Tài liệu Phương trình hàm đa thức

LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng xu thế hội nhập thế giới, đưa kinh tế Việt Nam lên một tầm cao mới, giáo dục Việt Nam cũng phải có những biến chuyển mạnh mẽ nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để có thể đào tạo ra một lớp người lao động: “tự chủ, năng động, sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề do thực tiễn đặt ra, tự lo liệu việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”. Trong số rất nhiều nội dung phải thay đổi thì không thể không nói đến nội dung đổi mới phương pháp dạy học. Để thực hiện được nhiệm vụ này, mỗi giáo viên phải trang bị cho mình một cái nhìn tổng thể, toàn diện và sâu sắc về nội dung chương trình. Vì vậy, việc nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa với mỗi giáo viên là một trong những việc rất cần thiết. Trong luận văn này, tôi xin được phép trình bày những nghiên cứu của bản thân về mảng tri thức liên quan đến parabol trong chương trình toán phổ thông như là một tài liệu để phục vụ cho công tác giảng dạy sau này. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn Trần Mạnh Sâm 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Parabol đã trở thành một mảng kiến thức trọng tâm của chương trình lớp 10, học sinh sẽ gặp parabol trong cả Đại số và Hình học. Vấn đề là liệu học sinh khi gặp một bài toán về parabol sẽ áp dụng kiến thức được học như thế nào? Để rèn luyện các kỹ năng toán học, nâng cao khả năng sáng tạo và linh hoạt trong tư duy cho học sinh đòi hỏi giáo viên phải giảng dạy đảm bảo tính logic, hợp lý và tính sư phạm cao để học sinh có thể lĩnh hội tri thức dễ dàng. Do đó, tôi chọn đề tài “Một số tính chất của parabol và ứng dụng” với mục đích tìm hiểu lịch sử hình thành và một số kiến thức liên quan đến parabol để áp dụng vào việc giảng dạy nội dung parabol trong chương trình phổ thông. Từ đó, giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức parabol. 2. Mục đích nghiên cứu: Parabol là một phần kiến thức cơ bản của hình học nói chung và của hình sơ cấp nói riêng. Trong luận văn này tôi đề cập đến một số vấn đề như mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức parabol; phương trình của parabol; tiếp tuyến và ứng dụng của parabol nhằm phục vụ cho việc học tập và giảng dạy hình học theo chương trình giáo dục phổ thông hiện hành của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Các vấn đề liên quan đến parabol như phương trình của parabol; tiếp tuyến và ứng dụng của parabol 4. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu: Nghiên cứu lịch sử của parabol trong mối quan hệ với lịch sử ra đời của các đường conic. Quan điểm Đại số về các đường conic. 