Tài liệu Phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh (2)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẬU PHƯƠNG PHÁP TÔ PÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẬU PHƯƠNG PHÁP TÔ PÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hậu i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K19 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hậu ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 1 LÝ 1.1 1.2 1.3 1.4 THUYẾT BẬC ÁNH XẠ Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . Định nghĩa bậc ánh xạ C 1 trong Rn Định nghĩa bậc ánh xạ C trong Rn . Ứng dụng của bậc ánh xạ . . . . . . . . . . 8 8 10 18 22 2 LÝ 2.1 2.2 2.3 THUYẾT RẼ NHÁNH Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 26 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, nhiều hiện tượng tự nhiên và vấn đề khoa học có thể mô tả bằng ngôn ngữ toán học qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số, chẳng hạn như hiện tượng thời tiết, quá trình sinh trưởng của động vật, sự phát triển của nền kinh tế trong một thời kì, sự phát triển gen của các tế bào sinh vật, các phản ứng hóa học vật lý, . . . Việc nghiên cứu các lĩnh vực này cần nhiều sự hỗ trợ của lý thuyết rẽ nhánh. Đây là vấn đề được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ và ứng dụng trong những bài toán thực tế. Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó tìm những giá trị tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi. Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và những môn khoa học tự nhiên khác. Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã và đang giải quyết có hiệu quả những vấn đề nảy sinh trong khoa học cũng như thực tế cuộc sống. Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánh đối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều người quan tâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học. Nói một cách ngắn gọn, cho trước một phương trình phụ thuộc tham số, phương trình này có thể có nghiệm với giá trị nào đó của tham số, khi giá trị tham số thay đổi thì tính duy nhất nghiệm của phương trình 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn có thể không được đảm bảo. Hiện tượng này có mô tả toán học như sau. Cho hàm số F : Λ × D → Y , trong đó Λ là không gian mêtric với metric d, D là lân cận của điểm 0 trong không gian định chuẩn X , và Y là không gian định chuẩn. Giả thiết rằng với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của phương trình: (λ, v) ∈ Λ × D̄. F (λ, v) = 0, (0.1) Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ̄, 0) mà tại những lân cận của nó có tính chất: với δ > 0,  > 0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D̄ của phương trình trên với d(λ, λ̄) < δ và 0 < kuk < . Nghiệm tầm thường (λ̄, 0) này được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1) và λ̄ được gọi là điểm rẽ nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình được gọi là bài toán rẽ nhánh. Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường đề cập tới những bài toán sau: 1) Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh; 2) Tồn tại những nhánh nghiệm; 3) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ; 4) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh; 5) Một số bài toán khác. Có rất nhiều phương pháp toán học khác nhau nghiên cứu những bài toán trên như: - Phương pháp biến phân đã được Wainberg và Krasnoselski đưa ra từ những năm 50 của thế kỉ trước trong [4], [12]; - Phương pháp tô pô sử dụng bậc ánh xạ đã được Krasnoselski đưa ra trong [3], [5], [10]; - Phương pháp giải tích cho những toán tử khả vi dựa trên các định lý hàm ẩn đã được trình bày trong [8], [11], . . . 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau. Dựa vào định lí hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên, không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh. Ví dụ 0.1. Xét hệ phương trình vi phân: u” + λ[u + v(u2 + v 2 )] = 0 trong (0, 1) (0.2) v” + λ[v − u(u2 + v 2 )] = 0 trong (0, 1) (0.3) u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = 0. (0.4) Ta dễ dàng thấy phần tuyến tính của hệ này có giá trị riêng bội hai λn với n = 1, 2, . . . Nhân phương trình (0.2) với v và nhân phương trình (0.3) với u, sau đó lấy tích phân của từng phương trình và sử dụng điều kiện (0.4) rồi trừ hai phương trình đó cho nhau, ta được Z1 λ (u2 + v 2 )dx = 0 ⇒ v = u = 0. 0 Tức là với mỗi n thì λn không phải là điểm rẽ nhánh. Rất nhiều những công trình của các tác giả khác nhau cho các bài toán 1) - 3) với các phương pháp biến phân, tô pô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt tham số là những số thực có dạng T (v) − λC(v) = 0 (λ, v) ∈ R × D̄. Trong trường hợp X là không gian Hilbert, T là toán tử đồng nhất, C là toán tử hoàn toàn liên tục từ X → X với C(0) = 0 và là đạo hàm của một hàm liên tục yếu g nào đó, thì Krasnoselski [4] đã chỉ ra: mỗi giá trị riêng của phần tuyến tính đều là điểm rẽ nhánh. Ông đã sử dụng phương pháp biến phân dựa trên tư tưởng của Lyusternik - Schnirelman. Kết quả này đã được Berger tổng quát hóa trong công trình [1]. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho X là không gian Banach, T = id, C = L + H, trong đó L là toán tử đạo hàm Fréchet của C tại 0 và H có tính chất kH(v)k = 0. kvk→0 kvk lim Nếu C là toán tử hoàn toàn liên tục, thì mỗi giá trị riêng của L với bậc đại số lẻ đều là điểm rẽ nhánh. Kết quả này được Petryshyn mở rộng cho lớp ánh xạ tổng quát hơn trong [7]. Phương pháp giải tích đối với lý thuyết rẽ nhánh dựa trên tư tưởng của Liapunov - Schmidt sử dụng phép chiếu là đưa phương trình nghiên cứu về hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều với số chiều là p; phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao. Tức là, ta chuyển bài toán về một hệ p + 1 phương trình p ẩn. Phần nằm trong không gian hữu hạn chiều thường được gọi là phương trình rẽ nhánh. Phương trình nằm trong không gian vô hạn chiều thì giải được duy nhất nghiệm. Nếu phương trình rẽ nhánh giải được thì bài toán cũng giải được. Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp kết hợp giữa phương pháp tô pô và phương pháp giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày một số vấn đề về lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phương pháp tô pô và giải tích để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình toán tử và ứng dụng trong thực tế. Trình bày các kiến thức học tập về phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh phân dưới dạng một luận văn thạc sĩ với những sáng tạo liên quan đến ứng dụng giải phương trình rẽ nhánh. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh; - Các nhánh nghiệm; - Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ. 4. Phương pháp nghiên cứu Phân tích, sử dụng phương pháp tô pô và giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh. Vận dụng kiến thức của bậc ánh xạ và của giải tích hàm, giải tích hiện đại và lý thuyết phương trình toán tử để xét sự rẽ nhánh của phương trình nghiên cứu. 5. Bố cục của Luận văn Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1. Trình bày lý thuyết bậc ánh xạ với các nội dung sau. Cho D là tập mở giới nội trong Rn với biên ∂D, ta định nghĩa C(D, Rn ) = {f : D̄ → Rn | f liên tục trên D̄}, C r (D, Rn ) = {f ∈ C(D, Rn ) | f có các đạo hàm riêng cấp r trong D và liên tục trên D̄}. Với mỗi D, φ ∈ C(D, Rn ), p 6∈ ∂D ta cho tương ứng với một số nguyên và được gọi là bậc ánh xạ φ tại p trong D như sau: 1) Trường hợp φ−1 (p) ∩ Z = ∅, deg(p, φ, D) được định nghĩa X deg(p, φ, D) = sign|Jφ (x)|. φ(x)=p 2) Trường hợp φ−1 (p) ∩ Z 6= ∅, khi ấy tồn tại qm → p(m → ∞), qm 6∈ φ−1 (∂D)∩Z , ta định nghĩa deg(p, φ, D) = lim deg(qm , φ, D). m→∞ 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3) Trường hợp φ ∈ C(D, Rn ), do đó tồn tại φm ∈ C 1 (D, Rn ), φm → φ, khi m → ∞ ta định nghĩa deg(p, φ, D) = lim deg(p, φm , D). m→∞ Tiếp theo, ta chỉ ra các tính chất cơ bản của bậc ánh xạ như: tính liên tục, tính bất biến đồng luân, tính cộng tính, tính khoét, và tính chỉ phụ thuộc vào giá trị trên biên. Cuối cùng ta đưa ra các ứng dụng của bậc ánh xạ. Chương 2. Trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Liapunov - Schmidt để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian hữu hạn chiều. Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số. Cho X là không gian Banach với tích vô hướng <, > và chuẩn k · k. D là tập mở chứa 0 trong X và Λ là một tập mở của không gian định chuẩn, F : Λ × D̄ → X là toán tử phi tuyến. Ta xét sự rẽ nhánh của phương trình F (λ, v) = 0 với (λ, v) ∈ Λ × D̄, với F (λ, v) có dạng F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v), trong đó T : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục, L(λ, ·) : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định, H : Λ × D̄ → Y và K : Λ × D̄ → Y là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho với mọi λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, với (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình F (λ, v) = 0. Cho λ̄ ∈ Λ, theo định lí hàm ẩn ta chỉ ra được điều kiện cần để (λ̄, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình F (λ, v) = 0 là: ker(T − L(λ̄, .)) 