Tài liệu Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hóa

Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án . . . . . . . . 5 Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 CHƯƠNG 1 . Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính . . 12 1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính . . . . . . . . . . 14 1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . 15 1.3.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Khái niệm chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Lý thuyết Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 Định lý Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.2 Định lý Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.3 Định lý Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 1.6 Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với hệ số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 CHƯƠNG 2 . PTSP tựa tuyến tính ẩn . . . . . . . . . . . . 45 2.1 Một số định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1 Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1 . . . 45 2.1.2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1. . . 53 2.2 Giải gần đúng bài toán Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn 61 2.3 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.2 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn . . . . . . . . . 71 CHƯƠNG 3 . PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . 77 3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 . . . . . . . 77 3.2 PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 3.2.1 Khái niệm chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.2 Một số tính chất của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . 80 Bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . . . . . 82 3.3.1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard . . . . . . . . . . . 82 3.3.2 Tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . 82 3.4 Sự ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn . . . 88 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Danh sách các bài báo đã được công bố . . . . . . . . . . . . 97 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4 Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án R(C) : trường số thực (phức). Rm (Cm ) : Rm×n (Cm×n ) : không gian véctơ thực (phức) m chiều. không gian các ma trận thực (phức) kích thước m × n. Ik (I) : Ok×s : ma trận đơn vị kích thước k × k (k = m). ma trận không kích thước k × s. Ok (O) : ma trận không kích thước k × k xT : L(Rm ) : ma trận (véctơ) chuyển vị của x. không gian các ánh xạ tuyến tính trên Rm . C(X, Y ) : không gian các hàm liên tục từ X vào Y. ker A : imA : nhân của A. ảnh của A. rankA : hạng của A. det A : dim W , dim(W ) : định thức của A. số chiều của không gian W. (k = m). span{u, .., v} : không gian sinh bởi các véctơ u, ..., v.

x y ... z , x, y, ..., z : ma trận cột tạo bởi các véctơ x, y, ..., z. i = k, s : i lần lượt nhận các giá trị tự nhiên Pcan (t) : từ k đến s. phép chiếu chính tắc từ Rm lên S(t) song song với ker A(t). 0: véc tơ không trong không gian tương ứng đang xét. ind: chỉ số. {A, B} : ⊕: cặp ma trận. tổng trực tiếp. Re(z): phần thực của số phức z. PTSP: diag(...): phương trình sai phân. ma trận đường chéo khối. 5 Mở đầu Trong những năm gần đây, phương trình sai phân (PTSP) ẩn là đối tượng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong thực tế ứng dụng. PTSP thường xuất hiện trong lý thuyết xác suất, các bài toán sắp hàng, trong nghiên cứu mạch điện, trong các bài toán thống kê, trong kinh tế, xã hội (chẳng hạn như mô hình kinh tế Leontief, mô hình phát triển dân số Leslie), bài toán điều khiển tối ưu hệ suy biến rời rạc, v.v. (xem [20, 21, 25]). Mặt khác, PTSP ẩn là kết quả tự nhiên thu được từ việc rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số, những đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong những năm gần đây (xem [20, 21, 23, 33, 35-37, 40-42]). Cho đến nay, PTSP ẩn tuyến tính với hệ số hằng dạng Axn+1 + Bxn = fn , trong đó A ∈ Cm×m suy biến, đã được nghiên cứu tương đối đầy đủ và được tổng kết trong [20, 21, 25]. Theo [20, 21], bài toán giá trị ban đầu cho PTSP tuyến tính thuần nhất (tức là fn = 0) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho λA + B không suy biến. Theo đó, nếu  := (λA + B)−1 A có ind(Â) = ν, dim(imÂν ) = k thì  có biểu diễn  = T diag(C, N )T −1 , trong đó C ∈ Ck×k là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh phức kích thước (m − k) × (m − k) với ind(N ) = ind(Â). PTSP ban đầu được đưa về dạng tương đương diag(C, N )yn+1 + diag(I − λC, I − λN )yn = 0. Theo cách phân tích như trên, các tác giả đã đưa ra công thức tường minh cho nghiệm tổng quát của bài toán giá trị ban đầu của phương trình thuần nhất, điều kiện tồn tại nghiệm, công thức nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình không thuần nhất. Các kết quả về sự tồn tại nghiệm cũng đã được thiết lập cho bài toán điều khiển rời rạc xk+1 = Axk + Buk , k = 0, N − 1. Đồng thời, những kết 6 quả thu được từ PTSP suy biến hệ số hằng đã được áp dụng để khảo sát bài toán về mô hình kinh tế đa mục tiêu Leontief (xem [20, 21, 25]). Tuy nhiên, những kết quả này không thể mở rộng trực tiếp cho PTSP ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên. Nhóm nghiên cứu M. Benadbdallakh và A. G. Rutkas quan tâm đến PTSP dạng Axn+1 + Bxn = fn trong không gian Bannach và thu được một số kết quả nhất định như áp dụng khai triển tiệm cận để khảo sát phương trình, đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu (xem [13, 14]), nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất từ các đặc tính của phổ của cặp toán tử {A, B} khi A, B là các toán tử tuyến tính đóng trong không gian Bannach. Từ đó đưa ra định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tính (xem [15]) Axn+1 + Bxn = ψn (xn ). Các bài toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số hằng Exk+1 = Axk + Buk , yk = Cxk + Duk , bài toán có nhiễu Exk+1 = (A + ∆A)xk + (B + ∆B)uk , yk = Cxk + Duk , bài toán có trễ Exk+1 = Axk + F xk−d(k) + Buk , yk = Cxk + Duk , và bài toán vừa có nhiễu, vừa có trễ tương ứng cũng được nhiều tác giả quan tâm như Q. L. Zhang, W. Q. Liu, David Hill, X. Z. Dong, X. Ji, H. Su, J.Chu, S. Ma, Z. Cheng, C. Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v.v. (xem [24, 26, 43] và các tài liệu tham khảo trong đó). Nhiều kết quả về PTSP suy biến với hệ số hằng đã được thiết lập, được mở rộng cho PTSP có trễ [38]. Những kết quả đó chưa được mở rộng, phát triển cho PTSP suy biến với hệ số biến thiên. Nói cách khác, PTSP tuyến tính ẩn với hệ số hằng đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng, còn những kết quả nghiên cứu về PTSP ẩn với hệ số biến thiên chưa nhiều. Nhóm nghiên cứu Bondarenko và A. G. Rutkas quan tâm tới một lớp các PTSP ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt Tn xn+1 + xn = fn , 7 trong đó Tn là ma trận suy biến với mọi n. Họ đã đưa ra một số kết quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên tuần hoàn cho dạng phương trình này (xem [17, 18, 19]). Như đã đề cập đến ở trên, phương trình vi phân đại số là đối tượng được đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây. PTSP ẩn là kết quả tự nhiên thu được khi rời rạc hóa phương trình vi phân đại số. Vì thế, khi bắt đầu nghiên cứu đề tài này chúng tôi hi vọng có thể thu được những kết quả tương tự như đã biết đối với phương trình vi phân đại số. Một trong những kỹ thuật cơ bản khi nghiên cứu phương trình vi phân đại số nói chung và phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nói riêng là kỹ thuật đưa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 về dạng chuẩn tắc Kronecker Weierstrass. Nói một cách đơn giản là đưa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 về hệ kế thừa gồm phương trình vi phân thường và phương trình đại số tuyến tính. Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng, cho bởi cặp ma trận {A, B}, dạng Kronecker - Weierstrass của phương trình được định nghĩa thông qua dạng Kronecker - Weierstrass của cặp ma trận như sau: Định nghĩa ([33], tr 197) Nếu tồn tại cặp ma trận khả nghịch P, Q thỏa mãn A = P diag(Ir , U )Q và B = P diag(W, Im−r )Q trong đó U là ma trận lũy linh thì {diag(Ir , U ),diag(W, Im−r )} được gọi là dạng Kronecker - Weierstrass của cặp {A, B}. Theo đó, dạng Kronecker - Weierstrass của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Ax0 (t) + Bx(t) = q(t) là diag(Ir , Om−r )x̄0 (t) + diag(W, Im−r )x̄(t) = q̄(t) trong đó x(t) = Qx̄(t), q̄(t) = P q(t). Dạng chuẩn tắc Kronecker -Weierstrass của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 với hệ số hằng được mở rộng cho phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên (trình bày tóm tắt trong Chương 1). Trên cơ sở đó, nhiều kết quả nghiên cứu về phương trình vi phân đại số đã được thiết lập [33, 36, 37, 41, 42]. Từ cuối những năm 90 của thế kỷ 20 cho tới nay, nhóm nghiên cứu của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh và GS. TS. Nguyễn Hữu Dư dành nhiều 8 thời gian nghiên cứu PTSP ẩn và đã thu được một số kết quả nhất định (xem [1-3, 5-12, 27-29, 39]). Khái niệm về chỉ số của PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng Anxn+1 + Bn xn = qn đã được giới thiệu trong [11, 28, 39] và tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cũng như bài toán biên nhiều điểm đã được nghiên cứu trong [2, 5-10, 39]. Sau đó, trong [10], khái niệm chỉ số được mở rộng cho PTSP phi tuyến ẩn dạng fn (xn+1 , xn ) = 0. Hơn nữa, trong [1, 2, 12, 39], khái niệm tựa chỉ số và chỉ số lạ cho PTSP ẩn cũng được thiết lập. Theo [5, 8], khi áp dụng công thức Euler hiện cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, ta thu được PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1. Hơn nữa, nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên hai điểm của hệ rời rạc hội tụ tới nghiệm của bài toán liên tục tương ứng. Thêm vào đó, theo [11], mọi PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 đều đưa được về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass và mọi PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn với Bn không suy biến đều tương đương với PTSP tuyến tính ẩn với hệ số hằng. Lý thuyết Floquet, lúc đầu được thiết lập cho phương trình vi phân tuyến tính (xem [22, 32]), sau đó được xây dựng cho PTSP tuyến tính (xem [4, 34]), và phương trình vi phân đại số (xem [36]), được mở rộng cho PTSP tuyến tính ẩn (trong [11]). Từ đó khảo sát được tính ổn định nghiệm của PTSP ẩn chỉ số 1, tuyến tính, tựa tuyến tính cũng như phi tuyến, đặc biệt là cho lớp các phương trình tuần hoàn. Phương pháp hàm Lyapunov được áp dụng cho PTSP tựa tuyến tính ẩn trong [9]. Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được đưa ra trong [29]. Ngoài ra, PTSP ẩn tuyến tính ngẫu nhiên A(ξn )X(n + 1) = B(ξn )X(n) + qn , n ∈ N, trong đó {ξn : n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong 9 không gian Polish đã được nghiên cứu trong [27]. Luận án nghiên cứu PTSP ẩn phi tuyến dạng fn (xn+1 , xn ) = 0 (0.1) trong đó, fn : (y, x) ∈ Rm × Rm 7−→ fn (y, x) ∈ Rm khả vi và có đạo ∂fn suy biến. Một cách tự nhiên, chúng tôi dùng các công cụ, hàm riêng ∂y phương pháp đã được sử dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số để khảo sát PTSP ẩn. Cụ thể là thiết lập một số điều kiện cho tính giải được duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu, tính ổn định nghiệm của phương trình tuần hoàn. Hơn nữa, chúng