Tài liệu Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2017 iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 5 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn . . . . . . 5 Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . 16 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 18 Chương 2. Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1 2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất . . . . . . 25 2.2.1 2.2.2 2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất của Yamada 25 Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất . . 27 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 1 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E E∗ không gian Banach không gian đối ngẫu của E SE R mặt cầu đơn vị của E tập các số thực ∀x D(A) với mọi x miền xác định của ánh xạ A R(A) miền ảnh của ánh xạ A I lp , 1 < p < ∞ ánh xạ đồng nhất không gian các dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], 1 < p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn xn → x0 giới hạn dưới của dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn J dãy {xn } hội tụ yếu về x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc x0 j Fix(T ) ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f 2 Mở đầu Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng của H và F : H → H là một ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality) được phát biểu như sau: Tìm điểm p∗ ∈ C thỏa mãn: F p∗ , p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C. (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia, Stampacchia (xem [10] và [15]), nghiên cứu và đưa ra đầu tiên vào cuối những năm 60 và đầu những năm 70 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay, bất đẳng thức biến phân luôn là một đề tài thời sự, thu hút được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu do vai trò quan trọng của bài toán trong lý thuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực tế. Khi tập ràng buộc C của bài toán (1) được cho dưới dạng ẩn là tập điểm bất động chung của một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các ánh xạ không giãn thì bài toán (1) còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, phân phối băng thông và bài toán điều khiển tối ưu. . . . Đối với lớp bài toán này, phương pháp lai ghép đường dốc nhất của Yamada đề xuất năm 2001 (xem [17]) tỏ ra là phương pháp khá hiệu quả khi ánh xạ F : H → H là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên không gian Hilbert H. Phương pháp này đã khắc phục được khó khăn của việc thực hiện phép chiếu mêtric PC chiếu H lên tập con lồi đóng bất kỳ C của H khi dùng dãy lặp Picard dạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải, ở đây {λn } là dãy tham số thỏa mãn một số điều kiện nhất định. Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng và cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc nhất cho bất 3 đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay nửa nhóm các ánh xạ không giãn. Các phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Luận văn trình bày phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach trên cơ sở 2 bài báo [6] và [8] của Nguyễn Thị Thu Thủy và các đồng tác giả công bố năm 2015 và 2017. Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 "Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu về bất đẳng thức biến phân đơn điệu và j-đơn điệu trong không gian Banach. Chương 2 "Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu về nửa nhóm ánh xạ không giãn, trình bày sự hội tụ của phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn và trình bày ví dụ minh họa. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô của khoa Toán–Tin và các thầy cô trong trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Đông Triều - Quảng Ninh và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên. 4 Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Việt 5 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach phản xạ, lồi đều, trơn đều, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ j-đơn điệu, đồng thời giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, j-đơn điệu trong không gian Banach. Các kiến thức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1]-[5], [9]-[14] và [18]. 