6= {0}. Tiếp theo, để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1) ta đưa ra 3 giả thiết sau: 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Giả thiết 1: αL(λ̄, v) = L(αλ̄, v) ∀v ∈ D̄, α ∈ [0, 1]. - Giả thiết 2: H và K là các toán tử liên tục Lipchitz trên Λ × D̄, hơn nữa ∃ a ∈ R, a > 1 và hàm thực ρ : R → R, ρ = ρ(δ) với lim ρ(δ) = 0 δ→0 sao cho (i) PY H(λ, tv) = ta PY H(λ, v) ∀ (λ, v) ∈ Λ × D̄, t ∈ [0, 1], λ̄ (ii) α−a PY K( , αv) → 0 khi α → 0+ đều theo v (v ∈ D̄) và a−1 1+α kK(λ, v) − K(λ0 , v 0 )k ≤ ρ(|λ − λ0 |Λ + kv − v 0 k)(|λ − λ0 |Λ + kv − v 0 k) với mọi (λ, v), (λ0 , v 0 ) ∈ Λ × D̄, trong đó PY là phép chiếu từ không gian Banach Y lên không gian Y1 = {y ∈ Y | < y, ψ i >= 0, i = 1, . . . , p}. - Giả thiết 3: Giả sử có một điểm x̄ ∈ Rp và tồn tại một lân cận U ∗ của x̄ = (x̄1 , . . . , x̄p ) 6= 0 trong Rp sao cho deg(0, A, U ∗ ) 6= 0, trong đó ánh xạ A : Rp → Rp , A = (A1 , . . . , Ap ) được định nghĩa bởi Ai (x) =< T p X xj v j
− H λ̄, j=1 p X
xj v j , ψ i >, j=1 với i = 1, . . . , p và x = (x1 , . . . , xp ) ∈ Rp . Ta chỉ ra rằng với  > 0 cho trước và giả thiết 1-3 thỏa mãn, (λ̄, 0) là một nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1). Hơn vậy, δ > 0 thì tồn tại một lân cận I3 của 0 ∈ R sao cho với mỗi α ∈ I3 , α 6= 0, có thể
tìm được x(α) = x1 (α), . . . , xp (α) ∈ U ∗ và một nghiệm không tầm
λ̄ và thường λ(α), v(α) của phương trình (0.1) với λ(α) = 1 + |α|a−1 p P |α|xj (α)v j + o(|α|) khi α → 0 thỏa mãn |λ(α) − λ̄| < δ và v(α) = j=1 0 < kv(α)k < . Từ các giả thiết này ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1). 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 LÝ THUYẾT BẬC ÁNH XẠ Mục đích của chương này là định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục từ tập D̄ (D mở giới nội) vào Rn và mô tả một số tính chất cơ bản của bậc ánh xạ. Trước hết ta nhắc lại các khái niệm cần dùng. 1.1 Các kiến thức cơ bản Định nghĩa 1.1. Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R. a) Hàm f được gọi là khả vi hay có đạo hàm tại điểm c ∈ (a, b) nếu tồn tại giới hạn f (c + t) − f (c) < +∞. lim t→0 t Giới hạn này được ký hiệu bởi f 0 (c) và được gọi là đạo hàm của f tại c. b) Hàm f được gọi là khả vi trên (a, b) nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b). c) Giả thiết f khả vi trên (a, b). Vi phân của hàm f (x) là hàm df phụ thuộc hai biến độc lập x và ∆x được xác định như sau df (x, ∆x) := f 0 (x)∆x. Vì dx(x, ∆x) = ∆x, để thuận tiện ta thường viết dx = ∆x và kí hiệu vi phân của hàm f (x) là df (x). Khi đó ta có df (x) = f 0 (x)dx. n Q Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f : (ai , bi ) ⊂ Rn → R và điểm c = (c1 , . . . , cn ) ∈ n Q i=1 (ai , bi ). i=1 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a) Hàm f được gọi là khả vi theo biến thứ i hay có đạo hàm riêng theo biến thứ i (i = 1, . . . , n) tại điểm c nếu tồn tại giới hạn f (c1 , . . . , ci + t, . . . , cn ) − f (c1 , . . . , cn ) < +∞. t→0 t ∂f Giới hạn này được ký hiệu bởi (c) và được gọi là đạo hàm riêng theo ∂xi biến thứ i của f tại c. ∂f (c) với mọi i = 1, . . . , n, thì véc tơ b) Nếu hàm số f có đạo hàm riêng ∂xi
∂f ∂f (c), . . . , (c) ∂x1 ∂xn lim được gọi là Gradient của f tại c và kí hiệu là grad f (c). Định nghĩa 1.3. Cho ánh xạ f = (f1 , . . . , fm ) : Rn → Rm . a) f được gọi là khả vi tại x ∈ Rn nếu fi có các đạo hàm riêng ∂fi (x) với ∂xj ∂fi