tôi dùng kỹ thuật tuyến tính hóa viết lại phương trình phi tuyến (0.1) dưới dạng ∂fn ∗ ∗ ∂fn ∗ ∗ (yn, xn )xn+1 + (y , x )xn + hn(xn+1 , xn ) = 0. (0.2) ∂y ∂x n n Như vậy, với việc khai triển hàm fn trong lân cận (yn∗ , x∗n ) cố định nào đó đến hết cấp 1, hàm fn được viết lại thành tổng của phần tuyến tính và phần dư phi tuyến. Do đó, để nghiên cứu phương trình phi tuyến đưa ra ban đầu, trước hết chúng tôi khảo sát PTSP ẩn tuyến tính (trong Chương 1). Sau đó, PTSP ẩn tuyến tính có cộng thêm phần phi tuyến nhỏ (gọi là PTSP ẩn tựa tuyến tính) được nghiên cứu trong Chương 2. Cuối cùng, ở Chương 3, chúng tôi sử dụng kết quả đã thu được với PTSP ẩn tuyến tính để khảo sát PTSP ẩn phi tuyến tổng quát (0.1). Luận án này được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng [10, 11, 12] và một vài kết quả áp dụng từ những bài báo đó. Luận án gồm có mở đầu, kết luận chung và 3 chương được phân bố lần lượt như sau: 1. Chương 1. Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn: Trong chương này, chúng tôi đưa ra định nghĩa chỉ số 1, dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass và xây dựng lý thuyết Floquet cho PTSP ẩn tuyến tính (trong [11]). Áp dụng kết quả thu được cho bài toán Cauchy đối với PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 và PTSP tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số 1. Điều kiện ổn định nghiệm của PTSP ẩn tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1 cũng được thiết lập. 2. Chương 2. PTSP tựa tuyến tính ẩn: Đưa ra khái niệm chỉ số 1 và tựa chỉ số 1. Chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm cho bài 10 toán giá trị ban đầu của PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 và tựa chỉ số 1. Đưa ra một phương pháp giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu cho PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 (trong [12]). Đồng thời, chúng tôi áp dụng kết quả thu được trong Chương 1 để khảo sát tính ổn định nghiệm của PTSP tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 tuần hoàn. 3. Chương 3. PTSP phi tuyến ẩn : Đề xuất khái niệm chỉ số 1 cho PTSP phi tuyến ẩn. Thiết lập tính giải được duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (trong [10]). Phần cuối của chương khảo sát tính ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 tuần hoàn. Trong việc khảo sát PTSP phi tuyến ẩn, kỹ thuật tuyến tính hóa được sử dụng triệt để. Khái niệm chỉ số của phương trình, tính chất ổn định của nghiệm, sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho PTSP ẩn phi tuyến đều được thiết lập thông qua các khái niệm và các tính chất tương ứng cho PTSP ẩn tuyến tính thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa. Như vậy, các kết quả về PTSP ẩn tuyến tính thu được trong Chương 1 là nền tảng cho việc nghiên cứu PTSP ẩn tựa tuyến tính và phi tuyến trong các chương tiếp theo. Ngoài ra, một phần kết quả về PTSP tựa tuyến tính ẩn trong Chương 2 cũng được mở rộng cho PTSP ẩn phi tuyến trình bày trong Chương 3. Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại Xêmina "Phương pháp giải phương trình vi phân" của Khoa Toán Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, dưới sự chủ trì GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, Xêmina "Các phương pháp ngẫu nhiên và giải tích số" của Hội Ứng dụng toán học, dưới sự chủ trì của GS. TS. Nguyễn Quý Hỷ. Một phần kết quả trong luận án được báo cáo tại Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên năm 2006. Các kết quả của luận án cũng đã được tổng kết trong bài báo tổng quan [6] và được báo cáo tại Hội nghị Toán học Toàn quốc 2008 tại Qui Nhơn. 11 Chương 1 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 Định lý Floquet về dạng chuẩn của ma trận nghiệm cơ bản đầu tiên được thiết lập cho phương trình vi phân, sau đó mở rộng cho PTSP, phương trình vi phân đại số, phương trình vi tích phân,... Trong chương này, lý thuyết Floquet được xây dựng cho PTSP tuyến tính ẩn. Trước hết, chúng ta nhắc lại những nét cơ bản nhất của lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính [22], PTSP tuyến tính [34] và phương trình vi phân đại số tuyến tính [36]. 1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính Lý thuyết Floquet là một bộ phận của lý thuyết phương trình vi phân thường, nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dạng x0 (t) = A(t)x(t), (1.1.1) trong đó A : R −→ Rn×n là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T. Định lý chính của lý thuyết là Định lý Floquet. Nó cho ta dạng chuẩn của ma trận nghiệm cơ bản, đồng thời đưa ra phép đổi biến là hàm tuần hoàn, cho phép đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn về hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng. Định lý được phát biểu như sau 12 Định lý Floquet ([22], tr.165) Nếu φ(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn x0 (t) = A(t)x(t), với A : R −→ Rn×n là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì ∀t ∈ R, φ(t + T ) = φ(t)φ−1(0)φ(T ). Hơn nữa, với mỗi ma trận B ∈ Cn×n thoả mãn eT B = φ−1 (0)φ(T ), tồn tại hàm ma trận P : R −→ Rn×n , sao cho φ(t) = P (t)etB t 7−→ P (t), tuần hoàn chu kỳ T ∀t ∈ R. (1.1.2) Đồng thời, tồn tại ma trận R ∈ Rn×n và một hàm ma trận thực Q(t) tuần hoàn chu kỳ 2T thoả mãn φ(t) = Q(t)etR ∀t ∈ R. (1.1.3) Từ định lý Floquet, người ta đã đưa ra những khẳng định quan trọng cho phép khảo sát các đặc tính của phương trình vi phân tuyến tính. Một trong số đó là tính ổn định nghiệm của hệ thuần nhất. Theo định lý Floquet, hàm ma trận Q(t) trong công thức (1.1.3) có vai trò là ma trận chuyển cơ sở x(t) = Q(t)y(t). Trong cơ sở mới, phương trình (1.1.1) trở thành phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, thực y 0 (t) = Ry(t). Hơn nữa, Q(t) liên tục, tuần hoàn nên bị chặn. Vì thế, sự ổn định nghiệm được xác định bởi giá trị riêng của R. Mặt khác, biểu diễn của φ(t) theo công thức (1.1.2) được gọi là dạng chuẩn Floquet (Floquet normal form) của ma trận nghiệm cơ bản φ(t) của phương trình (1.1.1). Nếu sử dụng P (t) là ma trận chuyển cơ sở x(t) = P (t)y(t) thì phương trình (1.1.1) trở thành phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng phức y 0 (t) = By(t). Các giá trị riêng của eT B được gọi là các nhân tử đặc trưng (characteristic multiplier) của phương 13 trình (1.1.1). Số mũ đặc trưng hay số mũ Floquet của (1.1.1) là số µ ∈ C sao cho eµT là nhân tử đặc trưng của (1.1.1). Khi đó Re(µ) được gọi là số mũ Lyapunov. Nghiệm x = 0 của (1.1.1) ổn định tiệm cận nếu mọi số mũ Lyapunov của (1.1.1) đều âm và không ổn định nếu có ít nhất một số mũ Lyapunov dương. 1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính Sau khi được thiết lập cho phương trình vi phân và có những ứng dụng quan trọng trong khoa học, công nghệ, lý thuyết Floquet được mở rộng cho PTSP và phương trình vi phân đại số. Trong phần này, chúng ta nhắc lại vài nét sơ lược về lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính: xn+1 = Bn xn , n > 0 với Bn ∈ Rm×m . (1.2.1) Định lý Floquet ( [34], tr.156) Gọi Xn là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1.2.1), tức là nghiệm của bài toán Cauchy Xn+1 = Bn Xn, X0 = I, n ≥ 0. (1.2.2) Khi đó, nếu hệ số Bn của phương trình (1.2.1) tuần hoàn với chu kỳ N , tức là Bn+N = Bn , với mọi n > 0 và Bn khả nghịch với mọi n thì tồn tại họ ma trận {Fn } khả nghịch, tuần hoàn và ma trận hằng R ∈ Cm×m thoả mãn Xn = Fn−1 Rn , với mọi n > 0. Qua đó, (1.2.1) đưa được về phương trình tương đương với hệ số hằng. Dễ thấy, bài toán (1.2.2) có nghiệm duy nhất Xn = Bn−1 ...B0 , Xn khả nghịch với mọi n, và Xn+N = Bn+N −1 ...BN BN −1 ...B0 = Xn XN . Hơn nữa, do XN khả nghịch nên tồn tại R ∈ Cm×m thoả mãn XN = RN . Đặt Fn−1 = XnR−n , n > 0. Ta có Fn+N −1 = Xn+N R−(n+N ) = Xn XN R−N R−n = Fn−1 −1 hay {Fn } tuần hoàn và Xn = XnR−n Rn X0 = Fn−1 Rn F−1 . Đặt Xn = −1 Fn−1 X̃n, thì X̃n = Fn−1 Xn = (XnR−n )−1 Xn = Rn . Như vậy, ta có, Xn+1 = Bn Xn ⇔ Fn X̃n+1 = Bn Fn−1 X̃n ⇔ Fn Rn+1 = Bn Fn−1 Rn ⇔ R = Fn−1 Bn Fn−1 . 