Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán á tuyến trong không gian hai chiề...

Tài liệu Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán á tuyến trong không gian hai chiều

.PDF
78
365
100

Mô tả:

Bài toán truyền nhiệt là một trong nhiều bài toán vật lý cơ bản mà chúng ta thường hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó là yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường minh của bài toán nhưng còn lại đa số các bài toán chúng ta không tìm được nghiệm tường minh của chúng hoặc nếu có tìm được thì nghiệm của bài toán cũng ở dạng rất phức tạp, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số hàm, các bài toán á tuyến và các bài toán phi tuyến. Vì vậy, trong các trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp gần đúng để giải các bài toán này. Đến nay, có hai phương pháp quan trọng thường được sử dụng để tìm nghiệm gần đúng của bài toán truyền nhiệt đó là: Phương pháp sai phân hữu hạn và Phương pháp phần tử hữu hạn. Trong đó phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung cơ bản của phương pháp này là đưa bài toán vi phân về bài toán sai phân mà thực chất là một hệ phương trình đại số rồi sau đó ta giải bằng phương pháp số để tìm được nghiệm gần đúng. Tuy nhiên vấn đề quan trọng ở đây là xây dựng được lược đồ sai phân sao cho việc tính toán đơn giản, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tới nghiệm đúng của bài toán.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI -------------------------------------- ĐOÀN THANH SƠN PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI BÀI TOÁN Á TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU Chuyên nghành: Toán công nghệ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ TRỌNG VINH Hà Nội 11-2010 ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, cho em gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể cán bộ, giảng viên Trường Đại Học Bách Khoa – Hà Nội những người đang ngày đêm không quản ngại khó khăn tạo mọi điều kiện tốt nhất để chúng em học tập, khôn lớn và trưởng thành. Em xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô trong khoa Toán - Tin Ứng Dụng tạo điều kiện vật chất cũng như tinh thần trong suốt thời gian chúng em học vừa qua. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy, Cô trong và ngoài trường đã tham gia trực tiếp giảng dạy, truyền đạt lại cho em những kiến thức thiết thực, bổ ích trong khóa học Cao Học này. Em xin cảm ơn tập thể cán bộ Viện Đào Tạo Sau Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong khóa học vừa qua. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS. Lê Trọng Vinh, thầy giáo hướng dẫn tốt nghiệp của em. Thầy đã chỉ bảo, tận tình, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và cán bộ, giảng viên Trường Cao Đẳng Tài Chính Quản Trị Kinh Doanh những đồng chí, đồng nghiệp nơi em đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi để em tham dự học tập và hoàn thành khóa học này. Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp học Cao Học, Toán Công Nghệ khóa 2008 – 2010 những người đã cùng em học tập, phấn đấu, chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức, … và giúp đỡ nhau trong khóa học vừa qua. -1- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC LỜI NÓI ĐẦU Bài toán truyền nhiệt là một trong nhiều bài toán vật lý cơ bản mà chúng ta thường hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó là yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường minh của bài toán nhưng còn lại đa số các bài toán chúng ta không tìm được nghiệm tường minh của chúng hoặc nếu có tìm được thì nghiệm của bài toán cũng ở dạng rất phức tạp, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số hàm, các bài toán á tuyến và các bài toán phi tuyến. Vì vậy, trong các trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp gần đúng để giải các bài toán này. Đến nay, có hai phương pháp quan trọng thường được sử dụng để tìm nghiệm gần đúng của bài toán truyền nhiệt đó là: Phương pháp sai phân hữu hạn và Phương pháp phần tử hữu hạn. Trong đó phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung cơ bản của phương pháp này là đưa bài toán vi phân về bài toán sai phân mà thực chất là một hệ phương trình đại số rồi sau đó ta giải bằng phương pháp số để tìm được nghiệm gần đúng. Tuy nhiên vấn đề quan trọng ở đây là xây dựng được lược đồ sai phân sao cho việc tính toán đơn giản, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tới nghiệm đúng của bài toán. Nhận thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân hữu hạn, em đã tìm hiểu về phương pháp này. Cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy PGS.TS. Lê Trọng Vinh em đã chọn đề tài “Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán á tuyến trong không gian hai chiều”. Luận văn gồm các chương sau: Chương 1: Bài toán truyền nhiệt và lý thuyết lược đồ sai phân Chương 2: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt á tuyến trong không gian một chiều Chương 3: Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính trong không gian hai chiều hệ số biến thiên -2- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chương 4: Phương pháp một chiều địa phương giải bài toán truyền nhiệt á tuyến trong không gian hai chiều Chương 5: Tính toán một số kết quả trên máy tính -3- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN........................................................................................................................... - 1 LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................................... - 2 CHƯƠNG 1.............................................................................................................................. - 7 BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LÝ THUYẾT ..................................................................... - 7 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN.............................................................................................................. - 7 1.1. Mô hình toán học ........................................................................................................... - 7 1.2. Bài toán biên .................................................................................................................. - 9 1.2.1. Bài toán biên trong không gian một chiều ................................................................ - 9 1.2.2. Bài toán biên trong không gian hai chiều.................................................................- 10 1.3. Các khái niệm cơ bản về lược đồ sai phân ......................................................................- 11 1.3.1. Lưới và hàm lưới ....................................................................................................- 11 1.3.2. Khái niệm về sự ổn định .........................................................................................- 12 1.4. Các công cụ cần thiết để nghiên cứu lược đồ sai phân ....................................................- 13 1.4.1. Công thức đạo hàm sai phân ...................................................................................- 13 1.3.2. Công thức tổng riêng từng phần ..............................................................................- 13 1.3.3. Công thức khai triển Taylor ....................................................................................- 13 CHƯƠNG 2.............................................................................................................................- 14 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN.......................................................................