Tài liệu Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực

Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa. Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực. Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp. I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:  A= 0 A + B = 0⇔  B= 0 2 2 Bài 1. Giải phương trình: 3 tan 2 x + 4 sin 2 x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 GIẢI Nguyễn Văn Tuấn Anh 1 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 3 tan 2 x + 4 sin 2 x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 ⇔ 3 tan 2 x − 2 3 tan x + 1 + 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 = 0 ⇔ ( 3 tan x − 1) 2 + (2 sin x − 1) 2 = 0  3 tan x − 1 = 0 ⇔  2 sin x − 1 = 0  3  tan x = 3 ⇔  sin x = 1  2  π  x = 6 + mπ ( m, n ∈ Z ) ⇔ π  x = + 2nπ  6 ĐS x= π + 2kπ ( k ∈ Z ) 6 II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình f ( x ) = g ( x) , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: f ( x ) ≥ A, ∀x ∈( a, b) và g ( x ) ≤ A, ∀x ∈( a, b) thì khi đó: Nếu ta chỉ có f ( x) > A và trình vô ngiệm. Bài 2. Giải phương trình:  f ( x) = A f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) = A g ( x ) < A , ∀x ∈( a, b) thì kết luận phương cos 5 x + x 2 = 0 GIẢI cos x + x = 0 ⇔ x = − cos x Vì −1 ≤ cos x ≤ 1 nên 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1  −π π  5 mà [ − 1,1] ⊂  2 , 2  ⇒ cos x > 0, ∀x ∈ [ − 1,1] ⇒ − cos x < 0, ∀x ∈ [ − 1,1]   2 5 Do x > 0 và − cos x < 0 nên phương trình vô nghiệm. 5 2 2 Nguyễn Văn Tuấn Anh 5 2 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. Giải phương trình: sin 1996 x + cos1996 x = 1 (1) GIẢI (1) ⇔ sin 1996 x + cos 1996 x = sin x + cos 2 x 2 ⇔ sin 2 x(sin 1994 x −1) = cos 2 x(1 − cos1994 x ) (2)  sin 2 x ≥ 0 2 1994 Ta thấy  ⇒ sin x(sin x − 1) ≤ 0, ∀ x 1994  sin x ≤ 1  cos2 x ≥ 0 2 1994 Mà  ⇒ cos x ( 1 − cos x) ≥ 0, ∀ x 1994  1 − cos x ≥ 0   x = mπ   sin x = 0   π   x = + mπ 2 19 4    sin x(sin x − 1) = 0   sin x ±= 1   2 Do đó (2) ⇔  ⇔ ⇔  m,( n∈ Z) 2 19 4   cos x(1− cos x) = 0   cosx = 0   π  cosx ±= 1   x = 2 + nπ     x = nπ Vậy nghiệm của phương trình là: ĐS x=k x=k π (k ∈ Z ) 2 π (k ∈ Z ) 2 Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây: Nguyễn Văn Tuấn Anh 3 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11   sin ax = 1   sin bx = 1  • sin ax.sin bx = 1 ⇔   sin ax = − 1    sin bx = − 1   sin ax = 1   sin bx = − 1  • sin ax.sin bx = − 1 ⇔   sin ax = − 1    sin bx = 1 Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng: cos ax. cos bx =1 cos ax. cos bx = −1 sin ax. cos bx =1 sin ax. cos bx = −1 III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau: • Dùng tính chất đại số • Áp dụng tính đơn điệu của hàm số Phương trình f ( x) = 0 có 1 nghiệm x = α ∈ (a, b) và hàm f đơn điệu trong (a, b) thì f ( x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = α . Phương trình f ( x) = g ( x) có 1 nghiệm x = α ∈ (a, b) , f (x) tăng (giảm) trong (a, b) , g (x) giảm (tăng) trong (a, b) thì phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x = α là duy nhất. Nguyễn Văn Tuấn Anh 4 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Bài 4. Giải phương trình: cos x = 1 − x2 2 với x > 0 GIẢI Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x = 0 . x2 − 1 là Đặt 2 f ' ( x) = − sin x + x > 0, ∀x > 0 (vì f ( x) = cos x + biểu thức của hàm số có đạo hàm x >sin x , ∀ x ) ⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong ( 0,+∞) ⇒ f ( x ) = 0 có 1 nghiệm duy nhất trong ( 0,+∞) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 0 . B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài 1: Giải phương trình: x 2 − 2 x cos x − 2 sin x + 2 = 0 (1) GIẢI Ta có (1) ⇔ x − 2 x cos x + cos x + sin 2 x − 2 sin x + 1 = 0 2 2 ⇔ ( x − cos x) 2 + (sin x − 1) 2 = 0  x − cos x = 0 ⇔   sin x − 1 = 0  cos x = x ⇔   sin x = 1 Phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình: sin 4 x + cos15 x = 1 GIẢI Ta có: sin x + cos x = 1 4 15 ⇔ sin 4 x + cos15 x = sin 2 x + cos 2 x ⇔ sin 2 x (sin 2 x −1) = cos 2 x(1 − cos13 x) (1) Vì sin x(sin x −1) ≤ 0, ∀x Và cos 2 x(1 − cos13 x) ≥ 0, ∀x 2 2 Nguyễn Văn Tuấn Anh 5 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Do đó (1) Math 08-11  sin 2 x(sin 2 x − 1) = 0 ⇔  2  cos x(1 − cos13 x) = 0   sin x = 0    sin x = ± 1 ⇔    cos x = 0   cos x = 1    x = mπ    x = π + mπ  2 ⇔ (m, n ∈ Z )  π x = + nπ  2   x = 2nπ  ĐS x= π + kπ 2 hay x = 2kπ , ( k ∈Z ) C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3: Giải các phương trình: 1. sin 4 x + cos 4 ( x + 2. (tan x + π 1 )= 4 4 (1) 1 cot x) n = cos n x + sin n x(n = 2,3,4,...) 4 GIẢI 1. Ta có: 2 (1) π   1 + cos( 2 x + ) 2  (1 − cos 2 x) 1 2  ⇔ + = 4 4 4 ⇔ (1 − cos 2 x) 2 + (1 − sin 2 x) 2 = 1 ⇔ cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇔ cos(2 x − π 4 )= Nguyễn Văn Tuấn Anh 2 2 6 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn 2.Với Math 08-11  x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ  4 π điều kiện x ≠ k 2 ta có tan x tan x + 1 1 cot x = tan x + cot x ≥ 2 4 4 Dấu "=" xảy ra ⇔ tan x = tan x = ± n ∈Z , n > 2 tan x ⋅ 1 1 cot x = 1 ⇒ tan x + cot x 4 4 n ≥1 1 1 1 cot x ⇔ tan 2 x = ⇔ tan x = ± 4 4 2 • Với n = 2 : phương trình • Với và cot x luôn cùng dấu nên: 2 1    tan x + cot x  = 1 4   có nghiệm cho bởi: 1 1 ⇔ x = ± arctan + kπ ( k ∈ Z ) 2 2 thì: cos x + sin x ≤ cos x + sin 2 x = 1 π   x = k 2 khi n = 2m (k , m ∈ Z ) Dấu bằng xảy ra ⇔   x = 2kπ hay x = π + 2kπ khi n = 2m + 1  2 π (đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k 2 của phương trình) n n Vậy với 2 n > 2, n ∈ Z thì phương trình vô nghiệm. ĐS x = ± arctan 1 + kπ ( k ∈ Z ) 2 Bài 4: Giải phương trình: cos x 1 1 −1 + cos 3 x −1 = 1 cos x cos 3 x (1) GIẢI  cos x > 0 Điều kiện:   cos 3x > 0 Khi đó (1) ⇔ cos x − cos 2 x + cos 3 x − cos 2 3 x = 1 1 1 1 = (a − ) 2 ≥ 0 ⇒ a − a 2 ≤ 4 2 4 1 1 Do đó cos x − cos 2 x ≤ 4 và cos 3x − cos 2 3x ≤ 4 1 1 ⇒ cos x − cos 2 x ≤ và cos 3 x − cos 2 3 x ≤ 2 2 Vì a2 − a + Nguyễn Văn Tuấn Anh 7 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11  21  1  cosx − cos x = 4  cosx = 2 Dấu bằng xảy ra ⇔  ⇔  ⇔ x ∅∈  cos3x − cos2 3x = 1  cos3x = 1  4  2 Vậy phương trình (1) vô nghiệm. D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải phương trình: sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x HƯỚNG DẪN sin 3 x ≤ sin 2 x , ∀x cos 3 x ≤ cos 2 x , ∀x ⇒sin 3 x + cos 3 x ≤1 , ∀x 2 −sin 4 x ≥1 , ∀x  sin 3 x + cos 3 x = 1 Vậy phương trình tương đương:   2 − sin 4 x = 1 ĐS x= π + 2kπ (k ∈ Z ) 2 Bài 2: Giải phương trình: sin x + tan x − 2 x = 0 với 0≤x≤ π 2 HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x = 0 Đặt f ( x ) = sin x + tan x − 2 x Có đạo hàm: f ' ( x) = liên tục trên  π 0;    2 (cos x −1)(cos 2 x − cos x −1)  π ≥ 0 , ∀x ∈ 0;  2 cos x  2 do 1− 5 1+ 5 < 0 ≤ cos x ≤ 1 < ⇒ cos 2 x − cos x − 1 < 0 2 2  π ⇒ f đơn điệu tăng trên 0;   2 Nguyễn Văn Tuấn Anh 8 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Bài 3: Giải phương trình: ( cos 4 x − cos 2 x ) 2 = 5 + sin 3x ĐS x= π + 2kπ ( k ∈ Z ) 2 Bài 4: Giải phương trình: cos 4 x − sin 4 x = cos x + sin x ĐS x = kπ (k ∈ Z ) Bài 5: Giải phương trình: x 2 − 2 sin xy +1 = 0 x= 1  ĐS  π  y = 2 + 2kπ hay Nguyễn Văn Tuấn Anh x= −1   π  y = 2 + 2kπ (k ∈ Z ) 9 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Nguyễn Văn Tuấn Anh Math 08-11 10