Tài liệu Phương trình lagrange và phương pháp giải một số bài tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ PHƢỢNG PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ PHƢỢNG PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Ngô Đức Quyền Sơn La, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo, giảng viên chính - Thạc sĩ Ngô Đức Quyền. Người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin trường Đại họcTây Bắc đã trang bị cho em những kiến thức và tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian học tập tại trường. Và em cũng xin cản ơn phòng Nghiên cứu khoa học và hợp tác quốc tế, thư viện nhà trường đã góp phần không nhỏ để em hoàn thành khóa luận. Và tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thành viên trong lớp K51 – ĐHSP Vật Lý đã đóng góp những ý kiến rất hay và giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 6 năm 2014 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Phượng MỤC LỤC A. PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1 2. Mục đích ............................................................................................................ 2 3. Nhiệm vụ ........................................................................................................... 2 4. Giả thuyết khoa học........................................................................................... 2 5. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................ 2 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2 7. Đóng góp của khóa luận .................................................................................... 2 B: PHẦN NỘI DUNG ......................................................................................... 3 CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN .......................................................................... 3 1.1. Tổng quát........................................................................................................ 3 1.1.1. Tọa độ suy rộng ........................................................................................... 3 1.1.2. Dịch chuyển ảo ............................................................................................ 3 1.1.3. Công ảo ....................................................................................................... 4 1.1.4. Liên kết lí tưởng .......................................................................................... 4 1.2. Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II .................................................... 4 1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange .................................................................. 4 1.2.2 Phương trình lagrange loại II ....................................................................... 4 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI ..................... 8 2.1. Dao động của con lắc lò xo ............................................................................ 8 2.1.1. Phương trình vi phân ................................................................................... 8 2.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân............................................................... 9 2.1.3. Trường hợp suy biến ................................................................................. 10 2.1.4.Vận dụng .................................................................................................... 10 2.2. Dao động cưỡng bức của con lắc lò xo ........................................................ 15 2.2.1. Phương trình vi phân ................................................................................. 15 2.2.2. Nghiệm của phương trình vi phân............................................................. 16 2.2.3. Cộng hưởng ............................................................................................... 