Phương trình hàm với các giá trị trung bình và áp dụng

  • Số trang: 86 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 31 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NHÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NHÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Các kiến thức chuẩn bị ii 1 1.1 Hàm cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Giá trị trung bình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Tỷ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Giá trị trung bình Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange. 16 2.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương trình hàm với 3 biến tự do . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Phương trình hàm với n biến tự do . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu. 39 3.1 Các phương trình dạng Stamate . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Phương trình Kuczma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Phương trình chuyển động theo quy tắc Simpson . . . . . . . 50 3.4 Một số mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 82 MỞ ĐẦU Phương trình hàm là một chuyên đề rất khó, hay xuất hiện trong các đề thi Olympic hay đề thi HSG quốc gia, quốc tế. Tuy nhiên, chuyên đề này lại không được dạy một cách chính thống cho học sinh cũng như trong các trường sư phạm. Điều này đã gây ra khó khăn cho giáo viên khi tham gia bồi dưỡng HSG. Là một giáo viên dạy chuyên, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về phương trình hàm và chọn phương trình hàm làm luận văn thạc sĩ của mình. Phương trình hàm vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể nghiên cứu lĩnh vực nhỏ trong đó. Được sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi chọn phương trình hàm liên quan tới các đại lượng trung bình. Có 4 đại lượng trung bình cơ bản là: trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình bình phương. Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình cơ bản trên được trình bày rõ ràng và cụ thể trong tài liệu [1]. Do đó, trong luận văn của mình, tôi sẽ trình bày các phương trình hàm liên quan đến các giá trị trung bình trong giải tích là trung bình Lagrange và trung bình Pompeiu. Nội dung Luận văn gồm có 3 chương: Chương I. Những kiến thức chuẩn bị. Chương II. Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange. Chương III. Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu. Hà Nội, Ngày 2 tháng 12 năm 2014 Học viên thực hiện Lê Thị Nhàn. ii Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích của chương này là trình bày một số kiến thức nhằm chuẩn bị cho chương II và chương III, bao gồm định nghĩa hàm cộng tính, giá trị trung bình Lagrange, giá trị trung bình Pompeiu và một số tính chất của chúng. Nội dung chương này được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [1], [2], [3]. 