- 14 TRUYỀN NHIỆT Á TUYẾN MỘT CHIỀU ............................................................................- 14 2.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến một chiều .........................................................................- 14 2.1.1. Phát biểu bài toán . .................................................................................................- 14 2.1.2. Lưới và hàm lưới ....................................................................................................- 14 2.2. Lược đồ sai phân ...........................................................................................................- 15 - -4- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC 2.3. Bài toán sai phân đối với sai số ......................................................................................- 17 2.4. Sự ổn định .....................................................................................................................- 18 2.5. Sự hội tụ........................................................................................................................- 21 CHƯƠNG 3.............................................................................................................................- 22 PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN .................................- 22 3.1. Phát biểu bài toán: .........................................................................................................- 22 3.2. Hàm lưới và đạo hàm lưới .............................................................................................- 22 3.2.1. Lưới .......................................................................................................................- 22 3.2.2. Hàm lưới và đạo hàm lưới.......................................................................................- 23 3.3. Xây dựng thuật toán ......................................................................................................- 24 3.4. Bài toán sai phân đối với sai số ......................................................................................- 27 3.5. Sự ổn định .....................................................................................................................- 28 3.6. Sự xấp xỉ .......................................................................................................................- 33 3.7. Sự hội tụ........................................................................................................................- 37 CHƯƠNG 4.............................................................................................................................- 39 PHƯƠNG PHÁP MỘT CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG GIẢI BÀI TOÁN ..........................................- 39 TRUYỀN NHIỆT Á TUYẾN HAI CHIỀU ..............................................................................- 39 4.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến hai chiều ..........................................................................- 39 4.2. Xây dựng thuật toán ......................................................................................................- 39 4.3. Bài toán sai phân đối với sai số ......................................................................................- 41 4.4. Sự ổn định .....................................................................................................................- 42 4.5. Sự xấp xỉ .......................................................................................................................- 46 4.6. Sự hội tụ........................................................................................................................- 50 CHƯƠNG 5.............................................................................................................................