Phương trình navier – stokes trong các không gian tới hạn

  • Số trang: 56 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Giải tích Học viên thực hiện : Lâm Thúy Quyên Lớp : Cao học K19 Người hướng dẫn khoa học : PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí HÀ NỘI - 2013 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Biến đổi Fourier của Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Các không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Các không gian thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm . . . . 27 3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . .29 3.2. Tính duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 1 Lời nói đầu Phương trình Navier - Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này. Tuy nhiên, những hiểu biết của chúng ta về phương trình này còn rất khiêm tốn, muốn hiểu được hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt nước hoặc hiện tượng không khí nhiễu loạn sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời . . . chúng ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier - Stokes, do nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier - Stokes càng trở nên thời sự và cấp thiết. Phương trình Navier - Stokes mô tả sự chuyển động của chất lỏng trong Rn (n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng không nén được lấp đầy Rn . Ta đi tìm hàm vectơ vận tốc u(t, x) = (ui (t, x)), i = 1, 2, ..., n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ Rn và thời gian t thỏa mãn phương trình Navier - Stokes như sau:    ∂u   ∂t − ν4u = −(u · ∇)u − ∇p, t > 0,    ∇ · u = 0,        u(0, x) = u0 (x), x ∈ Rn . Ở đây, hàm vectơ u0 (x) thỏa mãn ∇ · u0 = 0 và ν là một hệ số dương. Luận văn này sẽ trình bày một vài kết quả nghiên cứu gần đây về nghiệm 2 mềm của phương trình Navier - Stokes trong một số không gian tới hạn với n = 3, dựa trên bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel S. Koch. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo. Cụ thể là, Chương 1 "Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes" trình bày về bài toán Cauchy của phương trình Navier - Stokes, khái niệm nghiệm và phép biến đổi Fourier đối với phương trình này. Nội dung của phần này được trình bày dựa trên [3]. Chương 2 "Kiến thức cơ sở" trình bày kiến thức về các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến và các không gian Besov có liên quan. Nội dung của chương này dựa trên [10]. Chương 3 "Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm" trình bày sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes với điều kiện 1 1 ban đầu trong các không gian Ḣ 2 , Ḣ 2 ∩ L∞ , L3 và L3 ∩ L∞ . Ngoài ra, luận văn còn trình bày định lý nghiệm mềm của Kato trong Ḣ s , s ≥ 1 2 và các định lý về tính duy nhất của nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes. Nội dung của Chương 3 được trình bày dựa trên [8] và [10]. Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và những hiểu biết của bản thân còn hạn chế nên trong bản luận văn này em mới chỉ chứng minh được rõ ràng hơn một số điểm trình bày trong bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel S. Koch ở Chương 3. Cuối cùng, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn ThS. Đào Quang Khải và các thầy cô phòng Phương trình vi phân đã quan tâm, giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn. 3 Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo trường THPT Chuyên Chu Văn An - Lạng sơn và các thầy cô giáo, cán bộ công nhân viên của Viện Toán học; xin cảm ơn gia đình và các bạn lớp cao học K19 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Lâm Thúy Quyên 4 Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier Stokes 1.1 Phương trình Navier - Stokes Chúng ta nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình Navier - Stokes với ẩn hàm là vận tốc u(t, x) = (u1 (t, x), u2 (t, x), u3 (t, x)) và áp suất p(t, x) của một chất lỏng nhớt không nén được (có hệ số nhớt được cho bởi hằng số ν xác định) lấp đầy R3 :    ∂u   ∂t − ν4u = −(u · ∇)u − ∇p, t > 0,    (1.1) ∇ · u = 0,        u(0, x) = u0 (x), x ∈ R3 . Ở đây, hàm vectơ u0 (x) thỏa mãn ∇ · u0 = 0, còn 4 = 3 P i=1 ∂2 ∂x2i là toán tử Laplace theo các biến không gian x ∈ R3 . Ta sẽ giả thiết rằng độ nhớt ν bằng 1. Điều này có thể thực hiện được, mà không làm mất tính tổng quát, do cấu trúc bất biến của phương trình Navier Stokes. Cuối cùng, do tính chất phân kỳ tự do ∇ · u = 0, thể hiện tính không nén được 5 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes của chất lỏng, ta có thể viết (u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u). Nhận xét này là quan trọng vì tích của hai hàm suy rộng tăng chậm không luôn được xác định, trong khi đó chúng ta luôn luôn có thể lấy đạo hàm (theo nghĩa suy rộng) của một hàm L1loc . Do đó, ta chỉ cần đòi hỏi u ∈ L2loc để làm cho các số hạng bậc hai ∇ · (u ⊗ u) xác định tốt. Từ nay về sau, ta sẽ nói rằng một vectơ a = (a1 , a2 , a3 ) thuộc không gian hàm X nếu aj ∈ X đối với mỗi j = 1, 2, 3 và ta đặt ||a|| = max ||aj ||. 1≤j≤3 Để được chính xác hơn, ta nên viết X(R3 ) thay vì viết X (ví dụ v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ L2loc nghĩa là vj ∈ L2loc (R3 ) đối với mỗi j = 1, 2, 3). Để tránh nhầm lẫn, nếu không gian không phải là R3 (ví dụ nếu số chiều là hai) ta cũng sẽ viết nó một cách rõ ràng (nói X(R2 )). Lý do tại sao chúng ta chủ yếu quan tâm đến toàn bộ không gian R3 (hay tổng quát hơn Rn , n ≥ 2) là do chúng ta sẽ sử dụng công cụ là phép biến đổi Fourier, nó dễ dàng hơn để xử lý trong toàn bộ không gian (hay là một không gian bị chặn với điều kiện tuần hoàn, so với một miền có biên). Sự chú ý của chúng ta sẽ tập trung vào sự tồn tại của nghiệm u(t, x) của (1.1) trong không gian C([0, T ); X) gồm các hàm liên tục mạnh theo t ∈ [0, T ) với giá trị trong không gian Banach X gồm các hàm vectơ suy rộng. Tùy thuộc vào việc T sẽ hữu hạn (T < ∞) hay vô hạn (T = ∞) chúng ta sẽ có được tương ứng nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục (theo thời gian). Trước khi giới thiệu thiết lập các hàm thích hợp, chúng ta sẽ biến đổi hệ (1.1) thành phương trình toán tử:     du − 4u = −P∇ · (u ⊗ u), t > 0, dt (1.2)   u(0, x) = u0 (x), x ∈ R3 , trong đó, với các vectơ u và v , chúng ta định nghĩa tensor của chúng u ⊗ v bởi 6 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes (u ⊗ v)ij = ui vj và P là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự do định nghĩa như sau. Ta đặt: Dj = −i ∂ , ∂xj j = 1, 2, 3; i2 = −1, (1.3) và chúng ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi 1 Rj = Dj (−4)− 2 , (1.4) j = 1, 2, 3. Đối với một trường vectơ tùy ý u(x) = (u1 (x), u2 (x), u3 (x)) trên R3 , ta đặt z(x) = 3 X (1.5) (Rk uk )(x) k=1 và định nghĩa toán tử P bởi (Pu)j (x) = uj (x) − (Rj z)(x) = 3 X  δjk − Rj Rk uk , j = 1, 2, 3. (1.6) k=1 Một cách tương đương khác để xác định P là việc sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier và viết cu)j (ξ) = (P 3 X δjk − k=1 ξj ξk  u bk (ξ), |ξ|2 j = 1, 2, 3. (1.7) Như vậy, P là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào hạch của toán tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất p trong (1.1) đảm bảo rằng điều kiện không nén được cho u (∇.u = 0) được thỏa mãn. Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu P này và nửa nhóm S(t) = exp(t4), (1.8) ta có thể đưa phương trình toán tử (1.2) thành phương trình tích phân như sau Zt u(t) = S(t)u0 − S(t − s)P∇ · (u ⊗ u)(s)ds. 0 7 (1.9) Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes Chúng ta sẽ không chứng minh chặt chẽ cho chuyển tiếp hình thức từ (1.1) → (1.2) → (1.9). Chúng ta sẽ bắt đầu từ (1.9) và chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm u(t, x) của nó. Từ nay sự chú ý của chúng ta về cơ bản sẽ dành cho việc nghiên cứu phương trình tích phân (1.9) và do chúng ta chỉ xem xét trường hợp của cả không gian R3 nên nửa nhóm S(t) trở thành nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt exp(t4). Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số hạng tuyến tính có chứa giá trị ban đầu S(t)u0 := exp(t4)u0 , (1.10) và toán tử song tuyến tính biểu thị sự phi tuyến của phương trình Zt B(u, v)(t) := − exp((t − s)4)P∇ · (u ⊗ v)(s)ds. (1.11) 0 Chúng ta hãy chú ý ở đây rằng có một loại tương tác trong số hạng tích phân này giữa ảnh hưởng chính quy hóa được biểu diễn bởi nửa nhóm nhiệt S(t − s) và sự mất tính chính quy đến từ toán tử vi phân ∇ và từ phép nhân từng điểm u ⊗ v . Sự mất đi tính chính quy này được minh họa bằng ví dụ đơn giản sau: nếu hai (vô hướng) hàm f và g trong H 1 , tích của chúng chỉ thuộc về H 1/2 và đạo hàm của chúng ∂(f g) thậm chí còn ít chính quy hơn nếu nó trong H −1/2 . 1.2 Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu Sự tồn tại của nghiệm toàn cục phụ thuộc theo thời gian vẫn chưa được chứng minh và cũng không bị bác bỏ cho trường hợp ba chiều với điều kiện ban đầu đủ tổng quát; nhưng như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo, một nghiệm chính quy, toàn cục sẽ tồn tại khi giá trị ban đầu là dao động cao hay đủ nhỏ 8 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes trong một số không gian hàm. Để bắt đầu, sẽ là cần thiết cần làm rõ ý nghĩa của "nghiệm của phương trình Navier-stokes", bởi vì, kể từ khi chúng xuất hiện trên bài báo tiên phong của J. Leray, từ "nghiệm" đã được sử dụng trong một ý nghĩa nhiều hoặc ít tổng quát hơn. Chúng ta sẽ hiểu nó theo nghĩa chung cổ điển của phương trình vi phân thường theo t với giá trị trong không gian gồm các hàm suy rộng tăng chậm 0 S , để có thể sử dụng các công cụ biến đổi Fuorier. Giải thích này được đề xuất bởi các khái niệm về nghiệm trong nghĩa suy rộng được sử dụng trong phương trình. Tiếp theo, chúng ta sẽ yêu cầu không gian hàm X , mà giá trị ban đầu u0 thuộc vào nó, thỏa mãn X ,→ L2loc , để có thể đưa ra một hàm theo nghĩa suy rộng đối với số hạng phi tuyến (u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u). Nói chung, ta sẽ yêu cầu u ∈ L2loc ([0, T ); R3 ). Ta có thể liệt kê được rất nhiều định nghĩa khác nhau của nghiệm chỉ phân biệt bởi lớp các hàm mà chúng thuộc về cổ điển, mạnh, mềm, yếu, rất yếu, yếu đều hay nghiệm địa phương Leray của phương trình Navier - Stokes. Chúng ta sẽ không trình bày tất cả các định nghĩa có thể có ở đây mà tập trung vào ba trường hợp: nghiệm cổ điển (J. Hadamard), nghiệm yếu (J. Leray) và nghiệm mềm (K. Yosida). Định nghĩa 1.2.1. Một nghiệm cổ điển (u(t, x), p(t, x)) của phương trình Navier - Stokes là một cặp các hàm u : t → u(t) và p : t → p(t) thỏa mãn hệ (1.1), mà tất cả các số hạng xuất hiện trong phương trình là các hàm liên tục của đối số của chúng. Chính xác hơn, nghiệm cổ điển là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn: u(t, x) ∈ C([0, T ); E) ∩ C 1 ([0, T ); F ), E ,→ F (nhúng liên tục), 9 (1.12) (1.13) Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes u ∈ E ⇒ 4u ∈ F (toán tử liên tục), u ∈ E ⇒ ∇ · (u ⊗ u) ∈ F (toán tử liên tục), (1.14) (1.15) trong đó, E và F là hai không gian Banach gồm các hàm suy rộng. Ví dụ, nếu E là không gian Sobolev H s và s > 3/2 (như vậy cho H s là một cấu trúc đại số được trang bị phép nhân với các hàm thông thường), ta có thể chọn F = H s−2 , bởi vì 4u ∈ H s−2 và ∇ · (u ⊗ u) ∈ H s−1 ,→ H s−2 . Như chúng ta đã biết trong phần giới thiệu, rất khó để đảm bảo sự tồn tại toàn cục của nghiệm cổ điển, trừ khi chúng ta tìm kiếm nghiệm chính xác trong một số trường hợp các số hạng phi tuyến biến mất. Cụ thể khi mà chúng ta áp đặt điều kiện rất hạn chế lên điều kiện ban đầu. Định nghĩa 1.2.2. Một nghiệm yếu u của phương trình Navier - Stokes trong nghĩa của Leray và Hopf được cho là thỏa mãn các tính chất sau u(t, x) ∈ L∞ ([0, T ); PL2 ) ∩ L2 ([0, T ); PH 1 ), (1.16) ZT (−hu, ∂t ϕi + h∇u, ∇ϕi + h(u · ∇)u, ϕi)ds = hu0 , ϕ(0)i, (1.17) 0 với ϕ ∈ D([0, T ); PD) tùy ý. Ký hiệu h·, ·i có nghĩa là tích trong L2 , trong khi PX là không gian con của X (ở đây X = L2 , H 1 hay D) gồm các hàm đặc trưng bởi điều kiện phân kỳ tự do ∇ · u = 0. Cuối cùng, nghiệm yếu là giả định thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng sau đây 1 ||u(t)||22 + 2 Zt 1 ||∇u(s)||22 ds ≤ ||u(0)||22 , 2 t > 0. (1.18) 0 Đôi khi bất đẳng thức này được coi là thỏa mãn không chỉ trên khoảng (0, t) mà còn thỏa mãn trên tất cả các khoảng (t0 , t1 ) ⊂ (0, T ), ngoại trừ, t0 có thể thuộc 10 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes một tập có độ đo không. Tức là 1 ||u(t)||22 + 2 Zt1 1 ||∇u(s)||22 ds ≤ ||u(0)||22 , 2 (t0 , t1 ) ⊂ (0, T ). t0 Vì vậy, một nghiệm được gọi là "cuộn xoáy" theo nghĩa của Leray. Cuối cùng, sau bài báo của T. Kato và các cộng sự của ông, chúng ta đã gọi nghiệm mềm như một phạm trù thứ ba của nghiệm, mà sự tồn tại thu được từ thuật toán điểm bất động áp dụng cho phương trình tích phân (1.9). Theo phương án này, phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu bởi phương pháp nửa nhóm như trong các bài báo tiên phong của K. Yosida. Chính xác hơn nghiệm mềm được định nghĩa theo cách sau. Định nghĩa 1.2.3. Một nghiệm mềm u của phương trình Navier - Stokes thỏa mãn phương trình tích phân (1.9) và do đó mà u(t, x) ∈ C([0, T ); PX), (1.19) trong đó, X là không gian Banach gồm các hàm suy rộng mà trên đó nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt { exp(t4); t ≥ 0 } là liên tục mạnh và tích phân trong (1.9) là xác định tốt theo nghĩa của Bochner. Trong lịch sử sự ra đời của thuật ngữ "mềm" trong sự liên quan với công thức tích phân đối với việc nghiên cứu một phương trình tích chập tùy ý xuất phát từ công trình của F.E. Browder (xem [1]). Chúng ta không muốn sử dụng bất đẳng thức năng lượng, nhưng chúng ta hy vọng trong cách này sẽ đảm bảo tính duy nhất của nghiệm. Điều này trái ngược với cách xây dựng nghiệm yếu của Leray, dựa trên lập