1.1 Hàm cộng tính Định nghĩa 1.1. Hàm số f : R −→ R được gọi là hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. (1.1) Phương trình (1.1) được đề cập đầu tiên bởi A.M. Legendre (1791) và C.F. Gauss (1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người đầu tiên tìm ra nghiệm liên tục tổng quát. Định nghĩa 1.2 (Xem [1]). Hàm số f : R −→ R được gọi là hàm tuyến tính nếu nó có dạng f (x) = ax, ∀x ∈ R, trong đó, a ∈ R là hằng số tùy ý. Định lý 1.1 (Xem [8]). Cho hàm số f : R −→ R là một hàm cộng tính liên tục. Khi đó, f là một hàm tuyến tính, nghĩa là f (x) = ax, ∀x ∈ R, trong đó, a là hằng số thực tùy ý. Định lý 1.2 (Xem [8]). Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một điểm thì nó liên tục tại mọi điểm trên R. 1 Như vậy, chúng ta đã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm điều kiện liên tục về liên tục tại một điểm, các hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính gián đoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọi hàm cộng tính là liên tục và không đưa ra được một ví dụ về hàm cộng tính gián đoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người đầu tiên thành công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián đoạn (xem [8]). 1.2 Giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.3 (Định lý Lagrange). Mọi hàm f : R → R liên tục trên [x1 , x2 ], khả vi trên (x1 , x2 ), luôn tồn tại một điểm η ∈ (x1 , x2 ) sao cho f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (η). x1 − x2 (1.2) Ý nghĩa hình học của Định lý Lagrange: Nếu có cát tuyến cắt đồ thị (C) của hàm f tại hai điểm A(x1 , f (x1 )) và B(x2 , f (x2 )) thì trên đồ thị (C) tồn tại điểm C(η, f (η)), η ∈ (x1 , x2 ) sao cho tiếp tuyến tại C song song với đường thẳng AB. f (x1 ) − f (x2 ) Tỷ số được gọi là tỷ sai phân của hàm f đối với hai điểm x1 − x2 phân biệt x1 , x2 . Trong mục tiếp theo, chúng tôi tìm hiểu và trình bày một số kết quả có liên quan đến tỷ sai phân. 1.3 Tỷ sai phân Định nghĩa 1.3 (Xem [8]). Tỷ sai phân của hàm f : R → R đối với n điểm phân biệt x1 , x2 , . . . , xn được kí hiệu là f [x1 , x2 , . . . , xn ] và được xác định bởi: f [x1 ] = f (x1 ) và f [x1 , x2 , . . . , xn ] = f [x1 , x2 , . . . , xn−1 ] − f [x2 , x3 , . . . , xn ] , ∀n ≥ 2. x1 − xn 2 Theo định nghĩa trên, ta có f [x1 , x2 ] = f (x1 ) − f (x2 ) , x1 − x2 và f [x1 , x2 , x3 ] = (x3 − x2 )f (x1 ) + (x1 − x3 )f (x2 ) + (x2 − x1 )f (x3 ) . (x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) Định lý 1.4. Tỷ sai phân n- điểm của f có thể được biểu diễn thành f [x1 , x2 , . . . , xn ] = n X j=1 f (xj ) n Q , ∀n ∈ N∗ . (1.3) (xj − xk ) k=1 k6=j Chứng minh. : Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n. Với n = 1 và n = 2, ta có f [x1 ] = f (x1 ) và f (x2 ) f (x1 ) − f (x2 ) f (x1 ) + = . x1 − x2 x2 − x1 x1 − x2 Do đó, biểu thức đúng khi n = 