14 Mặt khác, ta thấy Xn+1 = Bn Xn ⇔ Fn X̃n+1 = Bn Fn−1 X̃n ⇔ X̃n+1 = Fn−1 Bn Fn−1 X̃n ⇔ X̃n+1 = RX̃n. Vậy phương trình (1.2.1) đưa được về phương trình có hệ số hằng với phép đổi biến Xn = Fn−1 X̃n. 1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Xét phương trình vi phân đại số A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = 0, (1.3.1) trong đó A, B ∈ C(R, L(Rm )), A(t) suy biến với mọi t ∈ R. Định nghĩa chỉ số [33] Phương trình (1.3.1) được gọi là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nếu các điều kiện sau được thoả mãn i) N (t) := ker A(t) trơn, nói cách khác, N (t) có một cơ sở là các hàm khả vi liên tục, hay một cách tương đương, tồn tại phép chiếu trơn Q(t) từ Rm lên ker A(t); ii) Với phép chiếu trơn Q(t) lên N (t) đã chọn, đặt P (t) := I − Q(t) thì G(t) := A(t) + B(t)Q(t) khả nghịch với mọi t ∈ R. Trong định nghĩa trên, điều kiện i) cho thấy rankA(t) không đổi với mọi t ∈ R. Điều kiện ii) suy ra G(t) phụ thuộc vào phép chiếu Q(t). Tuy nhiên người ta đã chứng minh rằng tính khả nghịch của G(t) không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q(t) và do đó định nghĩa chỉ số 1 ở trên là đúng đắn (xem bổ đề dưới đây). Đặt S(t) = {z ∈ Rm |B(t)z ∈ imA(t)} ⊂ Rm . Ta có thể thấy mọi nghiệm của phương trình (1.3.1) đều nằm trong không gian S(t). Dưới đây là tính chất cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính chỉ số 1. 15 Bổ đề ( [33], tr. 36) Cho phương trình vi phân đại số (1.3.1). Các mệnh đề sau là tương đương. i/ Phương trình (1.3.1) có chỉ số 1. ii/ S(t) ∩ N (t) = {0} ∀t. iii/ Rm = S(t) ⊕ N (t) ∀t. Giả thiết phương trình (1.3.1) có chỉ số 1. Theo [33, 36], tồn tại E ∈ C(R, L(Rm )) và phép đổi biến x = F (t)x̄, F ∈ C 1 (R, L(Rm )), E, F không suy biến đưa phương trình (1.3.1) về dạng chuẩn tắc Kronecker Weierstrass, tức là dạng Ā(t)x̄0 (t) + B̄(t)x̄(t) = 0, (1.3.2) với cặp {Ā(t), B̄(t)} = {diag(Ir , Om−r ), diag(W (t), Im−r )}. Cũng theo [36], sự tương đương động học (nói tắt là tương đương) giữa hai phương trình vi phân đại số đã được định nghĩa. Từ đó cho phép khảo sát đặc tính của một phương trình vi phân đại số thông qua phương trình tương đương của nó. Định nghĩa [36] 1) Hai phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.3.1) và (1.3.2) được gọi là tương đương nếu tồn tại E ∈ C(R, L(Rm )) và F ∈ C 1 (R, L(Rm )), E, F không suy biến thỏa mãn Ā = EAF, B̄ = E(BF + AF 0 ). 2) Hai ma trận X, X̄ được gọi là tương đương nếu tồn tại ma trận không suy biến K thỏa mãn X = K −1 X̄K. Như vậy nếu phương trình (1.3.1) có chỉ số 1 thì nó tương đương với phương trình dạng Kronecker - Weierstrass (1.3.2). Khi đó, bài toán Cauchy cho phương trình (1.3.1) với điều kiện ban đầu
P (0) x(0) − x0 = 0 giải được duy nhất nghiệm với mọi x0 ∈ Rm . 16 (1.3.3) Bây giờ, ta ký hiệu X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1.3.1), tức là nghiệm của bài toán A(t)X 0(t) + B(t)X(t) = 0, (1.3.4) P (0) (X(0) − I) = 0. (1.3.5) Khi đó, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.3.1), (1.3.3) biểu diễn
dưới dạng x t, x0 = X(t)x0. Ta cũng nhận xét thấy rankX(t) không đổi. Gọi U (t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình kế thừa của (1.3.1) u0 + (−P 0 Pcan + P G−1 B)u = 0 trong đó, Pcan là phép chiếu chính tắc lên S(t) song song với N (t), u = P x. U 0 + (−P 0 Pcan + P G−1 B)U = 0, (1.3.6) U (0) = I. (1.3.7) Ta có khai triển X(t) = Pcan (t)U (t)P (0) và biểu diễn này không phụ thuộc vào việc chọn ma trận P (t). 1.3.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Trong phần này, ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 với hệ số tuần hoàn chu kỳ T A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = 0, trong đó A(t+T ) = A(t), B(t+T ) = B(t), với mọi t ∈ R. Vì phương trình (1.3.1) có chỉ số 1 nên rankA(t) không đổi, vậy ta giả sử rankA(t) = r. Gọi {nr+1 (t), ..., nm (t)} là cơ sở của N (t) gồm các hàm khả vi liên tục, tuần hoàn và gọi {s1 (t), ..., sr (t)} là cơ sở của S(t) gồm các hàm liên tục, tuần