2 Thang Long University Library Chương 1 TỔNG QUAN 1.1. Lịch sử ra đời của parabol Các đường conic là một chủ đề toán học được nghiên cứu một cách có hệ thống và triệt để. Những đường conic được phát hiện bởi Menaechmus (người Hy Lạp, 375 – 325 năm trước Công nguyên), từng là giám hộ cho Alexander the Great. Những đường conic được phôi thai trong nỗ lực giải 3 bài toán nổi tiếng: chia một góc cho trước thành ba góc bằng nhau, gấp đôi khối lập phương và phép cầu phương vòng tròn. Những đường conic được định nghĩa lần đầu tiên như là sự giao nhau của một hình nón tròn xoay hai tầng có góc ở đỉnh với một mặt phẳng vuông góc với đường sinh của hình nón, tùy thuộc vào góc nhỏ, bằng, hay lớn hơn 900 mà chúng ta có đường elip, parabol, hay hypebol tương ứng. Appollonius (262 – 190 năm trước Công nguyên) – được biết đến như một nhà hình học vĩ đại – đã củng cố và mở rộng những kết quả trước đó về những đường conic trong chuyên khảo "Conic Sections" (Thiết diện conic), gồm 8 tập sách với 487 định đề. Morris Kline đã nhận xét: “Conic Sections của Appollonius là một thành tựu quá vĩ đại, nó hầu như đã là một đề tài khép kín đối với các nhà tư tưởng sau này, ít nhất là từ quan điểm thuần túy hình học”. Tập thứ VIII của “Conic Sections” đã bị thất lạc. “Conic Sections” của Appollonius và “Elements” của Euclid có thể được xem là tinh hoa của nền toán học Hy Lạp. Appollonius cũng là người đặt tên elip, hypebol và parabol. Một bản giải thích tóm tắt về việc đặt tên có thể được tìm thấy trong “Howard Eves” – một tác phẩm giới thiệu về lịch sử toán học. Trong Renaissance, những quy luật chuyển động của hành tinh của Kepler, tọa độ hình học của Descarte và Fermat và những công trình hình học xạ ảnh ban đầu của Desargues, La Hire, Pascal đã mở rộng những đường conic lên một cấp độ cao. Nhiều nhà toán học 3 sau này cũng đóng góp vào sự phát triển của đường conic, đặt biệt là sự phát triển của hình học xạ ảnh là lĩnh vực mà những đường conic là đối tượng cơ bản như hình tròn trong hình học Hy Lạp. Trong số những người đóng góp phải kể đến Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, và Steiner. Thiết diện conic là một đề tài kinh điển đã thúc đẩy nhiều sự phát triển trong lịch sử toán học. 1.2. Quan điểm đại số về các đường conic Trong tọa độ Đềcac, các đường conic thỏa mãn phương trình bậc hai có dạng: ax 2  bxy  cy2  dx  ey  f  0 trong đó a, b, c, d, e và f là các hằng số; a, b, b là các số khác 0. Khi chúng ta thay đổi một vài trong các hằng số này thì hình dạng tương ứng của đường conic sẽ thay đổi theo. Vì vậy, tập trung chú ý vào những sự thay đổi này trong các phương trình đại số khi nghiên cứu từng đường conic là một điều quan trọng. Việc chúng ta biết được sự khác biệt trong các phương trình sẽ giúp chúng ta xác định một cách nhanh chóng loại đường conic được biểu diễn bằng phương trình đã cho. Có lẽ chúng ta đã làm việc nhiều với những phương trình như vậy, mặc dù có thể không nhận ra nó ở góc độ liên quan đến các đường conic. Nếu b2 - 4ac < 0 thì phương trình biểu diễn một elip (trừ trường hợp a = b và c = 0) Nếu b2 - 4ac = 0 thì phương trình biểu diễn một parabol. Nếu a2 - 4ac > 0 thì phương trình biểu diễn một hypebol. Nếu có thêm điều kiện a + c = 0, phương trình biểu diễn một hypebol đều. Thay đổi hệ trục tọa độ, ta có thể đưa các phương trình của các đường conic về dạng chính tắc. x2 y2 x2 y2 Elip: 2  2  1 ; 2  2  1 ; Parabol: y 2  2 px ; Hypebol: b a a b x2 y2 y2 x2   1 hay . a2 b2 a2 b2 4 Thang Long University Library 1.3. Nói về Parabol Thuật ngữ “parabol” xuất phát từ từ “parabole” của tiếng Hy Lạp. Parabol có