Phương pháp mô phỏng monte carlo và ứng dụng vào toán tài chính

  • Số trang: 79 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 158 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hoàng Thị Hồng Minh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG VÀO TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2012 Mục lục Lời nói đầu 1 Lời cảm ơn 2 1 Cơ sở lý thuyết 4 1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 1.1.2 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô" . . . . . . . . . . . . . 4 5 1.1.3 Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . 5 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 1.3 1.4 2 1.2.1 1.2.2 Biến ngẫu nhiên xung khắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biến điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 1.2.3 Mẫu phân tầng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện . . . . . . . . . . 14 1.2.5 Mẫu chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 15 23 1.3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các quá trình ngẫu nhiên . 25 1.3.2 Chuyển động Brown và cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 1.3.4 Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 34 Mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . 38 1.4.1 Phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . 39 1.4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính 2.1 Một số mô hình tài chính. 44 Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes . . . . . . . 46 2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học S(t) 49 i MỤC LỤC 2.2 2.3 2.4 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . 53 Định giá quyền chọn và phương pháp Monte - Carlo trong việc xây dựng mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Những hạn chế của mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận 64 Phụ lục 65 Tài liệu tham khảo 76 ii Lời nói đầu Ngày nay, mô phỏng số chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu khoa học, bao gồm cả mặt lý thuyết và thực nghiệm. Với sự phát triển nhanh và ngày càng phức tạp của các ngành khoa học nói chung và toán tài chính nói riêng, các phương pháp lý thuyết gặp nhiều khó khăn, bởi lẽ ở đó thường sử dụng tới các phép tính gần đúng. Mô phỏng số có thể kiểm chứng những phép tính gần đúng từ lý thuyết, từ đó góp phần hạn chế sai số. Các kết quả định lượng để mô phỏng số còn được sử dụng để so sánh với các kết quả nghiên cứu thực nghiệm. Ngoài ra, mô phỏng còn được xem như là bước "số hóa thực nghiệm", nó được tiến hành trước bước thực nghiệm để thu được kết quả tốt hơn, tiết kiệm được chi phí cho các lần thực nghiệm. Một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến được ứng dụng trong toán tài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính. Tên gọi "phương pháp Monte Carlo" xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm 1949-1950, nhưng thật ra nó ra đời trong những năm 1943-1944 gần như cùng thời với máy tính điện tử đầu tiên ở Mỹ, và được giới thiệu vào nước ta từ những năm 1963-1964, nhưng thực sự được áp dụng phổ biến từ sau những năm 1975-1977. Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường được dùng để mô phỏng các hiện tượng xác suất, những hiện tượng không thay đổi đặc tính theo thời gian, nó cũng được sử dụng để tính toán các biểu thức không theo xác suất bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo được ứng dụng phổ biến trong các ngành công nghiệp tài chính và bảo hiểm. Nó là công cụ cần thiết cho các kỹ sư và chuyên gia tính toán tài chính khi phải tính toán các loại giá cả hay tính toán rủi ro phức tạp. Do đó, tác giả đã chọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các cách cải tiến và ứng dụng của nó trong việc mô phỏng nghiệm của các quá trình vi phân ngẫu nhiên, cũng như các ứng dụng để định giá quyền chọn trong lĩnh vực toán tài chính. Bố cục luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, tác giả giới thiệu về phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các định lí cơ bản, và trình bày các phương pháp khác nhau để tăng tốc độ tính toán mà được gọi 1 MỤC LỤC chung là phương pháp giảm phương sai. Tiếp theo, tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và mô phỏng Monte Carlo cho chuyển động Brown. Ngoài ra, tác giả còn mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng phương pháp xấp xỉ Milstein và xấp xỉ Euler-Maruyama. Chương 2: Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình toán tài chính Trong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mô hình Black Scholes, một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes. Tác giả cũng trình bày cách xác định các hệ số thị trường chứng khoán (µ: tỉ lệ trung bình của giá cổ phiếu luân chuyển; σ : độ biến động giá của cổ phiếu). Tác giả đã trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán và quyền chọn mua, bằng lý thuyết. Tác giả cũng đã thu thập một bộ dữ liệu thật về giá cổ phiếu và dùng nhiều phương pháp khác nhau để tính toán sau đó so sánh các kết quả chạy máy này với các kết quả do lý thuyết chứng minh được. Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn! 2 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Thịnh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho bản luận văn của tác giả. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Hoàng Thị Hồng Minh 3 Chương 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo Phương pháp mô phỏng Monte Carlo hay còn gọi là phương pháp thử thống kê được định nghĩa như là phương pháp tính, bằng cách biểu diễn nghiệm các bài toán dưới dạng các tham số của một đám đông lý thuyết và sử dụng dãy số ngẫu nhiên để xây dựng mẫu đám đông mà từ đó ta thu được ước lượng thống kê của các tham số. Nói cách khác, phương pháp Monte Carlo cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài toán bằng cách thực hiện các thí nghiệm lấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên. Ý tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là xấp xỉ một kỳ vọng E(X) bởi trung bình cộng các kết quả của nhiều lần thí nghiệm độc lập, trong đó các biến ngẫu nhiên X có cùng phân phối. Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là một trong những kết quả quan trọng của lý thuyết xác suất, đó là Luật mạnh số lớn. 1.1.1 Luật mạnh số lớn Định lí 1.1.1. Giả sử (Xn )n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối và được xác định trên một không gian xác suất (Ω, z, P). Đặt : µ = E(X1 ) Khi đó, với mọi ω ∈ Ω: 1 n n→∞ Xi (ω) −−−→ µ, P − h.c.c ∑ n i=1 (Xem chứng minh trong [9]) 4 Chương 1. Cơ sở lý thuyết 1.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô" Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực với E(X) < ∞. Thuật toán 1.1.2. (Phương pháp Monte Carlo "thô") Xấp xỉ E(X) bởi trung bình số học n1 ∑ni=1 Xi (ω) , với mọi n ∈ N. Ở đây, Xi (ω) là kết quả của n phép thử độc lập, có cùng phân phối xác suất với X. Định lí 1.1.3. (Ước lượng không chệch của phương pháp Monte Carlo) Giả sử (Xn )n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, z, P). Khi đó ước lượng Monte Carlo: 1 n X n := ∑ Xi , n ∈ N n i=1 là một ước lượng không chệch với µ = E(X), hay một cách tương đương ta có: E(X n ) = µ (Xem chứng minh trong [13]) Định lí 1.1.4. (Định lí giới hạn trung tâm) Giả sử (Xn )n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, z, P). Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn σ 2 = Var(X). Khi đó: ∑ni=1 Xi − n.µ D √ − → N (0; 1); n.σ khi n→∞ (Xem chứng minh trong [5]) 1.1.3 Ví dụ 1. Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo Một thí nghiệm để tính giá trị xấp xỉ của π là giao của một phần của đường tròn đơn vị (C ) có tâm là gốc tọa độ với hình vuông đơn vị dương [0, 1]2 . Thí nghiệm được thực hiện bằng cách lấy ngẫu nhiên các điểm P1 , P2 , ..., Pn của hình vuông đơn vị và giả sử rằng: Xi = 1Pi ∈C 5 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Khi đó : Pi ∈ int(C ) hoặc Pi ∈ bound(C ) Do đó, ta ngầm giả sử rằng điểm được chọn có phân bố đều trên [0, 1]2 . Khi đó ta có: P(Pi ∈ C ) = π 4 Suy ra , xác suất của C bằng diện tích của phần giao đó. Do hàm chỉ tiêu 1Pi thỏa mãn : E(1Pi ) = P(Pi ∈ C ) = π 4 Vì vậy chúng ta có thể ước lượng π bằng cách tính trung bình cộng của các Pi tương ứng để thu được ước lượng Monte Carlo: 4 n π̂(ω) = . ∑ 1Pi ∈C (ω) n i=1 Tốc độ hội tụ của phương pháp được minh họa bởi bảng kết quả sau: n 100 10.000 100.000 π̂ 2.84 3.1268 3.14144 Bảng 1.1 (Ước lượng Monte Carlo "thô" của π) Nhận xét rằng, tốc độ hội tụ của phương pháp Monte Carlo khá chậm, tuy nhiên cần phải chú ý rằng sai số tương đối của ước lượng này dưới 0.5 %. So sánh với điều này ta thấy, ước lượng với n = 100.000 cho ta kết quả tương đối chính xác. Độ tin cậy [π̂low , π̂up ] của ước lượng Monte Carlo được tính : n π̂low 100 10.000 100.000 2.477 3.0938 3.13105 π̂up 3.203 3.1598 3.15183 Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% của π) Ví dụ 2. (Ước lượng xác suất của một biến cố) Ước lượng xác suất của một biến cố là một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp Monte Carlo. Giả sử A là một biến cố nào đó. Ước lượng P(A)? Xét : 1A (ω) =   1 nếu ω ∈ A  0 nếu ω ∈ /A 6 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Suy ra E(1A ) = P(A) và khi đó ước lượng Monte Carlo cho P(A) là tần suất tương đối của số lần xuất hiện của A trong n lần thí nghiệm độc lập. Một cách hình thức, giả sử Ai là số lần xuất hiện A trong thí nghiệm thứ i, khi đó ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A) như sau: 1 n r fn (A) = . ∑ 1Ai n i=1 Khi đó ta cũng có: Var(1A ) = P(A).(1 − P(A)), σˆn = r fn (A).(1 − r fn (A)) và khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là: 1.96 1.96 [r fn (A) − √ .σˆn , r fn (A) + √ .σˆn ] n n Ví dụ 3. (Tích phân Monte Carlo) Một ứng dụng rất đơn giản nhưng hiệu quả của Monte Carlo là tính gần đúng các giá trị của các tích phân tất định có dạng: Z g(x) dx [0,1]d (g(x) là hàm bị chặn, nhận giá trị thực.) Hàm mật độ f (x) của phân bố đều d chiều trên [0, 1]d : f (x) = 1[0,1]d (x); x ∈ Rd Khi đó, với X ∼ U ([0, 1]d ): Z I= Z g(x) dx = f (x)g(x) dx = E(g(X)) [0,1]d Giả sử X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố đều trên [0, 1]d , khi đó, ước lượng Monte Carlo là: 1 n Iˆn (ω) = . ∑ g(Xi (ω)) n i=1 R1 Cụ thể, ta áp dụng mô phỏng Monte Carlo để tính tích phân I = cos(x2 ).sin(x4 ) dx. 0 Tích phân này không tính được theo một công thức thông thường. Trước hết, ta có nhận xét: • Với một biến ngẫu nhiên X, với một hàm mật độ f (x) và ϕ là một hàm Borel thì biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X) có kỳ vọng là: Z∞ E(Y ) = f (x).