1.1 Không gian Banach Cho E là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là E ∗ . Ta dùng ký hiệu . cho chuẩn trong E và E ∗ và viết tích đối ngẫu x∗ , x thay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ tại điểm x ∈ E, tức là x∗ , x = x∗ (x). 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E được gọi là phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với mọi x∗ ∈ E ∗ . Định lý 1.1.2 Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: 6 (i) E là không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu. Ví dụ 1.1.3 Các không gian véc tơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ là các không gian Banach phản xạ. Ký hiệu SE := {x ∈ E : x = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach E. Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ SE , x = y, ta có (1 − λ)x + λy < 1 với mọi λ ∈ (0, 1). Chú ý 1.1.5 Định nghĩa 1.1.4 còn có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ E, x = y, mà x = 1, y = 1 ta có x+y < 1. 2 Ví dụ 1.1.6 Không gian E = Rn với chuẩn x n x được xác định bởi 1/2 x2 i = 2 2 , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 là không gian lồi chặt. Không gian E = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x 1 xác định bởi n x 1 |xi |, = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 không phải là không gian lồi chặt. Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, . . . , 0), y = (0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn . Ta thấy x = y, x x + y 1 = 2. 1 = y 1 Tương tự không gian E = Rn với x không lồi chặt. ∞ = max |xi |, 1≤i≤n x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn = 1 nhưng 7 Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta luôn có x+y ≤ 1 − δ. 2 Ví dụ 1.1.8 Không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b] với 1 < p < ∞ là các không gian lồi đều. Ta sẽ chỉ ra không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành x+y 2 + x−y x+y 2 = 2( x 2 = 2( x 2 + y 2 ) ∀x, y ∈ H suy ra 2 + y 2) − x − y 2 ∀x, y ∈ H. Lấy x, y ∈ SH , hình cầu đóng đơn vị trong H, với x = y và x − y ≥ ε, ε > 0. Khi đó x + y 2 ≤ 4 − ε2 . Suy ra x+y 2 2 ε2 ≤1− . 4 Do đó x+y ≤ 2 1− ε2 =1− 1− 4 1− ε2 , 4 δ(ε) = 1 − 1− ε2 . 4 Định lý 1.1.9 Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian lồi chặt và phản xạ. Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta sử dụng khái niệm mô đun lồi của E. Định nghĩa 1.1.10 Cho E là một không gian Banach. Hàm δE (ε) : [0, 2] → [0, 1] được gọi là mô đun lồi của E nếu x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε . δE (ε) = inf 1 − 2 Ví dụ 1.1.11 Mô đun lồi của không gian Hilbert H là δH (ε) = 1 − 1− ε2 , 4 ε ∈ (0, 2]. 8 Định nghĩa 1.1.12 Không gian Banach E được gọi là không gian trơn nếu với mỗi điểm x nằm trên mặt cầu đơn vị SE của E tồn tại duy nhất một phiếm hàm gx ∈ E ∗ sao cho gx , x = x và gx = 1. Ví dụ 1.1.13 Các không gian lp , Lp [a, b], 1 < p < ∞ là không gian Banach trơn. Tính trơn của không gian Banach có mối liên hệ chặt chẽ với tính khả vi của chuẩn. Định nghĩa 1.1.14 (i) Chuẩn của không gian Banach E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn tại với x ∈ SE , ký hiệu là y, (1.1) x . Khi đó x được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn. (ii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE , giới hạn (1.1) đạt được đều với mọi x ∈ SE . (iii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE . (iv) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x, y ∈ SE . Định lý 1.1.15 Không gian Banach E là trơn khi và chỉ khi chuẩn của E khả vi Gâteaux trên E \ {0}. Ví dụ 1.1.16 Không gian Hilbert H là không gian có chuẩn khả vi Gâteaux với x = x/ x , x = 0. Thật vậy, ta có x + ty − x x + ty 2 − = lim lim t→0 t→0 t( x + ty + t 2t y, x + t2 = lim t→0 t( x + ty + Vậy chuẩn của H là khả vi Gâteaux với với mỗi x ∈ H với x = 0, x 2 x ) y 2 = x ) y, x x x = x/ x , x = 0. . 9 Độ trơn của không gian Banach E còn được biểu diễn qua mô đun trơn. Định nghĩa 1.1.17 Cho E là không gian Banach. Hàm ρE : R+ → R+ được gọi là mô đun trơn của E nếu x+y + x−y − 1 : x = 1, y = t 2 x + ty + x − ty −1: x = y =1 , 2 ρE (t) = sup = sup t ≥ 0. Ta nhận thấy ρE (0) = 0 và ρE (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0, đồng thời ρE là hàm lồi, tăng và liên tục trên khoảng [0, +∞). Định lý 1.1.18 Cho E là một không gian Banach. Với t > 0 ta có: (i) ρE ∗ (t) = sup (ii) ρE (t) = sup tε 2 tε 2 − δE (ε) : ε ∈ [0, 2] ; − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2] . Ví dụ 1.1.19 Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó, ρH (t) = sup tε −1+ 2 1 − ε2 /4 : 0 < ε ≤ 2 = 1 + t2 − 1, t > 0. Tính trơn đều và q-trơn đều (q > 1) của không gian Banach được định nghĩa thông qua mô đun trơn như sau. Định nghĩa 1.1.20 Không gian Banach E được gọi là (i) trơn đều nếu ρE (t) = 0. t→0 t (ii) q-trơn đều (q > 1) nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho ρE (τ ) ≤ cτ q , τ ∈ [0, ∞). ρE (0) = lim Ví dụ 1.1.21 Không gian Lp [a, b] và lp có tính trơn như sau:  p-trơn đều, nếu 1 < p ≤ 2, p p L [a, b] (hoặc l ) là 2-trơn đều, nếu p > 2. 10 Mệnh đề 1.1.22 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach phản xạ và lồi chặt E. Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn tại duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn x − y = d(x, C), với d(x, C) = inf z∈C x − z . Chú ý 1.1.23 Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.1.22 được gọi là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ E trong C. Ký hiệu 2C là tập các tập con của tập hợp C. Ta định nghĩa phép chiếu mêtric như sau. Định nghĩa 1.1.24 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach E. Ánh xạ PC : E → 2C xác định bởi PC (x) = y ∈ C : x − y = d(x, C) ∀x ∈ E được gọi là phép chiếu mêtric từ E lên C. Định nghĩa 1.1.25 Tập con C của không gian Banach E được gọi là tập Chebyshev trong E nếu mỗi điểm x ∈ E có duy nhất một điểm y ∈ C là xấp xỉ tốt nhất của x. Nhận xét 1.1.26 (i) Từ Mệnh đề 1.1.22 suy ra, mọi tập con khác rỗng, lồi, đóng của một không gian Banach phản xạ và lồi chặt đều là tập Chebyshev. (ii) Với mọi tập Chebyshev C ⊂ E, ta có (a) PC (x) là tập chỉ gồm một phần tử; (b) x − PC (x) = d(x, C) với mọi x ∈ E. Mệnh đề 1.1.27 Cho {xn } là một dãy trong không gian Banach lồi đều E. Nếu mọi dãy con {xni } của dãy {xn } hội tụ mạnh về một điểm duy nhất p∗ ∈ E khi i → ∞ thì dãy {xn } hội tụ mạnh về điểm p∗ khi n → ∞. 11 1.1.2 Ánh xạ j-đơn điệu ∗ Định nghĩa 1.1.28 Ánh xạ J : E → 2E (nói chung là đa trị) xác định bởi Jx = {u ∈ E ∗ : x, u = x u , u = x }, x∈E được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach E. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach E. Ví dụ 1.1.29 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đơn vị I. ∗ Định nghĩa 1.1.30 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : E → 2E của không gian Banach E được gọi là (i) liên tục yếu theo dãy nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } ⊂ E hội tụ yếu đến x (xn x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn Jx) theo tôpô yếu∗ trong E ∗ . (ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } hội tụ mạnh đến x (xn → x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn Jx) theo tôpô yếu∗ trong E ∗ . Nhận xét 1.1.31 Không gian lp , 1 < p < ∞, có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞, không thỏa mãn tính chất này. Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có mối liên hệ với tính khả vi của chuẩn của không gian Banach như khẳng định trong các định lý sau đây. Định lý 1.1.32 Cho E là không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu chuẩn ∗ tắc J : E → 2E . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) E là không gian trơn; (ii) J là đơn trị; (iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với x = x −1 Jx. 12 Chú ý 1.1.33 Ta dùng ký hiệu j để chỉ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị. Định lý 1.1.34 Cho E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Khi đó ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E ∗ là liên tục đều mạnh-yếu∗ trên mọi tập con bị chặn trong E. Định nghĩa 1.1.35 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach E. (i) Ánh xạ T : C → E được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho Tx − Ty ≤ L x − y ∀x, y ∈ C. (1.2) (ii) Trong (1.2), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co, nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn. Ký hiệu Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x} là tập điểm bất động của ánh xạ T . Ta có kết quả sau về tính chất của tập Fix(T ). Định lý 1.1.36 Cho C là một tập con lồi trong không gian Banach lồi chặt E và T : C → E là ánh xạ không giãn. Khi đó nếu tập điểm bất động Fix(T ) của ánh xạ T là khác rỗng thì nó là tập lồi. Chú ý 1.1.37 Do tính liên tục của ánh xạ T nên tập Fix(T ) luôn là tập đóng. Thật vậy, do T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong Fix(T ) thỏa mãn xn → x khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ Fix(T ), nên T xn − xn = 0 với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được T x − x = 0, tức là x ∈ Fix(T ). Do đó, Fix(T ) là tập đóng. Hệ quả 1.1.38 Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng trong không gian Banach lồi chặt E và T : C → E là ánh xạ không giãn. Khi đó tập Fix(T ) là tập lồi đóng. 13 Nếu bỏ tính lồi chặt của không gian Banach E thì Định lý 1.1.36 không còn đúng. Ví dụ 1.1.39 Cho E = R2 với chuẩn được xác định bởi x = max{|a|, |b|} với mọi x = (a, b) ∈ R2 . Khi đó, R2 không phải là không gian lồi chặt. Xét ánh xạ T : R2 → R2 xác định bởi T x = (|b|, b) với mọi x = (a, b) ∈ R2 . Ta thấy T là ánh xạ không giãn, các điểm (1, 1) và (1, −1) thuộc Fix(T ). Nhưng không có điểm bất động nào của T nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm bất động trên. Chứng tỏ Fix(T ) không phải là tập lồi. Định nghĩa 1.1.40 Ánh xạ T : C → E được gọi là ánh xạ γ-giả co chặt nếu tồn tại hằng số γ ∈ (0, 1) và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 − γ (I − T )x − (I − T )y 2 ∀x, y ∈ C. (1.3) Trong (1.3), nếu γ = 0 thì T được gọi là ánh xạ giả co. Nhận xét 1.1.41 (i) Nếu F : E → E là ánh xạ γ-giả co chặt thì F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz với L = 1 + 1/γ. (ii) Mọi ánh xạ không giãn đều là ánh xạ giả co liên tục. Định nghĩa 1.1.42 Ánh xạ A : E → E được gọi là (i) η-j-đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A)-miền xác định của ánh xạ A, ta có Ax − Ay, j(x − y) ≥ η x − y 2 , j(x − y) ∈ J(x − y); (ii) α-j-đơn điệu mạnh ngược (hay α-đồng bức j-đơn điệu) nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A), ta có Ax − Ay, j(x − y) ≥ α Ax − Ay 2 , j(x − y) ∈ J(x − y); 14 (iii) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), ta có Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y); (iv) j-đơn điệu cực đại nếu A là ánh xạ j-đơn điệu và đồ thị G(A) = {(x, Ax) ∈ E × E : x ∈ E} của ánh xạ A không bị chứa thực sự trong bất kì một đồ thị của một ánh xạ j-đơn điệu khác; (v) m-j-đơn điệu nếu A là ánh xạ j-đơn điệu và R(A + I) = E, ở đây R(A) là ký hiệu miền giá trị của ánh xạ A. Chú ý 1.1.43 (i) Trong không gian Hilbert H, các khái niệm ánh xạ j-đơn điệu cực đại, m-j-đơn điệu và đơn điệu cực đại là trùng nhau. (ii) Cho A : E → E là ánh xạ tuyến tính. Khi đó A là j-đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ D(A), Ax, j(x) ≥ 0, j(x) ∈ J(x). Bổ đề 1.1.44 Cho E là không gian Banach trơn và F : E → E là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi đó, (i) Ánh xạ I − F là ánh xạ co với hệ số co (1 − η)/γ. (ii) Với mọi λ ∈ (0, 1), I − λF là ánh xạ co với hệ số co 1 − λτ , trong đó τ = 1 − (1 − η)/γ ∈ (0, 1). Mệnh đề 1.1.45 Cho A : E → E là ánh xạ m-j-đơn điệu, khi đó A là j-đơn điệu cực đại và R(I + λA) = E với mọi λ > 0. Định nghĩa 1.1.46 Ánh xạ A : E → E được gọi là liên tục theo tia tại x ∈ D(A) nếu x+tn y ∈ D(A), với y ∈ E và tn → 0+ thì A(x+tn y) khi n → ∞. Ax Định lý 1.1.47 Cho E là không gian Banach lồi đều và ánh xạ A : E → E là j-đơn điệu và liên tục theo tia với D(A) = E. Khi đó A là ánh xạ j-đơn điệu cực đại. Chú ý 1.1.48 Nếu T : C → E là một ánh xạ không giãn thì ánh xạ I − T là j-đơn điệu. Nếu C ≡ E thì I − T là m-j-đơn điệu. 15 1.1.3 Giới hạn Banach Xét không gian các dãy số bị chặn ∞ = {x = (x1 , x2 , . . .) : sup |xn | < ∞}. n Định nghĩa 1.1.49 Phiếm hàm µ : ∞ → R được gọi là giới hạn Ba- nach nếu (i) µ là ánh xạ tuyến tính, tức là µ(x+y) = µ(x)+µ(y) và µ(cx) = cµ(x) với mọi x, y ∈ ∞ và c là hằng số. (ii) µ là ánh xạ dương, tức là µ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ∞ sao cho xn ≥ 0 với mọi n ∈ N. (iii) µ = µ(1, 1, . . .) = 1. (iv) µ(x1 , x2 , . . .) = µ(x2 , x3 , . . .) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈ ∞. Ta viết µ(xn ) thay cho µ(x1 , x2 , . . .). Sự tồn tại của giới hạn Banach được bảo đảm nhờ Định lý Hahn–Banach. Định lý 1.1.50 Luôn tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục µ trên ∞ sao cho µ = µ(1) = 1 và µ(xn ) = µ(xn+1 ) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈ ∞. Một số tính chất của giới hạn Banach µ được nêu trong các mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.51 Cho µ là giới hạn Banach. Khi đó lim inf xn ≤ µ(xn ) ≤ lim sup xn n→∞ với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈ n→∞ ∞. Hơn nữa, nếu xn → a, thì µ(xn ) = a. Bổ đề 1.1.52 Cho C là tập con lồi trong không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là dãy bị chặn trong E, z là một điểm trong C và µ là giới hạn Banach. Khi đó, µ xn − z 2 = min µ xn − u 2 u∈C khi và chỉ khi µ u − z, j(xn − z) ≤ 0 với mọi u ∈ C. 16 Giới hạn Banach là một mở rộng của khái niệm giới hạn thông thường. Tức là, với mọi dãy số hội tụ x = {xn }, thì µ(x) = (x) = limn→∞ xn với mọi giới hạn Banach µ. Tuy nhiên, tồn tại những dãy không hội tụ nhưng lại có giới hạn Banach. Chẳng hạn xét ví dụ sau. Ví dụ 1.1.53 Lấy dãy x = (1, 0, 1, 0, . . .) ∈ ∞. Khi đó (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) + (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . .) = (1, 1, 1, . . .), suy ra µ(xn ) + µ(xn+1 ) = µ(1) = 1 ∀µ. Sử dụng điều kiện (iv) trong Định nghĩa 1.1.49, ta có µ(xn ) = 1/2. 1.2 Bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu Định nghĩa 1.2.1 Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng của không gian Banach E. Ánh xạ F : C → E ∗ được gọi là: (i) đơn điệu trên C nếu F x − F y, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C; (1.4) (ii) đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi x = y; (iii) đơn điệu đều trên C nếu tồn tại một hàm liên tục và tăng ngặt α : [0, ∞) → [0, ∞) với α(0) = 0 và α(t) → ∞ khi t → ∞ sao cho F x − F y, x − y ≥ α( x − y ) x − y ∀x, y ∈ C; (iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho F x − F y, x − y ≥ η x − y 2 ∀x, y ∈ C; (v) đơn điệu cực đại nếu F đơn điệu và đồ thị G(F ) = {(x, F x) ∈ C × E ∗ : x ∈ C} của F không thực sự bị chứa trong đồ thị của một ánh xạ đơn điệu nào khác. 17 Định nghĩa 1.2.2 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Banach E. Ánh xạ F : C → E ∗ được gọi là liên tục trên không gian con hữu hạn chiều của E nếu với mọi không gian con hữu hạn chiều của M ⊂ E, thu hẹp của ánh xạ F trên C ∩ M là liên tục yếu, tức là ánh xạ F : C ∩ M → E ∗ là liên tục yếu. Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ F : C → E ∗ được gọi là bức trên C nếu tồn tại v ∈ C sao cho F u − F v, u − v → +∞ khi u−v u → +∞. Định nghĩa 1.2.4 Ánh xạ F : E → E ∗ được gọi là liên tục theo tia tại điểm x ∈ E nếu F (x + th) F x, khi t → 0 và F được gọi là liên tục theo tia trên E nếu nó liên tục theo tia tại mọi x ∈ E. Nhận xét 1.2.5 Dễ thấy rằng nếu F là một ánh xạ liên tục, thì F là một ánh xạ liên tục theo tia, tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Nếu ánh xạ F : E → E ∗ đơn điệu và liên tục theo tia với D(F ) = E thì F là đơn điệu cực đại. Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach E, ánh xạ F : E → E ∗ từ không gian E vào không gian đối ngẫu E ∗ của E là ánh xạ đơn điệu. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, ký hiệu là VI(F, C), được phát biểu như sau: Tìm phần tử p∗ ∈ C thỏa mãn: F p∗ , p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C. (1.5) Bổ đề 1.2.6 (Bổ đề Minty) Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của E và F : C → E ∗ là một ánh xạ đơn điệu và liên tục trên không gian con hữu hạn chiều của E. Khi đó, p∗ ∈ C là nghiệm của (1.5) khi và chỉ khi p∗ thỏa mãn F p, p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C. (1.6) Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh rằng nếu p∗ thỏa mãn (1.5) thì cũng thỏa mãn (1.6). Thật vậy, do tính đơn điệu của F ta có 0 ≤ F p − F p∗ , p − p∗ = F p, p − p∗ − F p∗ , p − p∗ ∀p ∈ C.