thể được xem như là elip với một tiêu điểm ở vô cực. Điều này có nghĩa là các tia sáng song song cùng chiếu vào một chiếc gương hình parabol sẽ gặp nhau tại một điểm. Người ta kể rằng: Archimedes đã sử dụng gương hình parabol trong chiến tranh. Suốt thời kỳ bao vây thành phố Syracuse (214 - 212 năm trước Công nguyên) bởi những người La Mã, Archimedes đã xây dựng các gương phản chiếu làm từ những tấm kim loại ghép theo hình dạng của parabol. Những tấm kim loại được dùng để hội tụ những tia nắng mặt trời vào tàu của người La Mã, và làm chúng bốc cháy. Menaechmus tìm thấy parabol trong khi đang thử tìm một hình vuông có diện tích bằng hai lần diện tích của hình vuông đã cho. Euclid đã viết về parabol và Apollonius (200 năm trước Công nguyên) đã đưa ra đường cong này cùng với tên của nó. Pascal đã xem đường cong này là hình chiếu của một hình tròn. Luca Valerio (người Ý) đã xác định diện tích của một parabol vào năm 1606; được gọi là phép cầu phương của parabol. Nhưng Archimedes là người đầu tiên tìm ra giá trị của diện tích này trong tác phẩm "Quadrature of a Parabola" của ông. Cuối thời Trung cổ, súng đại bác được dùng ở chiến trường. Bởi vậy, việc dự đoán vị trí chính xác đích của những viên đạn bắn ra là rất quan trọng. Nhiều nhà khoa học cố tìm câu trả lời cho câu hỏi này và Galileo Galilei là người đầu tiên tìm ra mối quan hệ. Đó là quỹ đạo của đạn bắn ra khi bỏ qua hiệu ứng của sự ma sát thì có dạng của một parabol. Một parabol có thể được vẽ trên hệ trục tọa độ Oxy dựa vào phương trình của nó. Parabol là một trong những đường cong conic được tạo nên bởi việc giao của một hình nón tròn xoay và một mặt phẳng. Parabol được tạo nên khi mặt 5 phẳng song song với một đường thẳng được vẽ trên bề mặt xiên của hình nón từ đỉnh của hình nón tới đáy của nó. Một parabol là tập hợp của tất cả những điểm mà khoảng cách tới mọt đường thẳng cố định (được gọi là đường chuẩn) và một điểm cố định – không nằm trên đường chuẩn – (được gọi là tiêu điểm) là bằng nhau. Còn một vài thuật ngữ khác tồn tại trong mối quan hệ với parabol. Điểm thuộc parabol, nằm giữa tiêu điểm và đường chuẩn của parabol được gọi là đỉnh và đường thẳng đi qua tiêu điểm và đỉnh được gọi là trục của parabol. 6 Thang Long University Library Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH PARABOL 2.1. Định nghĩa 2.1.1. Định nghĩa parabol Trong toán học, parabol là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn). Hình 2.1. Khái niệm parabol Trường hợp đặc biệt xảy ra khi mặt phẳng cắt tiếp xúc với mặt conic. Trong trường hợp này, giao tuyến sẽ suy biến thành một đường thẳng. Parabol là một khái niệm quan trọng trong toán học trừu tượng. Tuy nhiên, nó cũng được bắt gặp với tần suất cao trong thế giới vật lý và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý, và các lĩnh vực khác. Một parabol cũng có thể được định nghĩa là một đường conic với tâm sai bằng 1. Là một kết quả của định nghĩa này, các parabol đều đồng dạng. Một 7 parabol có thể được dựng bằng cách tìm giới hạn của một chuỗi elip trong đó một tiêu điểm, được giữ cố định, trong khi tiêu điểm kia được di chuyển ra xa. Với nghĩa này, một parabol