Tài liệu Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT I.Phương trình, bất phương trình mũ : 1/ Đƣa về cùng một cơ số hoặc hai cơ số: 1/ 2 x 2  x 8 13 x 4 ;2/ 3 x 1 3 x 2 x 1 x 1 3 x 3 3 x 4  750;3/ 5 .8 x x 1 x  500  (5.21/ x ) x3  1  x  3; log0,2 2 x 1  x  (2; 1)  (1; ) x 1 x 5/ 9 x  9 x1  9 x2  4 x  4 x1  4 x2  9 x.91  4 x.21  9/ 4   21/ 91  x  log 9 / 4 (21/ 91) 4/( 5  2) x 1  ( 5  2)  x 1   6/ 2 x .4 x  256;7 / 2 x.5x  0,01;8/ 2 x . 3x  216;9/(3 3 3 ) x  (1/81)2 x3 ;10/ 2 x.3x1.5x2  12 2 11/ 2 x 2 4 5 x 2 ;12/8 x x2 2 x  36.3 ;13/1  5 x2  x 1/ 2 x 1  25;14/ 2 1/(3 x 1) 2 ;15/( 10  3) x 3 x 1  ( 10  3) x 1 x 3 2/ Đặt ẩn phụ: 1/(7  4 3) x  3(2  3) x  2  0(t 2  3/ t  2  0);2/(3  5) 2 x x  (3  5) 2 x x  212 x x  0 2 2 (t  1/ t  2  0);3/ 23 x  6.2 x  1/ 23( x1)  12/ 2 x  1(t  2 x  21 x );4/ 32 x  8.3x ( chia 2 vế cho 32 x ); 5/ 4 x x 2 2  5.2 x1 x 2 2 7 / 27 x  6.64 x  6.36 x  11.48 x ;8/ 22 x  2 x 2 2  2 x 1 2 2 1  9.2x 2 x x4 0  24 x1;9/( 5  2 6 ) x  ( 5  2 6 ) x  10 2 2  9.9  6  0;6/ 432cosx  7.41cosx  2  0 ; 72 x 2.3x  2 x2  2t  4   1 x 1 x 10 /  6.(0,7)  7;11/  1  1 ;12 /      3.  x x x 100 3 2  t 1  3 3 13/ 9sin x  9cos x  10;14/ 22 x x4 2  22 x2  0;15/ 22 x 3  x 6  15.2 x 1 x  12 x 3 5  2x ;16/ 9 x  3x2  3x  9 17 / 25x  10x  22 x1;18/ 4 x  2.6 x  3.9 x ;19/ 4.3x  9.2 x  5.6 x / 2;20/125 x  50x  23 x1 . 3/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 1/ 2x  1  3x / 2 ;2/ 2 x1  3x1  6 x  1;3/(2,5) x  (0,4)1/ x  2,9;4/ 3 1 x 4 2 2 x 4  13;5/ 2 x  6  x DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 6/ 2x1  2 x  x  ( x  1)2 ;7 / 2 3 x   x2  8 x  14;8/ 3x 6 x10   x2  6 x  6;9/ 3x  5x  6 x  2 10/ 32 x3  (3x  10).3x2  3  x  0;11/ 3.25x1  (3x  7).5x1  2  x  0;12/ x2  (3  2 x ) x  2  2 x1  0 2 2 32 x  3  2 x 13/ 3  3  2  2  6  2 x  6;14/ 2  3  5  2  3  5 ;15/ 0. 4x  2 2 2 y 16/ 4sin ( x )  4cos ( x )  8 x2  12 x  1/ 2(3/ 4);17 / 4sinx  21sinx cos( xy)  2  0( k ;0) x x x x x 2 x 1 2 x 1 2x x 1 x  x 2  18/ 1  sin2 x.2cos 2 x  0,5.sin2 2 x  cos 2 x  sin2 x 2sin2 x  212 sin x  0  sin2 x  0;0,5 19/(2  2) sin2 x  (2  2) cos 2 x  (2  2) 2  (1  2 / 2) cos 2 x cos 2 x (cos2 x  0);20/ 2 1 x 2 x2 2 12 x x2  ( x  2) / 2 x 4/ Một số dạng khác: 1/ 4 x 2 3 x  2  4x 2  6 x 5  42 x 2 3 x  7  1  (4 x 2 3 x  2  1)(4 x 2  6 x 5 x 1  1)  0;2/( x2  2 x  1) x1  1 3/ 5.32 x1  7.3x1  1  6.3x  9 x1  0  5.32 x1  7.3x1  3x1  1  0;4/( x  x2 ) 2 x 2 5 x  2 1 5/ 4x 1.32 x  4.3x  1  0  4.32 x  4.3x  1  (2.3x  1) 2  0(*)  BPT vô nghiệm vì x = 0 KTM (*). 