Tài liệu Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại fourier

Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức về giải tích tiệm cận . . . . . . . 4 1.1. Một số khái niệm về bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4. Một số ví dụ về bậc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân 11 1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Dạng tương tự của Bổ đề Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Phương pháp pha dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. Ý tưởng của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 i 2.3.2. Phương pháp pha dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Áp dụng của phương pháp pha dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực Vật lý dẫn đến giải một số các phương trình Toán học mà nghiệm của nó được biểu diễn dưới dạng các tích phân. Có khá nhiều tích phân như vậy được gắn với những hàm đặc biệt như hàm Bessel, các hàm siêu hình học,.... Ngoài ra, cũng phải kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là các phép biến đổi tích phân. Chẳng hạn, nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình Schördinger iΦt + Φxx = 0 được cho bởi công thức Z+∞ 1 b 0 (k)eikx−ik2 t dk; Φ(x, t) = Φ 2π −∞ b 0 (k) là biến đổi Fourier của dữ kiện đầu Φ(x, 0). Mặc dù các tích ở đó Φ phân như vậy cho ta nghiệm chính xác của bài toán, nhưng về mặt định lượng của chúng là không hẳn được rõ ràng. Để giải thích được ý nghĩa cơ bản về phía cạnh Vật lý, cũng như về mặt Toán học đối với những nghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dạng điệu của chúng khi các biến x và t khá lớn. Thông thường, như đối với các bài toán về chuyển động sóng lớn, quá trình giới hạn thường được quan tâm đến 1 x vẫn được giữ cố định. Như trường hợp của t phương trình trên, người ta cần nghiên cứu phương trình là khi t → ∞ mà c = Z+∞ b 0 (k)eitφ(k) dk; t → ∞, Φ(x, t) = Φ −∞ ở đó φ(k) = kc − k 2 . Một trong những phương pháp xử lý các bài toán thuộc lĩnh vực này phải kể đến đó là lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân. Mang tính trực giác, người ta có thể thấy ngay trong việc xử lý các dạng nghiệm này là dùng phương pháp tích phân từng phần. Tuy nhiên, từ sự hạn chế nhất định của phương pháp này, các nhà toán học đã tìm ra một số phương pháp để khắc phục các nhược điểm của phương pháp trên. Một trong những phương pháp đó chúng ta phải kể đến phương pháp pha dừng trong việc xử lý các tích phân dạng này. Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình Thạc sỹ khoa học Toán học chuyên ngành toán Giải tích, tôi chọn đề tài: "Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier." Luận văn được cấu trúc thành hai chương. Chương một được giành để đưa ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết giải tích tiệm cận. Trong chương hai của luận văn, tôi trình bày phương pháp pha dừng ước lượng xấp xỉ tích phân loại Fourier và ứng dụng của phương pháp đó. 2 2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày một cách hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận. Trên cơ sở đó, chúng tôi giới thiệu phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Fourier - Phương pháp pha dừng. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 4. Dự kiến đóng góp của đề tài Hệ thống hóa chi tiết môt số kiến thức căn bản về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận. Trình bày phương pháp pha dừng trong việc sử lý xấp xỉ tích phân loại Fourier. Để minh họa cho ý nghĩa của vấn đề được trình bày trong luận văn, chúng tôi giới thiệu ứng dụng của nó để giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý – Toán. 3 Chương 1 Một số kiến thức về giải tích tiệm cận Giải tích tiệm cận được hình thành khởi nguồn từ một số các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1986, lý thuyết tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi Stieltjes và Poincaré. Ở đây người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận. Thông thường các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày với mức độ cần thiết và căn bản nhất về lý thuyết tiệm cận. 1.1. Một số khái niệm về bậc 1.1.1. Lời dẫn Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng lần đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond. Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét đến một bài toán trong thực tế. Tính giá trị của tích phân R∞ e−t I(ε) = dt; với ε > 0 đủ nhỏ. 0 1 + εt Như đã trình bày trong phần mở đầu, chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp xấp xỉ của tích phân I(ε) bằng phương pháp dễ tiếp cận 4 nhất (phương pháp tích phân từng phần). Tích phân từng phần lần thứ nhất ta thu được Z∞ I(ε) = 1 − ε 0 e−t dt. (1 + εt)2 Lặp lại quá trình này N lần ta được I(ε) = 1 − ε + 2!ε2 − 3!ε3 + ... + (−1)N N !εN N +1 +(−1) (N + 1)!ε N +1 Z∞ 0 et (1 + εt)N +2 dt (1.1) Vế phải của phương trình này được gọi là một khai triển tiệm cận của I(ε) tới số hạng N+1. Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng thứ N . Khẳng định này đúng với tất cả các chỉ số n = 0, 1, 2, ..., N − 1. Để thấy điều đó, ta hãy xét với n = N . Bởi vì ε là số dương đủ nhỏ, nên 1 + εt ≥ 1 và ta có đánh giá Z∞ Z∞ e−t N +2 0 (1 + εt) dt ≤ e−t dt = 1. 0 Từ điều này suy ra rằng      Z∞  −t    e  N +1 N +1 N +1 N +1 (−1) (N + 1)!ε dt ≤ (−1) (N + 1)!ε .  N +2  (1 + εt)   0 Điều quan trọng là sự nhận thấy rằng chuỗi khai triển trong công thức (1.1) không hội tụ. Điều đó, có thể thấy ngay rằng khi ε cố định thì số hạng (−1)N +1 N !εN → ∞; khi N → ∞. Thế nhưng, với N cố định thì 5 (−1)N +1 N !εN → 0; khi ε → 0. Đây là nguyên nhân cho thấy rằng khai triển trên là một xấp xỉ tốt đối với tích phân I(ε) khi ε → 0. Một cách tự nhiên xuất phát từ sự nhận xét có tính trực giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đến việc giới thiệu một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết Giải tích tiệm cận. Giả sử ε là số dương nhỏ tùy ý, các nhà Toán học giới thiệu một số thuật ngữ. Trước hết, ta hình dung các khái niệm này một cách đơn giản mang tính trực giác như sau (i) −ε có cùng bậc với ε và 4!ε4 có cùng bậc với ε4 . Các phát biểu này được ký hiệu tương ứng bởi −ε = O(ε) và 4!ε4 = O(ε4 ); (ii) 2!ε2 là có bậc nhỏ hơn ε, nó được ký hiệu bởi 2!ε2 = o(ε) hoặc 2!ε2  ε; (iii) Nếu so sánh I(ε) với I(ε) = 1 − ε + 2!ε2 , thì xấp xỉ này có độ chính xác đến bậc ε2 . Các ký hiệu O - "không bậc lớn", o - "không bậc nhỏ" và ∼ - "bậc tương đương" được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond. Tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu chính xác hóa các khái niệm đã nói trên đây. 1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc. Cho f (z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt phẳng phức C và z0 là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô cùng). Ta nói (i) Bậc O. Hàm f (z) được gọi là "bậc O lớn" đối với hàm g(z) khi z → z0 (hoặc f (z) có cùng bậc đối với hàm g(z) khi z → z0 ) và ký hiệu 6 là f (z) = O (g(z)) ; khi z → z0 , nếu tồn tại một hằng số dương M và một lân cận U của z0 sao cho |f (z)| ≤ M |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D. Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì f (z) = O (g(z)) ; khi z → z0 Nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z0 sao cho    f (z)     g(z)  ≤ M ; với mọi z ∈ U ∩ D. Trong trường hợp đặc biệt, hàm f (z) = O(1); khi z → z0 . Điều đó, có nghĩa là hàm f (z) bị chặn khi z → z0 . Trong các khái niệm trên, hàm g(z) thường được gọi là “hàm cỡ” bởi vì hàm đó xác định dáng điệu của hàm f (z) khi z → z0 . (ii) Bậc o. Hàm f (z) được gọi là có “bậc o nhỏ” đối với hàm g(z) khi z → z0 (hoặc f (z) là tiệm cận nhỏ hơn đối với hàm g(z) khi z → z0 ) và ký hiệu là f (z) = o (g(z)) ; khi z → z0 , nếu với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại một lân cận U của z0 sao cho |f (z)| ≤ ε |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D. 7 Cũng đơn giản hơn, nếu g(z) không triệt tiêu trong lân cận của z0 có thể trừ ra tại điểm này, thì f (z) = o (g(z)) nghĩa là    f (z)  =0 lim  z→z0  g (z)  (iii) Bậc ∼. Ta nói f (z) có bậc tương đương với hàm g(z) khi z → z0 và ký hiệu là f (z) ∼ g(z) khi z → z0 nếu    f (z)   = 1, lim  z→z0  g(z)  hay f (z) = g(z) + o (g(z)) ; khi z → z0 . 1.1.3. Chú ý Khái niệm O - bậc cho ta nhiều thông tin hơn o - bậc đối với các hàm liên quan trong quá trình z → z0 . Chẳng hạn sin z = z + o(z 2 ); khi z → z0 cho ta biết sin z − z tiến tới nhanh hơn z 2 . Tuy nhiên sin z = z + O(z 3 ); khi z → z0 cho ta biết rằng sin z − z tiến tới gần như z 3 khi z → z0 . 1.1.4. Một số ví dụ về bậc. Đối với hàm số f (t) = 5t2 + t + 3, ta có các so sánh về bậc trong một số quá trình dưới đây   1 f (t) = o(t), f (t) = O(t2 ), f (t) ∼ 5t2 , f (t) = o ; khi t → ∞ t 8 và f (t) ∼ 3; khi t → 0. Những so sánh về bậc của các hàm thường gặp cũng phải kể đến, đó là t t1000  = o(e ), cos t = O(1); t → ∞; 1 1 sin = O(1), cos t ∼ 1 − t; t → 0; t 2 1.1.5. Nhận xét (i) Các ký hiệu O, o và ∼ cũng dùng được đối với các hàm với biến rời rạc. Chẳng hạn, như với dãy số thực (nghĩa là hàm của các số nguyên dương n). Đối với dãy số xn = 5n2 − 6n + 9 ta thấy rằng xn = o(n3 ), xn = O(n2 ) và xn ∼ 5n2 ; khi n → ∞. (ii) Người ta cũng thường sử dụng ký hiệu f (k)  g(k); khi k → k0 đồng nghĩa với f (k) = o (g(k)) ; khi k → k0 . 1.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận 1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận Một dãy hàm {φn (k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k0 nếu có một lân cận của k0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt tiêu (ngoại trừ tại k0 ) và với mọi n ta có φn+1 = o(φn ); khi k → k0 Chẳng hạn, nếu k0 hữu hạn thì {(k − k0 )n } là một dãy tiệm cận khi k → k0 , còn {k −n } là một dãy tiệm cận khi k → ∞. 9 1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận Chuỗi hình thức ∞ P an φn (k) = a0 φ0 (k) + a1 φ1 (k) + ... + an φn (k) + ... n=0 Từ đó, ta nhận được f (k) − m−1 P an φn(k) = am φm (k) + o (φm (k)) n=0 Tổng riêng m−1 P an φn (k) là một xấp xỉ của hàm f (k) với sai số O(φm ) n=0 khi k → k0 , bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của phần dư. Nếu khai triển tiệm cận tồn tại thì nó là duy nhất và các hệ số của nó được cho bởi  am = lim k→k0 f (k) − m−1 P  an φn (k) . n=0  1 . φm (k) Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết f (k) ∼ ∞ P an φn (k) n=0 Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ tiệm cận của hàm f (k). Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và chúng ta thường viết f (k) ∼ a0 φ0 (k). Điều đó có nghĩa là f (k) → a0 ; khi k → k0 φ0 (k) Trong trường hợp điểm giới hạn x0 là hữu hạn, R là một khoảng mở của điểm x0 . Điểm x0 có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lân cận của x0 là một khoảng mở |x − x0 | < δ. Nhưng nếu x0 là điểm vô cùng, chúng ta phải phân biệt giữa x → +∞ (trong trường hợp này 10 R > 0 có thể coi là một khoảng vô hạn x > a) và x → −∞ (trong trường hợp này R có thể coi là x < b). Có một số trường hợp khi R là một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều kiện cần để tìm một khai triển tiệm cận của tổng riêng thứ n của một chuỗi vô hạn khi n là đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại , theo nghĩa bên ngoài của miền này nó không hội tụ. Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm cận. Chẳng hạn, khi k → ∞ thì ∞ 1 ∞ k+1 P P 1 1 ∼ và ∼ k − 1 n=1 k n k − 1 n=1 k 2n Trong các ví dụ này, các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ. Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận. Ví dụ nếu 1 1 1 − π + δ ≤ ph(k) ≤ π − δ; với 0 ≤ δ ≥ π 2 2 2 1 1 hai hàm , + e−k có cùng khai triển tiệm cận k+1 k+1 ∞ (−1)n−1 P ; khi k → ∞, kn n=1 vì k n và e−k → 0 khi k → ∞ trong miền đã cho. 1.2.3. Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân Ví dụ 1.1. Tìm khai triển tiệm cận của tích phân R∞ e−kt J(k) = dt; khi k → ∞. 0 1+t Đặt t0 = kt và ε = 1 chúng ta thấy rằng k Z∞ −t0 e J =ε dt0 . 0 1 + εt 0 11 Từ phương trình (1.1) , bằng việc thay ε = J(k) = 1 ta nhận được ngay k 1 1! 2! (N − 1)! − 2 + 3 − ... + (−1)N −1 + RN (k) k k k kN N Z∞ e−t dt . t N +1 0 (1 + ) k Như cách đánh giá đã giới thiệu trên, ta thấy rằng (−1) N ! RN (k) = k N +1 |RN (k)| ≤ (1.2) N! 1  . k N +1 kN Lưu ý rằng phương trình (1.2) là một biểu diễn chính xác. Khi k → ∞ dãy hàm 1 1! 2! , , , ... k k2 k3 chính là dãy tiệm cận và phương trình (1.2) cho ta một khai triển tiệm cận của I(k) với k nhận giá trị lớn. Một lần nữa nhắc lại rằng, khai triển tiệm cận trê không hội tụ khi N → ∞ và k cố định chuỗi không hội tụ, nhưng khi k → ∞ và N cố định RN → 0. Ví dụ 1.2.Tìm khai triển tiệm cận của tích phân I(k) = R∞ e−t dt; khi k → ∞ t k Lấy tích phân N lần chúng ta dễ dàng thu được   1! 2! (N − 1)! 1 N −1 I (k) = e−k − + − ... + (−1) + RN (k) k k2 k3 kN N Z∞ RN (k) = (−1) N ! k 12 e−t dt tN +1 (1.3) e−k e−k e−k , , , ... lập thành một dãy tiệm cận. Khi k → ∞ các số hạng k k2 k3 chúng ta dễ dàng thấy rằng N! |RN (k)| < N +1 k Z∞ e−k N !e−k e dt = N +1  N . k k −t k Như vậy phương trình (1.3) là một khai triển tiệm cận của tích phân đã cho khi k → ∞. Khi N → ∞ với mỗi cố định thì |RN | → ∞, nên chuỗi phân kỳ. Khi k → ∞ và N cố định, thì RN → 0 (chúng ta nhận được một khai triển tiệm cận của tích phân đó). Chuỗi tiệm cận thường cho những xấp xỉ tốt. Chẳng hạn, khi k = 10;N = 2; sai số giữa giá trị chính xác và hai số hạng đầu tiên của chuỗi là được đánh giá như sau |R2 (10)| < 0, 002 × e−10 . Rõ ràng sai số này là rất nhỏ. Thực tế, ngay cả khi k = 3;N = 2 chúng ta có |R2 (3)| ≤ 2 −3 3 = 3, 7 × 10 . (3e) Tuy nhiên, ta không thể lấy quá nhiều số hạng trong dãy bởi vì một lúc nào đó phần dư sẽ giảm, thậm chí còn tăng khi N tăng. Về mặt nguyên tắc, ta có thể tìm giá trị “tối ưu” của N để với k cố định, thì phần dư là nhỏ nhất (xấp xỉ tốt nhất). Trong khuông khổ của luận văn chúng tôi không đề cập chi tiết vấn đề này. Trong hầu hất những áp dụng trong luận văn, việc thu được một vài số hạng đầu tiên của khai triển tiệm cận là đủ cho việc trình bày vấn đề đặt ra. 13 1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận Tính duy nhất. Cho một dãy tiệm cận{φn (x)}, dãy khai triển tiệm cận của f (x) là duy nhất, nghĩa là an được xác định duy nhất như sau f (x) x→x0 φ1 (x) f (x) − a1 φ1 (x) a2 = lim x→x0 φ2 (x) a1 = lim ...... f (x) − NP −1 an φn (x) n=1 aN = lim φN (x) x→x0 Tính không duy nhất. Với một hàm f (x) có thể có nhiều khai triển tiệm cận khác nhau. Chẳng hạn, khi x → 0, 1 2 tan x ∼ x + x3 + x5 + ..... 3 15 1 3 ∼ s inx + (s inx)3 + (sin x)5 + ..... 2 8 Tính trội nhỏ.Một khai triển tiệm cận có thể là khai triển của nhiều hơn một hàm. Chẳng hạn, nếu f (x) ∼ ∞ P an (x − x0 )n ; khi x → x0 n=0 f (x) + e −1 (x−x0 )2 ∼ ∞ P an (x − x0 )n ; khi x → x0 n=0 (do e −1 (x−x0 )2 n = o ((x − x0 ) ) khi x → x0 với mọi n). Hơn nữa ∞ P an (x − x0 )n n=0 là tiệm cận khi x → x0 của một hàm bát kỳ khác f (x) bởi một hàm g(x) sao cho g(x) → 0 khi x → x0 nhanh hơn mọi lũy thừa của x → x0 . Một hàm g(x) như thể được gọi là trội nhỏ hơn một chuỗi lũy thừa 14 tiệm cận, chuỗi lũy thừa tiệm cận của g(x) có thể là g(x) ∼ ∞ X 0.(x − x0 )n n=0 Vì vậy một khi triển tiệm cận là tiệm cận của một lớp các hàm, chúng khác nhau bởi các hàm trội nhỏ. Chẳng hạn, hàm e−x là trội nhỏ so với một chuỗi tiệm cận có dạng ∞ P an x−n ; khi x → +∞ n=0 và vì vậy nếu f (x) có một khai triển tiệm cận thì f (x) + e−x cũng vậy, có nghĩa là f (x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai khác hàm mũ nhỏ. Tính bằng nhau của các hệ số. Nếu ta viết ∞ X n an (x − x0 ) ∼ n=0 ∞ X bn (x − x0 ) (1.4) n=0 thì chúng ta nói đến các lớp hàm ∞ P an (x − x0 )n và n=0 ∞ P bn (x − x0 )n n=0 là tiệm cận khi x → x0 , chúng là như nhau. Hơn nữa tính duy nhất của khai triển tiệm cận nghĩa là an = bn với mọi n, nghĩa là các hệ số của các lũy thừa của x − x0 trong (1.4) là bằng nhau. Các phép toán đại số. Giả sử f (x) ∼ ∞ P an φn (x) và g(x) ∼ n=0 ∞ P bn φn (x); khi x → x0 n=0 thì αf (x) + βg(x) ∼ ∞ P (an + bn )φn (x); khi x → x0 n=0 15 với α,β là các hằng số. Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chia miễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn . Nói riêng với các chuỗi lũy thừa tiệm cận, khi φn (x) = (x − x0 )n , các phép toán đó được thực hiện như sau f (x).g(x) ∼ ∞ X cn (x − x0 )n ; n=0 với cn = ∞ P an bn−m và nếu bm 6= 0,d0 = m=0 a0 thì b0 ∞ f (x) X ∼ dn (x − x0 )n g(x) n=0 trong đó an − dn = n−1 P dm bn−m m=0 b0 Tích phân của khai triển tiệm cận. Một chuỗi lũy thừa tiệm cận có thể lấy tích phân từng số hạng (nếu f (x) khả tích gần x = x0 ). Vì vậy, nếu f (x) ∼ ∞ P an (x − x0 )n ; khi x → x0 n=0 thì R∞ f (t)dt ∼ x0 ∞ P an (x − x0 )n+1 ; khi x → x0 n=0 n + 1 Tính khả vi của khai triển tiệm cận. Trong trường hợp tổng quát, một khai triển tiệm cận không thể lấy đạo hàm từng số hạng. Bài toán với tính khả vi liên quan đến tính trội nhỏ. Ví dụ 1.3. Hai hàm f (x) và g(x) = f (x) + e 16 −1 (x−x0 )2  sin e 1 (x−x0 )2  khác nhau bởi một hàm trội nhỏ và vì vậy chúng ta có cùng chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → x0 . Tuy nhiên f 0 (x) và 1 −1 1 g 0 (x) = f 0 (x) − 2(x − x0 )−3 cose (x−x0 )2 + 2(x − x0 )−3 e (x−x0 )2 sin e (x−x0 )2 không có cùng chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → x0 . Tuy nhiên nếu f 0 (x) tồn tại, là khả tích và f (x) ∼ ∞ P an (x − x0 )n ; khi x → x0 n=0 thì 0 f (x) ∼ ∞ P nan (x − x0 )n−1 ; khi x → x0 n=0 Đặc biệt, nếu f (x) là giải tích trên một miền nào đó thì nó có thể đạo hàm từng số hạng của khai triển tiệm cận của f (x). Nhắc lại rằng một hàm số thực f (x) được gọi là giải tích tại x = x0 nếu nó có thể biểu diễn bởi một chuỗi lũy thừa của x − x0 với bán kính hội tụ khác không. Ví dụ 1.4. 1 1 1 ∼ + 2 + ...; khi x → +∞ x−1 x x Ta dễ dàng chỉ ra chuỗi này có hội tụ khi x > 1 và vì vậy 1 giải x−1 tích khi x > 1 và 1 1 2 ∼ + + ...; khi x → +∞. x2 x3 (x − 1)2 (cả hai chuỗi này là khai triển Taylor của các hàm tương ứng) 17 1.3. Hàm Gamma Hàm Gamma được xác định bởi biến đổi tích phân Z∞ Γ(x) = e−t tx−1 dt; x > 0 0 hội tụ với mọi giá trị dương của x. Một số dạng biểu diễn tích phân khác. Hàm Gamma có một số biểu diễn tích phân dưới đây. Bằng phép biến đổi u = e−t ta nhận được Z∞ Γ(x) = tx−1 et dt = − Z0  x−1 x−1 Z0  1 1 1 u du = du. ln( ) ln( ) 4 u 4 −1 −1 0 Với phép đổi biến t = m2 ta nhận được biểu diễn khác là Z∞ Z∞ Z∞ 2 2 Γ(x) = tx−1 e−t = m2(x−1) e−m 2mdm = 2 m2x−1 e−m dm . 0 0 0 Một số giá trị đặc biệt của hàm Gamma. Thay x bởi x + 1 ta nhận được Z∞ Γ(x + 1) = tx+1−1 e−t dt = 0 Z∞ tx e−t dt 0 = xΓ(x) Z∞ Z∞ = − tx d(e−t ) = −tx e−t |∞ tx−1 e−t dt. 0 +x 0 0 Như vậy ta nhận được quan hệ Γ(x + 1) = xΓ(x). (1.5) Từ (1.5) ta suy ra các công thức dưới đây Γ(x) = Γ(x + 1) x 18 (1.6)