Tài liệu Phương trình hàm Schroder, Abel và một số áp dụng liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÔNG BẮC PHƯƠNG TRÌNH HÀM SCHRÖDER, ABEL VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2012 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho bản luận văn của tác giả. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Hà nội, tháng 09 năm 2012 2 Mục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các ký hiệu và quy ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Phương trình hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. Phương trình hàm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Dãy các xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Định lý Banach - Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Các ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Các chuỗi liên hợp hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.Nghiệm của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lồi (lõm) của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liên tục của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . khả vi của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . giải tích của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 17 20 25 26 Chương 2. Phương trình Schröder và Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.Phương trình Schröder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm đơn điệu của phương trình Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lồi của phương trình Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . khả vi của phương trình Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trơn của phương trình Schröder trong RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . giải tích của phương trình Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.Phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Nghiệm lồi của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Nghiệm khả vi của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Nghiệm giải tích của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 30 32 33 36 36 37 40 Chương 3. Một số áp dụng liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.Các nghiệm chính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.Hệ tiền Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1. Hệ tương đương và các hàm tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 47 MỤC LỤC 3.2.2. Sự tương đương của phương trình Schröder và hệ tiền Schröder . . . . . . . . . . . . 3.3.Hệ Schröder-Abel và các phương trình kết hợp . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết hợp các phương trình Schröder và Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sự tồn tại của các phần tử sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nghiệm của hệ Abel – Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.Hệ Abel và các phương trình vi phân có lệch . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Hệ các phương trình Abel đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.Hệ Schröder và đặc tính của chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Đặc tính của các chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Hệ các phương trình Schröder đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.Các chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. 3.6.2. 3.6.3. 3.6.4. 48 49 49 51 52 54 57 57 60 61 61 62 64 Nghiệm của hệ tiền Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các tự đẳng cấu tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Định lý 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các phương trình vi phân có lệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 65 65 66 3.6.5. Áp dụng định lý 3.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.6. Định lý 3.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.7. Hệ phương trình Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.8. Phương trình Schröder, Abel và phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.9. Nửa nhóm các xấp xỉ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.10. Các phương trình Abel đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 67 67 67 68 69 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 Các ký hiệu và quy ước * * * * * N - tập các số nguyên dương. N0 = N ∪ {0} - tập các số tự nhiên. R = [−∞; + ∞] - tập các số thực mở rộng. R+ = [0, + ∞) - tập các số thực không âm. x = (ξ1 , ...., ξn ) ∈ K n thì chuẩn của x là chuẩn Euclide v u n uX 2 |x| = t |ξi | i=1 * Với ma trận A ∈ K m×n thì chuẩn của A chính là chuẩn của toán tử tuyến tính tương ứng tức là kAk = sup |Ax| . |x|=1 * * * * * cl(A) - bao đóng của tập A. int(A) - phần trong của tập A. [0, a| là ký hiệu chung cho [0, a] và [0, a), chú ý |a, ∞| luôn là |a, ∞). F(X, Y ) là họ các ánh xạ từ X vào Y, F(X) = F(X, X). C r (X, Y ), r ∈ N0 là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp r từ X vào Y, C r (X) = C r (X, X), r ∈ N , C(X, Y ) = C 0 (X, Y ), C(X) = C 0 (X, X). * Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian mêtric thì ta nói dãy hàm fn : X → Y, n ∈ N hội tụ hầu đều (hội tụ a.u) tới hàm f : X → Y trên X nếu nó hội tụ đều tới f trên mọi tập con compact của X. * Ký hiệu f∗ dùng để ký hiệu cho logit(f ) (xem mục 1.1.5). * LAS là viết tắt của "nghiệm giải tích địa phương". * FPS là viết tắt của "chuỗi lũy thừa hình thức". 5 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phương trình tuyến tính để phục vụ cho việc nghiên cứu phương trình Schröder và phương trình Abel ở chương sau. Về tổng thể chương này gồm hai phần: ♦ Phần 1: Các khái niệm và kiến thức liên quan. ♦ Phần 2: Nghiệm của phương trình tuyến tính. Ở phần 1, ta nhắc lại một số khái niệm và một số kết quả sẽ được dùng trong phần 2 như: dãy các xấp xỉ liên tiếp, tập Siegel, khái niệm liên hợp trên các ánh xạ và các tính chất của nó. Ở phần 2, ta trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình tuyến tính tổng quát và phương trình tuyến tính thuần nhất đực biệt là tính chính quy nghiệm của phương trình tuyến tính tổng quát. Tính chính quy nghiệm bao gồm các tính chất của nghiệm như: tính liên tục nghiệm, tính khả vi của nghiệm, tính trơn của nghiệm và một số tính chất khác. 1.1. Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1. Phương trình hàm tuyến tính tổng quát Phương trình hàm tổng quát có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f1 (x)) , ............, ϕ (fn (x))) = 0 trong đó ϕ là hàm chưa biết (hàm ẩn) và các hàm còn lại là các hàm đã cho, chỉ số n ở trong phương trình được gọi là bậc của phương trình. Như vậy, phương trình hàm bậc 1 có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f (x))) = 0 6 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Phương trình hàm tuyến tính tổng quát là phương trình hàm có dạng: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.1) trong đó ϕ là hàm chưa biết và f và g là các hàm đã cho. Trong trường hợp đặc biệt khi h ≡ 0 thì (1.1) trở thành: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) (1.2) (1.2) được gọi là phương trình hàm tuyến tính thuần nhất tổng quát. Hầu hết các phương trình tuyến tính quan trọng đều thuộc phương trình Schröder và phương trình Abel. Phương trình Schröder là phương trình có dạng: σ(f (x)) = s.