2 6/ 4x 2 x  21 x  2( x1)  1;7 / x2 .2 x1  2 2 2 x 3  2  x2.2 x 3  4  2 x1;8/ x2.3x1  x(3x  2 x )  2(2 x  3x1) 9/ x2 .3x  3x.(12  7 x)   x3  8 x 2  19 x  12;10/ 4 x  8 2  x 2  4  ( x 2  x).2 x  x.2 x1. 2  x 2 11/ 2  5 x  3x2  2 x  2 x.3x. 2  5 x  3x 2  4 x 2.3x ;12/( x 2  1/ 2) 2 x 13/( x2  4 x) x 15/1/(3 x 1 18/ n  x 22/ 72 x 2 10  (4  x) x 2 10 ( x   10; 1;4);14/( x  2) x  1)  1/(1  3 );16/( x  1) n1 x 1 x 2 x2 2 x 3 2 2 x 2  x 1  ( x 2  1/ 2)1 x  ( x  2)11x20 ( x  1;2;3;4;5)  x  1 ;17 /( x  x  1) 2 2 x 3 x 1  ( x  x  1) 2 x 2 x 5  n  1  x  1( x  n; n  1);19/ 3x  cosx;20/ x x  5( x5  t );21/ 75  57  x  log7 / 5 (log5 7) n  7 2 x 1 2 5 x x  nx  n(n  0)  x  1 II. Phương trình, bất phương trình lôgarít: 1/ Đƣa về 1 cơ số: 1/ log5 x  log25 x  log0,2 3;2/ 0,5lg (5x  4)  lg x  1  2  lg 0,18;3/ log2 x  log3 x  log4 x  log20 x 4/ lg ( x  6)  0,5lg (2 x  3)  2  lg 25;5/ log5 ( x 2  1)  log1/ 5 5  log5 ( x  2)  2log1/ 25 ( x  2) 2 DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên  3 x3 1 3 3 2 3 3 6 /(log 2 x).log3  log3   log 2 x  x  1;  ;7 / log 1 ( x  2)  3  log 1 (4  x)  log 1 ( x  6) x 8  2 3 2 4 4 4  2 8/ log2 ( x  3)  log0,5 5  2log0,25 ( x  1)  log2 ( x  1)( 2)9/ log0,5 (1  x / 2)  log2 2  x / 4  0(1) 10/ 2log2 ( x 2  1  x)  log0,5 ( x 2  1  x)  3;11/ log 2 tanx  log 4 cosx /(2cosx  sinx)   0 12/ log5 x  log5 ( x  6)  log5 ( x  2);13/ log5 x  log25 x  log0,2 3;14/ lg ( x 2  2 x  3)  lg ( x  3) /( x  1)  0;15/ 0,5.lg (5 x  4)  lg x  1  2  lg 0,18;16/ log2 ( x  x 2  1).log3 ( x  x 2  1)  log6 ( x  x 2  1) 17 / log1/ 5 ( x2  6 x  8)  2log5 ( x  4)  0;18/ log2 ( x  3)  1  log2 ( x  1) 19/ 2log8 ( x  2)  log1/ 8 ( x  3)  2/ 3;20/ log0,5 x  log3 x  1( log3 x(1  log2 3)  1  0  x  3log2 / 3 3 ) 20/ log2 x  log3 x  log5 x  log 2 x.log3 x.log5 x;21/ log5 3x  4.log x 5  1;22/ log 2 ( x 2  2).log (2 x ) 2  2  0 23/ log( x3) 6  2log0,25 (4  x)  / log2 ( x  3)  1( x  