Phương trình hàm trên lớp hàm khả vi

  • Số trang: 9 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 65 |
  • Lượt tải: 0
dinhthithuyha

Đã đăng 3359 tài liệu

Mô tả:

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM KHẢ VI Trường THPT chuyên Biên Hòa I.Kiến thức cần nhớ 1.Định nghĩa đạo hàm -Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) và x0 là một điểm thuộc khoảng f ' ( x0 )  lim đó. Khi đó, đạo hàm của hàm số tại x0 là x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 -Hàm số f(x) xác định trên khoảng K . Khi đó f(x) có đạo hàm trên K nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K - Đạo hàm bên phải của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng  x 0 , b kí hiệu là   được xác định bởi f ' x 0   = lim f ' x 0 x x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 - Đạo hàm bên tr ái của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng  a, x  0 kí hiệu là f '  x0  được xác định bởi f '  x0  = lim x  xo - Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0   f ( x )  f ( x0 ) x  x0   , f  x  và f  x  = f  x  = f ' x0 '  0 '  0 '  0 f '  x0  2. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  0x   a, b   f  x  cx   a, b (c: hằng số) 3. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  kx   a, b   f  x  kx  cx   a, b (k, c: hằng số) x 4. f '  x   g ( x)x   a, b   f ( x)  g (t ) dt  f ( a ) a với g(x) là hàm xác định và liên tục trên [a,b] II. Một số kĩ năng giải phương trình hàm trên lớp hàm khả vi. 1.Sử dụng các kết quả sau : +/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạo hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  0x   a, b   f  x  cx   a, b (c: hằng số) +/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f '  x  kx   a, b   f  x  kx  cx   a, b (k, c: hằng số) x +/ f '  x   g ( x)x   a, b  f ( x) g (t )dt  f (a) a với g(x) là hàm xác định và liên tục trên [a,b] VD1 : Tìm tất cả các hàm f,g :R+  R có đạo hàm trên R+ thỏa mãn f ' ( x )  g ( x) x ; g ' ( x )  f ( x) x x  R  Giải : Ta có [ x.( f(x) + g(x) ) ]’ = x( f’(x) + g’(x))+f(x) + g(x) g ( x) f ( x)  x x = x(   x[f(x) + g(x) ] = a  f(x) + g(x) = x a Tương tự , có x x )+f(x) + g(x) = 0 x  0 >0 ( a : hằng số) >0 (1) '  f ( x )  g ( x)    0  x x >0  f(x) –g(x) =bx x >0 (b: hằng số) (2) Từ (1)&(2)  1a  f ( x)    bx  2 x  ; 1a  g ( x)    bx   x 2 x  >0 ( a ,b là hằng số  R) VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f(x) = f’’(x) x  R Giải : Ta có f(x) = f’’(x)  f(x)- f’(x) + f’(x)- f’’(x) = 0 Đặt g(x) = f(x)- f’(x)  g(x) + g’(x) = 0  g(x) ex+ g’(x) ex = 0    ( g(x) ex)’ = 0  g(x) ex = c ( c : Hằng số) f(x)- f’(x) =c.e-x f(x)e-x - f’(x).e-x =c.e-2x    (f(x)e-x)’ = c.e-2x c f(x)e-x = - 2 e-2x +b f(x) = a.e-x +bex ( a,b: hằng số) Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f(x) = a.e-x +bex x  R x  R VD3: Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f’(x)sinx – f(x)cosx = sin2x x  R (1) Giải: Xét x  k , (k  1)  Khi đó (1)  ' f ( x)  f ( x)  x  Ck   1  sin x  sin x   f ( x)  x  C k  sin x x   k , (k  1)  Đặt g(x) = Cksinx = f(x)-x.sinx Vì f(x) có đạo hàm trên trên R nên g(x) cũng có đạo hàm trên R  g '  k    g ' k      1 k C k   1 k C k  1 k  Ck = Ck-1  f ( x )  a  x  sin x x  R k  Đặt Ck =a ( a: hằng số) k Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f ( x )  a  x  sin x x  R 2.Sử