σ(x) (1.3) trong đó s là một thừa số vô hướng. Phương trình Abel là phương trình có dạng: α(f (x)) = α(x) + A (1.4) trong đó A 6= 0 là một phần tử cố định thuộc miền giá trị của α (do tính tuyến tính của phương trình nên ta thường xét trường hợp A = 1). Dễ dàng thấy rằng nếu ϕ và σ là các nghiệm của (1.2) thì kϕ + lσ, k, l = const cũng là một nghiệm của (1.2). Như vậy, nếu (1.2) có nghiệm thì nó có rất nhiều nghiệm, các nghiệm này tạo thành từng họ nghiệm ở đó các nghiệm trong cùng một họ sẽ sai khác một hằng số nhân. 1.1.2. Dãy các xấp xỉ liên tiếp Xét F(X) là tập hợp tất cả các tự ánh xạ của một tập X cho trước, do toán tử hợp 0 ◦0 có tính chất kết hợp trên F(X) nên (F(X), ◦) là một nửa nhóm với phần tử đơn vị idX . Các luỹ thừa f n , n ∈ N với f là một phần tử của F(X) được gọi là dãy xấp xỉ liên tiếp của f . Định lí 1.1.1. Cho X là không gian tôpô Hausdorff và f : X → X là một hàm có các f n liên tục. Nếu với một x ∈ X mà dãy (f n (x))n∈N hội tụ tới x0 ∈ X thì x0 là điểm cố định của f . Cho X là một không gian tôpô và f : X → X là một hàm bất kỳ. Gọi x0 là một điểm cố định của f . Tập hợp n o Af (x0 ) = x ∈ X : lim f n (x) = x0 n→∞ 7 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị được gọi là miền hút của x0 . Một điểm cố định x0 của f được gọi là hút nếu thoả mãn x0 ∈ int Af (x0 ). Như vậy, điểm cố định hút lôi cuốn về phía nó các xấp xỉ liên tiếp của mọi điểm thuộc lân cận của nó. Định lý sau trích từ Fatou [12], Barna [2] Định lí 1.1.2. Cho f là một tự ánh xạ liên tục của không gian tôpô X và cho x0 ∈ X là một điểm cố định của f . Khi đó
(a) f Af (x0 ) ⊂ Af (x0 ) (b) Af (x0 ) là một tập mở nếu x0 là hút. Xét giả thiết X = [0; a] với 0 < a ≤ ∞ (1.5) Định lí 1.1.3. Giả sử ta (1.5) có và với mọi f : X → X là hàm nửa liên tục trên bên phải. Nếu f (x) < x; ∀x ∈ X\ {0} (1.6) thì với mọi x ∈ X , dãy (f n (x))n∈N là dãy giảm và lim f n (x) = 0. (1.7) n→+∞ Hơn thế, nếu 0 < f (x) < x với ∀x ∈ X\ {0} thì ∀x ∈ X\ {0}, dãy {fn (x)}n∈N là dãy giảm nghiêm ngặt. Chứng minh. Do tính nửa liên tục trên bên phải của f cùng với (1.6) ngụ ý rằng f (0) = 0. Vì vậy, f (x) ≤ x; ∀x ∈ X ⇒ f n+1 (x) = f (f n (x) ≤ f n (x); ∀x ∈ X . Nếu chúng ta có l = lim f n (x) > 0, với x ∈ X thì l = lim f n+1 (x) = lim f n (x)) ≤ n→∞ x→∞ x→∞ f (l) < l là một mâu thuẫn vì vậy ta có (1.7). Tính giảm nghiêm ngặt là hiển nhiên. Định lí 1.1.4. Giả sử với (1.5) và xét một không gian mêtric (T, ρ). Giả sử rằng ánh xạ f : X×T → X liên tục và f (x, t) < x, ∀(x, t) ∈ {X\{0}}×T . Đặt gt (x) = f (x, t), (x, t) ∈ X × T thì dãy (gtn (x))n∈N tiến tới 0 hầu đều đối với (x, t) ∈ X × T . Định lí 1.1.5. Cho X là một tập con đóng của KN chứa gốc. Xét ánh xạ liên tục f : X → X sao cho |f (x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0}. Khi đó, sự hội tụ của (1.7) là hầu đều trên X. 8 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Xét các giả thiết sau: (i) f là một ánh xạ từ đoạn thực X = [0, a] vào chính nó với 0 < a ≤ ∞. (ii) f (x) = x (s + p(x)) , x ∈ X với s ∈ [0, 1] , 0 < p(x) + s < 1, x ∈ X và lim p(x) = 0. x→0 Bổ đề 1.1.6. Cho (xn )n∈N0 và (yn )n∈N0 là hai dãy số dương và s ∈ (0, 1) sao cho cả hai dãy với − s, qn = yn+1 các số hạng pn = xxn+1 yn − s, n ∈ N0 đều tiến tới 0 khi n → ∞. Nếu n pn , qn ∈ (−s, 1 − s), n ∈ N0 và ∞ X |pn − qn | < ∞ (1.8) n=1 thì xn tồn tại và thuộc (0, ∞) n→∞ yn lim (1.9) Hơn nữa, nếu hiệu pn − qn , n ∈ N0 có dấu không đổi thì từ (1.9) suy ra (1.8) Định nghĩa 1.1.7. Chúng ta ký hiệu R là họ các hàm đo được r : X → R+ sao cho Zδ r(x) dx < ∞, δ ∈ (0, a) x 0 và với mọi α ∈ (0, 1) tồn tại β ∈ (1, ∞) sao cho hoặc r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.10) r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.11) hoặc Định lí 1.1.8. Với các giả thiết (i) và (ii), nếu f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p(x) = O(r(x)) khi x → 0 với r ∈ R thì với mọi x ∈ X\{0} giới hạn f n (x) lim n→∞ sn tồn tại và thuộc khoảng (0, ∞). 9 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Định lí 1.1.9. Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn, f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p là hàm đơn điệu thì với mọi x ∈ X tồn tại giới hạn: f n (x) n→∞ sn ϕ(x) = lim và hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ = ∞ hoặc ϕ ∈ (0, ∞) với mọi x ∈ X . Trường hợp cuối cùng Rδ xảy ra khi và chỉ khi p(x) x dx hội tụ với δ ∈ (0, a). 0 Định lí 1.1.10. Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn với s = 1, f là hàm liên tục và
1 lim sup − xt p(x) = C ∈ (0, ∞) x→0
(tương ứng lim inf − x1t p(x) = c ∈ (0, ∞)) x→0 thì với mọi d > C (tương ứng 0 < d < c) và với mọi x ∈ X\ {0} chúng ta có:
1 1/t n f (x) ≥ (tương ứng dtn n f (x) ≤
1 1/t ) dtn với n ∈ N đủ lớn. Hơn nữa, nếu f là hàm tăng thì với trường hợp sau bất đẳng thức f n (x) ≤ (dtn)−1/t đúng đều với z ∈ X ∩ [0, x]. 1.1.3. Định lý Banach - Schauder Định lí 1.1.11. Cho f là một tự ánh xạ của một không gian metric đầy đủ (X, ρ) và ρ (f (x), f (y)) ≤ θ.ρ(x, y), x, y ∈ X với θ ∈ (0, 1). Khi đó, f có đúng một điểm cố định x0 ∈ X , hơn nữa miền hút của x0 trùng với X. Định lí 1.1.12. Cho X là một tập không rỗng, lồi và compact trong một không gian Banach, khi đó mọi tự ánh xạ liên tục trên X đều có một điểm cố định. 1.1.4. Các ánh xạ liên hợp Chúng ta xét phương trình liên hợp: ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) 10 (1.12) Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Các ánh xạ f : X → X và g : Y → Y được gọi là liên hợp nếu tồn tại nghiệm song ánh ϕ : X → Y của phương trình (1.12). Có một trường hợp quan trọng của phương trình (1.12) (khi X và Y là các tập con của KN ) đó là phương trình Schröder: σ(f (x)) = S.σ(x) Ở đó S ∈ KN xN (1.13) và phương trình Abel: α (f (x)) = α(x) + A, A ∈ KN (1.14) thể hiện rằng f liên hợp với một hàm tuyến tính g(y) = S.y (với phương trình (1.14) là g(y) = y + A và với phương trình Bottcher: β (f (x)) = [β(x)]p (1.15) ứng với g(y) = y p và N = 1. Các phương trình (1.13) và (1.15) được coi như các hàm giao hoán dạng: ϕ (f (x)) = f (ϕ(x)) (1.16) Các tính chất của quan hệ liên hợp Xét phương trình: ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) (1.17) Trong rất nhiều trường hợp ta chỉ cần thực hiện biến đổi f thành g chỉ cục bộ trong một lân cận của điểm ξ ∈ X (thường là một điểm cố định của f ). Sau đó chúng ta tìm nghiệm khả nghịch cục bộ của (1.17). Giả sử X là một lân cận của ξ = 0 ∈ KN (không mất tính tổng quát chúng ta luôn luôn có thể đặt ξ tại gốc toạ độ) thì ϕ : X → X sẽ là khả nghịch địa phương quanh gốc O nếu: detϕ0 (0) 6= 0 (1.18) Hơn nữa, để giữ lại điểm cố định ξ = 0 của f , chúng ta giả sử ϕ(0) = 0 (1.19) Chúng ta giới thiệu khái niệm liên hợp trơn: Định nghĩa 1.1.13. Các hàm f : X → X và g : X → X (ở đó X là một lân cận của gốc trong KN ) được gọi là các hàm C r – liên hợp (tương ứng A – liên hợp) nếu tồn tại một hàm ϕ, có đạo hàm xác định và liên tục tới cấp r ≥ 1 (tương ứng xác định và giải tích) trong một lân cận của gốc trong RN ( tương ứng CN ) thoả mãn (1.18) và (1.19) và sao cho (1.17) đúng trong một lân cận của gốc. 11 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Mỗi hàm trong lớp các hàm ở định nghĩa 1.1.13 tạo thành một nhóm dưới phép toán trên các hàm thành phần. Nó kéo theo rằng mỗi quan hệ liên hợp là một quan hệ bắc cầu. Vì thế, nếu f và g cùng liên hợp với hàm h : X → Y thì chúng sẽ liên hợp với nhau. Định lí 1.1.14. Cho X là một lân cận của gốc trong KN và cho các hàm f : X → X và g : X → X khả vi tại 0, f (0) = 0, g(0) = 0. Nếu f và g hoặc C r – liên hợp hoặc A – liên hợp thì ma trận f 0 (0) và g 0 (0) cũng liên hợp, vì thế chúng có cùng dạng Jordan chuẩn tắc. Chứng minh. Đạo hàm hai vế (1.17) chúng ta được: ϕ0 (f (x)).f 0 (x) = g 0 (ϕ(x)).ϕ0 (x) Vì thế khi thay x = 0 theo (1.18) ta có: f 0 (0) = C −1 .g 0 (0).C Ở đó C = ϕ0 (0) điều này có nghĩa là các ma trận f 0 (0) và g 0 (0) liên hợp. 1.1.5. Các chuỗi liên hợp hình thức Hai chuỗi luỹ thừa hình thức phức (FPSs) f và g được gọi là liên hợp hình thức nếu tồn tại một FPS ϕ khả nghịch sao cho ϕ ◦ f = g ◦ f (nói cách khác f = ϕ−1 ◦ g ◦ ϕ). Nếu ba chuỗi này có bán kính hội tụ dương thì f và g được gọi là liên hợp giải tích. Định lí 1.1.15. Nếu f là một FPS có dạng: f (x) = x + ∞ X bn xn , bm 6= 0, m ≥ 2 (1.20) n=m thì phương trình Julia: λ(f (x)) = f 0 (x).λ(x) (1.21) Có nghiệm hình thức duy nhất dạng: m λ0 (x) = bm x + ∞ X cn x n (1.22) m+1 nghiệm tổng quát của (1.21) được cho bởi λ(x) = c.λ0 (x), ở đó c là hằng số bất kỳ. 12 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.16. (1) FPS λ0 cho bởi công thức (1.22) được gọi là logarit lặp của FPS f cho bởi (1.20) và được ký hiệu bởi f∗ hoặc logit(f ). (2) Số m − 1 (trong (1.22)) được gọi là giá trị lặp của f , Ký hiệu: valit(f ). (3) Hệ số của x−1 trong khai triển Laurent hình thức của 1/f∗ hoặc hệ số của xm−1 trong FPS của 1/f0 được gọi là số dư lặp của f ký hiệu là resit(f ), trong đó f∗ (x) = xm f0 (x). 1.2. Nghiệm của phương trình tuyến tính 1.2.1. Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính Xét phương trình: (1.23) ϕ ( f (x)) = g(x).ϕ(x) với các giả thiết sau: (i) X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ (ii) f : X → X là hàm tăng, liên tục và 0 < f (0) < x trên X. (iii) g : X → R là hàm dương trên X. Bổ đề 1.2.1. Nếu giả thiết (i) → (iii) được thoả mãn và ϕ : X → R là một nghiệm của phương trình (1.23) thì hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ > 0 hoặc ϕ < 0. Chứng minh. Giả sử ϕ(x0 ) = 0; x0 ∈ X theo (1.23) ta có ϕ(f n (x0 )) = 0; ∀n ∈ N0 , do ϕ là đơn điệu nên nó triệt tiêu trong đoạn [0; x0 ] tức là f n (x0 ) → 0 khi n → +∞ (xem định lý 1.1.3). Hơn nữa, ϕ(x1 ) 6= 0 với x1 ∈ X , x1 > 0 sẽ ngụ ý (theo phương trình (1.23)) rằng ϕ(f n (x1 )) = 0; ∀n ∈ N0 nhưng điều này là không thể vì lim f n (x1 ) = 0. Vì n→∞ vậy, ϕ = 0 hoặc ϕ 6= 0 trên X, từ g > 0 ⇒ ϕ có dấu không đổi với mọi dãy f n (x), x ∈ X . Từ tính đơn điệu suy ra ϕ giữ nguyên dấu trên toàn bộ X. Định lí 1.2.2. Với các giả thiết (i) → (iii) và: inf g(x) = 1 x∈X (1.24) thì hai nghiệm bất kỳ ϕ1 , ϕ2 của phương trình (1.23) sẽ sai khác một hằng số. 13 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Chứng minh. Cho ϕ1 , và ϕ2 là các nghiệm đơn điệu của (1.23), bổ đề 1.2.1 chỉ ra rằng nếu ϕ2 là không đồng nhất bằng 0 trên x thì nó sẽ âm hoặc dương trên x. * Nếu ϕ2 = 0 thì ϕ2 = 0.