3); log2 x.log3 2 x  log3 x.log2 3x  0(0  x  6 / 6; x  1) 2/ Đặt ẩn phụ: 1/1/(4  lg x)  2/(2  lg x)  1;2/ log0,04 x  1  log0,2 x  3  1;3/ 3log x16  4log16 x  2log2 x 4/ log x2 16  log2 x 64  3;5/ lg(lg x)  lg(lg x3  2)  0;6/ log 2 (4 x1  4).log 2 (4 x  1)  log1/ 2 1/8 7 / log(32 x ) (2 x2  9 x  9)  log(3 x ) (4 x 2  12 x  9)  4  0;8/ log4 (log2 x)  log2 (log4 x)  2( x  4t  t  1) 2 9/ log2 x (2/ x).log22 x  log24 x  1( (t  1)(t 4  2t 3  t 2  2t  1)  0);10/ log x (125x).log 25 x  1(5 &1/ 625) 11/ log x 3  log3 x  log x 3  log3 x  1/ 2;12/ log 2 (4 x  1)  log 2 (22 x3  6)  x;13/ log x (5 x).log5 x  2  8x  1  2x 1  2x  1   14 / 4  2log 2 1   log  2 log  4 t  4   t  1: t  log  x  3/ 2  2 2 2     2 2x  1 2  2x 1    (2 x  1)  2 15/ logsin xcosx sinx.log sinxcosxcosx  1/ 4;16/ log x 2.log x /16 2  log x / 64 2;17 / log5 x (5/ x)  log5 x  1 18/ log2 x  10log2 x  6  0;19/ lg(6.5x  25.20 x )  x  lg 25;20/ 2(lg 2  1)  lg(5 x  1)  lg(51 21/ log1/ 3 x  5/ 2  log x 3;22/ log x 2.log2 x 2.log2 4 x  1;23/ log x 2.log x /16 2  1/(log2 x  6) x  5) 24/ log32 x  4log3 x  9  2log3 x  3;25/ log1/2 2 x  4log 2 x  2(4  log16 x 4 ) 26/ log2 (2 x  1).log1/ 2 (2 x1  2)  2;27 / log22 x  log1/ 2 x 2  3  5(log4 x 2  3) 28/ log x (2 x)  log x (2 x3 );29/ 2log5 x  2  log x (1/ 5);30/ 4log2 2 x  xlog2 6  2.3log2 4 x ( xlog2 6  6log2 x ) 2 3 DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 3/ Phƣơng pháp mũ hóa, lôgarít hóa:  log5 5 xlog4 x2  23(log4 x1) ;2/ x(lg x5) / 3  105lg x ;3/ x6 .5log1/ x 5  11 11 ;4/ xlg 2 x lg x3 3  2/ ( x  1  1) 1  ( x  1  1) 1 5/ log1/ 3 log4 ( x 2  5)   0;6/ log x log9 (3x  9)   1;7 / log2 x ( x 2  5 x  6)  1;8/ log(3 x x2 ) (3  x)  1 9/ x2log2 2 xlog2 x  1/ x;10/ xlog2 x4  32;11/ xlg 3 14 / log1/ 2log3 2 x 3lg x 1  1000;12/ 6log6 x  xlog6 x  12;13/ log x log 2 (4 x  6)   1 2 x 1 x2 x2 x 1 3x  2  0;15/ log 2log1/ 3  log1/ 2log3 ;16 / log x6 log 2  0;17 / log x 1 x 1 x2 x2 x  2 x  2 3 18/ log2 log3 (log4 x)  0;19/ log2log2 x  log3log3 x( t  x  22  33  t  log3/ 2 (log3 2)) t t 2log3log3 2 20/ log2log3 x  log3log2 x  log3log3 x  log2log3 x  log3 (log3 x / log 2 x)  log3log3 2  x  3  2 log 2 3  log3   2  3  21/ log2log x 3  log3log x 2  log2log3 x  log3log2 x  log3 (2t log 2 3)  t  1  x  3 22/ log2log3log4 x  log4log3log2 x( x  4)  log3log2 x  (log3log 4 x)2  log32t  log3 (2t )(t  1) 1 log3 48 3   1  4log3 2  log3 48  log3t  1  log3 48  x  4 24/ 2.x0,5log2 x  21,5log2 x ;25/ log2 x  log0,25 ( x  3)  x 4 ; 23/ log x ( 9  x 2  x  1)  1  1  ( x  4)log2 log ( x / x  3)   0 4/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 1/ x  lg( x2  x  6)  4  lg( x  2)  x  lg( x  3)  4  x  4;2/ log3 ( x  1)  log5 (2 x  1)  2  x  2 3/( x  2)log32 ( x  1)  4( x  1)log3 ( x  1)  16  0(log3 ( x  1)  4;4/( x  2)  x  80/81;2) t 4/ log2 (1  x )  log3 x( t  1  3  2t  t  2);5/ xlog2 9  x 2.3log2 x  xlog2 3 (log 2 x  t  9t  12t  3t ) 6/ 3log3 (1  x  3 x )  2log2 x ( x  26t  1  8t  4t  9t  t  2);7 / 2log5 ( x3)  x  log5 ( x  3)  log 2 x    t  2t  3  5t  x  2;8/ log2 x  3log6 x  log6 x  x  3log6 x  2log6 x  6t  3t  2t  t  1  x  1/ 6 9/ 3log2 x  x2  1;10/ 22 x1  232 x  8/ log3 (4 x2  4 x  4)(VP  VT , x  1/ 2) t t 11/ log7 x  log3 ( x  2)(log7 x  t  t  log3 ( 7  2)  3t  7  2  1  f (2)  f (t )  ( 7 / 3)t  2.(1/ 3)t  2  t  log7 x  49  x  0) 12/ 4 2  x 2 2 x 2  2 log 3 ( x 2  2 x  3)  2 x 2 2 x log1/ 3 (2 x  2  2)  0  2 x log3 (2 x  2  2)  x2  2 x  3  2 x  2  2  x   3 4 2  2 x 3 log3 ( x 2  2 x  3)  DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 13/ log2 ( x 2  5x  5  1)  log3 ( x 2  5x  7)  2(t  x 2  5 x  5  f (t )  log 2 (t  1)  log3 (t 2  2)  2  f (1)  0  t  1  1  x  (5  5) / 2  (5  5) / 2  x  4 14/ 2  x 2 x 2 log2 (4 x  x 2  2)  1  log2 2  ( x  2)2   2 .VT  1  VP  x  2 15/ 2log3 cot x  log2cosx( t  t  1);16/ log2 x  log3 ( x  1)  log4 ( x  2)  log5 ( x  3) f ( x)  log2 x  log4 ( x  2)  f '( x)  1/ x ln 2  1/( x  2)ln 4  0x  0  f(x) đồng biến khi x > 0. Tương tự g ( x)  log3 ( x  1)  log5 ( x  3) cũng đồng biến khi x > 0. Suy ra pt có nghiệm dn x = 2. 16/( x  1)log1/2 2 x  (2 x  5)log1/ 2 x  6  0  (log2 x  2) ( x  1)log2 x  3  0  0  x  2  x  4 log5 ( x 2  4 x  11)2  log11 ( x 2  4 x  11)3 17 /  0(t  x 2  4 x  11  0; f (t )  2log5t  3log11t; 2 2  5 x  3x f '(t )  ln(121/125) / t ln5.ln11  0t  0;0  f (1)  x  2  15  x  6 18/ log 2 2 3 ( x 2  2 x  2)  log(2 3) ( x 2  2 x  3); a  2  3  2; t  x 2  2 x  3  0  log2 a (t  1)  log a2 t  u  a 2u  1  (2a)u  (a / 2)u  (1/ 2a)u  1  u  2  x  1  11  4 3 19/( x  1)log1/2 3 x  2( x  3)log1/ 3 x  8  0;20/ 2 x 2  8x  log 2 (2 x  1) /( x  1) 2   2( x  1)2  log2 ( x  1)2  log2 (2 x  1)  2(2 x  1)  ( x  1)2  2 x  1  x  0;4 5/ Một số Phƣơng trình, bất phƣơng trình khác: 1/1/ log1/ 3 2 x 2  3x  1  1/ log1/ 3 ( x  1) (0;1/ 2)  (1;3/ 2)  (5; ) ;2/(2 x  3.2 x ) 2log2 xlog2 ( x6)  1(a  1) 3/ log x ( x  1)  lg1,5(0  x  1  VT  0  VP; x  1  VT  1  VP) 4/ log2 ( x2  3  x2  1)  2log2 x  0  0  (t  t 2  2)(t 2  3)  1& t  3  2  t  3  1  x  0 5/ log2 (3.2 x1  1)  / x  1( x  1  log2 (2/ 3)  x  0);6/( x  1) / log3 (9  3x )  3  1( MS  log 3 9  3  0) 7 / log5 x  log x ( x / 3)  log5 x(2  log3 x) / log3 x((0; 5 / 5)  (1;3));8/1/ log 4 ( x  1) /( x  2)   1/ log 4 ( x  3) III. Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít: 23 x1  2 y 2  3.2 y 3 x 32 x  2 y  77 2 x  2 y  12  23 x  5 y 2  4 y   1/  x ;2 /  ;3/  x ;4 /  ; y x 1 x 2 x  y  5 3  2  7 4  2  y (2  2)        3x  1  xy  x  1 5 DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên x 2  2 x 3 log3 5  4 x y 1  3.42 y 1  2(1) 5(log x y  log y x)  26  5 y 4 (1) 3 5/  ;6 /  ;7 /  2 x  3 y  2  log 4 3(2)  xy  64  4 y  y  1  ( y  3)  8(2)  x y 12 (1  2log xy 2)log( x y ) xy  1   xlog8 y  y log8 x  4  xlog 2 3  log 2 y  y  log 2 x x  y  8/  x+y ;9 /  ;10 /  ;11/  3 xlog 12  log x  y  log y y  x  3 3 3  log 4 x  log 4 y  1   x  y  2 3 e x  e y  (log 2 y  log 2 x)( xy  1) log 22 x  log 2 x 2  0(1)  x.2 x y 1  3 y.22 x y  2    12 /  2 ;13/  ;14 /  3 2 x y x y 2 2 2 x .2  3 y .8  1  x  y  1  x / 3  3x  5 x  9  0(2)     ( x  1)lg 2  lg(2 x1  1)  lg(7.2 x  12) log1/ 4 ( y  x)  log 4 (1/ y)  1  x 1  2  y  1 15/  ;16 /  ;17 /  2 2 2 3  log x ( x  2)  2  x  y  25 3log9 (9 x )  log3 y  3 Gợi ý một số bài: x 2 2 x 3 Bài 5: (1)  3  5 y 3  1   y  3  0  y  3  (2) : 4 y  y  1  ( y  3) 2  8  y( y  3)  0  3  y  0  y  3  x  1;3 Bài 6: (2)  x  y  1  1  2 y  log4 3;(1)  2  412 ylog4 3  3.42 y1  (3.42 y1  1)2  0  42 y1  1/ 3  y  0,5log4 (4/ 3); x  2  log4 (9 3 /8) Bài 14: (1) có nghiệm ( 1; 4 ). Hàm số vế trái của (2) dương trên khoảng ( 1; 4 ) nên hệ có nghiệm là khoảng ( 1; 4 ). ------------------ // ------------------ 6