luận chặt chẽ và một đánh giá tiên nghiệm. Hơn nữa, thuật toán điểm bất động được xây dựng và ổn định. Do đó, câu hỏi đặt ra là liệu có 11 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes tồn tại nghiệm mềm của bài toán Cauchy đối với phương trình Navier - Stokes theo nghĩa của Hadamard. Chúng ta nhớ lại rằng một hàm v(t, ·) lấy giá trị trong một không gian Banach RT RT E , tích phân v(t, ·)dt tồn tại hoặc do ||v(t, ·)||E dt < ∞ (trong trường hợp này 0 0 ta nói tích phân xác định theo nghĩa Bochner ) hoặc do RT |hv(t, ·), yi|dt hội tụ với 0 0 vectơ y bất kỳ của không gian đối ngẫu E của E (tích phân này được gọi hội tụ yếu). Sự hội tụ yếu được đảm bảo bởi dáng điệu dao động của v(t, ·) trong không gian Banach E . Mặt khác, tính chất dao động của số hạng song tuyến tính phát sinh từ phương trình Navier- Stokes được xem xét hệ thống trong tất cả các bài báo dựa trên cơ sở bất đẳng thức năng lượng, đặc biệt hB(u, u), ui = 0 miễn là ∇ · u = 0. Trong thực tế, B(u, u) không bao giờ thuộc không gian là không gian đối ngẫu của một không gian chứa u. Một cách rõ ràng hơn, trong các tài liệu liên quan đến sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mềm của phương trình Navier - Stokes như theo H. Fujita và các bài báo nổi tiếng của T. Kato (xem [6], [7]) các dáng điệu dao động của B(u, v) bị mất từ đầu, bởi vì, theo định nghĩa nghiệm mềm yêu cầu đánh giá mạnh trong các cấu trúc liên kết mạnh mẽ, do đó B(u, v) có thể được thay thế bằng |B(u, v)| mà không ảnh hưởng đến sự tồn tại tương ứng và kết quả duy nhất. Mặt khác, như nghiệm yếu giới thiệu trong các bài báo tiên phong của J. Leray (xem [14]), các dáng điệu dao động của B(u, v) thường được phân tích bằng đồng nhất thức nổi tiếng h∇ · (v ⊗ u), ui = 0, (1.20) trong đó ∇ · v = 0. Trong trường hợp đó vấn đề là khác nhau, đối với đồng nhất 12 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes thức ở trên không cho phép một sự linh hoạt lớn nhất trong việc lựa chọn không gian hàm, mà buộc phải được xác định trong các số hạng của một chuẩn năng lượng (ví dụ L2 , H 1 ......). 1.3 Biến đổi Fourier của Navier Tiêu đề của phần này là mượn của một bài báo của P. Federbush "Navier and Stokes meet the wavelet" (xem [5]). Phương trình Navier - Stokes chưa tồn tại khi J. Fourier đưa ra nghiệm rõ ràng của phương trình truyền nhiệt     ∂v − 4v = f, ∂t (1.21)   v(0) = v0 . Với phương trình này, điều khiển sự thay đổi của nhiệt độ v(t, x), trong sự hiện diện của một nguồn nhiệt bên ngoài f (t, x), tại một điểm x và thời gian t của một vật giả định lấp đầy không gian R3 , bởi vì, khi ta xem xét biến đổi Fourier một phần của nó với đối số x, một phương trình vi phân thường theo t, có nghiệm được cho bởi Zt S(t − s)f (s)ds, v(t, x) = S(t)v0 + (1.22) 0 S(t) là toán tử tích chập được định nghĩa như trong (1.10) bởi 2 et4 g(x) = [e−|·| tb g (·)]∨ (x) = ((4πt)−3/2 exp{−| · |2 /4t} ∗ g)(x) (1.23) Phương trình Navier - Stokes mô tả chuyển động của một chất lỏng nhớt, đã được giới thiệu bởi C. L. M. H. Navier trong năm 1822 (xem [15]), cũng vào năm đó, do một sự trùng hợp kỳ lạ, J. Fourier xuất bản chuyên luận nổi tiếng "Théorie Analytique de la Chaleur" (xem [13]), trong đó, ông đã phát triển một cách có hệ thống những ý tưởng chứa đựng trong bài báo năm 1807. 