- 51 TÍNH TOÁN MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MÁY TÍNH............................................................- 51 - -5- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC 5.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến trong không gian một chiều ..............................................- 51 5.1.1. Bài toán ..................................................................................................................- 51 5.1.2. Giải bài toán ...........................................................................................................- 51 5.1.3. Kết quả chạy chương trình ......................................................................................- 51 5.2. Bài toán truyền nhiệt tuyến tính trong không gian hai chiều hệ số biến thiên ..................- 57 5.2.1. Phát biểu bài toán ...................................................................................................- 57 5.2.2. Giải bài toán ...........................................................................................................- 58 5.2.3. Kết quả chạy chương trình ......................................................................................- 58 5.3. Bài toán truyền nhiệt á tuyến trong không gian hai chiều ..............................................- 66 5.3.1. Phát biểu bài toán ...................................................................................................- 66 5.3.2. Giải bài toán ...........................................................................................................- 66 5.3.3. Kết quả chạy chương trình ......................................................................................- 67 KẾT LUẬN ............................................................................................................................- 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................- 77 - -6- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LÝ THUYẾT LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN Trong chương này, ta mô tả bài toán truyền nhiệt không dừng dạng á truyến và nội dung phương pháp sai phân hữu hạn để tìm nghiệm gần đúng. 1.1. Mô hình toán học Để môt tả bài toán được đơn giản ta xét mô hình toán học của bài toán truyền nhiệt trong không gian 3 chiều. Giả sử có khối lượng vật chất Ω trong không gian R3, gọi = ( , , , ) = ( , ) là nhiệt độ của vật thể tại điểm ( , , ) ∈ Ω ở thời điểm t. Nhiệt độ u sẽ thay đổi từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi nhiệt độ thấp. Sự lan truyền của nhiệt trong môi trường xem là đẳng hướng (nghĩa là lan truyền theo mọi hướng là như nhau). Xét mảnh mặt cong ∆ ∈ Ω. Nhiệt lượng Δ qua mảnh mặt Δ tại điểm ( , , ) ∈ Δ trong khoảng thời gian Δ được xác định theo quy luật Newtơn z M O ∆ ⃗ y x Δ = − ( , , , )Δ Δ (1.1) Trong đó k > 0 là hệ số dẫn nhiệt của môi trường Ω, nó là vật thể không đồng chất, ⃗ là véc tơ pháp tuyến tại ( , , ) ∈ Δ hướng theo chiều giảm của nhiệt độ. -7- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC ∈ Ω, giới hạn bởi mặt cong kín S, hướng Tổng quát xét vật thể có thể tích pháp tuyến vào phía trong. · Gọi Q1 là nhiệt lượng biến thiên trong vật thể tích V, trong khoảng thời gian từ → . Từ phương trình (1.1) ta suy ra: =− Áp dụng công thức Octporpagckuw cho tích phân trên mặt cong kín S ta được: = ( ) (1.2) · Tác động nguồn nhiệt F(x, y, z, t) vào vật thể V tại điểm M(x, y, z) ở thời điểm t (nguồn nhiệt có thể là thêm vào hay mất đi là tùy thuộc vào mong muốn). Khi đó, nhiệt lượng sinh ra hay mất đi của vật thể V trong khoảng thời gian từ → . =− (1.3) · Ta lại có: Gọi C = C(x, y, z) là nhiệt dung của vật thể V, ( , , ) là mật độ vật chất thì nhiệt độ u của vật thể V được thay đổi từ ( , , , )→ ( , , , ) = [ ( , , , ) − ( , , , )] . = ( , , , )− ( , , , ) Nhưng ⟹ = . -8- (1.4) ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Như vậy nhiệt lượng của vật thể V thay đổi trong khoảng thời gian từ → : Q3 = Q1 + Q2 . [ = ( )+ ] (1.5) Do thể tich V bất kỳ và t bất kỳ nên từ (1.5) ta suy ra: . = ( )+ (1.6) Phương trình này biểu thị phương trình chuyển động nhiệt trong môi trường đẳng hướng với vật chất không đồng chất. Trong trường hợp, nhiệt độ cao thì hệ số dẫn nhiệt k còn phụ thuộc cả vào ∶= nhiệt độ = ( ). Từ (1.6) ta có phương trình dạng á tuyến Trong bản luận văn này ta xét 3 trường hợp sau: ) = ( ) + ( , ) (1.7) Phương trình dạng á tuyến trong không gian 1 chiều ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) (1.8) Phương trình dạng tuyến tính trong không gian 2 chiều ) = ( ) + ( ) + ( , , ) (1.9) Phương trình dạng á tuyến trong không gian 2 chiều 1.2. Bài toán biên Ta đã biết, phương trình vi phân có vô số nghiệm phụ thuộc vào hằng số c bất kỳ. Để được nghiệm duy nhất ta cần bổ xung thêm các điều kiện phụ để xác định hằng số. 1.2.1. Bài toán biên trong không gian một chiều Tìm hàm = ( , ) là nghiệm của phương trình -9- ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC + ( , ) = trên miền Ω = { < (1.10) < , 0 < ≤ } thỏa mãn điều kiện ( , )= ( ) ; ( , )= ( ) 0< ≤ (1.11) Gọi là điều kiện biên tại x = a, x = b và điều kiện ban đầu tại t = 0 ( , 0) = ( ) , ≤ ≤ (1.12) Bài toán (1.10) (1.11) gọi là bài toán biên loại 1 còn điều kiện (1.12) gọi là trị ban đầu. Về mặt vật lý thì điều kiện (1.11) là điều kiện nhiệt độ u được cố định cho trước. Nếu điều kiện phụ (1.11) được thay bởi điều kiện ( , ) − ( , )= ( ) − ( , )= ( ) = (1.13) ( , ) = thì phương trình (1.10) với điều kiện (1.13) gọi là bài toán biên loại 3. , , , là những hàm đã cho. 1.2.2. Bài toán biên trong không gian hai chiều Tìm hàm = ( , , ) là nghiệm của phương trình (1.8) hoặc (1.9) trong miền Ω = Ω ∪ Γ × [0, ] trong đó Ω ∈ ( , , )= ( , , ) , Γ biên miền Ω thỏa mãn điều kiện: , ( , ) ∈ Γ, 0 < ≤ (1.14) trong đó ( , , ) là hàm số đã cho trên biên Γ của miền Ω. Ngoài ra còn điều kiện ban đầu ( , , 0) = ( , , 0) - 10 - , ( , )∈Ω (1.15) ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Điều kiện (1.14) được gọi là điều kiện biên loại 1, còn điều kiện (1.15) là trị ban đầu. Nếu ta thay (1.14) bởi: ( , , )− ( , , ) = ( , , ) , ( , ) ∈ Γ, 0 < ≤ (1.16) trong đó n là véc tơ pháp tuyến hướng ra phía ngoài của biên Γ. Điều kiện (1.16) được gọi là điều kiện biên loại 3, với = 0 ta có điều kiện biên loại 2. 1.3. Các khái niệm cơ bản về lược đồ sai phân 1.3.1. Lưới và hàm lưới Để giải gần đúng bài toán vật lý toán (gọi chung là bài toán vi phân) bằng phương pháp sai phân hữu hạn (gọi tắt là sai phân) ta phải tiến hành các bước sau: - Thay miền biến đổi liên tục của đối số bởi miền biến đổi rời rạc của đối số đó - Thay toán tử vi phân đã cho bởi toán tử sai phân tương ứng, đồng thời cũng thay đổi cả điều kiện biên, điều kiện ban đấu nếu có Sau khi thực hiện xong hai quá trình trên, ta sẽ nhận được một hệ hoặc hệ các phương trình đại số. Như vậy việc tìm nghiệm của bài toán vi phân xuất phát dẫn tới tìm nghiệm của hệ phương trình đại số. Nhưng việc xác định giá trị của hàm số tại mọi điểm xác định của đối số rõ ràng là rất khó thực hiện được, mà ta chỉ có thể tìm được giá trị gần đúng của nghiệm tại một số điểm xác định của nó. Vì vậy, ta cần chọn trong miền xác định đó một số hữu hạn điểm, mà tại các điểm đó ta sẽ tìm được các giá trị gần đúng của nghiệm. Tập các điểm đó gọi là lưới, và mỗi điểm thuộc lưới đó gọi là nút lưới. Hàm số xác định được tại các nút lưới được gọi là hàm lưới và nghiệm gần đúng tìm được phụ thuộc vào cách chọn lưới. - 11 - ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Như vậy, ta cần thay đổi miền biến đổi liên tục bởi miền biến đổi rời rạc là lưới, còn không gian nghiệm cần tìm được thay bởi không gian các hàm