20 2.2.4. Vận dụng ................................................................................................... 23 2.3. Dao động của con lắc đơn ............................................................................ 27 2.3.1. Dao động tự do của con lắc đơn ................................................................ 27 2.3.2. Dao động của con lắc đơn khi vật chịu thêm tác dụng của một lực lạ ..... 28 2.3.3. Con lắc vật lý............................................................................................. 34 2.3.4. Vận dụng ................................................................................................... 34 CHƢƠNG III: BÀI TẬP VỀ PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI ..................................................................................... 38 C: PHẦN KẾT LUẬN ...................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 43 A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian. Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung. Vì vậy cho đến hiện nay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và kĩ thuật. Vào thế kỉ XVII, phép tính vi phân và tích phân phát triển mạnh mẽ. Người ta đã xây dựng được nguyên lý tổng quát của động lực học và sang thế kỉ XIX phương pháp giải tích hóa cơ học tiếp tục được phát triển, điều này dẫn đến hình thành nên lĩnh vực cơ học giải tích. Từ cuối thế kỉ XIX sang cả thế kỉ XX, cơ học lí thuyết phát triển rất mạnh mẽ. Quá trình này đã dẫn đến xuất hiện một lĩnh vực mới của cơ học ra đời đó là lí thuyết tương đối của nhà bác học vĩ đại Anhxtanh, một trong những đỉnh cao của trí tuệ loài người. Học thuyết này đã làm lay động quan niệm tách rời chuyển động với không gian và thời gian của Newton mà trái lại nó khẳng định tính hiện thực tương đối và phạm vi ứng dụng của cơ học Newton. Và như thế cơ học lí thuyết vẫn còn đầy đủ giá trị thực tiễn của nó. Chương trình môn Vật lí nói chung, môn Cơ học và lí thuyết nói riêng ở bậc đại học tương đối phong phú và đa dạng. Để học tốt được các môn vật lí lí thuyết mỗi sinh viên vần phải trang bị cho mình không những kiến thức về vật lí mà còn phải chuẩn bị thêm cho mình kiến thức về toán giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương pháp toán lí. Chính vì vậy mà các sinh viên gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn Cơ học và lý thuyết tương đối. Nhiều sinh viên sau khi đã học xong môn Cơ học và lí thuyết tương đối đếu không thể vận dụng các kiến thức mới, phương pháp mới vào để giải các bài toán động lực học, đặc biệt là các bài tập về dao động và dao động điện. Hiện nay tại thư viện trường Đại học Tây Bắc có rất ít đề tài và khóa luận nghiên cứu về vấn đề này. Các giáo trình viết về vấn đề dao động thì sử dụng phương pháp dùng các định luật Newton,.. để xây dựng các kiến thức cần thiết. Trong các giáo trình đó đã trình bày phương pháp giản đồ véc tơ để giải các bài toán về dao động phương pháp này hay, ngắn gọn nhưng chưa mang tính khái quát cao. Sử dụng phương pháp ấy chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản, trong nhiều trường hợp không thể giải quyết được. Nhiều bài toán về phương trình Lagrange rất phức tạp vì vậy tôi đã chọn khóa luận “Phương trình Lagrange và phương pháp giải một số bài tập”. Trong khóa luận này tôi đã 1 thống kê những kiến thức cơ bản về hàm Lagrange, bên cạnh đó để người đọc dễ hiểu thì tôi có dựa vào hàm Lagrange để giải một số các bài tập về dao động.Tôi mong rằng khóa luận này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên và các giáo viên giảng dạy môn vật lý ở trường phổ thông. 