ϕ1 ⇒ định lý đúng. * Nếu ϕ2 6= 0 thì do ϕ là nghiệm của (1.23) thì −ϕ cũng là nghiệm ⇒ chúng ta có thể giả sử rằng ϕ1 và ϕ2 cùng dương trên X. Hơn nữa (1.24) ngụ ý rằng g ≥ 1 trên X do vậy ϕ1 và ϕ2 là giảm trên X. Đặt ω = ϕϕ12 thì ω : X → R và thỏa mãn phương trình: (1.25) ω (f (x)) = ω(x) Với mọi x0 ∈ X đặt X0 = [f (x0 ) , x0 ]. Theo tính đơn điệu của ϕ1 và ϕ2 chúng ta có ∀x0 ∈ X : 0< ϕ1 (x0 ) ϕ1 (f (x0 )) ≤ ω(x) ≤ <∞ ϕ2 (f (x0 )) ϕ2 (f (x0 )) ⇒ k > 0 và K < ∞ ⇒ để chứng minh định lý ta sẽ chỉ ra k = K . Giả sử k > K ta lấy hằng số c sao cho 1 < c2 < Kk . Theo (1.24) có thể chọn x0 ∈ X sao cho g(x0 ) < c ⇒ ∀u, v ∈ X 0 , u < v ta có: ω(v) ϕ1 (v).ϕ2 (u) ϕ2 (u) ϕ2 (f (x0 )) = ≤ ≤ = g(x0 ) < c ω(u) ϕ1 (u).ϕ2 (v) ϕ2 (v) ϕ2 (x0 ) (1.26) Lấy v = f (x0 ), theo (1.25) ta có: 1 ω (x0 ) = Sup R u∈X0 Với u = x0 ta có: Vì thế K k  ω(x0 ) ω(u)  ≤c K ω(v) = Sup ≤C ω(x0 ) v∈X0 ω(x0 ) ≤ C 2 và do đó ϕ1 = kϕ2 . Định lí 1.2.3. Với giả thiết (i) → (iii) và lim g (f n (x)) = 1 n→∞ (1.27) Nếu ϕ : X → R là một nghiệm đơn điệu của phương trình (1.23) thì: ∞ Y g(f n (x0 )) Gn (x0 ) ϕ(x) = c. lim = c. n→∞ Gn (x) g(f n (x)) n=0 ở đó x0 ∈ X là 1 điểm cố định tùy ý và c = ϕ(x0 ). 14 (1.28) Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Chứng minh. Ta có: * Nếu ϕ = 0 thì (1.28) đúng với c = 0. * Nếu ϕ 6= 0 thì theo bổ đề 1.2.1 thì ϕ không đổi dấu trên X. Giả sử ϕ là dương và tăng (trong trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự) lấy x tùy ý trong X, từ (1.23) theo quy nạp ta có ϕ (f n (x)) = Gn (x)ϕ(x), n ∈ N (1.29) Đặt y = max(x0 , x), từ f n (y) & 0 (định lý 1.1.3) tồn tại m ∈ N sao cho x0 , x ∈ [f m (y), y]. Theo tính đơn điệu của ϕ và (1.29) ta có:
m−1 Y
ϕ f m+n (y) ϕ (f n (x)) n n+i g f Gm (f (y)) = (y) = i=0 ϕ (f (y)) ≤ ≤ ϕ (f n (x0 )) ϕ (f n (y)) = [Gm (f n (y))]−1 ϕ (f n+m (y)) Từ (1.27) khi n → ∞ ta có: ϕ (f n (x)) = 1; ∀x ∈ X n→∞ ϕ (f n (x0 )) lim (1.30) Dùng (1.29) cho x và x0 theo (1.30) chúng ta thu được (1.28) với c = ϕ(x0 ). Định lí 1.2.4. Với giả thiết (i) → (iii) và nếu hàm g đơn điệu và (1.31) lim g(x) = 1 x→0 thì phương trình (1.23) có duy nhất một họ nghiệm đơn điệu ϕ : X → R Các nghiệm này cho bởi công thức (1.28) ở đó x0 ∈ X là một điểm cố định bất kỳ và c ∈ R là một hằng số bất kỳ (tham số). Chứng minh. Chúng ta giả sử rằng g là hàm tăng (trong trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự). Chúng ta phải chứng minh dãy trong (1.28) hội tụ. Cố định x0 ∈ X bất kỳ, lấy một x ∈ X bất kỳ và đặt y = max(x0 ; x), khi đó tồn tại m ∈ N sao cho x0 , x ∈ [f m (y), y]. Vì thế f n (x0 ), f n (x) ∈ [f n+m (y), f n (y)] với n ∈ N0 và g(f n+m (y)) g(f n (y)) ≤ g(f n (x0 )) g(f n (x)) ≤ 15 g(f n (y)) g(f n+m (y)) với n ∈ N0 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Vì thế ∞ g(y)...g(f m−1 (y)) g(f k+1 (y))....g(f k+m (y)) Y g(f n (x0 )) ≤ ≤ g(y)...g(f m−1 (y)) g(f n (x)) g(f k+1 (y))....g(f k+m (y)) n=0 0) bị chặn với k ≥ m. Từ (1.31) suy ra (1.27), dãy có số hạng tổng quát GGnn(x (x) trên và bị chặn dưới bởi các hằng số dương. Hơn nữa, dãy này đơn điệu, từ g (f n (x0 )) /g (f n (x)) ≥ 1 (hoặc ≤) với mọi n ∈ N0 kéo theo x0 ≥ x (hoặc x0 ≤ x). Do đó tích hữu hạn trong (1.28) hội tụ ∀x ∈ X . Với c ∈ R công thức (1.28) xác định một hàm (không tầm thường trừ khi c=0). Ta có ϕ : X → R và ϕ là đơn điệu do g đơn điệu và f là hàm tăng. Dễ dàng kiểm tra được rằng ϕ thoả mãn phương trình (1.23). Tính duy nhất của nó có được từ định lý 1.2.3. Xét phương trình: ϕ(f (x)) = ϕ(x) + h(x) (1.32) Ở đó (iv) h : X → R là một hàm số, với các giả thiết (i), (ii), và (iv) ta có các định lý sau: Định lí 1.2.5. Nếu inf h = 0 hoặc sup h = 0 thì hai nghiệm đơn điệu bất kỳ của phương trình X X (1.32) trên X sai khác nhau một hằng số. Định lí 1.2.6. Cho lim h(f n (x)) = 0; ∀x ∈ X ; nếu ϕ : X → R là một nghiệm đơn điệu của n→∞ (1.32) thì: ϕ(x) = c − ∞ X [h(f n (x)) − h(f n (x0 ))] (1.33) n=0 x0 ∈ X là một điểm cố định tuỳ ý và c = ϕ(x0 ) là một hằng số. Định lí 1.2.7. Nếu hàm h đơn điệu và lim h(x) = 0 thì phương trình (1.32) có một họ nghiệm x→0 đơn điệu duy nhất ϕ : X → R, chúng được cho bởi công thức (1.33) ở đó x0 ∈ X cố định bất kỳ và c ∈ R là một hằng số bất kỳ (tham số). Xét phương trình tuyến tính tổng quát: ϕ(f (x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) 16 (1.34) Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Định lí 1.2.8. Với giả thiết (i) → (iv) và cho g, h là các hàm tăng. Hơn nữa, giả sử có điều kiện (1.31) và   h(f n (x)) = 0; ∀x ∈ X (1.35) lim n→∞ Gn+1 (x) thì ∀x0 ∈ X tồn tại họ nghiệm ϕ : X → R của phương trình (1.34) là các hàm không âm và giảm trên [0; x0 ], các nghiệm này cho bởi công thức:  ∞  X h(f n (x0 )) h(f n (x) ϕ(x) = c.ϕ0 (x) + ϕ0 (x) − (1.36) n=0 Gn+1 (x0 ) Gn+1 (x) Ở đó ϕ0 (x) = lim [Gn (x0 )/Gn (x)] và c ≥ 0 là một tham số. n→+∞ Chứng minh. Chúng ta sẽ tìm các nghiệm của (1.34) dưới dạng tích của các hàm thoả mãn các phương trình (1.23) và (1.32). Từ lập luận trong chứng minh của định lý 1.2.4 chỉ ra rằng hàm ϕ0 là nghiệm dương giảm của phương trình (1.23). Xét hàm b h : X → R xác định bởi b h(x) = h(x)/ϕ0 (f (x)). Vì vậy, b h là hàm tăng trên X và chúng ta có theo (1.35) và (1.29) (với ϕ được thay thế bởi ϕ0 ): h(f n (x)) ϕ0 (x) = 0 lim b h(f n (x)) = lim n→+∞ n→+∞ Gn+1 (x) Với mọi x ∈ X , hàm ∞ h i X b ϕ b(x) = c − h(f n (x)) − b h(f n (x0 )) (1.37) n=0 là một nghiệm đơn điệu của phương trình: ϕ b(f (x)) = ϕb(x) + b h(x) Theo định lý 1.2.7, dễ dàng thấy rằng với c ≥ 0, ϕb là hàm giảm và không âm trên (0; x0 ]. Vì vậy, hàm ϕ(x) = ϕ0 (x).ϕ b(x) thoả mãn phương trình (1.34) và là hàm không âm, giảm trên (0; x0 ]. Công thức (1.36) thu được từ (1.37) và (1.29) (với ϕ được thay thế bởi ϕ0 ). 1.2.2. Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính Xét phương trình: (1.38) ϕ(f (x)) = ϕ(x) + h(x) Chúng ta giả sử rằng: (i) X = (0; a] , 0 < a ≤ ∞ (ii) f : X → X là lõm và tăng nghiêm ngặt, 0 < f (x) < x trên X và lim [f (x)/x] = 1. x→0 17 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Bổ đề 1.2.9. Nếu các giả thiết (i) – (ii) được thỏa mãn thì: f n+1 (x) − f n (x) = 1; ∀x, y ∈ X x→∞ f n+1 (y) − f n (y) (1.39) lim Chứng minh. Chúng ta giả sử y ≤ x, để đơn giản các ký hiệu ta đặt: xn = f n (x); yn = f n (y), n ∈ N (1.40) ⇒ xn → 0 (định lý 1.1.3). Vì vậy tồn tại k ∈ N sao cho xk ≤ y ≤ x. Từ f là hàm lõm ta có: 0 f+ (xn ) ≤ 0 f (xn+1 ) − f (xn ) ≤ f+ (xn + 1), x ∈ N xn+1 − xn 0 0 Ở đó f+ là đạo hàm bên phải. Điều kiện (ii) ngụ ý rằng lim f+ (x) = 1, nên chúng x→0 ta được: k−1 Y f (xn+i+1 ) − f (xn+i ) f (xn+k ) − xn+k =1 (1.41) = lim lim n→∞ f (xn ) − xn n→∞ i=0 xn+i+1 − xn+i (nhớ rằng f (xp ) = xp+1 ), điều kiện (ii) cũng ngụ ý rằng x → f (x) − x là một hàm âm và giảm trên X. Từ xn ≤ yn ≤ xn+k chúng ta có: 1≤ f (xn ) − xn f (xn ) − xn ≤ , ∀n ∈ N f (yn ) − yn f (xn+k ) − xn+k Và (1.39) thu được từ (1.41) và (1.40). Chúng ta thêm giả thiết: (iii) h : X → R là hàm tăng và lõm (giảm và lồi) trên X và tồn tại giới hạn L := lim h(x) với 0 ≤ L < ∞ (−∞ < L ≤ 0). x→0 Định lí 1.2.10. Nếu các giả thiết (i) → (iii) được thoả mãn thì phương trình (1.38) có một họ nghiệm duy nhất lồi (lõm) ϕ : X → R được cho bởi công thức: ϕ(x) = c − ∞ X [h(f n (x)) − h(f