có thể được coi là một elip với một tiêu điểm ở vô hạn. Parabol là một ảnh nghịch đảo của một cardioid (đường hình tim). Một parabol chỉ có một trục đối xứng duy nhất, đi qua tiêu điểm và vuông góc với đường chuẩn của nó. Giao điểm của trục này và parabol được gọi là đỉnh của parabol. Một parabol quanh xung quanh trục của nó trong không gian ba chiều sẽ tạo ra một hình tròn xoay, gọi là một paraboloid. Bảng 2.1. Các khái niệm cơ bản về Parabol Đường chuẩn là đường thẳng cố định mà những điểm thuộc parabol luôn cách đều đường thẳng này và một điểm cố định là điểm cố định mà những điểm thuộc parabol Tiêu điểm luôn cách đều điểm này và một đường thẳng cố định Dây cung Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên parabol. Tiếp tuyến Đường thẳng nằm ngoài và tiếp xúc với parabol tại đúng một điểm. Cát tuyến Đường thẳng đi ngang qua parabol và cắt parabol tại hai điểm phân biệt. 8 Thang Long University Library 2.1.2. Quan hệ với các đường cônic Các đường cônic (bao gồm đường tròn, elip, parabol, hypebol) đã được biết từ 200 năm trước Công nguyên và Apollonius là người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống các tính chất của chúng. Trong tự nhiên, các đường cônic có một vai trò rất quan trọng, vì chúng là mô hình cho nhiều quá trình vật lý xảy ra trong tự nhiên. Có thể chỉ ra rằng một vật thể bất kỳ dưới tác động của lực hấp dẫn phải có qũy đạo là một đường cônic. Các thiên thể hút lẫn nhau với lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch vơi bình phương khoảng cách giữa chúng. Vì thế qũy đạo của các thiên thể là các đường cônic. Quĩ đạo của các hạt điện tích cũng là các đường cônic. Như vậy, từ thế giới vĩ mô đến thế giới vi mô, các đường cônic xuất hiện trong tự nhiên. Elip Parabol Hypebol Hình 2.2 Thiết diện cônic Đường cônic có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. a) Định nghĩa hình học Các đường tròn, elip, parabol hay hypebol có tên gọi chung là thiết diện cônic hay đường cônic. Đường côníc là giao tuyến giữa một mặt nón tròn xoay hai tầng với một mặt phẳng, theo các góc nghiêng khác nhau (xem Hình 2.2). + Khi giao của mặt nón và mặt phẳng là một đường cong khép kín, tức là mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh và không song song với đường sinh nào, thì 9 ta có thiết diện là một elip, trường hợp riêng là một đường tròn khi mặt phẳng nằm ngang cắt mặt nón, nhưng không đi qua đỉnh của nón. + Khi mặt phẳng song song với một đường sinh của mặt nón, đường côníc nhận được là một parabol. + Cuối cùng, khi mặt phẳng cắt cả hai mặt nón có chung đỉnh sẽ tạo nên hai đường cong tách biệt, gọi là hypebol. b) Định nghĩa dựa trên tiêu điểm và đường chuẩn Trong mặt phẳng cho điểm cố định F và đường thẳng cố định L không đi qua F. Ký hiệu Q là chân đường vuông góc hạ từ P tới L. Tập hợp các điểm P sao cho tỉ số PF/PQ bằng một số dương e cho trước được gọi là đường cônic. Điểm F gọi là tiêu điểm, L gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai hay độ lệch tâm của đường cônic. Từ định nghĩa trên có thể thấy: o Elip là đường cônic tâm sai e < 1 (Hình 2.3 a). o Para bôn là đqường cônic tâm sai e = 1 (Hình 2.3 