13 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes Trong phần này, chúng ta trình bày cách vận dụng biến đổi Fourier để nghiên cứu phương trình Navier - Stokes, theo phương pháp Fourier để giải phương trình Navier - Stokes cho một chất lỏng nhớt không nén được, chúng ta thu được phương trình tích phân (1.9), rất giống với (1.22), dẫn đến khái niệm về một phương trình mềm và một nghiệm mềm. Nếu chúng ta sử dụng các biến đổi Fourier một lần nữa, ý tưởng thứ hai đến với chúng ta là viết lại tích phân (1.9) ( j = 1, 2 và 3) theo biến đổi Fourier u bj (ξ) = exp(−t|ξ|2 )u b0j Z t − 2 exp(−(t − s)|ξ| ) 0 3 X δjk − l,k=1 ξj ξk  (iξl )u bl (ξ) ∗ u bk (ξ)ds. |ξ|2 Chúng ta sử dụng các ký hiệu được giới thiệu bởi T. Miyakawa trong [12] và ký hiệu F (t, x) là hạch tensor liên kết với toán tử exp(t4)P∇· , ta nói 2 [ F l,k,j (t, ξ) = exp(−t|ξ| ) δjk − ξj ξk  iξl . |ξ|2 (1.24) Dễ dàng thấy rằng hạch F (t, x) = {Fl,k,j (t, x)} định nghĩa như trên thỏa mãn |F (t, x)| . |x|−α t−β/2 , α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 4, (1.25) và ||F (t, x)||p . t−(4−3/p)/2 , 1 ≤ p ≤ ∞. (1.26) Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ không tận dụng lợi thế của những đánh giá tổng quát này. Trong thực tế, chúng ta không sử dụng cấu trúc đầy đủ của toán tử exp(t4)P∇· và phân tích của chúng ta sẽ áp dụng cho một lớp tổng quát hơn của phương trình tiến hóa. Để được rõ ràng hơn, sự tồn tại và định lí duy nhất của nghiệm mềm đối với phương trình Navier - Stokes sẽ đạt được bằng cách sử dụng định lí điểm bất 14 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes động của Banach. Giá trị ban đầu được xem xét trên các không gian, mà trên các không gian đó những biến đổi Riesz là liên tục. Hệ quả là đơn giản: chúng ta sẽ thoát khỏi những biến đổi Riesz từ đầu và giới hạn nghiên cứu trong việc nghiên cứu một dạng đơn giản hơn của toán tử exp(t4)P∇· dẫn đến một dạng đơn giản hơn của toán tử B . Chúng ta biểu thị các ký hiệu Bs là toán tử xác định bởi Zt [S(t − s)Λ̇](f g)(s)ds, Bs (f, g)(t) := − (1.27) 0 trong đó f = f (t, x), g = g(t, x) là các trường vô hướng có cùng tính chất và Λ̇ := p −4, (1.28) biểu thị toán tử giả vi phân thuần nhất Calderón nổi tiếng có biểu trưng là |ξ|. Chúng ta có thể thu được dạng vectơ đầy đủ của toán tử B từ các dạng vô hướng và các biến đổi Riesz theo công thức sau B(u, v)j = −i 3 X Rm Bs (um , vj ) + i m=1 3 X 3 X Rj Rk Rl Bs (ul , vk ), j ∈ {1, 2, 3}. (1.29) k=1 l=1 Như vậy, các dạng vô hướng của toán tử B có thể được viết dưới dạng tích của Bs và các biến đổi Riesz. Bằng cách sử dụng các đơn giản này và các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier, cuối cùng chúng ta nhận được biểu thức đơn giản hơn của toán tử song tuyến tính (bằng cách lạm dụng ký hiệu sẽ luôn được ký hiệu bằng chữ cái B ): Zt B(f, g) = − (t − s)−2 Θ( √ . ) ∗ (f g)(s)ds, t−s (1.30) 0 trong đó f = f (t, x) và g = g(t, x) là hai trường vô hướng và Θ = Θ(x) là một hàm của x mà biến đổi Fourier cho bởi 2 b = |ξ|e−|ξ| . Θ(ξ) 15 (1.31) Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes Như vậy, Θ là giải tích, dáng điệu giống như O(|x|−4 ) ở vô cực (điều này cũng có thể được suy ra bởi [12] với α = 4 và β = 0) và tích phân của nó bằng không. 