n (x0 ))] + Lα(x, x0 ) (1.42) n=0 ở đó x0 ∈ X là phần tử bất kỳ cố định và c ∈ R là tham số. Chứng minh. Chúng ta ký hiệu: xn = f n (x), n ∈ N, zn = f n (x0 ), n ∈ N0 18 (1.43) Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Theo định lý 1.2.7 các chuỗi (xem (1.33) và (1.43)) ϕb(x) = ∞ P ∞ P [h(xn ) − h(zn )] = n=0 [(h(xn ) − L) − (h(zn ) − L)] hội tụ trong X và tổng của chúng thoả mãn phương n=0 trình: ϕ b(f (x)) = ϕb(x) + (h(x) − L) Vì vậy, ứng dụng bổ đề 2.2.1 hàm ϕ cho bởi (1.42) tồn tại và thoả mãn phương trình (1.38) trên X. Nó kéo theo từ (1.42) và từ tính chất của f và h mà ϕ là hàm lồi (tương ứng lõm) trên X. Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằng ϕ : X → R là một hàm lồi thoả mãn phương trình (1.38). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nó cho bởi công thức (1.42) ứng với một giá trị c nào đó. Cố định một x0 ∈ X và lấy x ∈ [f (x0 ), x0 ) thì zn+1 ≤ xn < zn , n ∈ N và từ quan hệ tăng của ϕ đối với điểm (zn , ϕ(zn )) ta có: ϕ(zn+1 ) − ϕ(zn ) ϕ(xn ) − ϕ(zn ) h(zn ) = ≤ zn+1 − zn zn+1 − zn xn − zn tương tự: ϕ(zn ) − ϕ(zn−1 ) ϕ(xn ) − ϕ(zn ) h(zn−1 ) = ≥ zn − zn−1 zn − zn−1 xn − zn Vì thế chúng ta thu được xn − zn h(zn−1 ) ≤ ϕ(xn ) − ϕ(zn ) ≤ αn (x, x0 )h(zn ) zn − zn−1 (1.44) Từ zn → 0 theo (2.20) và (iii) thì biểu thức vế phải của (1.44) tiến tới Lα(x, x0 ) khi n → ∞. Giới hạn đó cũng đạt được ở bên vế trái của (1.44). Theo (1.43) và (2.20) chúng ta có (với y = f −1 (x0 )) f n+1 (x0 ) − f n (x0 ) xn − zn = αn (x, x0 ) n+1 zn − zn−1 f (y) − f n (y) áp dụng bổ đề 1.2.9 và 2.2.1, trong (1.44) và (1.43) cho n → ∞ ta có: lim [ϕ(f n (x)) − ϕ(f n (x0 ))] = Lα(x, x0 ) (1.45) n→∞ Từ (1.38) chúng ta được: n n ϕ (f (x)) − ϕ (f (x0 )) = ϕ(x) − ϕ(x0 ) + n−1 X  h f i (x) − h f i (x0 )

 (1.46) i=0 Nhưng (1.46), (1.45) thực chất là (1.42) với c = ϕ(x0 ) và ϕ xác định duy nhất (sai khác một hằng số) trong [f (x0 ), x0 ) và vì thế theo (1.46) nó cũng đúng trên toàn bộ X. 19 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Xét phương trình thuần nhất: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) (1.47) Với các giả thiết: (i) X = (0, a|, 0 < a ≤ ∞. (ii) f : X → X hliên itục, tăng và 0 < f (x) < x trong X, hàm x → f (x)/x đơn điệu = s, 0 < s < 1. trên X và lim f (x) x x→0 (iii) g : X → R là hàm dương, liên tục, đơn điệu trên X và thoả mãn lim g(x) = x→0 g0 , 0 < g0 < ∞. Hệ quả 1.2.11. Với các giả thiết (i)-(iii) và g0 = 1 mọi nghiệm dương đơn điệu ϕ : X → R của phương trình (1.47) là các hàm thay đổi chậm. 1.2.3. Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính Định lí 1.2.12. Cho X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K. Giả sử rằng các hàm f : X → X , g : X → K, h : X → Y liên tục trên X, f là hàm tăng nghiêm ngặt, 0 < f (x) < x trên X và g(x) 6= 0 trên X. Nếu x0 ∈ X là một điểm bất kỳ cố định và X0 = [f (x0 ); x0 ] thì với mọi hàm ϕ0 : X0 → Y thoả mãn điều kiện: ϕ0 (f (x0 )) = g(x0 ).ϕ0 (x0 ) + h(x0 ) (1.48) Có thể mở rộng duy nhất lên X tới một nghiệm ϕ : X → Y của phương trình: ϕ(f (x)) = g(x).ϕ(x) + h(x) (1.49) Vì vậy, ϕ là liên tục trên X nếu ϕ0 liên tục trên X0 . Xét phương trình: ϕ(f (x)) = g(x).ϕ(x) (1.50) Với các giả thiết: (i) X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K. (ii) Các hàm f : X → X , g : X → K liên tục trên X. Hơn thế 0 < f (x) < x và g(x) 6= 0 trên X\{0}. (iii) f tăng nghiêm ngặt trên X. Sử dụng phép quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng nếu ϕ : X → Y là nghiệm của phương trình (1.50) thì: ϕ(f n (x)) = Gn (x).ϕ(x), x ∈ X, n ∈ N (1.51) 20