lưới. 1.3.2. Khái niệm về sự ổn định Hàm u(x) của đối số liên tục x ∈ G là phần tử của không gian H0 nào đó, khi đó các hàm lưới yh(x) cũng tạo thành không gian Hh. Như vậy phương pháp sai phân hữu hạn nghĩa là thay không gian H0 bởi không gian Hh của hàm lưới yh(x) trên lưới W . Khi đó, bài toán vi phân đã cho có thể viết lại được như sau: = ; ∈ ; ∈ (1.17) Trong đó B1, B2 là các không gian Banach, A là toán tử tuyến tính có miền xác định trong B1, miền giá trị B2 = R(A) Khi đó bài toán sai phân có dạng = ; ∈ ; ∈ (1.18) Trong đó B1h; B2h là không gian Banach các hàm lưới tương ứng, Ah là toán tử tuyến tính có miền xác định trong B1h Gọi u h là nghiệm của bài toán vi phân (1.17) và yh là nghiệm của bài toán sai phân (1.18) thì zh = yh – u h là sai số của nghiệm tại nút lưới w Định nghĩa 1: Ta nói nghiệm của bài toán sai phân (1.18) hội tụ tới nghiệm của bài toán vi phân (1.17) cấp h m với 0 < h < h0 đủ bé và m > 0 nếu ‖ ‖ =‖ − ‖ = (ℎ ) (1.19) ‖ ‖ =‖ − ‖ ≤ ℎ (1.20) hoặc Trong đó ‖ ‖ là hằng số dương nào đó không phụ thuộc là chuẩn trong B1h , vào h. Định nghĩa 2: Bài toán sai phân (1.18) được gọi là ổn định nếu yh phụ thuộc liên tục vào φ , nghĩa là ‖ ‖ ≤ ‖ ‖ với M > 0 là hằng số không phụ thuộc vào h. Bất đẳng thức (1.21) gọi là ước lượng tiên nghiệm của bài toán (1.18) - 12 - (1.21) ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC 1.4. Các công cụ cần thiết để nghiên cứu lược đồ sai phân 1.4.1. Công thức đạo hàm sai phân (u. v)′ = u′ v + uv ′ Trong giải tích ta có: Với ký hiệu yi = y(xi) ta có các ký hiệu đạo hàm sai phân như sau: Đạo hàm sai phân tiến cấp 1 − ℎ = Đạo hàm sai phân lùi cấp 1 − ℎ = Đạo hàm sai phân cấp 2 ∈ Trong đó: = 1 [ ℎ = ̅ − = ℎ; ℎ = ; = 0, ] là lưới đều trên đoạn [0,1] bước là h. Bỏ qua chỉ số i, ta hiểu là: x = xi với x ∈ w và ± = ( ± ℎ). Tương ứng với công thức đạo hàm trong giải tích ta có công thức đạo hàm sai phân như sau: ( ) = ( )̅= + ̅ = + ̅ (1.22) + = + ̅ (1.23) ̅ 1.3.2. Công thức tổng riêng từng phần ( , ( , )= ̅) – ( – = – –[ ] (1.24) , ) (1.25) ̅, Trong hai công thức (1.12) và (1.13) ta sử dụng các ký hiệu sau: ( , )= ℎ ( , ]= [ , )= ℎ ℎ (1.26) 1.3.3. Công thức khai triển Taylor ( +∆ )= ( )+ ∆ 1! ′( )+ (∆ ) 2! ′′ ( - 13 - ) + ⋯+ (∆ ) ! ( ) + ((∆ ) ) ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Á TUYẾN MỘT CHIỀU 2.1. Bài toán truyền nhiệt á tuyến một chiều Bài toán truyền nhiệt tuyến tính một chiều đã được nghiên cứu đầy đủ trong [3, 4, 6]; trong tài liệu đó cũng đã đề cập tới bài toán có phương trình dạng á tuyến. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu một cách cặn kẽ đối với bài toán này trong không gian một chiều với điều kiện biên loại 1. 2.1.1. Phát biểu bài toán . Từ chương 1 ta xét bài toán sau: Tìm hàm số ( ) − = ( , ); ( , ) ∈ = ( , ) ớ ( , 0) = ( ) ( , )= ( ) thỏa mãn ( , )∈ ∈ ={ < < ;0 < ≤ } =[ , ] (2.1) (2.2) ( , ) = ( ); ∈ (0, ] (2.3) Trong đó: , , , , là những hàm số đủ trơn thỏa mãn: ( ) ≥ , , , là các hàm số giới nội, với c1 là hằng số >0 a, b là những số cho trước thỏa mãn điều kiện a < b = { |0 ≤ ≤ } với T là số thực dương cho trước = × ={ ≤ ≤ ;0 ≤ ≤ } Giả sử bài toán (2.1) với các điều kiện biên (2.2), (2.3) có nghiệm đủ trơn trong Q . 2.1.2. Lưới và hàm lưới Chọn các số nguyên N, M Bước đi theo không gian x: ℎ = - 14 - ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 = Bước đi theo thời gian t: Đặt = = + ℎ; LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC = 0,1,2, … , = 0,1,2, … , Gọi Γ là tập biên của Ω: Γ = { = , = } Tập = ( , )( , )∈ gọi là tập các nút trong Tập = ( , )( , )∈ gọi là tập các nút biên Tập = ∪ gọi là lưới trên Q . Mỗi một điểm (x , t ) được gọi là một nút của lưới; hay còn được ký hiệu là nút (i,j). Hàm v xác định tại mọi nút của Ω gọi là hàm lưới trên Ω , giá trị của hàm tại nút (i, j) được ký hiệu là: v Ta có định nghĩa các đạo hàm lưới trên Ω được xác