dụng định nghĩa đạo hàm VD1: Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y)=f(x) +f(y) +2xy x, y  R (1) Giải: +/ Cho x = y = 0  f(0) = 0 +/ Với y 0 .Với mỗi x R ta có f(x+y)-f(x)=f(y) +2xy Cho y  0 khi đó (2)  f ( x  y )  f ( x) f ( y )  f (0)   2x y y  f '  x   f '  0  2 x 2 x  a (2) ( với a = f’(0))  f ( x) x 2  ax  b Vì f(0) = 0 nên b=0 . Vậy f ( x) x 2  ax  f ( x) x 2  ax x  R , x  R thử lại hàm số này thỏa mãn VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( x)  f ( y) f ( x  y)  1  f ( x) f ( y ) Giải : cho y=0 Từ (1) f ( x)  f (0)  f ( x)   f ( 0 ) 1  f 2 ( x ) 0  f ( 0 ) 0 1  f ( x ) f ( 0)   f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) Cho y  0  (1) x, y  R lim 1  f 2 ( x) 1  f ( x) f ( y )  f ( y)  f ' (0) a :const y  f ( x  y )  f ( x) f ( y ) 1  f 2 ( x)  y y 1  f ( x) f ( y ) (2) (Vì f(0) = 0) y 0 Khi đó (2)  ’ 2 f (x) = a( 1+f (x))  f ' ( x) a 1  f 2 ( x) t  t f ' ( x) dx  a.dx ax  b 2  0 1  f ( x) 0  f ( x)  tan(ax  b) Thử lại  b = 0. Vậy f(x) = tan(ax) , a là hằng số bất kì x  R (*) Chú ý: Khi hàm số cần tìm chưa có đạo hàm thì ta phải chứng minh nó có đạo hàm trên tập tương ứng. VD3: Tìm tất cả các hàm f :R  R thỏa mãn f ( x)  f ( y ) 2 x y 3 x, y  R (1) Giải: Với mỗi x  R , từ (1) ta có f ( x)  f ( y ) x y  0 Cho y  x  f ( x)  f ( y)  0 x y  2 x y f ( x)  f ( y )  x y x y f ' ( x) 0  f ( x ) a :const x  R Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn. Vậy f(x) = a x  R VD4: Tìm tất cả các hàm f,g: R  R, thỏa mãn f ( y )  f ( x )  g ( x )( y  x )  M y  x m2 (1) x, y  R ( M ,m là 2 số dương cho trước) Giải: +/ Thay y = x và x= y ta có f ( x )  f ( y )  g ( y )( x  y )  M x  y m 2 (2) +/ Từ (1) và (2) ta có  g ( x)  g ( y) ( x  y) = f ( y )  f ( x )  g ( x)( y  x )  f ( x)  f ( y )  g ( y )( x  y )  f ( y )  f ( x )  g ( x )( y  x)   2M x  y f ( x )  f ( y )  g ( y )( x  y ) 2m g ( y )  g ( x) 1 m 2 M y  x y x g ( y )  g ( x)  0  g ' ( x) 0 y x Cố định x, cho y  x   + g(x) = a :=const x  R +/ Thay g(x) = a vào (1) ta có  f ( y )  f ( x)  a ( y  x)  M y  x m 2 f ( y)  f ( x) 1 m  a M y  x y x f ( y)  f ( x)  a  0 y x Cố định x, cho y  x   f ' ( x) a  f(x) = ax +b ( b : hằng số) Thử lại hai hàm số f(x) = ax + b và g(x) = a thấy thỏa mãn . Vậy f(x) = ax + b và g(x) = a x  R VD5: Tìm tất cả các hàm f :R  R thỏa mãn i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y ) ii) lim x 0 x, y  R f ( x) 1 x (1) (2) Giải: Từ (1) ta có f(x) = f((x+y)+(-y))  f(x+y) + f(-y)   f (  y )  f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) f ( y) f ( x  y)  f ( y) f ( y)     y y y Cho  y  0  f ( y ) 1  y f ( x  y)  f ( y) y y  0 lim và =1 f ( y) 1 y với y > 0 ( do (2))  f ' ( y  ) 1  Tương tự xét y < 0  Do đó f ' ( y  ) 1 f ' ( y ) 1 y  R Thử lại ta có c = 0.  f(y) = y + c ( c: hằng số) Vậy f(x) = x x  R 3.Sử dụng phưong pháp lấy đạo hàm theo từng biến VD1 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) +f(y) x, y  R Giải : Lấy đạo hàm hai vế lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x) x, y  R f’(x+y) = f’(y) x, y  R  f’(x) = f’(y) x, y  R f’(x) = a  ( a : hằng số) f(x) = ax +b  Thử lại  b = 0 . Vậy f(x) = ax x  R x  R VD2: : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) .f(y) x, y  R (1) Giải : +/ Dễ thấy f(x) = 0 là một nghiệm +/ Nếu x 0  R, f ( x 0 ) 0 Ta có f(x0) = f(x + (x0-x)) = f(x).f(x0-x) 0x  R  f(x) 0x  R Mặt khác từ (1) ta có   x  f ( x)   f      2  2 >0 x  R Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x).f(y) x, y  R f’(x+y) = f(x).f’(y) x, y  R   f’(x).f(y)= f(x).f’(y) f ' ( x) f ' ( y) = f ( y) f ( x) x, y  R x, y  R  f ' ( x) = f ( x) a:= const  [ln f ( x)]' a  f ( x ) e ax b Thử lại  b = 0. Vậy f(x) = 0 hoặc f ( x ) e ax x  R VD3: Tìm tất cả các hàm f : R  R có đạo hàm trên *  ( b: hằng số) R* thỏa mãn f(xy) = f(x) +f(y) x, y  R (1) *  x  R Giải: Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có yf’(xy) = f’(x) x, y  R* xf’(xy) = f’(y) x, y  R*  x. f ' ( x )  y. f ' ( y ) x, y  R*  x. f ' ( x ) a :=const x  R*  f ( x) a. ln x  b x  R* Thử lại  b = 0. Vậy (b:= const) f ( x ) a. ln x x  R* VD4 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) + f(y) +2xy x, y  R (1) Giải: +/ Cho x = y = 0  f(0) = 0 +/ Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x) +2y x, y  R f’(x+y) = f’(y) +2x x, y  R  f’(x) -2x = f’(y) -2y x, y  R   f’(x) -2x = a x  R ( a : hằng số) f(x) = x2 + ax +b Thử lại  b = 0 . Vậy f(x) = x2 + ax x  R VD5 : Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn  x  y  f ( y)  f ( x) f ' x, y  R; x  y  y x  2  (1) Giải: +/ Trong (1) thay x bởi x-y và y bởi x +y ta có f '  x   f ''  x   Do (2) nên f ( x  y)  f ( x  y) x, y  R; y 0 2y f ' ( x  y)  f ' ( x  y) x, y  R; y 0 2y f ' ( x  y)  f ( x  2 y )  f ( x) 2y và f ' ( x  y)   f ''  x   f ( x  2 y )  2 f ( x)  f ( x  2 y ) x, y  R; y 0 4y2  f '''  x   f ' ( x  2 y)  2 f ' ( x)  f ' ( x  2 y) 4y2 = (2) f ( x)  f ( x  y ) 2y 1  f ( x  3 y)  f ( x  y) f ( x  y)  f ( x  y) f ( x  y)  f ( x  3 y)   2   2  2y 2y 2y 4y   1 = 8 y  f ( x  3 y)  3 f ( x  y)  3 f ( x  3 Mặt khác theo (1) ta lại có và x y f ( y )  f ( x ) ( y  x ) f '    2  f ( x  y )  f ( x  y ) 2 yf '  x  Thay vào (3)  f’’’(x) = 0 x  R  f’’(x) = a x  R  f’(x) = ax+b f(x) = (3) f ( x  3 y )  f ( x  3 y ) 6 yf '  x    y )  f ( x  3 y  x, y  R; y 0 x  R 1 2 ax  bx  c x  R 2 Thử lại thỏa mãn . vậy f(x) = 1 2 ax  bx  c x  R 2 III. Bài tập rèn luyện Bài 1 . Cho h > 0 . Tìm tất cả các hàm f :R  R thỏa mãn f ( x  h)  f ( x  h)  h 2 x  R Bài 2. Tìm hàm f(x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f(x+y) +f(x-y) = 2 f(x) f(y) x, y  R Bài 3. Cho n là một số tụ nhiên . Tìm hàm f(x) không âm , có đạo hàm trên R thỏa mãn  xn  yn f  2  2 2    f ( x)  f ( y )  2  Bài 4. a/Cho f :R  R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f’’(x) + k2f(x) = 0 x  R , CMR: f(x) = Acos kx + B sinkx k>0 x  R , k>0 ,( A,B: hằng số) b/ Cho f :R  R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f’’(x) - k2f(x) = 0 x  R , k>0 CMR: f(x) = Aekx+ B e-kx x  R , k>0 ,( A,B: hằng số) Bài 5. Cho  >0 . Tìm tất cả các hàm f :R  R có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( x)  f ( y )  f ' x  1    y  x, y  R x y Bài 6. Tìm f :R  R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f(x) = - f’’(x) x  R Bài 7.Cho hàm f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp 2 trên R thỏa mãn f '  x 1 x  R CMR: x  R sao cho f’’(x) = 0 Bài 8: Cho 2 hàm f(x) và g(x) khác hằng số và có đạo hàm trên R thỏa mãn f’(0) =0 và i) f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) ii) g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y) CMR : f2(x) + g2(x) = 1 x  R x, y  R x, y  R
- Xem thêm -