1 và n = 2. Giả sử biểu thức đúng với n, ta cần chứng minh biểu thức đúng với n + 1. Theo định nghĩa của tỷ sai phân (Định nghĩa 1.3), ta có 1 f [x1 , x2 , . . . , xn+1 ] = (f [x1 , x2 , . . . , xn ] − f [x2 , x3 , . . . , xn+1 ]). x1 − xn+1 f [x1 , x2 ] = Theo giả thiết quy nạp, vế phải (VP) của biểu thức trên trở thành n+1 n+1 n n hX X Y Y 1 1 i 1 VP = f (xj ) − f (xj ) . x1 − xn+1 j=1 x − x x − x j k j k j=2 k=2 k=1 k6=j k6=j Phân tích n n X Y f (xj ) j=1 và n+1 X j=2 f (xj ) k=1 k6=j n+1 Y k=2 k6=j n n n Y X Y 1 1 1 = f (x1 ) + f (xj ) xj − xk x − xk j=2 x − xk k=2 1 k=1 j k6=j n n n+1 Y X Y 1 1 1 = f (xn+1 ) + f (xj ) . xj − xk x − x x − x n+1 k j k j=2 k=2 k=2 k6=j 3 Khi đó n n n X Y f (x1 ) Y 1 1 1 VP = + f (xj ) x1 − xn+1 k=2 x1 − xk x1 − xn+1 j=2 x − xk k=1 j k6=j n n n+1 X Y f (xn+1 ) Y 1 1 1 − f (xj ) − x1 − xn+1 k=2 xn+1 − xk x1 − xn+1 j=2 x − xk k=2 j k6=j n n 1 f (xn+1 ) Y 1 f (x1 ) Y + = x1 − xn+1 k=2 x1 − xk xn+1 − x1 k=2 xn+1 − xk n X + j=2 n n+1 Y 1 1 i f (xj ) h Y − x1 − xn+1 k=1 xj − xk k=2 xj − xk k6=j k6=j n+1 Y n Y 1 1 = f (x1 ) + f (xn+1 ) x − xk x − xk k=2 1 k=1 n+1 + n X j=2 n iY f (xj ) h 1 1 1 − . x1 − xn+1 xj − x1 xj − xn+1 k=2 xj − xk k6=j Mặt khác n X j=2 n iY 1 f (xj ) h 1 1 − x1 − xn+1 xj − x1 xj − xn+1 k=2 xj − xk k6=j = n X j=2 n Y f (xj ) 1 (xj − x1 )(xj − xn+1 ) k=2 xj − xk k6=j = n X j=2 f (xj ) n+1 Y k=1 k6=j 1 . xj − xk Do đó n+1 Y n n+1 n X Y Y 1 1 1 V P = f (x1 ) + + f (xn+1 ) . f (xj ) x − x x − x x − x 1 k j k n+1 k j=2 k=2 k=1 k=1 k6=j 4 Vậy ta có hệ thức f [x1 , x2 , . . . , xn+1 ] = n+1 X f (xj ) j=1 n+1 Y k=1 k6=j 1 . xj − xk Nhận xét 1.1. Vai trò của xi , i = 1, n trong định nghĩa f [x1 , x2 , . . . , xn ] là như nhau. Định lý 1.5. Giả sử f (x) = xl , l ∈ N, khi đó  0 nếu n > l + 1, f [x1 , x2 , . . . , xn ] = 1 nếu n = l + 1,  x1 + · · · + xn nếu n = l với mọi số nguyên dương n. Chứng minh. : Với f (x) = xl , l ∈ N, ta đánh giá f [x1 , x2 , . . . , xn ]. Khi n = 2, ta có f (x1 ) − f (x2 ) xl1 − xl2 f [x1 , x2 ] = = x1 − x2 x1 − x2 (x1 − x2 ) xk1 xl−1−k 2 k=0 = = l−1 P x1 − x2 l−1 X xk1 xl−1−k 2 k=0 = X xp11 xp22 , p1 +p2 =l−1 trong đó p1 , p2 là các số nguyên không âm. Khi n = 3, ta có f [x1 , x3 ] − f [x2 , x3 ] x1 − x2 P xp11 xp33 − xp22 xp33 f [x1 , x2 , x3 ] = P = p1 +p3 =l−1 p2 +p3 =l−1 x1 − x2 1 2 2 l−3 l−2 l−2 l−1 l−1 [(x1 −x2 )xl−2 3 +(x1 −x2 )x3 +· · ·+(x1 −x2 )x3 +(x1 −x2 )] x1 − x2 X X p1 p2 l−3 2 2 l−4 = xl−2 +(x +x )x +(x +x x +x )x +· · ·+ x x x + 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 = p1 +p2 =l−3 5 k1 +k2 =l−2 xk11 xk22 X = xp11 xp22 xp33 , p1 +p2 +p3 =l−2 với p1 , p2 , p3 , k1 , k2 là các số nguyên không âm. Tương tự, bằng phép quy nạp, ta có X f [x1 , x2 , . . . , xn ] = xp11 xp22 . . . xpnn , p1 +p2 +···+pn =l−n+1 trong đó p1 , p2 , . . . , pn là các số nguyên không âm. Khi đó với n = l, ta có X