16 Chương 2 Kiến Thức Cơ sở 2.1 Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến Định nghĩa 2.1.1. A) Một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử là một không gian Banach E sao cho chúng ta có các phép nhúng liên tục D(R3 ) ⊂ E ⊂ D0 (R3 ) và hơn nữa: (a) Với mọi x0 ∈ R3 và với mọi f ∈ E thì f (x−x0 ) ∈ E và ||f ||E = ||f (x−x0 )||E . (b) Với mọi λ > 0 tồn tại Cλ > 0 sao cho với mọi f ∈ E, f (λx) ∈ E và ||f (λx)||E ≤ Cλ ||f ||E . (c) D(R3 ) là trù mật trong E . B) Một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến là một không gian Banach E mà nó là không gian tôpô đối ngẫu của một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E (∗) . Không gian E (0) gồm các phần tử trơn của E được xác định như là bao đóng của D(R3 ) trong E . Nhận xét. Một hệ quả đơn giản của giả thuyết (a) đó là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E thỏa mãn S(R3 ) ⊂ E và một hệ quả của giả thuyết (b) đó là E ⊂ S 0 (R3 ). Tương tự, chúng ta có đối với một 17 Chương 2. Kiến Thức Cơ sở không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến E thì S(R3 ) ⊂ E (0) ⊂ E ⊂ S 0 (R3 ). Đặc biệt, E (0) là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử. Mệnh đề 2.1.1. (Tích chập trong các không gian gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến) Nếu E là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử hoặc suy rộng và ϕ ∈ S(R3 ), thì với mọi f ∈ E chúng ta có f ∗ ϕ ∈ E và ||f ∗ ϕ||E ≤ ||f ||E ||ϕ||1 . Hơn nữa, tích chập có thể mở rộng thành một toán tử song tuyến tính bị chặn từ E × L1 vào E và với mọi f ∈ E , với mọi g ∈ L1 ta có bất đẳng thức ||f ∗ g||E ≤ ||f ||E ||g||1 . Chứng minh. Dễ dàng chỉ ra rằng đối với mọi f, g ∈ S(R3 ), tổng Riemann hội tụ đến f ∗ g trong S(R3 ) 1 N3 P k∈Z3 g k N  f x− Nk  khi N dần đến ∞. Định nghĩa 2.1.2. Nếu k ∈ L1 (R3 ) và m = b k , chúng ta định nghĩa toán tử m(D) là toán tử tích chập m(D)f = f ∗ k và chúng ta định nghĩa chuẩn |||m(D)|||1 là |||m(D)|||1 = ||k||1 . Định nghĩa 2.1.3. Cho hàm thử ϕ ∈ D(R3 ) sao cho |ξ| ≤ 1 2 thì ϕ(ξ) = 1 và |ξ| ≥ 1 thì ϕ(ξ) = 0. Hàm ψ được định nghĩa là ψ(ξ) = ϕ( 2ξ ) − ϕ(ξ). Cho 4j và Sj được định nghĩa có biến đổi Fourier cho bởi F(Sj f ) = ϕ( 2ξj )Ff và F(4j f ) = ψ( 2ξj )Ff . Hàm suy rộng 4j f được gọi là j - th dyadic block của phép biến đổi Littlewood - Paley của f . 18 Chương 2. Kiến Thức Cơ sở Một trường hợp đặc biệt của các toán tử tích chập đó là phép biến đổi Littlewood - Paley (xem [10]) 4j f = ψ(D/2j )f : chúng ta có được đánh giá ||Sj f ||E ≤ |||S0 |||1 ||f ||E và ||4j f ||E ≤ |||40 |||1 ||f ||E . Do phép biến đổi Littlewood - Paley, chúng ta có thể dễ dàng so sánh E với một không gian Besov: Mệnh đề 2.1.2. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến. Cho C1/2 là toán tử có chuẩn trong L(E, E) của toán tử −ln2 (C1/2 ),∞ f 7→ f (x/2). Khi đó, E ⊂ B∞ . Chứng minh. Do chuẩn của E là bất biến với phép tịnh tiến và do E ⊂ S 0 , chúng ta thấy rằng 4j ánh xạ E vào L∞ . Hơn nữa, do các toán tử trên bị chặn trên E và trên L∞ , chúng ta có thể viết Dj (f ) = f (2j x) và 4j f = Dj 40 D−j f , nó được cho đối với j ≥ 0, 4j ánh xạ E vào L∞ với một toán tử có chuẩn O((C1/2 )j ). Như đối với trường hợp của chuẩn Lebesgue, chúng ta có bất đẳng thức Bernstein như sau. Mệnh đề 2.1.3. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến. Khi đó, với mọi α ∈ N3 và σ ∈ R, với mọi j ∈ Z và mọi f ∈ S 0 (R3 ), chúng ta có (vế phải luôn được xác định) : ∂ α ≤ ∂ αα F −1 ϕe Sj f 2j|α| , (a) ∂x α Sj f ∂x E 1 E ∂ α ∂ α −1 j|α| (b) ∂xα 4j f E ≤ ∂xα F ψe 1 4j f E 2 , √ σ e 4j f 2jσ , (c) −4 4j f E ≤ F −1 (|ξ|σ ψ) 1 E 3 P F −1 ( ξl2 ψ) e ∂ 4j f 2−j . (d) 4j f E ≤ |ξ| 1 ∂xl E l=1 Một ví dụ thú vị của toán tử tích chập sẽ được xem xét tiếp theo là tích chập với hạch của phương trình truyền nhiệt. Chúng ta có nửa nhóm của toán tử et4 19
- Xem thêm -