được gọi là ∂xj i=1,...,m,j=1,...,n ma trận Jacobian của f tại x và kí hiệu là Jf (x) hoặc f 0 (x). n Q b) f được gọi là khả vi trên D = (ai , bi ) ⊂ Rn nếu f khả vi tại mọi điểm i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Khi đó ma trận c∈ n Q i=1 (ai , bi ). i=1 Định nghĩa 1.4. Cho D là tập mở, giới nội trong Rn với biên ∂D. Kí hiệu C(D, Rn ) := {f : D̄ → Rn | f liên tục trên D̄}, C r (D, Rn ) := {f ∈ C(D, Rn ) | f có các đạo hàm riêng cấp r trong D và liên tục trên D̄}. Trên các không gian C(D, Rn ), C r (D, Rn ) ta lần lượt định nghĩa chuẩn như sau kf k = max |f (x)|, x∈D   r P n  ∂j f  P   . kf kr = max |f (x)| + j (x) x∈D j=1 i=1 ∂xi Định lý 1.5. (Định lý Sard (xem [1])) Giả sử f là hàm thuộc lớp C 1 và Jf (x) là Jacobian của f tại x ∈ D. Khi đó, với mỗi tập E bất kì đo được của 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D thì f(E) đo được và m(f (E)) ≤ R |Jf (x)|dx. Từ đây, ta suy ra m(f(Z))= E 0, với Z là tập các điểm tới hạn của f trong D : Z = {x ∈ D/|Jf (x)| = 0}. Định nghĩa bậc ánh xạ C 1 trong Rn 1.2 Xét hàm φ ∈ C 1 (D, Rn ) và điểm p ∈ Rn , p 6∈ φ(∂D). Bậc của hàm φ trên D đối với p là một số nguyên, kí hiệu là deg(p, φ, D), được định nghĩa như sau. Trường hợp 1: Nếu φ ∈ C 1 (D, Rn ), p ∈ Rn \ φ(∂D), φ−1 (p) ∩ Z = ∅, thì tập φ−1 (p) là hữu hạn. Thật vậy, giả sử có x0 ∈ D, x0 ∈ φ−1 (p), thì |Jφ (x0 )| = 6 0. Theo định lý hàm ẩn, tồn tại một lân cận U của x0 và một lân cận V của p sao cho φ : U → V là một đồng phôi, nên tập φ−1 (p) là rời rạc. Hơn nữa, vì D̄ là tập compact, nên φ−1 (p) là hữu hạn. Do đó, khái niệm này được định nghĩa như sau X deg(p, φ, D) = sign|Jφ (x)|. φ(x)=p Như vậy, hiển nhiên ta thấy nếu p 6∈ φ(D̄), thì deg(p, φ, D) = 0. Trường hợp 2: Nếu φ ∈ C 1 (D, R1 ), p ∈ R1 \ φ(∂D), φ−1 (p) ∩ Z 6= ∅. Trong trường hợp này, theo Định lý 1.5 ta có m(φ(Z)) = 0. Từ đây, suy ra int(φ(Z)) = ∅, nên tồn tại một dãy {qn }(qn 6∈ φ(∂D)) sao cho qn → p và φ−1 (qn ) ∩ Z = ∅. Theo trường hợp 1, ta định nghĩa được deg(qn , φ, D), và ta thấy giới hạn lim deg(qn , φ, D) tồn tại không phụ thuộc vào dãy {qn }. qn →p Do đó, khái niệm này được định nghĩa bởi deg(p, φ, D) = lim deg(qn , φ, D), với (φ−1 (qn ) ∩ Z = ∅). qn →p Để chứng minh được điều này, trước hết ta chỉ ra một số tính chất của các hàm thuộc lớp C 1 . Định lý 1.6. Cho hàm φ ∈ C 1 (D, Rn ), p ∈ Rn \φ(∂D) sao cho φ−1 (p)∩Z = ∅ và họ hàm liên tục f : Rn → R thỏa mãn R (i) f (x)dx = 1, Rn 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) K = supportf = {x ∈ Rn /f (x) 6= 0} ⊂ S(p, ) = {q ∈ Rn : |p − q| < }. Khi đó Z deg(p, φ, D) = f (φ(x))|Jφ (x)|dx. D̄ −1 Chứng minh. Vì φ (p) ∩ Z = ∅, nên φ−1 (p) là hữu hạn, hay phương trình φ(x) = p chỉ có k nghiệm (x1 , . . . , xk ), và |Jφ (xj )| = 6 0 (i = 1, . . . , k). i i Theo định lý hàm ẩn, tồn tại lân cận U của x và K i của p (K i = S(p, i )) sao cho φ : U i → K i là đồng phôi. Chọn  = min i sao cho i=1,...,k Ui ∩ Uj Ui Ki = ∅ (i 6= j; i, j = 1, . . . , k), và φ : → đồng phôi. Do hàm f triệt tiêu ở bên ngoài ∪ni=1 Ki , và Ui ∩ Uj = ∅, nên Z Z f (φ(x))|Jφ (x)|dx = f (φ(x))|Jφ (x)|dx D ∪ki=1 Ui = k Z X i=1 f (φ(x))|Jφ (x)|dx. Ui Vì |Jφ (xi )| = 6 0 (i = 1, . . . , k), nên ta có thể cho giả thiết rằng |Jφ (x)| = 6 0 i tại mọi điểm trong U . Trong trường hợp này, dấu của |Jφ | trên mỗi Ui là không đổi. Do đó, có thể áp dụng định lý cổ điển về sự thay đổi biến trong một tích phân đối với φ : Ui → Ki . Ta có Z k X