ϕ(x) dx. −∞ 7 Chương 1. Cơ sở lý thuyết • Mặt khác, với một biến ngẫu nhiên V phân phối đều trên [0, 1], ta biết rằng hàm mật độ của nó là: fV (x) =   1 nếu x ∈ [0, 1]  0 nếu x ∈ / [0, 1] R1 • Do đó, đối với một tích phân ϕ(x) dx ta có thể viết nó dưới dạng: 0 Z1 Z∞ 1.ϕ(x) dx = 0 fV (x).ϕ(x) dx = E[ϕ(V )] −∞ Vì vậy, bài toán tính tích phân trên trở thành bài toán tính kỳ vọng E[ϕ(V )], trong đó V là biến ngẫu nhiên phân phối đều trên[0, 1] mà ta luôn có thể mô phỏng trên máy tính. R1 Đối với tích phân I = cos(x2 ).sin(x4 ) dx = E[cos(V 2 ).sin(V 4 )], ta có thuật toán để tính I 0 như sau: (1). Chọn một số nguyên dương n khá lớn; (2). Mô phỏng V,U ∼ U[0, 1];V,U độc lập; (3). Đặt Ti = cos(Vi2 ).sin(Ui4 ), với i = 1, 2, 3, ..., n; (4). Ước lượng I bởi θ̂n = 1n . ∑nk=1 Tk ; (5). I ' θ̂n . Dùng hàm ’quald’ với các hệ số mặc định của hàm ta được kết quả xấp xỉ sau:0.139567 Sau đây là một số ước lượng của tích phân I ứng với các giá trị lớn n : I ' θ̂n √n θ̂n − 3σ n √n θ̂n − 3σ n 103 0.145294 0.130071 0.160518 104 0.138850 0.134105 0.143595 105 0.139484 0.137974 0.140993 n 1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo Nhược điểm chính của phương pháp mô phỏng Monte Carlo là tốc độ hội tụ của nó. Trong xác suất, điều này chỉ được khắc phục khi độ lệch chuẩn giảm thì số lần mô phỏng sẽ giảm. Do đó, nếu có thể thay đổi tốc độ hội tụ của phương sai thì có thể tăng tốc độ tính toán điện tử, theo nghĩa rằng đạt được độ chính xác, đòi hỏi số ít lần chạy mô phỏng. Mọi sự cải tiến của phương pháp Monte Carlo "thô" được gọi là phương pháp giảm phương sai . Trong mục này tôi xin giới thiệu một số phương pháp giảm phương sai phổ biến. 8 Chương 1. Cơ sở lý thuyết 1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc Phương pháp sử dụng các biến ngẫu nhiên xung khắc là phương pháp giảm phương sai dễ dàng nhất. Nguyên lý cơ bản là giảm phương sai bằng cách lấy đối xứng. Giả sử chúng ta muốn tính E( f (X)) với X là một biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0, 1]. Khi đó ước lượng Monte Carlo "thô" sẽ là: 1 n f (X) = . ∑ f (Xi ) n i=1 với Xi là các thành phần độc lập của X. Ta sử dụng các số 1 − X1 , ..., 1 − Xn và định nghĩa ước lượng Monte Carlo xung khắc: 1 n 1 1 n fanti (X) = .( ∑ f (Xi ) + ∑ f (1 − Xi )) 2 n i=1 n i=1 (1.1) Chú ý rằng khi cả X và 1 − X có cùng phân bố, thì cả hai tổng ở vế phải của đẳng thức (1.1) đều là ước lượng không chệch của E( f (X)). Do đó ước lượng xung khắc cũng là không chệch. Đặt σ 2 = Var( f (X)). Khi đó phương sai của ước lượng xung khắc được cho bởi: σ2 1 Var( fanti (X)) = + Cov( f (X), f (1 − X)) 2n 2n Mệnh đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Chebyschev.) Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực. Giả sử f , g là các hàm không giảm với Cov ( f (X), g(X)) hữu hạn. Khi đó ta có: E( f (X)g(X)) ≥ E( f (X))E(g(X)) Bằng việc chọn g(x) = − f (1 − x), ta có mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ mệnh đề trên: Mệnh đề 1.2.2. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố đều). Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố đều trên [0, 1] với Cov ( f (X), f (1 − X)) hữu hạn. Khi đó ta có: Cov ( f (X), f (1 − X)) ≤ 0 Mệnh đề 1.2.3. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố chuẩn) Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố chuẩn N (µ, σ 2 ) với Cov ( f (X), f (2µ − X)) hữu hạn. Khi đó ta có: Cov ( f (X), f (2µ − X)) ≤ 0 9 Chương 1. Cơ sở lý thuyết 1.2.2 Biến điều khiển Nguyên lý của biến điều khiển dựa trên ý tưởng: nếu muốn tính E(X), thì phải cố gắng tính toán càng nhiều để độ chính xác càng tốt. Chính xác hơn, nếu biết một biến ngẫu nhiên Y gần tới X theo một nghĩa nào đó và có thể tính toán E(Y ) một cách chính xác, khi đó biến ngẫu nhiên này có thể được chọn như là biến điều khiển, một cách tương đương ta có: E(X) = E(X −Y ) + E(Y ) từ đó dẫn đến ước lượng biến điều khiển Monte Carlo sau: XY = 1 n ∑ (Xi −Yi) + E(Y ) n i=1 với Xi ,Yi là các thành phần độc lập của X,Y . Từ biểu thức liên hệ: 1 1 Var(X Y ) = .Var(X −Y ) = (Var(X) + Var(Y ) − 2Cov(X,Y )) n n ta thu được sự giảm phương sai của trong ước lượng biến kiểm soát Monte Carlo so với ước lượng Monte Carlo "thô" như sau: Do Var(X) ≥ Var(X −Y ) nên độ chênh lệch về phương sai của hai phương pháp ước lượng là: 2Cov(X,Y ) − Var(Y ) Những ứng dụng mở rộng của phương pháp biến điều khiển. 1. Tối ưu hóa biến điều khiển: Nếu ta tìm thấy biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn yêu cầu thì aY cũng được sử dụng như một biến điều khiển với a > 0. Do tính chất tuyến tính của kỳ vọng, ước lượng biến điều khiển mới cũng không chệch. Vì vậy việc sử dụng biến điểu khiển Y đạt được thông qua số nhân a∗ nhỏ nhất: g(a) = Var(X − aY ) = Var(X) + a2 .Var(Y ) − 2aCov(X,Y ) = σ 2 + a2 .σY2 − 2a.σX,Y Từ đó, ta có: a∗ = và: σX,Y σY2 2 σXY 2a Cov(X,Y ) − (a ) .Var(Y ) = 2 σY ∗ ∗ 2 10 (1.2) Chương 1. Cơ sở lý thuyết kết hợp với: σXY = ρX,Y .σX .σY Ta có sự giảm phương sai tối đa như sau: 2a∗ Cov(X,Y ) − (a∗ )2 .Var(Y ) 2 = ρX,Y Var(X) 2. Điều khiển bội Theo cách xây dựng ước lượng biến điều khiển, ta có thể lấy thêm một biến điều khiển khác, gọi là Z, như sau: X Y,Z 1 n = X Y = ∑ Zi + E(Z) n i=1 Đây là ước lượng không chệnh với µ = E(X). Hơn nữa, nó còn dẫn đến sự giảm phương sai nếu: Var(Z) < 2Cov(XY , Z) Trong trường hợp Zi và Yi không tương quan, thì ta có: Var(Z) < 2Cov(X, Z) Vậy một trong những ứng dụng của điều khiển bội là dùng trong trường hợp nhiều chiều: X = f (Y1 , ...,Yd ) đó là phương pháp điều khiển biến trong trường hợp không có điều kiện. 3. Biến điều khiển và chuỗi xấp xỉ Không dễ dàng để tìm được một biến điều khiển tốt. Giả sử có ước lượng : µ = E( f (X)) và có khai triển xấp xỉ Taylor đến bậc k như sau: n fk (x) = ∑ i=1 f ( j) (x0 ) (x − x0 ) j j! Vấn đề đặt ra là, liệu có thể xác định được giá trị x0 như trên để có thể giảm phương sai một cách nhiều nhất khi sử dụng fk (X) như là hàm biến thiên đồng thời. Tất nhiên điều này phụ thuộc nhiều vào việc tính toán tất cả các giá trị của X cho đến bậc k và đặc biệt là tính tất cả các phương sai: Cov(X j , f (X)) . 11 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Ví dụ 4. R1 Xét một tích phân đơn giản x2 dx;. 0 Ta có thể thay thế biến điều khiển X của f (X) = X 2 bởi biến điều khiển: 1 1 1 1 f1 (X) = f 0 ( )(X − ) + f ( ) = X − 2 2 2 4 Vì vậy, ước lượng tuyến tính tốt nhất mà ta đạt được trong trường hợp này là xấp xỉ Taylor cấp 1 tại giá trị x0 = 12 . (Xem hình 1.1) Hình 1.1: 4. Biến điều khiển trung bình không điều kiện Phương pháp sử dụng biến ngẫu nhiên điều khiển không điều kiện là xấp xỉ kỳ vọng của các hàm nhiều chiều: E(g(X)) = E(g(X (1) , ..., X (d) )) với d đơn biến điều khiển. Y UM j (X) = g(µ1 , ..., µi−1 , X (i) , µi+1 , ..., µd ), j = 1, ..., d với µ j = E(X ( j) ), được gọi là biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện. Ta có ước lượng của biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện: ! n d d 1 UMC Xn = ∑ g(Xi ) − ∑ Y UM j (X) + ∑ E(Y UM j (X)) n i=1 j=1 j=1 12 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Ví dụ 5. Ta xem xét một ví dụ đơn giản như sau: Giả sử có biến ngẫu nhiên X = (X (1) , X (2) , X (3) ) có phân bố chuẩn nhiều chiều     1 1 0.8 0.8         X ∼ N  1  ,  0.8 1 0.64      1 0.8 0.64 1 Ta muốn ước lượng: E(g(X)) = E(X (1) .X (2) .X (3) ) Suy ra, biến điều khiển đơn giản là các thành phần X (i) . Khi đó ước lượng của biến ngẫu nhiên trung bình không điều kiện được cho như sau: UMC Xn = 1 n (1) (2) (3) (1) (2) (3) (Xi .Xi .Xi − Xi − Xi − Xi ) + 3 ∑ n i=1 Chẳng hạn, với n = 10.000, một mô phỏng cho ta những kết quả cho trong bảng 1.3 dưới đây. Phương pháp Bảng 1.3 Trung bình Cận dưới Cận trên CMC 3.240 3.120 3.361 UMCV 3.201 3.096 3.306 E(X (1) .X (2) .X (3) ) ước lượng Monte Carlo "thô" (CMC) và phương pháp biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện (UMCV), n = 10.000 1.2.3 Mẫu phân tầng Trong phương pháp phân tầng lấy mẫu, phương sai của biến ngẫu nhiên X được chia thành d phần khác nhau được xác định bởi các giá trị y1 , ..., yd của một biến ngẫu nhiên thứ hai là Y . Khi đó, nếu: • phân bố xác suất của Y đã biết hoặc dễ dàng tính toán được, và • X|Y có thể dễ dàng mô phỏng thì: d µ = E(X) = ∑ E(X|Y = yi ).P(Y = yi ) i=1 Nếu tất cả các xác suất pi = P(Y = yi ) đều đã biết thì ta chỉ cần mô phỏng d kỳ vọng khác nhau với phương pháp Monte Carlo "thô" phù hợp. Để chứng minh rằng điều này dẫn đến sự 13 Chương 1. Cơ sở lý thuyết giảm phương sai, với i = 1, ..., d ta định nghĩa: X i,ni = 1 ni ni ∑ (i) X j , µi = E(X|Y = yi ), σi2 = Var(X|Y = yi ) j=1 (i) Tất cả các biến ngẫu nhiên X j có cùng phân bố xác suất với X|Y = yi . Khi đó ta có ước lượng Monte Carlo phân tầng của µ là: d X strart,n = ∑ pi .X i,ni i=1 với n = n1 + ... + nd . Nhận xét thấy rằng ước lượng Monte Carlo phân tầng là ước lượng không chệch của µ. Thậm chí, ta có thể thấy rằng ước lượng phân tầng có phương sai nhỏ hơn so với ước lượng Monte Carlo "thô", thật vậy :(chú ý rằng các X i,ni , i = 1, ..., d độc lập (có điều kiện)) ! d d d  σ2 pi Var X strart,n = Var ∑ pi .X i,ni = ∑ p2i . i = ∑ pi σi2 n n i i i=1 i=1 i=1 Và từ: d d E(Var(X|Y )) = ∑ Var(X|Y = yi ).P(Y = yi ) = ∑ pi σi2 , i=1 i=1 2 σ = Var(X) = E(Var(X|Y )) + Var(E(X|Y )) ≥ E(Var(X|Y )) Nếu E(X|Y ) khác hằng số h.c.c, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.4. (Giảm phương sai với các trọng số được lựa chọn tốt) (a) Với các kí hiệu n1 , ..., nd tồn tại ở trên thì phương sai của ước lượng Monte Carlo phân tầng nhỏ hơn so với ước lượng Monte Carlo "thô" của µ. (b) Giả sử rằng tất cả các giá trị của n pi đều là số nguyên. Khi đó, với sự lựa chọn tỉ lệ phân tầng ni = n pi , phương sai của ước lượng Monte Carlo phân tầng nhỏ hơn thực sự so với phương sai của ước lượng Monte Carlo "thô" nếu E(X|Y ) không là hằng số hầu chắc chắn. (c) Việc giảm phương sai lớn nhất là khi chọn: n∗i = n. p i σi ∑dj=1 p j σ j (không giảm tổng quát, ta giả sử rằng tất cả σ j là các số dương). 1.