2. Mục đích Mục đích của khóa luận là giúp cho các bạn sinh viên hiểu sâu hơn về phần cơ học đại cương và phần dao động, nhằm phục vụ tốt cho việc học tập các môn: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ lý thuyết, Cơ học lượng tử. 3. Nhiệm vụ Nhiệm vụ của khóa luận là nghiên cứu nguyên lý Dalambert – Lagrange, các phương trình Lagrange loại II. Từ đó vận dụng nó để giải quyết các bài toán và xây dựng các kiến thức về dao động.Thông qua phần kiến thức được xây dựng, khóa luận này có vận dụng phương pháp giải tích để giải một số bài về dao động. 4. Giả thuyết khoa học Sự vận dụng nguyên lí Dalambert – Lagrange và các phương trình Lagrange loại II vào để giải một số bài tập còn rất khó khăn. Nếu đi sâu nghiên cứu một cách có hệ thống, quy trình vận dụng phương trình Lagrange loại II vào giải các bài tập cơ học, điện học thì chắc chắn sinh viên vật lí sẽ có khả năng vận dụng tốt các kiến thức của cơ học lí thuyết để giải các bài toán cơ, điện một cách triệt để. 5. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là phương trình Lagrange loại II và các kiến thức về dao động. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu Khóa luận này dùng phương pháp nghiên cứu lí thuyết để xây dựng một số kiến thức về dao động và sử dụng phương trình Lagrange loại II 7. Đóng góp của khóa luận Khóa luận này sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên chuyên nghành Vật lý để phục vụ cho học tập và là tài liệu tham khảo trong giảng dạy Khóa luận chỉ ra một số bài tập mà dùng phương pháp giản đồ vectơ không giải quyết được. 2 B: PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Tổng quát 1.1.1. Tọa độ suy rộng Để khảo sát 1 cơ hệ ta cần chỉ ra được liên kết đặt lên cơ hệ. Liên kết này được biểu diễn bởi n phương trình f (r1,r2 ,...rN , t)  0,   1,2,3,...,n (1.1) Nếu n phương trình này là độc lập thì trong số 3N tọa độ Descartes có s = 3N – n tọa độ độc lập Muốn xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần phải xác định s thông số độc lập. Giả sử chúng ta tìm được s thông số q1,q 2 ,q3 ,...qs liên hệ với các véctơ ri (i  1,2,3...N) bởi các phương trình. ri  ri (q1,q 2 ,q3 ,...qs , t),i  1,2,3,..N (1.2) Sao cho khi thay phương trình (1.2) vào phương trình (1.1) thì các phương trình này sẽ trở thành đồng nhất thức f (r1,r2 ,...rN , t)  0 Các thông số độc lập q1,q 2 ,q3 ,...q s gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu liên kết (1.1). 1.1.2. Dịch chuyển ảo Chất điểm M được xác định bởi véctơ ri . Sau một khoảng thời gian dt vô cùng bé chất điểm được xác định bởi véctơ ri  dri . Tập hợp các véctơ dịch chuyển vô cùng bé dri được gọi là những dịch chuyển khả dĩ. Giả sử tại thời điểm t ta lấy hai hệ thống véctơ dịch chuyển khả dĩ dri và dri ' . Hiêụ của hai véctơ dri và dri ' là một véc tơ vô cùng bé và được kí hiệu bằng ri Tập hợp những véctơ ri = dri - dri ' gọi là những véctơ dịch chuyển ảo. 3 1.1.3. Công ảo Công ảo là một đại lượng vật lý được xác định bởi công thức: N N i 1 i 1 A   R iri   (R ix x i  R iy yi  R izzi ) (1.3) Trong đó R i là những phản lực kiên kết đặt lên cơ h 1.1.4. Liên kết lí tƣởng Liên kết được gọi là liên kết lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là: N N  R iri   (R ixx i  R iyyi  R izzi ) = 0 i 1 (1.4) i 1 1.2. Lí thuyết về phƣơng trình Lagrange loại II 1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange Xét cơ hệ gồm N chất diểm chịu những lực kiên kết lí tưởng đặt lên nó, phương trình chuyển động của chất điểm i trong cơ hệ có dạng. mi a i  Fi  R i  mi a i  Fi  R i Nhân hai vế của phương trình trên với ri ta nhận được (mi a i  Fi )ri  R ir i Phương trình chuyển động của tất cả các chất điểm trong cơ hệ N  i 1 (mi a i  Fi )ri  0 N Theo điều kiện (1.4) ta có :  (mi a i  Fi )ri  0 (1.5) i 1 (1.5) được gọi là biểu thức của nguyên lý Dalambert – Lagrange 1.2.2 Phƣơng trình lagrange loại II - Khảo sát hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt trên cơ hệ được biểu diễn bằng n phương trình: f (r1 ,r2 ,...rN , t)  0,   1,2,3,...,n - Số bậc tự do của cơ hệ : s  3N  n 4 - Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s tọa độ suy rộng q1,q 2,q 3,...q s . Các bán kính véctơ ri là hàm của q1,q 2,q 3,...q s và t: ri  ri (q1,q 2 ,q3 ,...qs , t),i  1,2,...N - Xuất phát từ nguyên lý Dalambert – lagrange ta thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng. - Trước tiên ta biểu diễn dịch chuyển ảo ri qua biến phân của tọa độ suy rộng. - Giả sử các tọa độ suy rộng q k  q k (t, ) , trong đó t là biến số thời gian,  là thông số thực Khi   0 thì q k (t,0)  q k (t) xác định vị trí thực của cơ hệ Khi   0 thì tọa độ suy rộng q k (t, ) xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó. Dạng q k thay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số  thay đổi - Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng q k (t) là đại lượng thực được xác định bằng công thức: q k (t)  q k (t,   )  q k (t, )  q k   - Tương tự ta có biến phân của ri : ri  ri (t,   )  ri (t, )   ri   (1.6) - Vì bán kính véctơ ri phụ thuộc  qua hàm q k (t, ) nên ta có: ri  s s  ri  r q k r    i    i q k  k 1 q k  k 1 q k (1.7) - Đặt biểu thức của ri từ (1.7) vào (1.5) ta nhận được s  (Z k 1 k  Qk )q k  0 Trong đó : (1.8) N  ri r Qk   Fi , Zk   mi a i i ,(k  1,2,3,...s) q k q k i 1 i 1 N 5 - Công nguyên tố của những hoạt lực đối với mọi dịch chuyển ảo bằng: N A   Fi i 1 N  ri   Qk q k q k i1 Đại lượng Q k gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng - Biến đổi Zk về dạng thuận tiện hơn ta được: N N  ri dri  ri d N  ri d r Zk   mi ri   mi   mi ri   mi ri ( i ) q k i1 dt q k dt i1 q k i1 dt q k i 1 N s dri  ri r - Ta có: ri     i qj dt t j1 q k - Từ (1.10) suy ra: (1.9) (1.10) ri r  i (i  1,2,3...N;k  1,2,...s) q k q k (1.11) - Dùng hệ thức (1.10) ta có: s ri  2 ri  2 ri d r   qj  ( i ) q k tq k j1 q jq k dt q k (1.12) - Chú ý đến các hệ thức (1.11) và (1.12) ta có thể viết Zk dưới dạng : N d N ri r Zk   mi ri   mi ri i dt i1 q k i1 q k Hay: Zk  d T T  ,(k  1,2...,s) dt q k q k Trong đó T  (1.13) 1 mi (ri 2 ) T là động năng của cơ hệ .  2 - Vì các biến phân q k là độc lập tùy ý và khác không nên biểu thức (1.8) chỉ thỏa mãn khi tất cả các nhân tử của q k trong biểu thức đó bằng không, nghĩa là: Zk  Qk  0 hay Zk  Qk - Thay từ (1.13) vào ta được : d T T   Qk , (k = 1,2,…,s) dt q k q k 6 (1.14) - Nếu hoạt lực Fi tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì giữa năng lượng tương tác   của cơ hệ U r1 ,r2 ,...rN và lực thế liên hệ với nhau bằng hệ thức: Fi   U  ri - Biểu thức của lực suy rộng trong trường hợp này có dạng : N  ri U  ri U Qk   Fi    q k q k i 1 i 1  ri q k N (1.15) - Đặt rk  rk  q1,q 2,...q s,t  vào biểu thức của U thì thế năng U chỉ phụ thuộc vào q k và thời gian t, U  U  q1,q 2 ,q3 ,...q s,t  Do T   T  U  U   0 nên ta có : q k q k q k - Như vậy phương trình (1.14) bây giờ có dạng d L L  0 dt q k q k (1.16) Trong đó L = T-U là hàm Lagrange của hệ . Các phương trình (1.14) và (1.16) chính là phương trình Lagrange loại II của hệ. 7 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.1. Dao động của con lắc lò xo Bài toán Xét một con lắc lò xo gồm 1 vật nặng có khối lượng m gắn vào một đầu của lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo được giữ cố định. Khối lượng của lò xo nhỏ không đáng kể. Con lắc được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng coi như không đáng kể. Đặt hệ thống trong một môi trường có hệ số nhớt  . Kích thích để con lắc dao động.Hãy khảo sát sự dao động của con lắc nói trên, biết rằng lực cản tác dụng lên vật tỉ lệ với vận tốc Fc  x 2.1.1. Phƣơng trình vi phân - Chọn hệ tọa độ gồm mặt phẳng xOy nằm ngang, trục Oz thẳng đứng và vuông góc với mặt phẳng xOy. - Các phương trình liên kết: x  0, y  0  hệ có một bậc tự do, con lắc chỉ chuyển động theo trục Ox - Chọn q  x là tọa độ suy rộng của hệ, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị trí cân bằng 1 - Xét vật ở li độ x, động năng của hệ: T  mx 2 2 - Các lực tác dụng lên vật m gồm có: + Trọng lực: P  mg + Phản lực: N + Lực đàn hồi: F  kx + Lực cản của môi trường: Fc  x . - Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo r .   