định bởi v ̅ được xác định bởi ∶= ( ) = ∶= ( ̅ ) = ̅ được xác định bởi ̅ được xác định bởi ̅ ̅ = như sau: ∶= ( ) = ∶= ( ̅ ̅ ̅) = gọi là đạo hàm sai phân cấp 2 ℎ 2.2. Lược đồ sai phân Ở đây ta sử dụng phương pháp sai phân ẩn để giải bài toán. Đặt toán tử: =( ( ) Ta có: ̅) ( )= ( ) à ( ) Lấy tích phấn 2 vế của (2.1) trên = (∗) ≈ − ≤ - 15 - ≤ + =ℎ tại điểm = ta được ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC − ⟺ ( ) 1 ℎ − 1 ℎ = − = ( , ) 1 ℎ (2.4) ( , ) (2.5) Xấp xỉ các tích phân ⟺ 1 ℎ 1 ℎ ( , ) ( , ) ≈ , ≈ , − , ≈ (2.6) , (2.7) = Từ biểu thức (*) và do giả thiết k(u) ≥ c > 0 ta suy ra: ( ) = ( ) (2.8) Lấy tích phân 2 vế của biểu thức (2.8) trên đoạn [ ( ) ( ) = ⟺ 1 ( ℎ − )= 1 ℎ Đặt: Do ≈ ( ) ( ) =[ ; ] ta có: (2.9) ( ) 1 ℎ ≈ 1 ℎ 1 ( ) ] 1 ( ) ≈ ( (2.10) ) là nghiệm cần tìm chưa có, nên ta thường chọn: + 2 = ( )+ ( 2 + 2 = ( )+ ( 2 ⟹ + (ℎ ) ) + (ℎ ) + (ℎ ) ) (2.11) + (ℎ ) Kết hợp (2.10) và (2.11) ta được: = − ℎ = - 16 - ̅, (2.12) ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Tương tự ta cũng có: − ℎ = = (2.13) ̅, Thay vào (2.5) ta được: = , 1 ℎ ( ) − ( ̅, ) + ̅, (2.14) Thay u bởi v là nghiệm của bài toán sai phân ta có: = , 1 ℎ , ( ) = − ( ̅, = = ; ( , 0) = ( + ℎ); ⟹ với: ) = 1; , ̅, = + (2.15) = = (2.16) = ( + ℎ) (2.17) − 1; = 1; −1 = − ℎ Trong đó: − ℎ = ̅, ̅, Công thức (2.15) và v = g(a + ih) cho ta thấy khi mà biết v ta sẽ tính được v bằng cách giải hệ đại số tuyến tính ba đường chéo, bằng công thức truy đuổi [9,10]. 2.3. Bài toán sai phân đối với sai số Xét v là nghiệm của bài toán sai phân (2.15) – (2.17) u là nghiệm của bài toán vi phân (2.1) – (2.3) Đặt z = v – u: Khi đó z được gọi là sai số của phương pháp sai phân. Thay vào (2.15) ta được: , − 1 ℎ ( + ) = − = =0 = − ( ) ̅, − ( + ) ̅, = (2.18) =0 (2.19) (2.20) với + 1 ℎ ( + ) ̅, - 17 - − ( + ) ̅, (2.21) ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC (2.18) – (2.20) được gọi là bài toán sai phân đối với độ sai nghiệm. 2.4. Sự ổn định Đặt: = Khi đó, phương trình (2.18) có thể được viết lại như sau: ( + )+ ( + ) +1 ( + ) ( + ) ⟺ ≤ ( + ) + ( + )+ + ( + ) +1 ⟹ ≤ + ≤ ( + ) + + = + + + (2.22) ∀ Vậy ta có: ≤‖ ‖ + ‖ ‖ ( 2.23) Bất đẳng thức (2.23) được gọi là bất đẳng thức ổn định, biểu diễn sự phụ thuộc của sai số vào điều kiện đầu và vế phải. Bây giờ ta xét sự ổn định của hệ số: Ta xét bài toán sai phân sau: ̅ − ( ( ) ̅) = ( ) ( ) = 0; ( ) (2.24) = 0; ( = 1,2, … , ) (2.25) = ( + ℎ); ( = 1,2, … , ) (2.26) Trong đó: = ( , − ); ( ( ) ̅) = 1 [ ( ) ℎ ̅ − ( ) ̅ ] So sánh nghiệm y của bài toán sai phân ban đầu (2.24) - (2.26) với nghiệm y của bài toán sai phân sau với hệ số thay đổi: ∗ ̅ − ̅ = - 18 - (2.27) ĐOÀN THANH SƠN – TOÁN CÔNG NGHỆ 2010 ( ) ( ) LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC ( ) = 0; ( ) = 0; ( = 1,2, … , ) (2.28) ( )( ) = ( + ℎ); ( = 1,2, … , ) (2.29) Giả thiết rằng hệ số của bài toán (2.27) - (2.29) và hệ số của bài toán (2.24) - (2.26) cùng được tính theo một công thức và thỏa mãn: a ≥ c > 0 Ta nói rằng lược đồ sai phân của ta có hệ số ổn định nếu trong trường hợp hội tụ theo một chuẩn nào đấy của hệ số nhiễu loạn khi h, τ → 0 thì nghiệm của bài toán sai phân nhiễu loạn hội tụ về nghiệm của bài toán vi phân. Theo định nghĩa thì lược đồ sai phân có hệ số ổn định, nếu từ điều kiện: ‖ − ‖ = (ℎ + (ℎ + với Ta có: ‖ − ‖ = (ℎ + ) (2.30) ) ⎯⎯ 0 , → ) Bổ đề 2.1: Nếu hệ số của phương trình sai phân thỏa mãn điều kiện ta có ước lượng sau: ‖ − ‖ ≤ ≥ > 0 thì ‖ − ‖ . Trong đó M1 là hằng số dương không phụ thuộc vào h và Chứng minh: Ký hiệu v = y − y, ta có bài toán sai phân đối với v là: ̅ −( ( ) ̅) (2.31) ( ) = 0; ( ) = 0; ( = 1,2, … , ) Với ∅ = ( − ) ( ) =∅ = 0; ( = 1,2, … , ) (2.32) (2.33) ̅ Đối với bài toán (2.31) – (2.33) ta có ước lượng sau ‖ − ‖=‖ ‖≤ . ‖∅‖ Ta có ước lượng ∅ là: ‖ ∅‖ = ( − ) ̅ = - 19 - ℎ ℎ ( − ) ̅ ,
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan