng ký hiÖu N- tËp c¸c sè tù nhiªn. Nk = {n ∈ N : n ≥ k}, N0 = N ∪ {0}. k = n1 , n2 - k ∈ {n : n ∈ N0 vµ n1 6 n 6 n2 }, ë ®©y n1 , n2 ∈ N0 . R, Rm , Rm×m - trôc sè thùc, kh«ng gian vÐc t¬ thùc m-chiÒu, kh«ng gian c¸c ma trËn vu«ng thùc cÊp m. C(J, Rm ), C 1 (J, Rm )- kh«ng gian c¸c hµm vÐc t¬ liªn tôc (kh¶ vi liªn tôc) trªn ®o¹n J := [t0 , T ]. kxk- chuÈn Euclid cña vÐc t¬ x. AT , A−1 , kAk- chuyÓn vÞ, nghÞch ®¶o, chuÈn cña ma trËn A (t−¬ng thÝch víi chuÈn Euclid cña vÐc t¬). I - ma trËn ®¬n vÞ cÊp m. O- ma trËn vu«ng kh«ng cÊp m. (C0 , . . . , CN ) ∈ Rm×m(N +1) - ma trËn cã c¸c cét lµ c¸c cét cña c¸c ma trËn C0 , . . . , CN ∈ Rm×m . kerA- nh©n cña ma trËn A. rankA- h¹ng cña ma trËn A. ImA- ¶nh cña ma trËn A. dimX - sè chiÒu cña kh«ng gian X . span{v1 , . . . , vn }- kh«ng gian sinh bëi c¸c vÐc t¬ v1 , . . . , vn . An = Un Σn VnT - khai triÓn k× dÞ cña ma trËn An . diag(M, N )- ma trËn ®−êng chÐo khèi. e CN QN −1 )/R- kh«ng gian th−¬ng. ker(D, e CN QN −1 )+ - nghÞch ®¶o suy réng theo Moore-Penrose cña (D, e CN QN −1 ). (D, N P D= Cn X n - ma trËn b¾n cña bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm. n=0 Më ®Çu Ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng xuÊt hiÖn khi ng−êi ta m« t¶ nh÷ng hiÖn t−îng tiÕn ho¸ quan s¸t ®−îc trong tù nhiªn. Ch¼ng h¹n, xÐt qu¸ tr×nh ph¸t triÓn d©n sè tõng n¨m mét cña mét quèc gia hay mét vïng nµo ®ã. NÕu gäi xn+1 lµ sè d©n t¹i thêi ®iÓm n¨m n + 1 th× xn+1 lµ mét hµm cña sè d©n xn t¹i thêi ®iÓm n¨m tr−íc ®ã. Sù liªn hÖ nµy ®−îc m« t¶ bëi hÖ thøc: xn+1 = f (xn , n), n ∈ Nn0 . Ph−¬ng tr×nh sai ph©n theo mét biÕn ®éc lËp n vµ mét hµm ph¶i t×m un lµ ph−¬ng tr×nh hµm cã d¹ng F (un+1 , un , . . . , un−k , n) = 0, n ∈ Nn0 , (0.1) ë ®ã k lµ sè nguyªn kh«ng ©m, F lµ mét hµm theo c¸c biÕn un+1 , un , . . . , un−k , n vµ n0 lµ mét sè nguyªn d−¬ng ®· cho. Trong tr−êng hîp k lµ h÷u h¹n, (0.1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n cÊp k + 1. T−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh vi ph©n, mäi ph−¬ng tr×nh sai ph©n cÊp k + 1 ®Òu ®−a ®−îc vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh sai ph©n cÊp 1 d¹ng f (xn+1 , xn , n) = 0, n ∈ Nn0 , (0.2) ë ®©y xn (n ∈ Nn0 ) vµ f lµ nh÷ng vÐc t¬ vµ hµm vÐc t¬. V× vËy khi xÐt ph−¬ng tr×nh sai ph©n cã cÊp h÷u h¹n trong kh«ng gian Rm ta chØ cÇn ®Ò cËp ®Õn ph−¬ng tr×nh sai ph©n cÊp 1 d¹ng (0.2). Mét h−íng tiÕp cËn quan träng kh¸c lµ coi ph−¬ng tr×nh sai ph©n nh− kÕt qu¶ cña viÖc rêi r¹c ho¸ c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n, tÝch ph©n, vi-tÝch ph©n vµ ®¹o hµm riªng. VÊn ®Ò nµy sÏ ®−îc tr×nh bµy kÜ h¬n ë phÇn sau. Lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh sai ph©n t×m ®−îc nhiÒu øng dông trong c¸c lÜnh vùc cña to¸n häc còng nh− c¸c khoa häc kh¸c, ch¼ng h¹n trong gi¶i tÝch sè, lý thuyÕt ®iÒu khiÓn, lý thuyÕt trß ch¬i, lý thuyÕt sè, lý thuyÕt x¸c suÊt, gi¶i tÝch tæ hîp, khoa häc m¸y tÝnh, lý thuyÕt m¹ch, lý thuyÕt l−îng tö, di truyÒn häc, kinh tÕ häc, t©m lý häc vµ x· héi häc, ... V× vËy, viÖc nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh sai ph©n lµ 3 4 mét vÊn ®Ò thêi sù cña to¸n häc ®−îc nhiÒu nhµ khoa häc quan t©m. Trong thêi gian gÇn ®©y ®· cã nhiÒu tµi liÖu chuyªn kh¶o viÕt vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n (xem [1], [2], [18], [28], [22], [26], [37]). Ngoµi ra, cßn cã hµng ngµn bµi b¸o khoa häc vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n vµ øng dông. Cã c¶ mét t¹p chÝ quèc tÕ (Journal of Difference Equations and Applications) chuyªn ®¨ng t¶i nh÷ng vÊn ®Ò nµy. 0 Ta biÕt r»ng nÕu kerfy (y, x, t) = {0} th× (0.2) cã thÓ ®−a vÒ d¹ng xn+1 = g(xn , n), n ∈ Nn0 . 0 (0.3) 0 Nh−ng nÕu fxn+1 (xn+1 , xn , n) suy biÕn, tøc lµ kerfy (y, x, t) 6= {0} th× nãi chung (0.2) kh«ng ®−a ®−îc vÒ d¹ng (0.3). Trong tr−êng hîp nµy, (0.2) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. Khi Êy, c¸c kÕt qu¶ cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng (0.3) nãi chung kh«ng cßn ®óng. HiÖn t−îng nµy x¶y ra gièng nh− khi ta xÐt ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè f (x0 , x, t) = 0, t ∈ J := [t0 , T ], (0.4) 0 ë ®©y ma trËn fx0 (x0 , x, t) kh«ng kh¶ nghÞch víi mäi gi¸ trÞ cña c¸c biÕn. HiÖn nay, mét trong nh÷ng h−íng ph¸t triÓn m¹nh cña lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n lµ nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh vi ph©n suy biÕn (0.4). §©y lµ mét lÜnh vùc ®−îc nhiÒu nhµ khoa häc quan t©m v× rÊt nhiÒu bµi to¸n trong thùc tÕ dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.4). C¸c vÝ dô vÒ bµi to¸n suy biÕn ®−a ®Õn nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè lµ bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi −u, bµi to¸n nhiÔu k× dÞ, bµi to¸n nöa rêi r¹c khi sai ph©n ho¸ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng b»ng ph−¬ng ph¸p ®−êng th¼ng, bµi to¸n vÒ m« h×nh m¹ng ®iÖn (xem [16], [14], [13]). Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè ®· ®−îc Gantmacher nghiªn cøu tõ kh¸ l©u (xem [19]). Nh−ng m·i ®Õn nh÷ng n¨m 80, ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè míi ®−îc ®Æc biÖt quan t©m. §· xuÊt hiÖn hµng lo¹t c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ vÊn ®Ò nµy (xem [16], [14], [15]). B»ng c¸ch sö dông biÕn ®æi Kronecker cho mét cÆp ma trËn, ng−êi ta nhËn ®−îc c«ng thøc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè tuyÕn tÝnh «t«n«m Ax0 (t) + Bx(t) = q(t), t ∈ J, (0.5) 5 víi A lµ ma trËn suy biÕn. Cho ®Õn cuèi thËp kû 80, mét lo¹t c¸c kÕt qu¶ vÒ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t), t ∈ J, (0.6) ë ®©y ma trËn A(t) suy biÕn víi mäi t ∈ J , ®· ®−îc c«ng bè vµ viÕt thµnh c¸c tµi liÖu chuyªn kh¶o (xem [21], [23], [13]). Cã nhiÒu c¸ch ®−a ra kh¸i niÖm chØ sè cho ph−¬ng tr×nh (0.6), lµ kh¸i niÖm ®Ó ®o ”kho¶ng c¸ch” gi÷a ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè cã chØ sè cµng lín th× ®é phøc t¹p ®Ó xö lý chóng cµng cao. ë ®©y, ta chØ ®Ò cËp ®Õn .. kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (0.6) theo nghÜa cña Griepentrog vµ Marz. .. Kh¸i niÖm chØ sè lín h¬n 1 theo nghÜa cña Griepentrog vµ Marz vµ c¸c kh¸i niÖm .. chØ sè theo c¸ch kh¸c cã thÓ t×m ®−îc trong [20]. Theo Griepentrog vµ Marz th× (0.6) ®−îc gäi lµ cã chØ sè 1 nÕu tån t¹i mét phÐp chiÕu tr¬n Q(t) lªn kerA(t) sao cho ma trËn G(t) := A(t) + B(t)Q(t) kh¶ nghÞch víi mäi t ∈ J . §· chøng minh ®−îc r»ng, bµi to¸n Cauchy víi (0.6) cã chØ sè 1 vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu P (t0 )(x(t0 ) − x0 ) = 0, (0.7) víi P (t) := I − Q(t), lµ gi¶i ®−îc duy nhÊt nghiÖm. H¬n n÷a, c«ng thøc nghiÖm cña (0.6) vµ (0.7) cã d¹ng x(t) = u(t) + Q(t)G−1 (t)(q(t) − B(t)u(t)), trong ®ã u(t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu   u0 (t) = P (t)G−1 (t)(q(t) − B(t)u(t)),  u(t0 ) = u0 := P (t0 )x0 . t ∈ J, Kh¸c víi bµi to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, ë ®ã ®iÒu kiÖn ban ®Çu th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng x(t0 ) = x0 , bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ ®ßi hái P (t0 )(x(t0 ) − x0 ) = 0. Kh«ng ph¶i gi¸ trÞ x0 nµo còng cã thÓ sö dông ®Ó khëi t¹o x(t). Bµi to¸n biªn hai ®iÓm cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.6) víi ®iÒu kiÖn biªn C0 x(t0 ) + CT x(T ) = γ (0.8) 6 .. còng ®· ®−îc Griepentrog vµ Marz nghiªn cøu (xem [21]). Bµi to¸n (0.6) vµ (0.8) gi¶i ®−îc duy nhÊt nghiÖm nÕu vµ chØ nÕu ma trËn b¾n D := C0 X(t0 ) + CT X(T ) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn kerD=kerA(t0 ) vµ ImD=Im(C0 , CT ). C¸c kÕt qu¶ s©u s¾c h¬n vÒ bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè cã thÓ t×m .. ®−îc trong c¸c bµi b¸o cña Lentini vµ Marz (xem [29]) hoÆc P. K. Anh (xem [3]). Lý thuyÕt ®Þnh tÝnh vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè nh− tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm, b¸n kÝnh æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh vµ ®Æc biÖt lµ c¸c ph−¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè còng ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu (xem [21], [13], [7], [12], [31], [43], [44], [6], [27], [34], [36], [38], [39], [41]). Còng gièng nh− ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, trong thùc tÕ cã nhiÒu bµi to¸n dÉn vÒ nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. Cã hai m« h×nh thùc tÕ tiªu biÓu vÒ vÊn ®Ò nµy lµ m« h×nh d©n sè Leslie (xem [16], [14]) vµ m« h×nh kinh tÕ Leontief (xem [14], [17]). M« h×nh d©n sè Leslie ®−îc m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh sai ph©n xn+1 = Tn xn , ë ®©y   b1 (n) b2 (n) . . . bm−1 (n) bm (n)   p1 (n) 0   Tn =  0 p2 (n)   .. ..  . .  0 0 ... 0 ... 0 ... .. . . . . pm−1 (n)   0    0 .  ..  .   0 §Æt ∆t lµ ®¬n vÞ thêi gian, m∆t lµ tuæi thä tèi ®a cña c¸ thÓ vµ A1 := (0, ∆t], A2 := (∆t, 2∆t], . . . , Am := ((m−1)∆t, m∆t]. Trong ®ã pk (n) lµ kh¶ n¨ng sao cho nh÷ng phô n÷ cã ®é tuæi thuéc Ak trong thêi gian n∆t sÏ cã ®é tuæi thuéc Ak+1 trong thêi gian (n + 1)∆t. Nãi c¸ch kh¸c, pk (n) lµ tû lÖ sèng sãt cña c¸c bµ mÑ ë ®é tuæi Ak vµo thêi gian n∆t. Cßn bk (n) lµ sè trÎ s¬ sinh n÷ ®−îc sinh ra trong thêi gian (n + 1)∆t bëi nh÷ng bµ mÑ cã ®é tuæi thuéc Ak , tøc lµ bk (n) lµ tû lÖ sinh. Ta th−êng gäi ma trËn Tn lµ ma trËn Leslie. Trong thùc tÕ, khi nghiªn cøu vÒ 7 sù ph¸t triÓn d©n sè cña mét vïng nµo ®ã nhiÒu khi ta biÕt ph©n bè sè d©n theo tõng ®é tuæi cña vïng ®ã t¹i thêi ®iÓm hiÖn t¹i lµ xn0 = x0 vµ ta cÇn t×m ph©n bè sè d©n theo tõng ®é tuæi cña vïng Êy t¹i mét thêi ®iÓm tr−íc ®ã xn0 −k , tøc lµ ta cÇn gi¶i bµi to¸n   xn+1  xn 0 = Tn xn , n = n0 − k, n0 − 1, (0.10) 0 =x . §iÒu kh«ng may m¾n ë ®©y lµ ma trËn Leslie th−êng lµ suy biÕn. Ch¼ng h¹n ta xÐt ∆t = 5 (n¨m) vµ m = 20, tøc lµ ta cã A1 = (0, 5], . . . , A20 = (95, 100]. Chóng ta cã thÓ cho r»ng tån t¹i k0 sao cho b20 (n) = · · · = b20−k0 (n) = 0 víi mäi n, ®iÒu nµy cã nghÜa lµ  b (n) b2 (n)  1  p1 (n) 0    0 p2 (n)  ..  ..  . .   Tn =  0 0    0 0    0 0   .. ..  . .  0 0 . . . bm−k0 −1 (n) bm−k0 (n) 0 ... ... 0 0 0 ... ... 0 0 0 ... ... .. . .. . .. . ... 0 0 ... 0 ... . . . pm−k0 −1 (n) ... 0 pm−k0 (n) ... 0 0 ... .. . .. . .. . ... ... 0 0 0 ... pm−k0 +1 (n) . . .  0 0   0 0   0 0  .. ..  . .   0 0 .   0 0   0 0  .. ..  . .  pm−1 (n) 0 Víi phÐp ®æi biÕn ui = xn0 −i (i = 0, k) vµ phÐp ®Æt Mi = Tn0 −i (i = 0, k), bµi to¸n (0.10) trë thµnh   Mi ui+1  u0 = ui , i = 0, k − 1, (0.100 ) = x0 . Râ rµng (0.10’) lµ bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu ®èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. M« h×nh kinh tÕ Leontief ®−îc m« t¶ bëi hÖ suy biÕn xn = Axn + B(xn+1 − xn ) + dn , hay Bxn+1 = (I + B − A)xn − dn . (0.11) 8 Trong ®ã, nÒn kinh tÕ ®−îc chia thµnh m lÜnh vùc s¶n xuÊt, xn lµ vÐc t¬ gåm m thµnh phÇn mµ thµnh phÇn thø i cña nã lµ gi¸ trÞ s¶n xuÊt hµng ho¸ cña lÜnh vùc s¶n xuÊt thø i trong thêi ®iÓm n, A lµ ma trËn s¶n xuÊt, Axn lµ phÇn tiªu hao trong s¶n xuÊt, B lµ ma trËn ®Çu t−, B(xn+1 − xn ) lµ gi¸ trÞ lîi nhuËn sinh ra vµ dn lµ vÐc t¬ tiªu dïng. Ma trËn ®Çu t− B = (bij ) ∈ Rm×m gåm c¸c thµnh phÇn bij lµ sè hµng ho¸ cña lÜnh vùc s¶n xuÊt thø i mµ lÜnh vùc s¶n xuÊt thø j cÇn ®Ó s¶n xuÊt ra 1 ®¬n vÞ hµng ho¸ cña lÜnh vùc ®ã. V× vËy, trong thùc tÕ ma trËn B th−êng suy biÕn, ch¼ng h¹n lÜnh vùc s¶n xuÊt thø i nµo ®ã kh«ng s¶n xuÊt hµng ho¸ th× hµng thø i cña ma trËn B lµ 0. VËy (0.11) th−êng lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. MÆt kh¸c, nhiÒu ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chÝnh lµ kÕt qu¶ cña viÖc rêi r¹c ho¸ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.6). Ascher, Brenan, Campbell vµ Petzold (xem [13], [8]) ®· xÐt l−îc ®å sai ph©n Èn An xn − xn−1 + Bn xn = qn , τ n = 1, N , hay (An + τ Bn )xn = An xn−1 + τ qn , n = 1, N . Khi Êy víi gi¶ thiÕt (0.6) cã chØ sè 1 th× víi b−íc l−íi rêi r¹c τ ®ñ bÐ ta nhËn ®−îc ma trËn An + τ Bn kh¶ nghÞch, nãi c¸ch kh¸c ph−¬ng tr×nh trªn lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng. B©y giê, ¸p dông l−îc ®å sai ph©n Euler hiÖn cho (0.6), ta nhËn ®−îc An xn+1 − xn + Bn xn = qn , τ n = 0, N − 1, hay An xn+1 = (An − τ Bn )xn + τ qn , n = 0, N − 1. Râ rµng, ph−¬ng tr×nh sai ph©n trªn lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. T−¬ng tù, ta còng nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn khi sö dông l−îc ®å sai ph©n trung t©m cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.6). Ngoµi ra cã rÊt nhiÒu bµi to¸n ®iÒu khiÓn trong kÜ thuËt liªn quan ®Õn ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. 9 Nh÷ng m« h×nh thùc tÕ, còng nh− viÖc rêi r¹c ho¸ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè cho ta thÊy viÖc nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn lµ mét vÊn ®Ò thêi sù ®−îc nhiÒu ng−êi quan t©m. Trong thùc tÕ, ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn còng ®· ®−îc ®ång thêi ®Ò cËp ®Õn khi nghiªn cøu vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè. Campbell, Meyer (xem [16]) ®· dïng biÕn ®æi Kronecker gièng nh− ®· sö dông trong ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè (0.5) ®Ó ®−a ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh «t«n«m Axn+1 = Bxn + qn , n ∈ Nn0 , ë ®©y A lµ ma trËn suy biÕn, vÒ mét hÖ gåm mét ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng vµ mét ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn d¹ng ®Æc biÖt. C¸c kÕt qu¶ nhËn ®−îc vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn d¹ng trªn ®· ®−îc Campbell (xem [14]), Dai (xem [17]) ¸p dông cho c¸c bµi to¸n ®iÒu khiÓn d¹ng   Exn+1  yn = Axn + Bun , n ∈ Nn0 , = Cxn , trong ®ã ma trËn E suy biÕn. GÇn ®©y Navarro, Ferrer vµ Jodar (xem [35]) ®· ®−a ra c«ng thøc nghiÖm vµ nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh «t«n«m bËc cao Bk xn+k + Bk−1 xn+k−1 + · · · + B0 xn = f (n), ë ®©y Bk lµ ma trËn suy biÕn. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn cã chËm Axn+1 = Bxn + Cxn−n0 + f (n), víi ma trËn A suy biÕn, còng ®· ®−îc Li, Zhang vµ Liu (xem [30]) nghiªn cøu. Kh¸c víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, c¸c kÕt qu¶ vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn kh«ng dõng míi chØ ®−îc ®Ò cËp rÊt Ýt. Campbell vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c (xem [14], [15], [40], [42]) míi chØ xÐt mét líp hÑp ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh kh«ng dõng. GÇn ®©y Bondarenko, Rutkas vµ Vlasenko (xem [9], [10], [11]) 10 ®· ®−a ra ®iÒu kiÖn gi¶i ®−îc duy nhÊt nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn kh«ng dõng Tn un+1 + un = ϕn , n ∈ N0 , ë ®ã Tn lµ ma trËn cã chØ sè 1 vµ d·y {rankTn }∞ n=0 lµ dõng. Tuy nhiªn, c¸c kÕt qu¶ cña nhãm t¸c gi¶ nãi trªn chØ lµ tr−êng hîp riªng cña mét sè kÕt qu¶ ®−îc tr×nh bµy trong Ch−¬ng 1 cña luËn ¸n nµy. §èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè tuyÕn tÝnh vµ sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh «t«n«m th× c¸ch tiÕp cËn ®Ó gi¶i quyÕt chóng gièng nhau. Tuy nhiªn, khi chuyÓn sang ph−¬ng tr×nh kh«ng dõng, c¸c kÜ thuËt ¸p dông cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè kh«ng cßn h÷u hiÖu ®èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn n÷a. LuËn ¸n tËp trung nghiªn cøu mét sè vÊn ®Ò vÒ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh kh«ng dõng An xn+1 = Bn xn + qn , n ∈ N0 , (0.12) ë ®ã An lµ c¸c ma trËn suy biÕn víi mäi n ∈ N0 . C¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn ph−¬ng tr×nh (0.12) ®−îc nghiªn cøu trong luËn ¸n bao gåm: 1. Kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (0.12). 2. Sù tån t¹i nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu vµ bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm. 3. Mèi liªn hÖ gi÷a ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1 vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1. Kh¸i niÖm chØ sè cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn ®−a ra ë ®©y thÓ hiÖn ®é suy biÕn cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn. Nãi c¸ch kh¸c, nã ®o ”kho¶ng c¸ch” gi÷a ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn vµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng. §èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè tuyÕn tÝnh kh«ng dõng, ta dïng c¸c phÐp chiÕu lªn c¸c kh«ng gian kerA(t) vµ phÇn bï cña nã ®Ó t¸ch ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè thµnh mét hÖ gåm mét rµng buéc ®¹i sè vµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng. Cßn ®èi víi ph−¬ng 11 tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh kh«ng dõng, ta l¹i sö dông khai triÓn k× dÞ cña c¸c ma trËn An vµ c¸c ma trËn ”tùa chiÕu” ®Ó t¸ch ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn thµnh mét hÖ gåm mét ph−¬ng tr×nh sai ph©n th−êng vµ mét rµng buéc ®¹i sè. C¸ch tiÕp cËn míi nµy ®· thu ®−îc mét sè kÕt qu¶ tèt cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh kh«ng dõng (0.12). C¸ch tiÕp cËn nµy còng ®−îc giíi kÜ thuËt quan t©m khi (CSA’s Internet Database Service) ®−a c«ng tr×nh [32] vµo (CSA Civil Engineering Abstracts). LuËn ¸n ®−îc h×nh thµnh trªn c¬ së ba bµi b¸o [4], [5], [32] vµ ®−îc s¾p xÕp thµnh ba ch−¬ng. Ch−¬ng 1 dµnh cho viÖc tr×nh bµy kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn dùa vµo khai triÓn k× dÞ cña An vµ c¸c phÐp chiÕu lªn kerAn . Ch−¬ng nµy còng nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm vµ ®−a ra c«ng thøc nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n Cauchy ®èi víi (0.12) khi hÖ sè c¶ cã h¹ng h»ng hoÆc cã h¹ng thay ®æi. Mét sè kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n khëi t¹o gi¸ trÞ ban ®Çu còng ®−îc ®Ò cËp ®Õn ë ch−¬ng nµy. Trong Ch−¬ng 2, chóng t«i xÐt bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1. C¸c kÕt qu¶ nhËn ®−îc trong ch−¬ng nµy lµ ®−a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm. H¬n n÷a, ®iÒu kiÖn gi¶i ®−îc còng nh− c«ng thøc nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n kh«ng chÝnh qui còng ®−îc thiÕt lËp. Ch−¬ng 3 tr×nh bµy mèi liªn hÖ gi÷a ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1 vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1. Khi ¸p dông l−îc ®å Euler hiÖn cho bµi to¸n Cauchy ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 ta sÏ nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1. H¬n n÷a, nghiÖm cña bµi to¸n rêi r¹c héi tô vÒ nghiÖm cña bµi to¸n liªn tôc t−¬ng øng khi b−íc l−íi rêi r¹c ®ñ bÐ. Trong ch−¬ng nµy ta còng chØ ra sù kh«ng t−¬ng thÝch gi÷a kh¸i niÖm chÝnh qui cña bµi to¸n liªn tôc vµ bµi to¸n rêi r¹c nhËn ®−îc khi ¸p dông l−îc ®å Euler hiÖn. Sù héi tô cña l−îc ®å Euler hiÖn cho bµi to¸n biªn nhiÒu ®iÓm còng sÏ ®−îc tr×nh bµy. Trong c¶ ba ch−¬ng cña luËn ¸n, c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt ®−îc minh ho¹ b»ng c¸c vÝ dô tÝnh to¸n b»ng sè trong m«i tr−êng MAPLE. Cuèi cïng lµ phÇn kÕt luËn, danh môc c«ng tr×nh ®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n vµ tµi liÖu tham kh¶o. Ch−¬ng 1 Bµi to¸n Cauchy cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn víi hÖ sè biÕn thiªn Trong ch−¬ng nµy, chóng ta sÏ nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®−îc cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh kh«ng dõng: An xn+1 = Bn xn + qn , n ∈ N0 , (1.1) ë ®©y An , Bn ∈ Rm×m , qn ∈ Rm vµ An lµ ma trËn suy biÕn víi mäi n ∈ N0 . Ph−¬ng tr×nh (1.1) xuÊt hiÖn trong rÊt nhiÒu øng dông vµ cã thÓ ®−îc xem nh− lµ kÕt qu¶ cña sù rêi r¹c ho¸ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t), t ∈ J := [t0 , T ], (1.2) trong ®ã A, B ∈ C(J, Rm×m ), q ∈ C(J, Rm ) vµ ma trËn A(t) suy biÕn víi mäi t ∈ J . Thêi gian gÇn ®©y ®· cã nhiÒu t¸c gi¶ nhËn ®−îc c¸c kÕt qu¶ vÒ ph−¬ng tr×nh (1.2) nh− Ascher, Boyarincev, Brenan, Campbell, Gear, Griepentrog, Hairer, .. Marz, Petzold, Rheinboldt, ... Trong c¸c kÕt qu¶ ®· nhËn ®−îc vÒ ph−¬ng tr×nh (1.2), ng−êi ta ®Òu gi¶ thiÕt kerA(t) tr¬n theo t, do ®ã A(t) cã h¹ng h»ng. Khi tiÕp cËn ph−¬ng tr×nh (1.1), b»ng c¸ch sö dông khai triÓn k× dÞ cña c¸c ma trËn An còng nh− mét sè kh¸i niÖm vµ kÜ thuËt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, chóng ta sÏ ®−a ra kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh khi h¹ng cña hÖ sè c¶ lµ h»ng. Trong [4] ®· chØ ra r»ng kh¸i niÖm chØ sè 1 nµy hoµn toµn t−¬ng thÝch víi kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè theo nghÜa .. cña Griepentrog vµ Marz. Tøc lµ nÕu (1.2) cã chØ sè 1 th× ph−¬ng tr×nh sai ph©n nhËn ®−îc tõ nã b»ng mét c¸ch rêi r¹c thÝch hîp còng cã chØ sè 1. Trong ch−¬ng nµy, ta sÏ nghiªn cøu sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm vµ t×m c«ng thøc nghiÖm t−êng minh cña bµi to¸n Cauchy. Mét sè kÕt qu¶ liªn quan ®Õn bµi 12 13 to¸n Cauchy nh− lµ chän vÐc t¬ ban ®Çu P0 x0 còng ®−îc ®Ò cËp ë ®©y. H¬n n÷a, kh¸c víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè, trong ®ã rankA(t) lu«n gi¶ thiÕt lµ h»ng, ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn vÉn cã thÓ gi¶i ®−îc trong tr−êng hîp rankAn kh«ng h»ng. KÕt qu¶ chÝnh cña ch−¬ng nµy ®−îc c«ng bè trong bµi b¸o [32]. 1.1 Tr−êng hîp h¹ng cña hÖ sè c¶ lµ h»ng 1.1.1 Kh¸i niÖm chØ sè Gi¶ sö r»ng An lµ c¸c ma trËn suy biÕn, kh¸c kh«ng, vµ cã h¹ng h»ng, tøc lµ rankAn = r víi mäi n ∈ N0 , trong ®ã 0 < r < m. Khi ®ã xÐt mét khai triÓn k× dÞ cña An An = Un Σn VnT , (1.3) ë ®©y Σn lµ ma trËn ®−êng chÐo víi c¸c gi¸ trÞ k× dÞ σn(1) ≥ σn(2) ≥ · · · ≥ σn(r) > 0 trªn ®−êng chÐo chÝnh, hay Σn cã d¹ng Σn = diag(σn(1) , σn(2) , . . . , σn(r) , 0, . . . , 0); Un , Vn lµ c¸c ma trËn trùc giao, tøc lµ UnT Un = Un UnT = VnT Vn = Vn VnT = I. §Æt V−1 = V0 , Qn = Vn Q∗ VnT , Pn = I − Qn , n ∈ N0 víi Q∗ :=diag(Or , Im−r ), trong ®ã Or , Im−r lµ kÝ hiÖu cña c¸c ma trËn vu«ng kh«ng cÊp r vµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp m − r. Tõ d¹ng cña Σn vµ Q∗ ta cã Σn Q∗ = O, do ®ã Qn lµ phÐp chiÕu lªn kerAn . Tr−íc khi tr×nh bµy kh¸i niÖm chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (1.1), chóng ta cÇn cã mét sè kÕt qu¶ bæ trî. C¸c kÕt qu¶ nµy ®−îc ph¸t biÓu trong hai bæ ®Ò sau. Bæ ®Ò 1.1. Gi¶ sö r»ng ma trËn Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT (n ∈ N0 ) lµ kh«ng suy biÕn. Khi ®ã ta cã (i) An Pn = An (1.4) 14 (ii) −1 Pn = Gn An (1.5) T Gn Bn Qn−1 = Vn Q∗ Vn−1 (1.6) (iii) −1 −1 Pn Gn Bn Qn−1 = O, −1 T Qn Gn Bn Qn−1 = Vn Q∗ Vn−1 −1 (1.7) −1 en−1 := I − Pen−1 (iv) NÕu Gn−1 tån t¹i vµ ®Æt Pen−1 = I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn th× Q lµ mét phÐp chiÕu lªn kerAn−1 . H¬n n÷a, −1 −1 Pen−1 Gn−1 Bn−1 Pen−2 = Pen−1 Gn−1 Bn−1 . (1.8) Chøng minh. Do An Qn = Un Σn VnT Vn Q∗ VnT , VnT Vn = I vµ Σn Q∗ = O, nªn ta nhËn ®−îc An Qn = O. V× Qn = I − Pn , nªn An (I − Pn ) = O, hay An Pn = An . §¼ng thøc (1.4) ®−îc chøng minh. Ta cã Gn Pn = (An + Bn Vn−1 Q∗ VnT )Pn = (An + Bn Vn−1 VnT Qn )Pn = An Pn + Bn Vn−1 VnT Qn Pn . Do Qn Pn = O nªn ®¼ng thøc cuèi trªn cho ta Gn Pn = An Pn . KÕt hîp hÖ thøc võa nhËn ®−îc víi (1.4) −1 ta suy ra Gn Pn = An , hay Pn = Gn An . Tõ ®ã suy ra (1.5). TiÕp theo, tõ T Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT ta cã Gn − An = Bn Vn−1 Q∗ VnT . Nh©n Vn Vn−1 vµo bªn ph¶i hai vÕ cña ®¼ng thøc nµy vµ l−u ý r»ng VnT Vn = I , ta nhËn ®−îc ®¼ng thøc T T T (Gn −An )Vn Vn−1 = Bn Vn−1 Q∗ Vn−1 , hay Bn Qn−1 = (Gn −An )Vn Vn−1 . ¸p dông ®¼ng −1 −1 T T = (I − Pn )Vn Vn−1 = thøc (1.5), ta nhËn ®−îc Gn Bn Qn−1 = Gn (Gn − An )Vn Vn−1 T T T Qn Vn Vn−1 = Vn Q∗ VnT Vn Vn−1 = Vn Q∗ Vn−1 . VËy (1.6) ®−îc chøng minh. §¼ng thøc (1.7) lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña (1.6). B©y giê ta chøng minh ®¼ng thøc (1.8). ThËt vËy, −1 −1 −1 T Pen−1 Gn−1 Bn−1 Pen−2 = Pen−1 Gn−1 Bn−1 (I − Qn−2 Vn−2 Vn−1 Gn−1 Bn−1 ) −1 −1 −1 T = Pen−1 Gn−1 Bn−1 − Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1 Gn−1 Bn−1 . §¼ng thøc (1.8) sÏ ®−îc thiÕt lËp nÕu ta chøng minh ®−îc −1 −1 T Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1 Gn−1 Bn−1 = O. 15 −1 T Theo (1.6) th× Gn−1 Bn−1 Qn−2 = Vn−1 Q∗ Vn−2 , v× thÕ −1 −1 −1 T T T Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1 Gn−1 Bn−1 = Pen−1 Vn−1 Q∗ Vn−2 Vn−2 Vn−1 Gn−1 Bn−1 . T T §Ó ý r»ng Vn−2 Vn−2 = I vµ Vn−1 Q∗ Vn−1 = Qn−1 , v× vËy hÖ thøc trªn ®−îc rót gän −1 −1 −1 T Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1 Gn−1 Bn−1 = Pen−1 Qn−1 Gn−1 Bn−1 . MÆt kh¸c, ta cã −1 −1 Pen−1 Qn−1 = (I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn )Qn−1 = Qn−1 − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn Qn−1 . T L¹i ¸p dông (1.6), ta cã Pen−1 Qn−1 = Qn−1 − Qn−1 Vn−1 VnT Vn Q∗ Vn−1 = Qn−1 − −1 −1 T Qn−1 Qn−1 = O. Do ®ã ta cã Pen−1 Gn−1 Bn−1 Qn−2 Vn−2 Vn−1 Gn−1 Bn−1 = O. VËy −1 en−1 = I − Pen−1 (1.8) ®· ®−îc chøng minh. V× Pen−1 := I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn vµ Q −1 en−1 = Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn . Tõ An−1 Qn−1 = O ta nhËn ®−îc An−1 Q en−1 = nªn Q −1 An−1 Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn = O. H¬n n÷a, ta cã T −1 e2n−1 = Qn−1 Vn−1 VnT G−1 Q n Bn Qn−1 Vn−1 Vn Gn Bn . T ¸p dông (1.6) vµo hÖ thøc trªn vµ l−u ý r»ng VnT Vn = I , Vn−1 Q∗ Vn−1 = Qn−1 , −1 e2n−1 = Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn = Q e n−1 . §iÒu ®ã chøng tá Q en−1 Q2n−1 = Qn−1 , ta ®−îc Q lµ mét phÐp chiÕu lªn kerAn−1 . Bæ ®Ò ®· ®−îc chøng minh. T Bæ ®Ò 1.2. Gi¶ sö An = Un Σn VnT = U n Σn V n lµ hai khai triÓn k× dÞ cña ma trËn An . Khi ®ã bn := An + Bn V n−1 Q∗ V T lµ ®ång (i) C¸c ma trËn Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT vµ G n thêi suy biÕn hoÆc ®ång thêi kh«ng suy biÕn. (ii) NÕu Gn vµ Gn−1 kh¶ nghÞch th× −1 vµ T b−1 Vn−1 Q∗ VnT Gn = V n−1 Q∗ V n G n −1 b−1 , Pen−1 Gn−1 = Pen−1 G n−1 −1 trong ®ã Pen−1 := I − Qn−1 Vn−1 VnT Gn Bn . (1.9) (1.10) 16 T Chøng minh. (i) Gi¶ sö Gn kh¶ nghÞch vµ kÝ hiÖu S n := {ζ : Bn V n−1 V n ζ ∈ ImAn }, bn còng kh¶ nghÞch. §Ó chøng minh ®iÒu nµy, tr−íc hÕt ta cÇn chøng minh r»ng G ta chøng tá S n ∩ kerAn = {0}. ThËt vËy, lÊy x ∈ S n ∩ kerAn tuú ý. Do x ∈ S n nªn −1 T tån t¹i vÐc t¬ ζ ∈ Rm sao cho Bn V n−1 V n x = An ζ. Nh©n Qn Gn vµo bªn tr¸i hai vÕ cña ®¼ng thøc nµy ta nhËn ®−îc −1 −1 T Qn Gn Bn V n−1 V n x = Qn Gn An ζ. −1 Sö dông ®¼ng thøc (1.5) trong Bæ ®Ò 1.1, ta cã Qn Gn An ζ = Qn Pn ζ = 0, do ®ã −1 T T Qn Gn Bn V n−1 V n x = 0. T−¬ng tù nh− Qn , ta ®Æt Qn = V n Q∗ V n , th× Qn còng lµ mét phÐp chiÕu lªn kerAn . MÆt kh¸c, tõ x ∈ kerAn , suy ra tån t¹i z ∈ Rm ®Ó x = T T T T Qn z . H¬n n÷a, An−1 V n−1 V n x = U n−1 Σn−1 V n−1 V n−1 V n x = U n−1 Σn−1 V n Qn z = T T U n−1 Σn−1 Q∗ V n z . V× Σn−1 Q∗ = O nªn ta nhËn ®−îc An−1 V n−1 V n x = 0. Tõ ®©y T T suy ra V n−1 V n x ∈ kerAn−1 , hay tån t¹i vÐc t¬ η ∈ Rm sao cho V n−1 V n x = Qn−1 η . −1 −1 T Nh− vËy ®¼ng thøc Qn Gn Bn V n−1 V n x = 0 ®−îc viÕt l¹i lµ Qn Gn Bn Qn−1 η = 0. T T η = 0, hay Q∗ Vn−1 η = 0. Tõ hÖ thøc (1.7) trong Bæ ®Ò 1.1, ta nhËn ®−îc Vn Q∗ Vn−1 T T η = 0, hay Qn−1 η = 0. V× V n−1 V n x = Qn−1 η §iÒu nµy cã nghÜa lµ Vn−1 Q∗ Vn−1 T nªn V n−1 V n x = 0, hay x = 0. VËy ta nhËn ®−îc S n ∩ kerAn = {0}. B©y giê ta sÏ T bn kh¶ nghÞch. Gi¶ sö G bn x = 0, tøc lµ (An +Bn V n−1 Q∗ V )x = 0, hay chøng minh G n T Bn V n−1 V n Qn x = −An x ∈ ImAn . VËy ta cã Qn x ∈ S n . MÆt kh¸c, Qn x ∈ kerAn , suy ra Qn x ∈ kerAn ∩ S n . Do kerAn ∩ S n = {0} nªn Qn x = 0. KÕt hîp ®¼ng T thøc nµy víi Bn V n−1 V n Qn x = −An x ta cã An x = 0, tøc lµ x ∈ kerAn . V× vËy bn lµ ma trËn kh¶ nghÞch. x = Qn x = 0. §iÒu nµy cã nghÜa lµ G (ii) Tr−íc hÕt, ta ®Ó ý r»ng c¶ Qn−1 vµ Qn−1 lµ hai phÐp chiÕu lªn kerAn−1 , T T T V n−1 Q∗ V n−1 = V n−1 Q∗ V n−1 . Nh©n do ®ã Qn−1 Qn−1 = Qn−1 , hay Vn−1 Q∗ Vn−1 T V n−1 vµo bªn tr¸i vµ V n−1 vµo bªn ph¶i, hai vÕ cña ®¼ng thøc nµy ta cã Q∗ = T T V n−1 Vn−1 Q∗ Vn−1 V n−1 Q∗ . T bn bëi V Tn−1 Vn−1 Q∗ Vn−1 Tõ ®ã, b»ng c¸ch thay thÕ Q∗ trong G V n−1 Q∗ ta cã −1 bn = Vn−1 Q∗ V T G−1 (An + Bn V n−1 Q∗ V T ) = Vn−1 Q∗ V T G−1 An Vn−1 Q∗ VnT Gn G n n n n n −1 T T T +Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn V n−1 V n−1 Vn−1 Q∗ Vn−1 V n−1 Q∗ V n 17 −1 −1 T = Vn−1 Q∗ VnT Gn An + Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n . −1 Sö dông hÖ thøc (1.5), ta cã Vn−1 Q∗ VnT Gn An = Vn−1 VnT Qn Pn = O. Tõ ®¼ng thøc (1.6), suy ra −1 T T T Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n = Vn−1 Q∗ VnT Vn Q∗ Vn−1 V n−1 Q∗ V n T = Qn−1 Qn−1 V n−1 V n T T = Qn−1 V n−1 V n = V n−1 Q∗ V n . VËy ta nhËn ®−îc −1 T T Vn−1 Q∗ VnT Gn Bn Qn−1 V n−1 Q∗ V n = V n−1 Q∗ V n , −1 ∗ T b −1 bn = V n−1 Q∗ V Tn , hay Vn−1 Q∗ VnT G−1 do ®ã Vn−1 Q∗ VnT Gn G n = V n−1 Q V n Gn . §¼ng thøc (1.9) ®−îc chøng minh. §Ó chøng minh (1.10), ta xÐt −1 ∗ T bn−1 = G−1 Gn−1 G n−1 (An−1 + Bn−1 V n−2 Q V n−1 ) −1 −1 T = Gn−1 An−1 + Gn−1 Bn−1 V n−2 Q∗ V n−1 . T T Ta cã Q∗ = V n−2 Vn−2 Q∗ Vn−2 V n−2 Q∗ nªn −1 −1 T T T T Gn−1 Bn−1 V n−2 Q∗ V n−1 = Gn−1 Bn−1 V n−2 V n−2 Vn−2 Q∗ Vn−2 V n−2 Q∗ V n−1 −1 T = Gn−1 Bn−1 Qn−2 V n−2 Q∗ V n−1 . ¸p dông (1.6) vµo hÖ thøc cuèi, ta ®−îc −1 T T T Gn−1 Bn−1 Qn−2 V n−2 Q∗ V n−1 = Vn−1 Q∗ Vn−2 V n−2 Q∗ V n−1 . −1 MÆt kh¸c, theo (1.5) th× Gn−1 An−1 = Pn−1 , do ®ã ta cã −1 VËy ta nhËn ®−îc T bn−1 = Pn−1 + Vn−1 Q∗ V T V n−2 Q∗ V Gn−1 G n−2 n−1 . −1 bn−1 = Pen−1 Pn−1 + Pen−1 Vn−1 Q∗ V T V n−2 Q∗ V T . Pen−1 Gn−1 G n−2 n−1 en−1 lµ phÐp chiÕu lªn kerAn−1 nªn Q en−1 Qn−1 = Qn−1 hay Bæ ®Ò 1.1 kh¼ng ®Þnh Q Pen−1 Qn−1 = O, do ®ã T T T T Pen−1 Vn−1 Q∗ Vn−2 V n−2 Q∗ V n−1 = Pen−1 Qn−1 Vn−1 Vn−2 V n−2 Q∗ V n−1 = O, 18 −1 bn−1 = Pen−1 Pn−1 . H¬n n÷a, Pen−1 Pn−1 = Pen−1 (I − Qn−1 ) = Pen−1 . suy ra Pen−1 Gn−1 G −1 bn−1 = Pen−1 , hay Pen−1 G−1 = Pen−1 G b−1 V× thÕ ta cã Pen−1 Gn−1 G n−1 , tøc lµ hÖ thøc n−1 (1.10) ®−îc thiÕt lËp. VËy, bæ ®Ò ®· ®−îc chøng minh. Bæ ®Ò 1.2 chøng tá ®Þnh nghÜa vÒ chØ sè 1 cña ph−¬ng tr×nh (1.1) d−íi ®©y kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän khai triÓn k× dÞ cña c¸c ma trËn An . §Þnh nghÜa 1.1. Ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn tuyÕn tÝnh (1.1) ®−îc gäi lµ cã chØ sè 1 nÕu (i) rankAn = r (0 < r < m), ∀n ∈ N0 . (ii) C¸c ma trËn Gn := An + Bn Vn−1 Q∗ VnT kh¶ nghÞch víi mäi n ∈ N0 . VÝ dô 1.1. XÐt ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn       1 1 n n 2   xn+1 =   xn +   , ∀n ∈ N0 . n n n n−1 −1       1 1 n n 2  , Bn =   , qn =  . Ta cã An =  n n n n−1 −1 (1.11) DÔ thÊy, kerAn =span{(1, −1)T }, ®iÒu nµy chøng tá rankAn ≡ 1. H¬n n÷a, An = Un Σn VnT , trong ®ã       √ 1 n 1 0 1 −1 1   , Σn = 2 + 2n2  .  vµ Vn = √1  Un = √ 2 n + 1 n −1 2 0 0 1 1 Khi ®ã       0 0 1 −1 1 −1  , V−1 = √1   , Qn = Vn Q∗ VnT = 1   , ∀n ∈ N0 . Q∗ =  2 −1 1 2 1 1 0 1   1 1  víi mäi n ∈ N0 . Tõ ®ã ta nhËn ®−îc Do ®ã Pn = 12  1 1   1 1  , ∀n ∈ N0 . Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT =  n + 12 n − 12 Do Gn kh¶ nghÞch víi mäi n ∈ N0 nªn (1.11) lµ ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn chØ sè 1. 19 VÝ dô 1.2. XÐt ph−¬ng tr×nh (1.1) víi An , Bn vµ qn cho bëi       1 −1 − n 2 −1 − n n  , Bn =   , qn =  . An =  1 −1 − n 2 0 n−1 (1.12) Khi ®ã kerAn =span{(1 + n, 1)T } víi mäi n ∈ N0 , suy ra rankAn ≡ 1. Khai triÓn k× dÞ cña An lµ An = Un Σn VnT víi   p  2 1 1+n 2(1 + (1 + n) ) 0 1   , Σn =  ; Vn = p 1 + (1 + n)2 −1 − n 1 0 0 do ®ã  Q∗ =  0 0    1 1  , V−1 = V0 = √1  . 2 0 1 −1 1 Tõ ®©y b»ng tÝnh to¸n ta nhËn ®−îc G0 = A0 + B0 V−1 Q∗ V0T = Gn = An + Bn Vn−1 Q∗ VnT   3 2 2  − 12  0 ,  n − 1 − Mn (n + 1) 1  Mn + n − 1  , ∀n ∈ N, = Mn Mn + 2n(n + 1) 2n − Mn (n + 1) 2 p (1 + n2 )(1 + (1 + n)2 ). Suy ra detG0 = 1, √ (n+1) 1+(1+n)2 √ detGn = 6= 0, ∀n ∈ N. §iÒu nµy chøng tá ph−¬ng tr×nh (1.1) víi 1+n2 ë ®©y Mn := d÷ liÖu (1.12) cã chØ sè 1. VÝ dô 1.3. XÐt ph−¬ng tr×nh sai ph©n Èn (1.1) víi       1 −1 −1 0 n2 − 1  , Bn =   , qn =   , ∀n ∈ N0 . An =  −n −n + 1 n − 1 n −1 (1.13) Trong tr−êng hîp nµy ta cã kerAn =span{(1, 1)T }, v× vËy ta nhËn ®−îc rankAn ≡ 1. Ta cã khai triÓn k× dÞ cña ma trËn An cã d¹ng An = Un Σn VnT , ë ®©y p    2(1 + (n − 1)2 ) 0 1 1  , Vn = √1   , ∀n ∈ N0 ; Σn =  2 0 0 −1 1
- Xem thêm -