b). o Hypebôn là đường cônic tâm sai e > 1 (Hình 2.3 c). a) b) c) Hình 2.3. Tiêu điểm và đường chuẩn của đường cônic Đối với elip và hypebol, có hai cặp "tiêu điểm - đường chuẩn". Các cặp này tạo nên một elip hoặc hypebol hoàn chỉnh, đồng thời chúng tạo ra tâm đối xứng (trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm). Theo đó, elip và hypebol còn có thể định nghĩa theo một cách khác mà parabol không thể định nghĩa theo cách đó được. Đó là 10 Thang Long University Library  Elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a (hằng số), trong đó F1 và F2 là hai tiêu điểm.  Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho |MF1 - MF2| = 2a (hằng số), trong đó F1 và F2 là hai tiêu điểm. Với định nghĩa này, parabôn có thể xem như dạng suy biến của elip khi tiêu điểm thứ hai bị đẩy ra xa vô tận. Cũng vậy, đường tròn xem như dạng suy biến của elip khi hai tiêu điểm gộp lại thành một. • Dạng suy biến của đường cônic Theo định nghĩa hình học, có một số dạng suy biến khác nhau của đường cônic, trong đó có trường hợp mặt phẳng đi qua đỉnh của nón. Giao tuyến trong trường hợp này có thể là một đường thẳng (khi mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón); một điểm (khi góc tạo bởi mặt phẳng với trục của nón lớn hơn góc tạo bởi mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón) hoặc một cặp đường thẳng cắt nhau (khi góc đó nhỏ hơn). c) Định nghĩa đại số Các đường cônic còn có thể xem như tập nghiệm của phương trình bậc 2 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0. Ký hiệu a b d a b  = b c e,= = ac - b2, S = a + e. b c d e f Các đại lượng này không thay đổi khi tịnh tiến gốc tọa độ và quay hệ trục tọa độ, nghĩa là sau khi biến đổi tọa độ phương trình đường cong có dạng a'x2 + 2b'xy + c'y2 + 2d'x + 2e'y + f' = 0 thì các giá trị ,  và S, tính theo các hệ số mới, giữ nguyên các giá trị ban đầu. Dạng của đường cong biểu diễn bởi phương trình bậc hai được xác định như sau (xem Bảng 2.2): 11 - Trường hợp  ≠ 0: 1. Elip khi  > 0: a) elip thực nếu .S < 0; b) elip ảo nếu .S > 0. 2. Hypebol khi  < 0. 3. Parabol khi  = 0. - Trường hợp  = 0: Cặp đường thẳng (song song, cắt nhau hay ảo). Bảng 2.2 Các đường cong bậc hai (thiết diện cônic)   ≠0 <0 hypebol ≠0 =0 parabol ≠0 >0 .S < 0 elip thực ≠0 >0 .S > 0 elip ảo =0 <0 hai đường thẳng cắt nhau =0 >0 điểm =0 =0 d2 - af < 0 hai đường thẳng song song ảo =0 =0 d2 - af = 0 hai đường thẳng trùng nhau =0 =0 d2 - af > 0 hai đường thẳng song song tách biệt Dạng đường cônic S 2.2. Cách vẽ Parabol Dây B M F  C A 12 Thang Long University Library Hình 2.4. Vẽ đường cong parabol Sử dụng định nghĩa, chúng ta có thể vẽ ra một parabol với thiết bị khá đơn giản gồm: một thước thẳng, một thước tam giác vuông (Êke ABC), một sợi dây không đàn hồi có độ dài bằng AB, một đinh ghim và một cây bút chì. Băng thước thẳng dọc theo đường , buộc một đầu dây vào điểm F và đầu kia vào đỉnh B của êke. Đặt êke sao cho cạnh AC nằm trên , lấy đầu bút chì ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ cang sợi dây rồi cho cạnh AC của êke trượt trên . Vì MF luôn luôn bằng MA, nên đầu bút chì M sẽ vạch lên một phần Parabol với đường chuẩn  và tiêu điểm F 2.3. Phương trình Parabol 2.3.1. Phương trình chính tắc Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn . Kẻ FP vuông góc với , P  . Đặt FP = p (tham số tiêu). Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của FP và điểm F nằm p   p  trên tia Ox. Như vậy ta có F   ; 0  ; P    ; 0  và phương trình của đường 2   2  thẳng  là x  p  0. 2 Hình 2.5. Phương trình chính tắc của parabol 13 Điểm M(x, y) nằm trên parabol đã cho khi và chỉ khi khoảng cách MF bằng 2  p p 2 khoảng cách từ M đến , tức là:  x    y  x  . 2 2  Bình phương 2 vế của đẳng thức rồi rút gọn, ta được y2 = 2px (p > 0). (*) Phương trình (*) gọi là phương trình chính tắc của parabol. Bây giờ, ta thay đổi phương trình chính tắc của parabol ta thu được thêm 3 loại parabol sinh ra từ sự thay đổi đó. y2 = 2px, p < 0 x2 = 2py, p > 0 x2 = 2py, p < 0 Hình 2.6. Các dạng parabol khác nhau Vì vậy, chúng ta thấy rằng có 4 hướng khác nhau của parabol: Biến nào là biến bậc hai (x hay y); p là số âm hay số dương. Ví dụ 2.1. Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau: a) y2 = 4x; b) y2 = - x/12; c) x2 = 6y; d) x2 = - y. Lời giải a) y2 = 4x = 2.2x ⇒ p = 2. Khi đó parabol có đỉnh O(0; 0), tiêu điểm F(1; 0), phương trình đường chuẩn x + 1 = 0. b) y2 = - x/12 = 2(- 1/24)x ⇒ p = - 1/24. Khi đó parabol có đỉnh O(0; 0), tiêu điểm F(- 1/48, 0), phương trình đường chuẩn : x - 1/48 = 0. 14 Thang Long University Library c) x2 = 6y = 2.3y ⇒ p = 3. Khi đó parabol có đỉnh O(0; 0), tiêu điểm F(0, 3/2), phương trình đường chuẩn : y + 3/2 = 0. d) x2 = - y = 2(- 1/2)y ⇒ p = - 1/2. Khi đó parabol có đỉnh O(0; 0), tiêu điểm F(0, - 1/4), phương trình đường chuẩn : y - 1/4 = 0. Ví dụ 2.2. Vẽ các parabol sau: a) y2 = 4x; b) y2 = x/2; c) x2 = 6y; d) x2 = - y. Lời giải a) y2 = 4x. Hình 2.7 a 2 b) y  x 2 Hình 2.7 b 15 c) x 2  6y Hình 2.7 c 2 d) x   y Hình 2.7 d Ví dụ 2.3. Viết phương trình chính tắc của parabol a) Có tiêu điểm F(5; 0) b) Điểm M(54; - 7) thuộc (P) c) Có tham số tiêu p  1 42 3 d) Đường chuẩn là trục đẳng phương của 2 đường tròn C  : x 1 2  y 2  2 x  6 y  2  0 và  C2  : x2  y 2  x  6 y  7  0 e) Có đỉnh O(0; 0), trục đối xứng Oy và đi qua điểm A(8; - 14) f) Có đỉnh O(0; 0), trục đối xứng trùng với trục tọa độ và chắn trên đường thẳng d : x  1 một dây cung AB = 16. 3 Lời giải 16 Thang Long University Library a) Có tiêu điểm F(5; 0)  p  5  p  10  Phương trình chính tắc của 2 (P) : y 2  20 x b) Điểm M(54; -7) thuộc (P) Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là (P) : y 2  2 px . Do (P) đi qua M(54; -7) nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình (P), ta có phương trình: (P) :  7   2 p.54  p  (P) : y 2  216 x 49 2 c) Ta có tham số tiêu p  108  Phương 49 1 42 3 trình 1    Phương trình chính tắc của (P) : y  2  3 1  2  chính 1 3 1  tắc của 3 1 2  3 +1 x d) Đường chuẩn là trục đẳng phương của 2 đường tròn C  : x 1 2   2 2  y 2  2 x  6 y  2  0 và C2 : x  y  x  6 y  7  0 2 2  x  y  2x  6 y  2  0  3x  9  0  x  3 Xét hệ phương trinh  2 2 x  y  x  6 y  7  0    Trục đẳng phương của 2 đường tròn trên là x = -3 cũng là đường chuẩn của parabol (P) nên tham số tiêu p = 6  Phương trình chính tắc