hoàn. Đặt V (t) = s1(t) !... sr (t) nr+1 (t) ... nm (t) ∈ L(Rm ). Khi Ir 0 đó, Pcan(t) = V (t) V −1 (t). Chọn P (t) thoả mãn P (0) = Pcan (0) 0 0 thì ta có ! Z(t) 0 X(t) = Pcan (t)U (t)Pcan(0) = V (t) V −1 (0), 0 0 17 trong đó Z(t) không suy biến (do rankX(t) = r không đổi) và Z(0) = Ir . Vì Z(T ) không suy biến nên tồn tại ma trận hằng R̃ Z(T ) = eT R̃ . Do đó, ta có ! eT R̃ Z(T ) 0 −1 X(T ) = V (T ) V (0) = V (0) 0 0 0 ∈ Cr×r thoả mãn 0 0 ! V −1 (0), X(T ) được gọi là ma trận đơn đạo của phương trình tuần hoàn (1.3.1). Đặt ! Z(t)e−tR̃ 0 F (t) = V (t) 0 Im−r ! ! e−tR̃ 0 0 0 = X(t)V (0) . + V (t) 0 Im−r 0 0 Dưới đây là hai định lý chính trong lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 [36]. Định lý Floquet Ma trận nghiệm cơ bản của phương trình vi phân đại số tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1 (1.3.1) có thể viết dưới dạng ! etR̃ 0 X(t) = F (t) [F (0)]−1 0 0 với F ∈ CN1 (R, L(Cm )) không suy biến, tuần hoàn chu kỳ T. Định lý Lyapunov i) Nếu hai phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 tương đương thì các ma trận đơn đạo của chúng là tương đương và do đó nhân tử đặc trưng của chúng trùng nhau. ii) Nếu các ma trận đơn đạo của hai phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 tương đương nhau thì hai phương trình vi phân đại số đó tương đương nhau. iii) Phương trình vi phân đại số tuyến tính tuần hoàn (1.3.1) có chỉ số 1 tương đương với một phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Kronecker với hệ số hằng. Bây giờ chúng ta quan tâm tới nội dung chính của chương này là thiết lập lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn được trình bày trong những phần tiếp theo. 18 1.4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 Chúng ta mở đầu phần này bằng việc xây dựng khái niệm chỉ số 1 cho PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng An xn+1 + Bn xn = qn , n > 0, (1.4.1) trong đó An ∈ Rm×m suy biến với mọi n, Bn ∈ Rm×m , và xn , qn ∈ Rm . 1.4.1 Khái niệm chỉ số 1 Cho L là không gian con của Rm với số chiều là k, 0 < k < m. Khi đó, ta có thể phát biểu tính chất sau cho một phép chiếu tuyến tính bất kỳ Q lên L (Q là phép chiếu lên L nếu Q2 = Q và imQ = L). m về phép Mệnh đề 1.4.1 Mọi phép chiếu Q từ R   lên L luôn đưa được T chiếu chính tắc từ Rm lên không gian 0 ... 0 a1 ... ak ∈ Rm tức là tồn tại ma trận khả nghịch V ∈ Rm×m thoả mãn Q = V Q̃V −1 với Q̃ = Om−k O(m−k)×k Ok×(m−k) Ik ! . Chứng minh. Ký hiệu {vj }m−k j=1 là một cơ sở của không gian kerQ, m {vl }m l=m−k+1 là một cơ sở của không gian L, {ej }j=1 là cơ sở chính tắc của Rm , và V là ma trận tạo bởi các cột là các vectơ vj , j = 1, m. Do V −1 V = I nên V −1 vj = ej với j = 1, m. Mặt khác  0 với j = 1, m − k Qvj = v với j = m − k + 1, m j nên  V −1 0 = 0 −1 V Qvj = V −1 v = e j j với j = 1, m − k với j = m − k + 1, m. Vậy V −1 QV = Q̃ hay Q = V Q̃V −1 . Mệnh đề được chứng minh. Bây giờ, chúng ta xét các không gian con k chiều Lα và Lβ của Rm với các phép chiếu Qα và Qβ tương ứng lên Lα và Lβ . Theo tính chất đã nêu trong Mệnh đề 1.4.1, tồn tại Vα, Vβ sao cho Qα = Vα Q̃Vα−1 , Qβ = Vβ Q̃Vβ−1 . 