Tài liệu Phương trình chứa căn thức

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng (ph¬ng ph¸p n©ng lòy thõa) Bµi 1 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) x 2 + 2x + 4 = 2 − x 2) 21 − 4x − x 2 = 2x + 3 3) 2x − 5 = x − 2 4) 4x − 7 = 5 − 2x 5) 3x 2 − 9x + 1 = x − 2 6) 4x 2 + 7x + 12 + x − 3 = 0 7) x 2 + 2x − 3 + 2x − 3 = 0 8) 6 − 4x + x 2 = x + 4 9) 3x + 7 − x + 1 = 2 13) x + 1 = 8 − 3x + 1 10) x + 8 − 5x − 20 + 2 = 0 14) x + 9 = 5 − 2x + 4 11) x 2 + 9 − x 2 − 7 = 2 15) x + 4 − 1 − x = 1 − 2x 12) 3x + 4 − 2x − 1 = x + 3 16) 4x + 13 − x + 1 = 2x + 3 Bµi 2.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x + 12 = x − 3 + 2 x + 1 b) 2( x 2 − 16) x−3 + x−3 = 7−x x−3 c) 5 x − 1 − x − 1 = 2 x − 4 e) 3x − 3 − 5 − x = 2 x − 4 g) x 2 + 2 x − 15 = x − 2 d) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 f) 3x + 1 = 8 − x + 1 h) − x 2 + 6 x − 5 = 8 − 2 x i) x + 1 = 8 − 3x + 1 k) 2 x + 7 − 5 − x = 3 x − 2 D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô’ Dạng 2.1: Phương trình chứa f ( x ) và f(x). j) (x-3) x 2 − 5 x + 4 = 2 x − 6 l) x + 1 = 3 − x + 4 -Đặt t = f (x) , điều kiện t ≥ 0. -Suy ra phương trình bậc hai theo t. -Giải phương trình và chọn nghiệm t ≥ 0. -Giải tiếp f (x) = t , tìm được nghiệm x. Giải các phương trình sau 1)x 2 + x 2 + 11 = 31 3)2 ( x 2 − 2x ) + x 2 − 2x + 3 − 9 = 0 2) 2 ( x 2 + 2 ) = 5 x 2 + 3 4) x2 + 2x2 + 4x + 3 = 6 − 2 x Dạng 2.2: Phương trình chứa f ( x ) và f ( x ) ± k , k-const: Đặt t=f(x), đưa phương trình chứa căn thức về dạng đơn giản hơn. Giải các phương trình sau 1) x 2 − 3x + 3 − x 2 − 3x + 6 = 3 2) 2x 2 + 5x + 2 − 2 2x 2 + 5x − 6 = 1 Dạng 2.3: Phương trình chứa f ( x ) , g ( x ) , và k -Đặt t = f ( x ) ⇒ g ( x ) = t -Suy ra phương trình bậc hai theo t. -Giải phương trình và chọn nghiệm t ≥ 0. -Giải tiếp f ( x ) = t , tìm được nghiệm x. f ( x ) g ( x ) =k-const Giải phương trình sau: x − x2 −1 + x + x2 −1 = 2 Dạng 2.5: Phương trình chứa f ( x) ± g( x) , f ( x ) g ( x ) và f(x)+g(x)=h(x): 2 t − h(x) -Đặt t = f ( x ) ± g ( x ) ⇒ f ( x ) g ( x ) = . 2 -Suy ra phương trình bậc hai theo t. -Giải phương trình và chọn nghiệm t ≥ 0. -Giải tiếp f ( x ) ± g ( x ) = t , tìm được nghiệm x. Giải các phương trình sau: 1) 3 + x + 6 − x = − x 2 + 3x + 18 + 3 2) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2 3) 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 − 16 Dạng 2.6 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. Ta lưu ý có những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không thể biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. Khi đó ta lựa chọn một trong hai hướng sau: Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác. Hướng 2: Thử để phương trình ở dạng: “chứa ẩn phụ những hệ số vẫn chứa x”. Trong hướng này ta thường được phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt thức ∆ là một số chính phương. Giải các phương trình sau: 1) ( 4x − 1) x 3 + 1 = x 3 + 2x + 1 2)2 ( 1 − x ) x 2 + 2x − 1 = x 2 − 2x − 1 3) ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12 4) ( 4x − 1) x 2 + 1 = x 2 + 2x + 1 Dạng 2.7: Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình với 2 ẩn phụ. Giải các phương trình sau: 1) 3 + x + 6 − x = − x 2 + 3x + 18 + 3 2) 3 − x + x 2 + 2 + x − x 2 = 1 3) 3 x + 7 − x = 1 4) 3 2 − x = 1 − x − 1 Dạng 2.8: Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x. Giải các phương trình sau: 1)x 3 + 1 = 2 3 2x − 1 2)x 3 + 2 = 3 3 3x − 2 Dạng 11: Đưa phương trình chứa căn về phương trình chứa trị tuyệt đối Giải các phương trình sau: 1) x + 2 x − 1 − x − 1 − 2 x − 2 = 1 2) x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 = Dạng 12: Phương pháp ®¸nh s¸t gi¸bằng những đánh giá tinh tế dựa trên những tính chất của bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của nó. Giải các phương trình sau: 1) x 2 − 2x + 5 + x − 1 = 2 2) x − 2 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 = 1 x+3 2