của (P) : y 2  12 x e) Có đỉnh O(0; 0), trục đối xứng Ox và đi qua điểm A(8; -14) Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là (P) : y 2  2 px . Do (P) đi qua A(8; -14) nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình (P), ta có phương trình: (P) :  14   2 p.8  p  2 49 49 2 x  Phương trình chính tắc của (P) : y  2 4 17 f) Có đỉnh O(0; 0), trục đối xứng Ox và chắn trên đường thẳng d : x  1 một 3 dây cung AB  16 Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là (P) : y 2  2 px . Do tính đối AB  Ox  AB  2 y A  16  y A  8 , do A  d  x A  1 3 AB  16 xứng của (P) nên từ  Điểm A thuộc (P) nên tọa độ A thỏa mãn phương trình 1 2 (P)  8  2p.  p  96  Phương trình chính tắc của (P) : y 2  192 x 3 2.3.2. Các phương trình hình giải tích khác của parabol a) Trong hệ tọa độ Descartes: - Một parabol với trục đối xứng song song với trục Oy và có đỉnh S(h; k), tiêu điểm F(h; k + p) và đường chuẩn : y = k - p, với p là khoảng cách từ đỉnh 2 tới tiêu điểm, sẽ có phương trình như sau: (x  h)  4p(y  k) Ta có thể biến đổi phương trình trên về dạng: y  a(x  h)2  k  y  ax 2  bx  c , b 4ac  b 1 h h2 ; k a  ; b  ; c   k; h  trong đó: . 2a 4a 4p 2p 4p 2 - Một parabol với trục đối xứng song song với trục Ox và có đỉnh S(h; k), tiêu điểm F(h + p; k) và đường chuẩn : x = h - p, với p là khoảng cách từ đỉnh 2 tới tiêu điểm, sẽ có phương trình như sau: (y  k)  4p(x  h) Ta có thể biến đổi phương trinhg trên về dạng: x  a(y  k)2  h  x  ay 2  by  c 4ac  b2 b 1 k k2 ; k trong đó: a  ; b  ; c   h; h  . 4a 2a 4p 2p 4p 18 Thang Long University Library Tổng quát hơn, một parabol là một đường cong trên mặt phẳng Decartes định nghĩa bởi phương trình tối giản có dạng ax2  bxy  cy2  dx  ey  f  0 , 2 trong đó b  4ac . Phương trình được gọi là tối giản nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng tích hai phương trình tuyến tính (không nhất thiết khác nhau). Ví dụ 2.4. Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau 2 a) y  x  1 ; b) y  x2  4x  3 ; c) y  x2  4x ; d) y  x2  3x  2 . Lời giải - Một parabol với trục đối xứng song song với trục Oy và có đỉnh S(h; k), tiêu điểm F(h; k + p) và đường chuẩn : y = k - p, với p là khoảng cách từ đỉnh 2 tới tiêu điểm, sẽ có phương trình như như sau: (x  h)  4p(y  k) 2 a) y  x  1   x  0   4. 2 1 1 y   1  h  0; p  ; k  1 4 4   Khi đó parabol có trục đối xứng song song với Oy và có đỉnh S(0; -1), tiêu 5   điểm F  0;  3  và đường chuẩn  : y   4 4   2 b) y  x  4x  3   x  2   4. 2 1 1 y   1  h  2; p  ; k  1 4 4   Khi đó parabol có trục đối xứng song song với Oy và có đỉnh S(2; -1), tiêu 5  3 điểm F  2;   và đường chuẩn  : y   4 4    1 1 2 2 c) y  x  4x  x  4x  4  4.     y  4   h  2; p   ; k  4 4  4 19 Khi đó parabol có trục đối xứng song song với Oy và có đỉnh S(2; 4), tiêu 17  15  điểm F  2;  và đường chuẩn  : y  4  4 2   1  9 1 3 1 d) y  x  3x  2  x  3x   y    x    4    y   4 4 2 4   4  2 2 3 1 1  h  ;p   ;k  2 4 4 3 1 Khi đó parabol có trục đối xứng song song với Oy và có đỉnh S  ;  , tiêu 2 4 1 3  điểm F  ; 0  và đường chuẩn  : y  2 2  Ví dụ 2.5. Vẽ các parabol sau: a) y  x 2  4x Hình 2.8 a 2 b) y  x  3x  2 20 Thang Long University Library