f [x1 , x2 , . . . , xl ] = xp11 xp22 . . . xpl l . p1 +···+pl =1 Vì p1 , p2 , . . . , pl là các số nguyên không âm nên từ p1 + · · · + pl = 1, suy ra pk = 1 và pj = 0, ∀j 6= k . Do đó ta có X xp11 xp22 . . . xpl l = p1 +···+pl =1 l X xj j=1 và như vậy f [x1 , x2 , . . . , xl ] = l X xj . j=1 Tương tự, khi n = l + 1 thì f [x1 , x2 , . . . , xl+1 ] = X p l+1 xp11 xp22 . . . xl+1 =1 p1 +···+pl+1 =0 và f [x1 , x2 , . . . , xl+2 ] = f [x1 , x2 , . . . , xl+1 ] − f [x2 , x3 , . . . , xl+2 ] = 0. x1 − xl+2 Định lý được chứng minh. Định lý 1.6. Giả sử f : R → R có đạo hàm cấp n liên tục trong đoạn [min {x0 , x1 , . . . , xn } , max {x0 , x1 , . . . , xn }]. Nếu tất cả các điểm x0 , x1 , . . . , xn là phân biệt thì f [x0 , x1 , . . . , xn ] Zt1 Z1 = dt1 0 0 tn−1 Z n   X (n) dt2 . . . f x0 + tk (xk − xk−1 ) dtn , n ≥ 1. 0 k=1 6 (1.4) Chứng minh. : Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1, biểu diễn (1.4) trở thành Z1  f 0 t1 (x1 − x0 ) + x0 dt1 , x0 6= x1 . f [x0 , x1 ] = 0 Xét tích phân Z1  f 0 t1 (x1 − x0 ) + x0 dt1 . 0 Với x0 6= x1 , đặt z = t1 (x1 − x0 ) + x0 . Khi đó dz = (x1 − x0 )dt1 hay dt1 = dz . x1 − x0 Khi t1 = 0 thì z = x0 và khi t1 = 1 thì z = x1 . Do đó, ta có Z1  f 0 t1 (x1 − x0 ) + x0 dt1 = Zx1 f 0 (z) x0 0 Rx1 = f 0 (z)dz x0 x1 − x0 = dz x1 − x0 f (x1 ) − f (x0 ) = f [x0 , x1 ]. x1 − x0 Giả sử biểu diễn (1.4) đúng với n − 1, nghĩa là f [x0 , x1 , . . . , xn−1 ] Z = 1 Z dt1 0 t1 Z dt2 . . . 0 tn−2 f (n−1) 0  x0 + n−1 X  tk (xk − xk−1 ) dtn−1 . k=1 Ta sẽ chỉ ra rằng (1.4) đúng với n. Thật vậy, đặt w = tn (xn − xn−1 ) + · · · + t1 (x1 − x0 ) + x0 . Khi đó dtn = dw , xn 6= xn−1 . xn − xn−1 7 Nếu tn = 0 thì w = w0 , với w0 = tn−1 (xn−1 − xn−2 ) + · · · + t1 (x1 − x0 ) + x0 . Tương tự, nếu tn = tn−1 , thì w = w1 , với w1 = tn−1 (xn − xn−2 ) + · · · + t1 (x1 − x0 ) + x0 . Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có Z 1 Z t1 Z tn−1 n   X (n) dt1 dt2 . . . tk (xk − xk−1 ) dtn f x0 + 0 0 1 0 t1 k=1 tn−2 f (n−1) (w1 ) − f (n−1) (w0 ) dtn−1 = dt1 dt2 . . . xn − xn−1 0 0 0 f [x0 , x1 , . . . , xn−2 , xn ] − f [x0 , x1 , . . . , xn−2 , xn−1 ] = xn − xn−1 = f [x0 , x1 , . . . , xn ]. Z Z Z Định lý 1.7 (Định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân). Cho f : [a, b] → R là một hàm giá trị thực, có đạo hàm cấp n liên tục và x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b]. Khi đó, tồn tại điểm η trong đoạn [min {x0 , x1 , . . . , xn } , max {x0 , x1 , . . . , xn }] sao cho f (n) (η) f [x0 , x1 , . . . , xn ] = . n! Chứng minh. : Vì hàm f (n) (x) liên tục trên [a, b] nên f (n) (x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b]. Đặt m = min f (n) (x) và M = max f (n) (x). Khi đó, từ biểu diễn f [x0 , x1 , . . . , xn ] dưới dạng tích phân (Định lý 1.6), ta có n Z tk−1 n Z tk−1 Y Y m dtk ≤ f [x0 , x1 , . . . , xn ] ≤ M dtk , k=1 0 k=1 8 0 