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện Giả sử rằng: • E(X|Y ) có thể được tính toán một cách chính xác bằng công thức tích phân đã cho. 14 Chương 1. Cơ sở lý thuyết • Phân bố của Y được ước lượng bằng phương pháp Monte Carlo (thô). Bằng việc biến đổi: µ = E(X) = E(E(X|Y )) (1.3) ta có một ước lượng Monte Carlo của µ bằng cách lấy mẫu E(X|Y ). Ước lượng Monte Carlo có điều kiện được tính như sau: • Lấy mẫu Y n lần để được các giá trị Y1 , ...,Yn , • Tính E(X|Yi ) • Đặt: X cond,n = 1 n ∑ E(X|Yi) n i=1 Nhận xét thấy rằng X cond,n là ước lượng không chệch. Ta có: σ 2 = Var(X) = E(Var(X|Y )) + Var(E(X|Y )) ≥ 2 ≥ Var(E(X|Y )) =: σcond Khi đó ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.5. Với các kết quả và kí hiệu trên, phương sai của ước lượng Monte Carlo có điều kiện không vượt quá phương sai của ước lượng Monte Carlo thô. Nếu X|Y khác hằng số hầu chắc chắn thì bằng việc sử dụng ước lượng Monte Carlo có điều kiện sẽ giảm được 2 ). phương sai (lượng phương sai giảm được là σ 2 − σcond 1.2.5 Mẫu chính Mẫu chính được xây dựng dựa trên một sự biến đổi trực tiếp của hàm mật độ của X (hoặc biến đổi hàm xác suất, trong trường hợp X là một biến ngẫu nhiên rời rạc). Ý tưởng chính của phương pháp lấy mẫu chính là để tìm một phân phối cho các biến ngẫu nhiên cơ bản bằng cách xác định một mẫu có xác suất cao với những giá trị rất quan trọng để tính toán kỳ vọng, E(g(X)). Để thấy sự thay đổi của phương pháp, ta quay lại xem xét tích phân Monte Carlo trong ví dụ 3. Với f (x) là hàm mật độ của phân bố đều trên U[0, 1]d ta có: Z Z g(x) dx = g(x) f (x) dx = E(g(X)) [0,1]d từ đây ta có thể tính tích phân xác định thông qua sử dụng N biến ngẫu nhiên độc lập X1 , ..., XN có phân phối đều trên U[0, 1]d để có ước lượng Monte Carlo thô: I N (ω) = 1 N ∑ g(Xi(ω)) N i=1 15 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Cụ thể ta xét trường hợp: d = 1, g(x) = x.(1 − x) là một hàm không âm, đối xứng trên đoạn [0, 1], g(1) = g(0) = 0, maxg(x) = g( 12 ) = 14 . Bây giờ thay vì dùng phân phối đều trên [0,1] đoạn [0, 1], thì ta sử dụng phân phối tam giác cho biến ngẫu nhiên X, tức là nó có mật độ xác suất :     0, nếu x ≤ 0 hoặc x ≥ 1    f˜(x) = 4x, nếu 0 < x < 21      4 − 4x, nếu 1 ≤ x < 1 2 (1.4) (Xem hình 1.2 và hình 1.3) Hình 1.2: Khi đó giá trị của tích phân sẽ không thay đổi nếu ta lấy mẫu theo hàm mật độ f˜, ta có: Z1 0 x.(1 − x) dx = Z1 0 x.(1 − x) ˜ f (x) dx f˜(x) Điều này có nghĩa rằng khi chúng ta sử dụng phân phối mới, chúng ta có mẫu được ước lượng Monte Carlo mới: X(1−X) fe(X) để có 1 N Xi (1 − Xi ) I imp = ∑ N i=1 f˜(Xi ) Chú ý rằng, Xi có phân phối theo mật độ f˜(.) . Một so sánh đơn giản của việc sử dụng ước lượng Monte Carlo giữa xấp xỉ đều và xấp xỉ tam giác với N = 1.000 cho thấy sự vượt trội của phương pháp mới. Kết quả thu được là: 16 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Hình 1.3: Phương Kết quả Khoảng tin cậy 95% 0.163 [0.158, 0.167] Phương sai pháp CMC 1 180N 1 64.18N Var(I crude ) = 1 IMC 0.168 [0.166, 0.170] Var(I imp ) = 1152N = (CMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlo thô; IMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlo bằng lấy mẫu chính.); kết quả chính xác bằng 1 6 Nhận xét thấy rằng, việc sử dụng phương pháp lấy mẫu chính cho ta kết quả chính xác hơn. Mặt khác, với phương pháp mới này, phương sai cũng nhỏ hơn so với phương pháp cũ (Var(I crude ) ≥ Var(I imp )). Như vậy, phương sai của ước lượng Monte Carlo bằng việc sử dụng phương pháp lấy mẫu chính đã được giảm ít hơn 1/6 so với phương sai của ước lượng Monte Carlo thô. Bây giờ ta sẽ áp dụng phương pháp lấy mẫu chính để tính kỳ vọng trong trường hợp tổng quát: Z E(g(X)) = g(x) f (x) dx Trong đó, biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong Rd có hàm mật độ là f (x), và giả sử rằng kỳ vọng của hàm g : Rd → R tồn tại. Mọi hàm mật độ f˜(x) trên Rd thỏa mãn: f˜(x) > 0, (∀x : f (x) > 0) 17 (1.5)
- Xem thêm -