A  P  N  F  FC r   Pr  Nr    Fr  FCr  kxx  xx  Qx  0      Q  kx  x 8 - Phương trình Lagrange loại II có dạng: d T T  Q dt x x Hay mx  kx  x  mx  x  kx  0  x  - Đặt    k x x0 m m  2 k , 0   x  2x  02 x  0 2m m (2.1) (2.1) chính là phương trình vi phân của dao động tắt dần. 2.1.2. Nghiệm của phƣơng trình vi phân - Đặt x  Cert , thay x vào phương trình (2.1) ta có phương trình đặc trưng r 2  2r  02  0 (2.2) '  2  02 - Nếu  '  0    2 km thì nghiệm của phương trình (2.2) là: r1    2  02    q ; r2    2  02    q Với q  2  02 - Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng: x  C1er1t  C2er2t  et  C1eqt  C2eqt  Trong đó C1,C2 là các hằng số tùy ý, phụ thuộc điều kiện ban đầu, q là số thực.Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời x  0 khi t  0 .Trong trường hợp này không có dao động vì lực cản quá lớn. Người ta gọi đây là quá trình biến đổi khi ma sát lớn. - Nếu  '  0    2 km thì nghiệm của (2.2) là: r1  r2   - Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng: x   C1  C2 t  et - Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời x  0 khi t  0 .Trường hợp này x  0 chậm hơn trường hợp  '  0 . Người ta gọi quá trình này là quá trình tới hạn. - Nếu  '  0    2 km thì nghiệm của phương trình (2.2) là: r1    i 02  2    i ; r2    i 02  2    i Với   02  2 9 - Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng: x  C1er1t  C2er2t  et  C1eit  C2eit  - Khai triển hàm mũ theo công thức Euler eit  cos t  isin t; eit  cos t  isin t - Khi đó x được viết dưới dạng: x   C1  C2  et cost   C1  C2  eit sin t  et  D1cost  D2 sin t  Với D1  C1  C2 ; D2   C1  C2  i , trong đó D1,D2 là các hằng số tùy ý. - Đặt: D1  A0 sin 0 ;D2  A0cos0  tan 0  D1  x  e it aA 0 sin  t  0  D2 2.1.3. Trƣờng hợp suy biến - Trong điều kiện lý tưởng thì hệ số nhớt   0 . Khi đó phương trình vi phân (2.1) có dạng: x  02 x  0 (2.9) Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân của dao động điều hòa. - Từ (2.3), suy ra nghiệm của phương trình dao động điều hòa có dạng: x  A0 sin  t  0  Trong đó: 0  T0  k gọi là tần số góc dao dộng riêng của hệ m 2 m gọi là chu kì dao động của hệ.  2 0 k 2.1.4.Vận dụng Bài tập 1 Cho hệ dao động như hình vẽ. Hãy tìm chu kì dao động nhỏ của hệ. Biết khối lượng của sợi dây và lò xo không đáng kể, mômen quán tính của ròng rọc M là I, bán kính ròng rọc là R, sợi dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở trục ròng rọc là không đáng kể. Khối lượng của vật là m, độ cứng của lò xo là k GIẢI - Chọn hệ trục tọa độ gồm mặt phẳng xOy trùng với mặt phẳng hình vẽ, trục Oz vuông góc với mặt phẳng xOy. - Các phương trình liên kết: 10 ; y  y ;z  0  x  x M 0M  Hệ số một bậc tự do, vật dao động  y  y ,z M 0 0M M  m 0m m theo trục Ox. - Chọn q = x là tọa độ suy rộng, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị trí cân bằng. - Động năng của hệ: 1 2 1 2 1 2 1 x2 1  I  T  mx  I  mx  I 2   m  2  x 2 2 2 2 2 R 2 R  - Thế năng của hệ được xác định bởi công thức: dU  Fdx - Tại vị trí cân bằng ta có: P  T0  0 hay P  T0  0 . Với T0  kl Trong đó l là độ dãn tại vị trí cân bằng. - Tại li độ x ta có: F  P  T hay F  P  k  l  x   kx 1 - Từ công thức dU  Fdx  U  kx 2 2 1 I  1  L  T  U   m  2  x 2  kx 2 2 R  2 - Phương trình Lagrange loại II: d L L  0 dt x x I  k  Hay:  m  2  x  kx  0  x  x0 I R   m 2 R - Đặt: 02  k m I R2  x  02 x  0 - Chu kì dao động của hệ là: T0  2  2 0 m I R2 k Bài tập 2 Cho hệ thống dao động như hình vẽ, vật năng có khối lượng m khung ABCD gồm các thanh khối lượng không đáng kể.Có thể di động được nhờ khớp 11 ở 4 đỉnh. Tại vị trí cân bằng, khung có dạng hình thoi, góc ở đỉnh là 2 0 . Bóp nhẹ hai đầu BD rồi thả ra. 1. Chứng minh vật dao động điều hòa? Biết rằng độ biến dạng của lò xo nhỏ hơn rất nhiều so với AB. 2. Lập biểu thức tần số và chu kì dao động? GIẢI 1. Chọn hệ trục tọa độ gồm mặt phẳng xOy trùng với mặt phẳng hình vẽ (trục Ox thẳng đứng hướng xuống dưới, trục Oy nằm ngang) và trục Oz vuông góc với mặt phẳng xOy y  0 - Các phương trình liên kết  z  0  hệ có một bậc tự do, vật chỉ dao động theo trục. - Chọn q = x là tọa độ của hệ, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị trí cân bằng. * Khi vật ở vị trí cân bằng ta có: Tại C : P  2T0  0 Tại B, D: 2T0  k l0  0 P  2T0cos0  0 1   P  kl0 0 2T sin   k  l  0 tan  0 0  0 0 Với l0 là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng. * Khi vật m có li độ x thì lò xo biến dạng một đoạn x’ - Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: l1  2ABsin 0 - Chiều dài của lò xo khi ở li độ x: l2  2ABsin  Trong đó 2  là góc tại đỉnh A khi vật ở li độ x. - Độ biến dạng của lò xo khi vật ở li độ x: x’= l1  l2  2AB sin 0  sin   (*) - Li độ x của vật được xác định bởi: x  2AB cos  cos0  12 (**) - Từ (*) và (**) ta có:   0 0   sin x' 1 x 2 2    x'    0 x sin    0 sin  0   tan    0 tan 2 2 2 2 cos  P  2T  F P  2T0cos  F  - Ta có:  2T  k  l  x '  0 0 0  2Tsin   k  l0  x '  0     F k 1 x    0 tan  tan 2 - Vì x’ AB nên   0  F    k x tan 2 0 - Từ công thức dU  Fdx  U  1 k x2 2 2 tan 0 1 - Động năng của hệ là: T  mx 2 2 1 1 k - Hàm Lagrange của hệ : L  T  U  mx 2  x2 2 2 2 tan 0 - Phương trình Lagrange loại II của hệ Hay mx  - Đặt 02  d L L  0 dt x x k k 1 x0x x0 2 tan 0 m tan 2 0 k 1  x  02 x  0  vật m dao động điều hòa 2 m tan 0 2. Tần số và chu kì dao động: 0  1 tan  0 k 2 ;T  m 0 2 1 tan  0 m k Bài tập 3 Một mạch điện gồm hai dây dẫn song song, được nối với nhau nhờ cuộn dây có độ tự cảm L và một thanh có khối lượng m có thể trượt tự do không ma sát trên các dây dẫn. Các dây dẫn nằm trong mặt phẳng nằm ngang trong từ trường thẳng đứng đồng nhất có cảm ứng từ B . Khoảng cách giữa hai dây dẫn 13 là l, điện trở của mạch nhỏ không đáng kể. Tại thời điểm t = 0 người ta truyền cho thanh vận tốc v 0 về phía phải. Hãy tìm quy luật chuyển động x(t) của nó ? x GIẢI - Khi thanh chuyển động, từ thông qua khung dây biến thiên:   BS = Blx - Từ thông biến thiên làm xuất hiện trong khung một dòng điện cảm ứng: i =  Blx  L L - Chọn q = x là tọa độ suy rộng của thanh, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị trí cân bằng ta có: 1 - Động năng của thanh: T  mx 2 2 - Các lực tác dụng lên thanh: + Trọng lực P + Phản lực đặt lên hai đầu của thanh: N1 , N 2 + Lực từ: F  Bli - Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo  r :   A  F  P  N1  N2 r  Qx 14 B2 l 2 x Hay iBl x = Qδx  Lực suy rộng:Q = iBl =  L - Phương trình Lagrange loại II: d T T B2l2 x B2l2 x   Q  mx   x 0 dt x x L mL B2l2 - Đặt:    x  02 x  0 mL 2 0 - Nghiệm của phương trình vi phân có dạng: x = Asin  0 t     0  x  0   0 Asin   0    - Điều kiện ban đầu:  v0 A  A  cos   0 x 0  v    0 o   0  - Vậy nghiệm của dao động là: x  v0 Bl sin 0 t với 0  0 ml 2.2. Dao động cƣỡng bức của con lắc lò xo Bài toán Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu của lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo được giữ cố định. Vật nặng chuyển động dọc theo trục Ox trong môi trường có hệ số nhớt  dưới tác dụng của lực cưỡng bức hợp với phương dao động một góc  . Cho biết lò xo có khối lượng không đáng kể, lực cản của môi trường nhớt tác dụng lên vật tỉ lệ với vận tốc của vật Fc   . Hãy khảo sát đặc tính của hệ? 2.2.1. Phƣơng trình vi phân - Chọn hệ tọa độ gồm mặt phẳng xOy trùng với mặt phẳng hình vẽ (trục Ox thẳng đứng hướng xuống dưới ) và trục Oz vuông góc với mặt phẳng xOy. x  0 - Các phương trình liên kết:  y  0  Hệ có một bậc tự do, vật dao động theo trục Ox 15