19 Do đó ta có thể thiết lập định nghĩa về toán tử nối và đưa ra một số tính chất của nó. Toán tử nối là công cụ quan trọng giúp chúng tôi định nghĩa PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1 đẹp hơn định nghĩa cũ [39], trên cơ sở đó thiết lập định nghĩa chỉ số 1 cho PTSP ẩn tựa tuyến tính, phi tuyến. Mệnh đề 1.4.2 Gọi toán tử Qαβ = VαQ̃Vβ−1 là toán tử nối giữa hai không gian Lα và Lβ (gọi tắt là toán tử nối). Khi đó toán tử nối thoả mãn các tính chất sau: Qα Qαβ = Qαβ = Qαβ Qβ ; (1.4.2) Qα Vα Vβ−1 = Qαβ = Vα Vβ−1 Qβ ; (1.4.3) Qαβ Qβα = Qα . (1.4.4) Chứng minh. Từ định nghĩa toán tử nối và Mệnh đề 1.4.1 ta có Qα Qαβ = Vα Q̃Vα−1 Vα Q̃Vβ−1 = Vα Q̃Vβ−1 = Qαβ ; Qαβ Qβ = Vα Q̃Vβ−1 Vβ Q̃Vβ−1 = Vα Q̃Vβ−1 = Qαβ . Vậy Qα Qαβ = Qαβ = Qαβ Qβ . Đẳng thức (1.4.2) được chứng minh. Một cách tương tự, ta có Qα Vα Vβ−1 = Vα Q̃Vα−1 Vα Vβ−1 = Vα Q̃Vβ−1 = Qαβ và VαVβ−1 Qβ = VαVβ−1 Vβ Q̃Vβ−1 = Vα Q̃Vβ−1 = Qαβ . Hơn nữa, vì Q̃2 = Q̃ nên Qαβ Qβα = Vα Q̃Vβ−1 Vβ Q̃Vα−1 = Vα Q̃Vα−1 = Qα . Vậy (1.4.3) và (1.4.4) được chứng minh. Trở lại PTSP (1.4.1) với điều kiện 1 6 rankAn = r 6 m − 1 với mọi n > 0. Ta có dim kerAn = m − r với mọi n > 0. Với mỗi n > 0, gọi Qn là phép chiếu nào đó lên kerAn và một biểu diễn của nó là Qn = Vn Q̃Vn−1 . Đặt Pn = I −Qn . Khi đó, các toán tử Qn−1,n = Vn−1 Q̃Vn−1 và Gn := An + Bn Qn−1,n là các toán tử xác định với n > 1. PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.4.3 PTSP tuyến tính ẩn (1.4.1) được gọi là có chỉ số 1 nếu: 20 i/ rankAn = r, n > 0; ii/ Sn ∩ ker An−1 = {0}, ∀n > 1, trong đó Sn := {ξ ∈ Rm : Bn ξ ∈ imAn }. Ngoài ra, giả thiết rằng dim S0 = r. Gọi A−1 ∈ Rm×m là ma trận thoả mãn điều kiện S0 ⊕ kerA−1 = Rm . Nếu cặp {A0 , B0 } có chỉ số 1 thì ta có thể lấy A−1 = A0 . Gọi Q−1 là phép chiếu nào đó lên ker A−1 và P−1 = I − Q−1 . Ta nhận thấy điều kiện ii/ trong Định nghĩa 1.4.3 bây giờ đúng với mọi n > 0 và toán tử nối Qn−1,n cũng xác định với mọi n > 0. Dưới đây là vài ví dụ về PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1. Ví dụ 1.4.1. Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.4.1) với   0 0 0   2(n+1) (n+1)2 −1 , √ √ 0 An =    (n+1)2 +1 (n+1)2 +1 p 2 (n + 1) + 1 0 0   1 0 1 1   Bn = p 0 1 0 .  (n + 1)2 + 1 0 0 0  T  Với mọi n > 0, rankAn = 2 và ker An = span . Đồng thời, 0 0 1  T  T  . Do đó, Sn ∩ kerAn−1 = {0}. Vậy Sn = span 0 1 0 1 0 −1 phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Ví dụ 1.4.2. Xét PTSP tuyến tính (1.4.1) với n > 1,   √ √ 2n(n+1) − 2n(n+1) √ √ 0 2 n2+1 2√ n2+1  √  2(n+1) −  √ √2(n+1)  , An =  0 2 n2+1 2 n2+1  n 0 0 √  2 √ Bn = 3n n2 +1  3n √  n2 +1 n+1 − 2 √ 2 2 n √ +1 3 √ 2 2√ n2+1 √ 2n(−2 n2+1)+3n+1 √ 2 n2+1  2(6n−1) √ 2 2 n √ +1  5 . √ 2 2  √ 2√n +1 − 2n(4 n2+1)+n−1 √ 2 n2+1 T  . Với mọi n > 1, ta có rankAn = 2 và ker An = span 0 1 1  √ T  T  2 +1 6n−3 n n−1 Hơn nữa, do Sn = span 0 n(3n+1) nên 1 , 1 (3n+1)√2(n2+1) 0 21  Sn ∩ kerAn−1 = {0}. Do đó phương trình có chỉ số 1. Trong các ví dụ trên, ker An không phụ thuộc vào n. Dưới đây là một ví dụ, trong đó ker An thay đổi. Ví dụ 1.4.3. Xét PTSP tuyến tính (1.4.1) với     n + 1 0 −1 1 n 0     An =  0 0 0  , Bn =  0 1 0  . −(n + 1) 0 1 n 0 1 Dễ dàng thấy với mọi n > 0, ta có 0 < rankAn = 1 < 3 và  T  T  , ker An = span 0 1 0 , 1 0 n + 1 Sn = span  −1 0 n + 1 T  . Ta tính được Sn ∩ ker An−1 = {0}. Vậy PTSP (1.4.1) với An , Bn xác định trên là PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1. Theo [20, 21], PTSP ẩn tuyến tính với hệ số hằng Axn+1 + Bxn = q có chỉ số 1 khi và chỉ khi ind{A, B} = 1. Tương tự, theo [33], phương trình vi phân đại số tuyến tính có chỉ số 1 khi và chỉ khi ind{A(t), B(t)} = 1 với mọi t. Trong khi đó, với PTSP ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên có chỉ số 1, cặp ma trận {An , Bn } có thể có chỉ số khác 1. Chẳng hạn, xét phương trình (1.4.1) với ! ! 1 n+1 1 0 , Bn = . An = 1 n+1 0 −n − 1  Khi đó, ker An = Sn = span (n + 1 − 1)T nên ker An−1 ∩ Sn = {0}, phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Mặt khác, với mọi λ ∈ C, ta có ! 1 n+1 , Â2n = O. Ân = (λAn + Bn )−1 An = −1/(n + 1) −1 Do đó, ker Ân 6= ker Â2n hay ind{An , Bn } khác 1. 22