với t0 = 1. Mặt khác n Z Y k=1 dtk = 0 Zt1 Z1 tk−1 dt1 0 tn−1 Z 1 dt2 . . . dtn = . n! 0 0 Suy ra m ≤ f [x0 , x1 , . . . , xn ].n! ≤ M. Tiếp tục sử dụng tính liên tục của f (n) (x), ta có n!f [x0 , x1 , . . . , xn ] = f (n) (η), với η ∈ [min {x0 , x1 , . . . , xn } , max {x0 , x1 , . . . , xn }]. Do đó f (n) (η) f [x0 , x1 , . . . , xn ] = . n! Nếu x là một số trong khoảng (a, b) thì áp dụng Định lý Lagrange trên đoạn [a, x], ta có thể chọn một số ηx ∈ (a, x) như một hàm của x (ηx phụ thuộc x) sao cho f [a, x] = f 0 (ηx ). (1.5) Phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất của giá trị trung bình ηx khi x → a+ . Xét hàm f (t) = t2 trên đoạn [1, 2]. Áp dụng Định lý Lagrange đối với hàm f trên đoạn [1, x], x ∈ (1, 2), ta có được f (x) − f (1) = f 0 (ηx ), ηx ∈ (1, x). x−1 Từ phương trình trên, ta xác định được giá trị trung bình 1 ηx = (x + 1). 2 ηx − 1 khi x → 1+ , ta có x−1 1 (x + 1) − 1 1 ηx − 1 lim+ = lim+ 2 = . x→1 x − 1 x→1 x−1 2 Ước lượng giới hạn của Tương tự, khi xét hàm f (t) = et trên đoạn [0, 2], ta có  ex − 1  , x ∈ (0, 2) ηx = ln x 9 và h 1  ex − 1 i ηx − 0 lim = lim+ ln x→0+ x − 0 x→0 x x h1  i 1 x x2 = lim+ ln 1 + + + ... = . x→0 x 2 3! 2 Qua hai ví dụ trên, ta thấy rằng khi x → a+ đối với đoạn [a, x], giá trị trung bình ηx xấp xỉ trung bình cộng của a và x. Câu hỏi đặt ra là những hàm nào thỏa mãn tính chất trên. Định lý dưới đây cho ta một câu trả lời. Định lý 1.8. Giả sử hàm f là khả vi liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp hai tại a với f 00 (a) 6= 0. Nếu ηx là giá trị trung bình trong phương trình (1.5) thì ηx − a 1 lim+ = . x→a x − a 2 Chứng minh. : Để chứng minh định lý, ta đánh giá lim+ x→a f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a) (x − a)2 bằng hai cách khác nhau. Cách thứ nhất, sử dụng Định lý Lagrange, ta có (x − a)f 0 (ηx ) − (x − a)f 0 (a) f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a) = lim+ lim x→a x→a+ (x − a)2 (x − a)2 f 0 (ηx ) − f 0 (a) = lim+ x→a x−a 0 ηx − a f (ηx ) − f 0 (a) = lim+ lim+ x→a x→a x − a ηx − a ηx − a . = f 00 (a) lim+ x→a x − a Cách thứ hai, sử dụng quy tắc L’Hospital, ta có f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a) f 0 (x) − f 0 (a) 1 00 lim = lim+ = f (a). x→a+ x→a (x − a)2 2(x − a) 2 Vì f 00 (a) 6= 0 nên từ hai cách đánh giá trên suy ra lim+ x→a ηx − a 1 = . x−a 2 Định lý được chứng minh. 10 Sử dụng kí hiệu [x1 , x2 , . . . , xn ; f (x)] để chỉ tỷ sai phân f [x1 , x2 , . . . , xn ] của f . Khi đó, theo Định lý 1.7, tồn tại η ∈ [min {x1 , x2 , . . . , xn } , max {x1 , x2 , . . . , xn }] sao cho [x1 , x2 , . . . , xn ; f (x)] = f (n−1) (η) . (n − 1)! (1.6) Xét một đoạn chứa biến [a, a + x], với 0 < x < b − a và cho 0 ≤ m1 < · · · < mn ≤ 1. Khi đó x1 = a + m1 x, x2 = a + m2 x, . . . , xn = a + mn x là n điểm phân biệt trong đoạn [a, a + x]. Nếu f : [a, b] → R là khả vi liên tục (n − 1) lần thì theo định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân n điểm của hàm f trên [a + m1 x, a + mn x], tồn tại giá trị trung bình η trong đoạn [a + m1 x, a + mn x] thỏa mãn (1.6). Để nhấn mạnh sự phụ thuộc vào biến x, ta kí hiệu giá trị trung bình đó là ηx . Ta sẽ tìm hiểu sự thay đổi của ηx khi x dần về 0. Định lý 1.9 (Công thức khai triển Taylor, phần dư dạng Peano). Giả sử rằng f là khả vi n lần tại a, khi đó tồn tại hàm ε(x) sao cho f (a + x) = n X f (k) (a) k=0 k! xk + ε(x)xn , (1.7) trong đó lim ε(x) = 0. x→0 Định lý 1.10. Giả sử f : [a, b] → R có đạo hàm cấp (n − 1) liên tục và khả vi k ≥ n lần tại a với f (i) (a) = 0, ∀i = n, . . . , (k − 1) và f (k) (a) 6= 0. Khi đó 1 ηx − a h [m1 , . . . , mn ; xk ] i k+1−n  lim (1.8) = k x→0+ x n−1 trong đó 0 ≤ m1 < · · · < mn ≤ 1, ηx là giá trị trung bình trong phương trình (1.6) đối với [a + m1 x, . . . , a + mn x; f (t)] và 0 < x < b − a. Chứng minh. : Sử dụng phương trình (1.3), ta có [a + m1 x, . . . , a + mn x; f (t)] = n X i=1 f (a + mi x) . n Q xn−1 (mi − mj ) j=1 j6=i 11 (1.9) Áp dụng Định lý 1.9, ta có f (a + mi x) = k X f (l) (a) l! l=0 (mi x)l + ε(mi x)(mi x)k , với lim+ ε(mi x) = 0. x→0 Với giả thiết f (i) (a) = 0, i = n, . . . , (k − 1) suy ra f (a + mi x) = n−1 (l) X f (a) l=0 l! (mi x)l + f (k) (a) (mi x)k + ε(mi x)(mi x)k . k! Khi đó phương trình (1.9) trở thành [a + m1 x, . . . , a + mn x; f (t)]     (k) (l) n−1   P f (a) f (a)   l k k   (mi x) + (mi x) + ε(mi x)(mi x)  n    X l! k! l=0 = n Q    n−1 i=1    x (mi − mj )     j=1   j6=i hay [a + m1 x, . . . , a + mn x; f (t)] n n−2 X f (l) (a) X = n l!x(n−1)−l i=1 Q l=0 n f (n−1) (a) X mn−1 i + n Q (n − 1)! i=1 (mi − mj ) (mi − mj ) mli j=1 j6=i j=1 j6=i n n X f (k) (a) X mki xk−(n−1) ε(mi x)xk mki + + . n n Q k! i=1 Q n−1 (mi − mj ) i=1 x (mi − mj ) j=1 j6=i j=1 j6=i Kết hợp với Định lý 1.5, ta có được [a + m1 x, . . . , a + mn x; f (t)] n n X f (n−1) (a) f (k) (a) X mki xk−(n−1) ε(mi x)xk mki + = + . (1.10) n n Q (n − 1)! k! i=1 Q (mi − mj ) i=1 xn−1 (mi − mj ) j=1 j6=i j=1 j6=i 12 Khai triển f (n−1) (x) thành một đa thức Taylor bậc k − (n − 1) với phần dư dạng Peano, ta có k−(n−1) f (n−1) (x) = X f (l+n−1) (a) (x − a)l + ε̂(x − a)(x − a)k−(n−1) , l! l=0 suy ra k−(n−1) f (n−1) X f (l+n−1) (a) (ηx ) = (ηx − a)l + ε̂(ηx − a)(ηx − a)k−(n−1) , l! l=0 với lim ε̂(ηx − a) = 0. ηx →a (i) Vì f (a) = 0, ∀i = n, . . . , (k − 1) và f (k) (a) 6= 0 nên từ phương trình trên, ta có f (k) (a) f (n−1) (ηx ) f (n−1) (a) = + (ηx − a)k−(n−1) (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)!(k − (n − 1))! (1.11) ε̂(ηx − a)(ηx − a)k−(n−1) + . (n − 1)! Kết hợp các phương trình (1.6), (1.10) và (1.11), ta có n n X f (k) (a) X mki xk−(n−1) ε(mi x)xk mki + n n Q k! i=1 Q (mi − mj ) (mi − mj ) i=1 xn−1 j=1 j6=i j=1 j6=i f (k) (a) ε̂(ηx − a)(ηx − a)k−(n−1) k−(n−1) = (ηx − a) + . (n − 1)!