Tài liệu Phương trình đẳng cấp

CHÖÔNG VI: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d Caù c h giaû i : π • Tìm nghieäm u = + kπ ( luùc ñoù cos u = 0 vaø sin u = ±1) 2 • Chia hai veá phöông trình cho cos2 u ≠ 0 ta ñöôïc phöông trình : ( atg 2u + btgu + c = d 1 + tg 2u ) Ñaët t = tgu ta coù phöông trình : ( a − d ) t 2 + bt + c − d = 0 Giaû i phöông trình tìm ñöôï c t = tgu Baø i 127 : Giaû i phöông trình cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin2 x ( *) Vì cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n Chia hai veá cuû a (*) cho cos2 ≠ 0 ta ñöôï c ( *) ⇔ 1 − 2 3tgx = 1 + tg 2 x + tg 2 x ( ) Ñaë t t = tgx ta coù phöông trình : 2t2 + 2 3t = 0 ⇔ t = 0∨ t = − 3 Vaä y ( * ) ⇔ tgx = 0 hay tgx = − 3 ⇔ x = kπ hay x = − π + kπ, k ∈ 3 Baø i 128 : Giaû i phöông trình cos3 x − 4 sin 3 x − 3 cos x sin 2 x + sin x = 0 ( *) π + kπ thì cos x = 0 vaø sin x = ±1 2 thì (*) voâ nghieä m • Do cos x = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá cuû a (*) cho cos 3x ta coù (*) ⇔ 1 − 4tg 3 x − 3tg 2 x + tgx (1 + tg 2 x ) = 0 • Khi x = ⇔ 3tg 3 x + 3tg 2 x − tgx − 1 = 0 ( ) ⇔ ( tgx + 1) 3tg 2 x − 1 = 0 3 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 6 ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± Baø i 129 : Giaû i phöông trình 3 cos4 x − 4 sin 2 x cos2 x + sin 4 x = 0 ( * ) Do cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá cuû a (*) cho cos4 x ≠ 0 Ta coù : (*) ⇔ 3 − 4tg 2 x + tg 4 x = 0 ⇔ tg 2 x = 1 ∨ tg 2 x = 3 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⇔ tgx = ±1 = tg ⎜ ± ⎟ ∨ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ π π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 3 Baø i 130 : Giaû i phöông trình sin 2x + 2tgx = 3 ( * ) Chia hai veá cuû a (*) cho cos2 x ≠ 0 ta ñöôï c 2 sin x cos x 2tgx 3 + = (*) ⇔ 2 2 cos x cos x cos2 x ⇔ 2tgx + 2tgx 1 + tg 2 x = 3 1 + tg 2 x ( ) ( ) ⎧t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩2t − 3t + 4t − 3 = 0 ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) 2t − t + 3 = 0 ⇔ tgx = 1 ( ⇔x= ) π + kπ, k ∈ 4 Baø i 131 : Giaû i phöông trình sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x ( * ) ( *) ⇔ 2 sin2 x cos x + 3sin x − 4 sin3 x = 6 cos3 x • Khi cos x = 0 ( sin x = ± 1 ) thì ( * ) voâ nghieäm • Chia hai veá phöông trình (*) cho cos3 x ≠ 0 ta ñöôï c 2sin2 x 3sin x 1 sin3 x + . − 4 =6 cos2 x cos x cos2 x cos3 x ⇔ 2tg 2 x + 3tgx 1 + tg 2 x − 4tg 3 x = 6 ( *) ⇔ ( ) ⇔ tg 3 x − 2tg 2 x − 3tgx + 6 = 0 ( ) ⇔ ( tgx − 2 ) tg 2 x − 3 = 0 ⇔ tgx = 2 = tgα ∨ tgx = ± 3 ⇔ x = α + kπ ∨ x = ± π + kπ, k ∈ ( vôùi tgα = 2) 3 Baø i 132 : (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2003) Giaû i phöông trình cos 2x 1 cot gx − 1 = + sin2 x − sin 2x ( *) 1 + tgx 2 Ñieà u kieä n sin 2x ≠ 0 vaø tgx ≠ −1 ( ) 2 2 cos 2x cos2 x − sin2 x cos x cos x − sin x = = Ta coù : sin x 1 + tgx cos x + sin x 1+ cos x = cos x ( cos x − sin x ) ( do tgx = −1 neân, sin x + cos x ≠ 0 ) cos x 1 − 1 = cos2 x − sin x cos x + sin2 x − sin 2x sin x 2 cos x − sin x ⇔ = 1 − sin 2x sin x Do ñoù : ( *) ⇔ ( ⇔ ( cos x − sin x ) = sin x ( cos x − sin x ) ) 2 ⇔ cos x − sin x = 0 hay 1 = sin x ( cos x − sin x ) (**) ⎡ tgx = 1 ( nhaän so vôùi tgx ≠ −1) ⇔⎢ 1 sin x ⎢ = − tg 2 x ( do cos x ≠ 0 ) 2 ⎢⎣ cos x cos x π ⎡ x = + kπ, k ∈ ⎢ 4 ⇔ ⎢ 2 ⎢⎣2tg x − tgx + 1 = 0 ( voâ nghieäm ) π + kπ, k ∈ ( nhaän do sin 2x ≠ 0 ) 4 Löu yù : coù theå laø m caù c h khaùc 1 1 ( * *) ⇔ 1 − sin 2x + (1 − cos 2x ) =0 2 2 ⇔ 3 = sin 2x + cos 2x ⇔x= π⎞ ⎛ ⇔ 3 = 2 sin ⎜ 2x + ⎟ : voâ nghieäm 4⎠ ⎝ Baø i 133 : Giaû i phöông trình sin 3x + cos 3x + 2 cos x = 0 ( * ) ( *) ⇔ ( 3sin x − 4 sin3 x ) + ( 4 cos3 x − 3 cos x ) + 2 cos x = 0 ⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 4 cos3 x − cos x = 0 Vì cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá phöông trình cho cos3 x ≠ 0 ta ñöôï c ( *) ⇔ 3tgx (1 + tg 2 x ) − 4tg 3 x + 4 − (1 + tg 2 x ) = 0 ⇔ − tg 3 x − tg 2 x + 3tgx + 3 = 0 ⎧ t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩ t + t − 3t − 3 = 0 ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t + 1) t − 3 = 0 ( ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 3 Baø i 134 : Giaû i phöông trình 6sin x − 2 cos3 x = 5sin 4x.cos x ( *) 2 cos 2x Ñieà u kieä n : cos 2x ≠ 0 ⇔ cos2 x − sin2 x ≠ 0 ⇔ tgx ≠ ±1 10 sin 2x cos 2x cos x ⎧ 3 ⎪6 sin x − 2 cos x = Ta coù : (*) ⇔ ⎨ 2 cos 2x ⎪⎩cos 2x ≠ 0 ⎧6 sin x − 2 cos3 x = 5 sin 2x cos x ⇔⎨ ⎩ tgx ≠ ±1 3 2 ⎪⎧6 sin x − 2 cos x = 10 sin x cos x ( * *) ⇔⎨ ⎪⎩tgx ≠ ±1 Do cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m cuû a (**), chia hai veá phöông trình (**) cho cos3 x ta ñöôï c ⎧ 6tgx − 2 = 10tgx ( * *) ⇔ ⎪⎨ cos2 x ⎪⎩tgx ≠ ±1 ⎧⎪t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⇔⎨ 2 ⎪⎩6t 1 + t − 2 = 10t ⎧t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⎧t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⇔⎨ 3 ⇔⎨ 2 ⎩3t − 2t − 1 = 0 ⎩(t − 1) (3t + 3t + 1) = 0 ⎧ t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⇔⎨ : voâ nghieäm ⎩t = 1 ( ) Baø i 135 : Giaû i phöông trình sin x − 4 sin 3 x + cos x = 0 ( * ) • Vì cosx = 0 khoâ ng laø nghieä m neâ n chia hai veá phöông trình cho cos 3 x thì ( *) ⇔ tgx (1 + tg 2 x ) − 4tg 3 x + 1 + tg 2 x = 0 ⎧t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩−3t + t + t + 1 = 0 ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) 3t + 2t + 1 = 0 ⇔ tgx = 1 ( ⇔x= ) π + kπ, k ∈ 4 Baø i 136 : Giaû i phöông trình tgx sin 2 x − 2 sin 2 x = 3 ( cos 2x + sin x cos x )( * ) Chia hai veá cuû a phöông trình (*) cho cos 2 x 3 cos2 x − sin 2 x + sin x cos x 3 2 ( *) ⇔ tg x − 2tg x = cos2 x ⇔ tg 3 x − 2tg 2 x = 3 1 − tg 2 x + tgx ( ( 3 ) ) 2 ⇔ tg x + tg x − 3tgx − 3 = 0 ⎧ t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩ t + t − 3t − 3 = 0 ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t + 1) t − 3 = 0 ( ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± 3 ⇔x=− π π + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 3 Baø i 137 : Cho phöông trình ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 ( *) a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎡ π⎤ b/ Tìm m ñeå phöông trình (*) coù duy nhaá t moä t nghieä m treâ n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ π Khi x = + kπ thì cosx = 0 vaø sin x = ±1 neâ n 2 (*) thaøn h : ± ( 4 − 6m ) ± 3 ( 2m − 1) = 0 ⇔ 1 = 0 voâ nghieäm chia hai veà (*) cho cos3 x ≠ 0 thì ( *) ⇔ ( 4 − 6m ) tg 3 x + 3 ( 2m − 1) tgx (1 + tg 2 x ) + 2 ( m − 2 ) tg 2 x − ( 4m − 3) (1 + tg 2 x ) = 0 ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎪⎩ t − ( 2m + 1) t + 3 ( 2m − 1) t − 4m + 3 = 0 ( * *) ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) t − 2mt + 4m − 3 = 0 ( ) ⎧⎪t = tgx a/ Khi m = 2 thì (*) thaø nh ⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) t − 4t + 5 = 0 π ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 ( ) ⎡ π⎤ b/ Ta coù : x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì tgx = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Xeù t phöông trình : t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 ( 2 ) ⇔ t 2 − 3 = 2m ( t − 2 ) t2 − 3 = 2m (do t = 2 khoân g laø nghieä m ) t−2 t2 − 3 Ñaët y = f ( t ) = ( C ) vaø (d) y = 2m t−2 t 2 − 4t + 3 Ta coù : y ' = f ( t ) = 2 ( t − 2) ⇔ Do (**) luoâ n coù nghieä m t = 1 ∈ [ 0,1] treâ n yeâ u caà u baø i toaù n ⎡( d ) y = 2m khoâng coù ñieåm chung vôùi ( C ) ⇔⎢ ⎢⎣( d ) caét ( C ) taïi 1 ñieåm duy nhaát t = 1 3 ⇔ 2m < ∨ 2m ≥ 2 2 3 ⇔ m< ∨m≥1 4 Caù c h khaù c : Y C B T ⇔ f(t) = t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 ( 2 ) voâ nghieä m treâ n [ 0,1 ) . ⎧Δ ≥ 0 ⎪af (0 ) ≥ 0 ⎪⎪ Ta coù (2) coù nghieä m ∈ [ 0,1] ⇔ f (0). f (1) ≤ 0 hay ⎨af (1) ≥ 0 ⎪ ⎪0 ≤ S ≤1 ⎪⎩ 2 ⎧m2 − 4 m + 3 ≥ 0 ⎪ 3 ⎪4 m − 3 > 0 ⇔ ( 4 m − 3) (2m − 2) ≤ 0 hay ⎨ ⇔ ≤ m ≤1 4 ⎪ 2m − 2 > 0 ⎪⎩0 ≤ m ≤1 Do ñoù (2) voâ nghieä m treâ n [ 0,1 ) ⇔ m < 3 hay m >1 hay f (1) = 0 4 ⇔m< 3 ∨m≥1 4 BAØI TAÄP 1. Giaû i caù c phöông trình sau : a/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = 0 b/ sin 2 x ( tgx + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3 c/ 2 cos2 x + cos 2x + sin x = 0 1 − cos3 x d/ tg 2 x = 1 − sin3 x e/ sin3 x − 5sin2 x cos x − 3sin x cos2 x + 3cos3 x = 0 f/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = 0 g/ 1 + tgx = 2 2 sin x h/ sin3 x + cos3 x = sin x − cos x k/ 3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 3(1 + sin x) π x − 8 cos 2 ( − ) = 0 m/ 3tg 2 x − tgx + 2 cos x n/ sin x + cos x =1 sin 2x 4 2 2. Cho phöông trình : sin 2 x + 2 ( m − 1) sin x cos x − ( m + 1) cos2 x = m a/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m b/ Giaû i phöông trình khi m = -2 ( ÑS : m ∈ [ −2,1]) Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn