Tài liệu Phương pháp nhóm thừa số chung (p1)

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Lượng giác PHƯƠNG PHÁP NHÓM THỪA SỐ CHUNG TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Loại 1. Sử dụng công thức sin 2 x  2sin x cos x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x Bài tập mẫu: Giải phương trình 1) ĐHKA 2014: sin x  4cos x  2  sin 2 x Hướng dẫn sin x  4 cos x  2  sin 2 x  sin x  4 cos x  2  2sin x cos x  sin x 1 – 2 cos x  – 2 1 – 2 cos x   0  1 – 2 cos x  sin x – 2   0 * Vì sin x < 2 với mọi x nên *  cos x  1 2 <=> x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π (k thuộc Z) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {π/3 + k2π; –π/3 + k2π | k thuộc Z} 2) ĐHKB 2014 Giải phương trình 2 (sin x – 2cos x) = 2 – sin 2x. Hướng dẫn <=> 2 (sin x – 2cos x) = 2 – 2sin x cos x <=> 2 sinx(1  2 cosx)  2(1  2 cos x)  0 <=> ( 2 sinx  2)(1  2 cosx)  0 <=> cos x =  1 2 (vì 2 sin x < 2) <=> x = 3π/4 + k2π hoặc x = –3π/4 + k2π (k thuộc Z) 3) ĐHKD 2011 Giải phương trình: sin 2x  2cos x  sin x  1 0 tan x  3 Hướng dẫn Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Lượng giác Điều kiện cos x ≠ 0 và tan x ≠ – 3 (*) phương trình đã cho tương đương sin 2x + 2cos x – sin x – 1 = 0 <=> 2sin x cos x + 2cos x – (sin x + 1) = 0 <=> 2cos x (sin x + 1) – (sin x + 1) = 0 <=> (2cos x – 1)(sin x + 1) = 0 <=> cos x = 1/2 hoặc sin x = –1 (loại) <=> x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π (loại) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = π/3 + k2π (k thuộc Z) 4) ĐHKA 2011 Giải phương trình 1  sin 2x  cos 2x 1  cot 2 x  2 sin x sin 2x (1) Hướng dẫn Điều kiện sin x ≠ 0. Phương trình (*) <=> (1 + sin 2x + cos 2x)sin² x = 2 sin x sin 2x <=> 1 + 2sin x cos x + 2cos² x – 1 = 2 2 cos x <=> cos x (sin x + cos x – 2)=0 <=> cos x = 0 hoặc sin x + cos x = 2 <=> x = π/2 + kπ (k thuộc Z) V sin (x + π/4) = 1 <=> x = π/2 + kπ hoặc x = π/4 + k2π (k thuộc Z) 5) ĐHKA 2003 Giải phương trình: cot x  1  cos 2x 1  sin 2 x  sin 2x 1  tan x 2 (1) Hướng dẫn sin x  0  Điều kiện cos x  0  tan x  1  Phương trình  cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x  sin x    sin 2 x  sin x cos x sin x cos x  sin x  1    cos x  sin x    cos x  sin x   0  sin x  Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Lượng giác   cos x  sin x  1  sin x cos x  sin 2 x   0 cos x  sin x  tan x  1    2 2 1  sin x cos x  sin x  0 cot x  cot x  2  0 x  4  k  k  Z  6) ĐHKB 2011 Giải phương trình: sin2xcosx  sinx cos x  cos2x  sin x  cos x Hướng dẫn PT  2sin x cos2 x  sin x cos x  cos 2x  sin x  cos x  sin x 1  cos 2 x   sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x   sin x cos 2 x  cos 2 x    sin x cos x  cos x   0  cos 2 x  sin x  1  cos x  sin x  1  0   sin x  1 cos 2 x  cos x   0 sin x  1  cos 2 x  cos  x       x  2  k 2    x    k 2   k 2 x    3 3  7) ĐHKA 2012 Giải phương trình : 3 sin 2x + cos 2x = 2cos x – 1 (1) Hướng dẫn (1) <=> 2 3 sin x cos x + 2cos² x – 2cos x = 0 <=> cos x ( 3 sin x + cos x – 1) = 0 <=> cos x = 0 hoặc 3 sin x + cos x = 1 <=> x = π/2 + kπ (k thuộc Z) hoặc sin (x + π/6) = 1/2 <=> x = π/2 + kπ hoặc x = k2π hoặc x = 2π/3 + k2π (k thuộc Z) 8) Giải phương trình 2sin 2 x  cos 2 x  7sin x  2cos x  4 Hướng dẫn PT  4sin x cos x  1  2sin 2 x   7sin x  2cos x  4  2cos x  2sin x  1  2sin 2 x  7sin x  3  0  2cos x  2sin x  1   2sin x 1sin x  3  0 Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Lượng giác   2sin x  1 2cos x  sin x  3  0   x   k 2  1 6 Hoặc: sin x    k  Z  2  x  5  k 2  6 Hoặc: 2cos x  sin x  3  0 vì 12  22  32 nên phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x   6  k 2 , x  5  k 2 6 Loại 2: Sử dụng công thức ab a b cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2 cos sin 2 2 cos a  cos b  2 cos 1) ĐHKD 2013. Giải phương trình: sin 3x + cos 2x – sin x = 0 Hướng dẫn PT <=>2cos 2x sin x + cos 2x = 0 <=> cos 2x (2sin x + 1) = 0 <=> cos 2x = 0 hoặc sin x = –1/2 <=> x = π/4 + kπ/2 hoặc x = –π/6 + k2π , x = 7π/6 + k2π (k thuộc Z) 2) ĐHKD 2012. Giải phương trình: sin 3x + cos 3x – sin x + cos x = 2 cos 2x Hướng dẫn PT<=> 2sin x cos 2x + 2cos x cos 2x – <=> cos 2x (2sin x + 2cos x – 2 cos 2x = 0 2)=0 <=> cos 2x = 0 hoặc 2(sin x + cos x) – 2 = 0 (2) +) cos 2x = 0 <=> 2x = π/2 + kπ (k thuộc Z) +) (2) <=> sin (x + π/4) = 1/2 // một cách biến đổi khác theo sin <=> x = –π/12 + k2π hoặc x = 7π/12 + k2π (k thuộc Z) Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Lượng giác 3) ĐHKB 2007. Giải phương trình: 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sinx Hướng dẫn PT  sin 7 x  sinx  1  2sin 2 2 x  2 cos 4 x sin 3 x  cos 4 x  cos 4 x  2sin 3 x  1  0  k  x  8  4  cos 4 x  0  k 2    x   k  Z  1  sin 3 x  18 3   2  x  5  k 2 18 3  4) ĐHKD 2006. Giải phương trình: cos3x  cos 2 x  cos x 1  0 Hướng dẫn PT  2sin 2 x sin x  1  2sin 2 x  1  0  sin 2 x sin x  sin 2 x  0  sin x  sin 2 x  sin x   0 sin x  0  sin 2 x   sin x  sin  x     x  k  x  k    2 x   x     k 2   k  Z   x  k 2  2 x   x  k 2 3  5) ĐHKB 2002. Giải phương trình: sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x Hướng dẫn 1  cos 6 x 1  cos 2 x 1  cos10 x 1  cos12 x    2 2 2 2  cos 6 x  cos8 x  cos10 x  cos12 x  cos 7 x cos x  cos11x cos x PT     x  2  k  cos x  0 k   x  k  Z   2 cos 7 x  cos 11x   x  k 9  Loại 3: Sử dụng công thức Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Lượng giác sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a cos  a  b   cos a cos b sin a sin b Bài tập mẫu: Bài 1 (ĐH A2008) Giải phương trình: 1 1 7   4sin(  x) . sin x sin( x  3 ) 4 2 Hướng dẫn s inx  0 ĐK:  cos x  0 PT  1 1   2 2  sin x  cos x  sin x cos x     sin x  cos x  1  2 2 sin x cos x  0    x   4  k sin x  cos x  0   x     k   sin x  cos x  1  2 sin 2 x  0    sin 2 x   2  8   2  x  5  k 8    Bài 2 (ĐH A2013) Giải phương trình 1 + tan x = 2 2 sin (x + π/4) Hướng dẫn Điều kiện: cos x ≠ 0. Phương trình đã cho <=> cos x + sin x = 2(sin x + cos x)cos x. <=> (sin x + cos x)(2cos x – 1) = 0 <=> sin x + cos x = 0 hoặc 2cos x – 1 = 0 +)sin x + cos x = 0 <=> tan x = –1 <=> x = –π/4 + kπ (k thuộc Z) +)2cos x – 1 = 0 <=> cos x = 1/2 <=> x = π/3 + k2π V x = –π/3 + k2π (k thuộc Z) Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm x = –π/4 + kπ hoặc x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π π (1  sin x  cos 2x)sin(x  ) 4  1 cos x (*) Bài 3 (ĐH A2010) Giải phương trình 1  tan x 2 Hướng dẫn Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Lượng giác Điều kiện: cos x ≠ 0 và 1 + tan x ≠ 0. Khi đó (*) <=> (1 + sin x + cos 2x)(sin x + cos x) = cos x (1 + tan x) <=> (sin x + cos x)(1 + sin x + cos 2x) = sin x + cos x <=> (sin x + cos x)(sin x + 1 – 2sin² x) = 0 <=> sin x + cos x = 0 (loại vì tanx+1=0) hoặc 1 + sin x – 2sin² x = 0 <=> sin x = 1 (loại vì cos x ≠ 0) hoặc sin x = –1/2 <=> x = –π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k thuộc Z)   Bài 4. Giải phương trình 2sin 2  x    2sin 2 x  tan x 4  Hướng dẫn ĐK: cos x  0      1  cos  2 x  2       2sin 2 x  sin x PT  2  2 cos x       2 2sin x cos x  sin x  1  sin 2 x  cos x  cos x 1  sin 2 x   sin x  sin 2 x  1  1  sin 2 x  cos x  sin x   0   x   k  sin 2 x  1 sin 2 x  1 4    k  z cos x  sin x  0  tan x  1  x     k  4 Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai - Trang | 7 -