(k − (n − 1))! (n − 1)! Vì x > 0 và f (k) (a) 6= 0 nên ta có được f (k) (a) k! .  ηx − a x k−(n−1) = n P i=1 mki n Q + n P i=1 (mi − mj ) j=1 j6=i ε(mi x)mki n Q (mi − mj ) j=1 j6=i f (k) (a) (n−1)!(k−(n−1))! + ε̂(ηx −a) (n−1)! Mà lim ε(mi x) = 0 (i = 1, . . . , n) và lim+ ε̂(ηx − a) = 0, x→0+ x→0 13 suy ra  lim x→0+ ηx − a x k−(n−1) n (n − 1)!(k − (n − 1))! X = n Q k! i=1 mki (mi − mj ) j=1 j6=i = 1 k n−1  [m1 , . . . , mn ; xk ]. Vậy 1 ηx − a h [m1 , . . . , mn ; xk ] i k+1−n  lim = . k x→0+ x n−1 1.4 Giá trị trung bình Pompeiu Vào năm 1946, Pompeiu đưa ra một dạng biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày nay gọi định lý giá trị trung bình Pompeiu. Định lý 1.11. Với mọi hàm giá trị thực f khả vi trên một đoạn [a, b] không chứa 0 và với mọi x1 6= x2 trong [a, b], tồn tại điểm ξ thuộc (x1 , x2 ) sao cho x1 f (x2 ) − x2 f (x1 ) = f (ξ) − ξf 0 (ξ). x1 − x2 Chứng minh. : Định nghĩa hàm giá trị thực F trên đoạn [ 1b , a1 ] bởi 1 . F (t) = tf t (1.12) (1.13) Do f khả vi trên [a, b] và 0 không nằm trong [a, b], ta thấy rằng F là khả vi trên [ 1b , a1 ] và 1 1 1 0 F (t) = f − f0 . (1.14) t t t Áp dụng định lý giá trị trung bình cho F trong đoạn [x, y] ⊂ [ 1b , a1 ], ta được F (x) − F (y) = F 0 (η). x−y với η ∈ (x, y). Đặt x2 = 1 1 1 , x1 = , và ξ = . Do η ∈ (x, y), nên x y η x1 < ξ < x2 . 14 (1.15) Bây giờ, áp dụng (1.13) và (1.14) vào (1.15), ta có   1 1 1 xf x1 − yf y1 =f − f0 x−y η η η hay là x1 f (x2 ) − x2 f (x1 ) = f (ξ) − ξf 0 (ξ). x1 − x2 Định lý đã được chứng minh. Tương tự như tỷ sai phân, ta có định nghĩa sau. f {x1 } = f (x1 ), và f {x1 , x2 , . . . , xn } = xn f {x1 , x2 , . . . , xn−1 } − x1 f {x2 , x3 , . . . , xn } . x1 − xn Từ đó, ta thấy rằng f {x1 , x2 } = x2 f (x1 ) − x1 f (x2 ) x2 − x1 và f {x1 , x2 , . . . , xn } = n Y n X i=1 15 j6=i xj  f (xi ). xj − xi Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Từ biểu thức của Định lý Lagrange là f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (η), xuất hiện x1 − x2 phương trình hàm f (x) − g(y) = h(sx + ty), x−y với mọi x, y ∈ R, x 6= y và s, t là các tham số thực. Cũng theo định nghĩa tỷ sai phân, phương trình (1.2) được viết dưới dạng f [x1 , x2 ] = f 0 (η(x1 , x2 )) (2.1) (để chỉ sự phụ thuộc của η đối với x1 và x2 , ta viết f 0 (η(x1 , x2 )) thay cho f (η)). Đặt f 0 (η(x1 , x2 )) = h(x1 , x2 ), ta có phương trình hàm f [x1 , x2 ] = h(x1 , x2 ). Chương này sẽ trình bày một số bài toán phương trình hàm nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Lagrange. Các kết quả trong chương II và chương III được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [4], [5], [6], [7], [8]. 2.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do Bài toán 2.1. Tìm tất cả các hàm f, h : R → R thỏa mãn f [x, y] = h(x + y), ∀x, y ∈ R, x 6= y. 16 (2.2)
- Xem thêm -