f (φ(x))|Jφ (x)|dx = sign|Jφ (xi )| = deg(p, φ, D). D i=1 Đây có thể coi là một cách định nghĩa khác của deg(p, φ, D) trong trường hợp φ−1 (p) ∩ Z 6= ∅. Vậy định lý đã được chứng minh. Tiếp theo, ta xét hàm véc tơ v : Rn → Rn thuộc lớp C 1 , v(x) = n ∂v i P (v 1 (x), . . . , v n (x)) với v i : Rn → R. Đặt f = thì hàm f : Rn → R i=1 ∂xi được gọi là hàm divergence của v và kí hiệu là div v, (f = div v). Bổ đề 1.7. Cho hàm véc tơ v : Rn → Rn thuộc lớp C 1 , v = (v 1 , . . . , v n ), R và f = div v. Nếu supp v = K là tập giới nội trong Rn , thì f (x)dx = 0. Rn 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho v như trên và φ ∈ C 1 (D, Rn ), ta có Bổ đề 1.8. Nếu K ∩ φ(∂D) = ∅, thì hàm g(x) = f (φ(x))|Jφ (x)| cũng là divergence của một hàm u nào đó thuộc lớp C 1 với supp u chứa trong D. ∂φi ). Giả sử ai,j là định Chứng minh. Vì φ ∈ C (D, R ), nên Jφ (x) = ( ∂xi i ∂φ thức con của |Jφ (x)| bỏ đi thành phần , khái niệm u được định nghĩa ∂xj bởi 1 ui (x) = n X (φ(x))ai,j (x) (i = 1, . . . , n). j Vì v ∈ C 1 (D, Rn ), φ ∈ C 1 (D, Rn ), nên u ∈ C 1 (D, Rn ). Từ giả thiết K ∩ φ(∂D) = ∅ ta có thể coi u được định nghĩa trên toàn Rn (với giá trị 0 nằm ngoài D) và có suppu nằm trong D. Bây giờ, ta chứng minh divu = g. Ta dễ dàng tính được X j uii (x) = [vk (φ(x))φki (x)ai,j (x) + v j (φ(x))ai,j i (x)], k,j divu = X uii = divvJφ (x) + X i v j (φ(x))ai,j i (x) i,j = g(x) + X X i,j j v (φ(x))( ai (x)). i,j i Theo định nghĩa ta có (n − 1)!a i,j = X i,m ,...,m n−1 j,j11,...,jn−1n−1 φjm1 ,...,j , 1 ,...,mn−1 i,m ,...,m với j,j11,...,jn−1n−1 là chu kì hoán vị mh → jh . Lấy đạo hàm ta được Từ đó suy ra divu = g(x). i,j i ai P = 0. Bổ đề 1.9. Cho f là hàm liên tục xác định trên Rn với K = supp f ⊂ D. Giả sử x0 ∈ Rn và conv(K ∪ (K − x0 )) ⊂ D, khi đó hàm f (x) − f (x + x0 ) là divergence của ánh xạ v : Rn → Rn có supp v ⊂ D. 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. Giả sử φ(x) = f (x) − f (x + x0 ), có supp φ ⊂ con v(K ∪ (K − x0 )), khái niệm này được định nghĩa bởi Z0 Φ(x) = φ(x + tx0 )dt, v i (x) = x0i Φ(x). −∞ Suy ra supp v i ⊂ con v(K ∪ (K − x0 )). Hơn nữa, nếu v = (v 1 , . . . , v n ), thì div v = φ. P i P 0 ∂Φ P 0 ∂Φ Thật vậy, ta có div v = vi = xi . Do xi là đạo hàm theo ∂x ∂x i i i i i P ∂Φ d x0i = Φ(x + tx0 )t=0 . phương của hàm Φ tại điểm x0 và ∂x dt i i Theo định nghĩa của Φ, thì  Z0  d d Φ(x + tx0 )t=0 = φ(x + (t + u)x0 )du dt dt t=0  −∞ 0 Z = −∞  Z0 = −∞ d φ(x + (t + u)x0 )du dt  t=0  d 0 φ(x + ux )du dt t=0 = φ(x). Tức là div v = φ(x) = f (x) − f (x + x0 ). Như vậy, bổ đề đã được chứng minh. Cho x(s) là đường cong liên tục trong Rn , 0 ≤ s ≤ 1 khái niệm quan hệ tương đương trên [0, 1] được định nghĩa như sau: s1 , s2 ∈ [0, 1], s1 tương đương với s2 nếu f (x + x(s1 )) − f (x + x(s2 )) là divergence của một ánh xạ u ∈ C 1 với support ⊂ D. Theo Bổ đề 1.9, ta thấy tính divergence được bảo toàn qua một đường cong liên tục. Điều này thể hiện rõ qua hệ quả sau Hệ quả 1.10. Cho x(s) là đường cong liên tục trong Rn , 0 ≤ s ≤ 1, f : Rn → R là hàm liên tục với K = suppf ⊂ D. Giả sử (i) K ⊂ convM, M là tập compac, M ⊂ D, (ii) M − x(s) ∩ ∂D = ∅ với mọi s ∈ [0, 1]. 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó f (x + x(0)) − f (x + x(1)) là divergence của ánh xạ v ∈ C 1 , v : Rn → Rn mà suppv ⊂ D. Chứng minh. Lấy s, s0 ∈ [0, 1], định nghĩa x0 = x(s0 ) − x(s) và K1 = K + x(s), ta suy ra K1 + x0 = K + x(s0 ). Vì K ∪ K − x0 ⊂ D nên K1 ∪ K1 − x0 ⊂ M ⊂ D. Theo Bổ đề 1.9, thì f (y) − f (y + x0 ) là divergence của một hàm v ∈ C 1 và supp v ⊂ D. Mặt khác, y ∈ K1 = K + x(s) nên suy ra y = x + x(s) (x ∈ K). Do đó f (y) − f (y + x0 ) = f (x + x(s)) − f (x + x(s) + x0 ) = f (x + x(s)) − f (x + x(s0 ) là divergence của hàm v ∈ C 1 có supp v ⊂ D, tức là s ∼ s0 . Cũng theo Bổ đề 1.9, ta kết luận rằng với mọi lớp tương đương là tập mở. Nhưng [0, 1] là tập liên thông, vì vậy chỉ có một lớp tương đương duy nhất, nghĩa là 0 ∼ 1, hay f (x + x(0)) − f (x + x(1)) là divergence của v ∈ C 1 có supp v ⊂ D. Trở lại định nghĩa deg(p, φ, D) ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.11. Cho φ ∈ C 1 (D, Rn ). Xét 2 điểm p, q ∈ Rn \ φ(∂D) và φ−1 (p) ∩ Z = ∅, φ−1 (q) ∩ Z = ∅. Nếu p, q cùng thuộc một thành phần liên thông của tập mở Rn \ φ(∂D), thì deg(p, φ, D) = deg(q, φ, D). Chứng minh. Vì φ−1 (p) ∩ Z = ∅ và φ−1 (q) ∩ Z = ∅, nên ta định nghĩa được deg(p, φ, D) và deg(q, φ, D). Nếu K = K(p, ), với  đủ nhỏ, lấy họ R hàm f : Rn → R sao cho K = supp f và f (x)dx = 1, thì Rn Z deg(p, φ, D) = f (φ(x))|Jφ (x)|dx. (1.1) D̄ Do p, q cùng nằm trên một thành phần liên thông nên tồn tại x : [0, 1] → Rn sao cho: x(0) = 0, x(1) = q − p. Khi đó, với hàm f như trên theo Bổ đề 1.9, ta có f (x) − f (x + q − p) là một divergence của một hàm thuộc lớp C 1 . Vì thế, theo Bổ đề 1.8 ta suy ra f (φ(x))|Jφ (x)| − f (φ(x) + q − p)|Jφ (x)| cũng là divergence của một hàm thuộc lớp C 1 với support ⊂ D. Từ đó Z Z f (φ(x))|Jφ (x)|dx = f (φ(x) + q − p)|Jφ (x)|dx. (1.2) D̄ D̄ 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ (1.1) và (1.2) suy ra Z deg(p, φ, D) = f (φ(x) + q − p)|Jφ (x)|dx. (1.3) D̄ Đặt g (x) = f (x + q − p) với x ∈ D̄, ta có supp g (x) = supp f (x + q − p) = K(p + q − p, ) = K(q, ), R R R và g (x)dx = f (x + q − p)dx = f (t)dt = 1. Rn Rn Rn Từ (1.3) suy ra Z deg(p, φ, D) = f (φ(x) + q − p)|Jφ (x)|dx D̄ Z g (φ(x))|Jφ (x)|dx = D̄ = deg(q, φ, D). Với các tính chất đã xét như ở trên, ta thấy với φ−1 (qm ) ∩ Z = ∅, lim deg(qm , φ, D) là tồn tại và không phụ thuộc vào qm . m→∞ Thật vậy, do p ∈ Rn \ φ(∂D), Rn \ φ(∂D) là tập mở nên tồn tại một lân cận U của điểm p, U ⊂ Rn \ φ(∂D). Khi qm → p, với m ≥ N nào đó thì qm cũng nằm trong U . Do đó, với m ≥ N, có thể coi p, qm cùng nằm trong một thành phần liên thông. Theo Mệnh đề 1.11, thì tồn tại lim deg(qm , φ, D). 0 Mặt khác, giới hạn này không phụ thuộc vào qm vì giả sử có qm và qm cùng 0 0 thỏa mãn qm → p, qm → p khi m → ∞, qm 6∈ φ(Z), qm 6∈ φ(Z). Tức là, tồn tại N1 sao cho với mọi m ≥ N1 có qm , p cùng thuộc một thành phần liên 0 thông; tồn tại N2 sao cho với mọi m ≥ N2 có qm , p cùng thuộc một thành phần liên thông. Nếu chọn N = max(N1 , N2 ), thì với mọi m ≥ N có qm , p cùng thuộc một thành phần liên thông. Khi đó, theo mệnh đề trên ta có 0 lim deg(qm , φ, D) = lim deg(qm , φ, D). m→∞ m→∞ Với kết luận như vậy, định nghĩa deg(p, φ, D) trong trường hợp 2 như sau 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn