Tài liệu Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian-lê hồng đức

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỬU TRÍ PHƯƠNG PHÁP GIAI TOÁN GỒ M 36 CHỦ ĐẾ CHO 58 DẠNG TOÁN VỚI 146 v í D Ị 119 BÀI TOÁN CHỌN LỌ C VÀ 218 BÀI TẬP ĐỄ NGHỊ Giải hình không gian bằng phương pháp tọa độ trong khôn? gian Đ 2 CpGỈ Hã NỘI NHÀ XU Ấ T BẢN ĐẠI HỌC QUỐC G IA HÀ NỘI LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ n n lM I I Ì N I T U G P I I H H M Ọ Ỉ H I I Í P G C I Ả G l lt I Ả a I T O I T G Á N Í C H I M NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BIỆN SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH CHỈNH LÝ HỢP NHẤT HIỆN HÀNH CỦA Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO Hưởng ứng lời kêu goi đối mới phương pháp day và hoc LẤY HỌC TRÒ l.ÀM TRUNG TÂM T à i liệ u n à y x in d à n h tặ n g ngươi C ha đ á n g k ín h củ a các tá c g iả . LỜI GIỚI THIỆU Xin trán trọng giới tihiộu tới l\ìti ítỉk lx) tiìi iiộu P 1I I 0 \< , PHÁI* GIẢI TO ÁN T R lT iW H Ọ C P H Ổ T I I Ô M Ỉ do Thạc s ĩ 7(kín học Lô Hổm; Dứcchỉì Nôn. Bỏ tài iiôu gồm 10 tập: Tập 1. Tâp 2. Tâp 3. Tâp 4. Tâp 5. Tâp 6. Tâp 7. Tảp 8. Tập 9. Tập 10. Phương phap giãi Toón LưỢng giác. Phương pháp giài Toán Hình học Giai tích trong Măt phảng. Phướng pháp giài Toán Hình học Giài tích trorg Khổng gian. Phương pháp giài Toán Hình học Không gian Phương pháp giải Toán Véctơ. Phương pháp giài Toán Dại số. Phương pháp giài Toan Hàm sổ. Phương pháp giài Toán Tích phân. Phương pháp giải Toán Tổ hợp. Ôn tập Toán thi Tốt nghiộp Trung học phổ thông Với mục LĨích giúp các Thả V, Cổ giáo cỏ dược bài giiìng có hiệu quà hơn và các em có dược cái nhìn tông quan, hiểu dược bàn chài cúđ môi vấn dề đặt ra, từ đó dưđ ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với nhừng đòi hỏi của một bài thi, nên mỗi trong m ôi tập tài liệu chúng tỏi sắp xếp, hộ thông các kiến thức dược dề cập trong chương trình Toán Trung học Phô thông thành các Chủ dề. Mỏi Chủ dể liươc chia thành ba mục: Kiến thức cơ bần: Gồm phương pháp giẩi cho mỗi dạng toán cơ bản dược trình bày dưới dạng các bdi toán và các ví dụ vẻ giải toán. II. Các bài toán chọn lọc: Gồm các bài toán được tuyển chọn có chọn lọc từ các bài tập trong cuốn Bộ dề thi tuyển sinh môn Toán và từ cấc Dề thi tuỵôn sinh môn Toán vào các trường Đại học kẽ từ năm 1994 tới nay. III. Bài tập để nghị I. N hư vậy ở m ỗi chủ dề: 1. Với việc trình bày dưới íỉiìĩlỊĩ các bái toán cơ hìn óìng ví dụ minh hoạ ngay sau dó, sẽ giúp tăng chílt lượng bài giàng cho các Thày, Cô giáo và với cấc em học sinh sè hiểu và biết cách trình bày bài. 2. Tiếp dó tới các bài toán chọn lọc dược lây ra từ các dề thi vào các ưường Dại học, sè giúp các Thàv, Cô giảo dẫn dát các em học sinh tiếp cận nhanh chóng với những đòi hòi của thực tế 3. Đặc biột là nội dung của các chú ý sau một vài ví dụ h(Jăc bài toán chọn lọc sè giúp các Thảy, Cô giáo củng cố những hiêu biết chưa thật thâu dáo, cùng với cách ruhìn nhận vấn dỏ dặt ra cho các em học sinh, đô trả lờ i một cách thoà dáng câu hòi " Tại sao Ịại nghĩ và làm ỉĩhư vậy ? 4. Ngoải ra có rât nhiều bài toán dược giải bắng nhiều cách khắc nhau sẽ giúp các học sinh trờ lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giai. Bộ tài liệu được viết trôn một tư tường hoàn toàn mới mè, có tính sư phạm, có tnh tông hợo cao, giai quvẽt tưitng dôi triệt LỈé các vấn đố cùa toán học sơ cấp. Bộ 5 tải liệu này ('hắc chăn phù hợp với nhiều dôi tượng bạn dọc từ các Thcìỵ, Cô giáo đến cắc em Học sinh lớp 10, 11, 12 vả các em chuân bị dự thi môn Toán Tốt nghiệp PTTH hoăc vào cắc Trường Đại học. Cuốn IMIIÍOỈNG PH Ấ P GIẢI TOẢN II ì MI HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAM được việt dựa trôn việc rút kinh nghiệm và tiếp thu ỷ kiến dórtg góp của bạn dọc từcuôh Tuyên tập cấc Chuyên dề Luyện thi Đại học Môn Toắn Hình học Giẩi tích của Lê'Hồng Đức và Trán Phương, dã được Nhà xuất bản Hà N ội âh hành quý II năm 2002. Cuôh tài liệu dược chia ứìành 5 phần: Phẩn I. Mặt phăng Phẩn II. Đường thăng trong không gian Phẩn III. Các bải toán về điểm, đường thăng vả mặt phăng Phần IV. Mătcầu Phẩn V. Các bài toán hình học không gian giải bàng phương pháp toạ độ trong không gian bao gồm 36 chủ dề, miêu tả chi tiết phương pháp giải cho hơn 60 dạng toán hình học giải tích trong không gian thường gặp. Và đ ể giúp bạn đọc tiện tra cứu, chúng tôi mạnh dạn tíìay dổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cù bằng việc liệt kê các bài toán thay cho đáu mục. Thay m ặt nhóm tác giả, tôi xừỉ bày tỏ tại đđỵ lời cảm ơn đến người học trò của m ình là Lẽ Bích Ngọc đã vui lòng nhận kiêm tra lại từng phán của bản thảo cùng với việc cộng tác viết cuốn " Phương pháp giãi Toán Tích phân " Xùi dược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp dờ động viên từìh thấn của những người Thảy mà tôi hàng kmh trọng, gồm: GS. TS Trần Mạnh Tuâh nguyên Phó Giấm Đốc Trung Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên Hiệu Trưởng Trường PTTH Hà N ội - Amsterdam, PCS. TSKH Đinh Quang Lưu, GS. TSK tì Nguyễn Văn Thu và người Thày thủa thiếu thời của tôi Bấc Ngô Lâm. Cuối cùng, cho dù đả rđt cổ gắng bằng việc tham khảo m ột lượng rât lớn các tài liệu hiện naỵ đ ể vừa viết, vừa mang đ ì giảng dạy ngay cho các học sinh của m ình từ đó kiêm nghiệm và bô’xung thiếu só t cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến của các bạn dồng nghiệp đ ể hoàn thiện bộ tài liệu này.; nhưng thát khó tránh khỏi nhùng thiêu sót bởi nhùng hiểu biết và kừứi nghiệm cỏn hạn chế, tác giả Tất m ong nhận dược nhùng ý kiến dóng góp quý báu của bạn đọc gần xa. M ọiý kiến xin liên hệ trực tiếp hoặc gửi về theo địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Mồn Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hò - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 E-maiỉ: cumon@)hn.vnn.vn hoặc lehongduc39(&yahoo.com Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trương vào ngày 31/10/2004) Hà nội, ngày 1 ữiắng 1 năm 2003 LÊ HỔNG ĐỨC 6 MỤC LỤC LỜIGIỚI THIỆU MỞ DẦU................................................................................................................................... 1 PHẨN I MẶT PHẢNG Chủ đế 1. Phương trình măt phăng .........................................................................15 Bài toán 1. Phương trình măt phăng đi qua 1 điếm cỏ vtpt n .........................16 Bài toán 2. Phưưng trình mặt phảng đi qua 1 điểm có vtcp ă và b ...............17 Bài toán 3. Phương trình mặt phăng đi qua 3 điêYn khỏng thăng hàng........... 18 Bải toán 4. Phương trình măt phăng theo đoạn chán.......................................19 Chủ để 2. Chuyển dạng phương trình măt phăng.................................................... 21 Bầi toán 1. Tìm một căp vtcp của măt phăng....................................................21 Bài toán 2. Bải toán 3. Tìm một vtpt của mặt phăng.......................................................... 22 Chuyển phương trình tổng quát của măt phăng Bài toán 4. về dạng tham số............................................................................ 23 Chuyển phương trình tham sô của mặt phăng vẻ dạng tông quát..........................................................................24 Chủ đế 3. Vị trí tương đối của hai măt phăng.......................................................... 31 Chù để 4. Chùm mặt phăng..................................................................................... 35 Chủ để 5. Khoảng cách từ một diêm đến một mặt phăng........................................49 Bải toán 1. Bài toán 2. Khoảng cách hình học từ một điểm đến một măt phăng................49 Viết phương trình mảt phăng cách mặt phăng (p) Bài toán 3. một khoảng băng h vầ thoả mản điểu kiện K................................50 Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc tạo bởi (Pj), (Pị) chứa điêm Mfl hoặc của góc đối đỉnh với nó....................51 Bài toán 4. Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc nhị diện............. 52 PHẨN II ĐƯỜNG THẢNG t r o n g k h ô n g g i a n Chủ để 1. Phương trình đường thăng ......................................................................55 Chủ đế 2. Chuyển dạng phương trình đường thăng................................................59 Bài toán 1. Bàỉ toán 2. Tim một vtcp của đường thâng (d) cho trước.................................59 Chuyển dạng phương trinh tổng quát của đường thăng Bài toán 3. sang dạng phương trình tham số hoặc chính tắc...........................60 Cách chuyển dạng phương trình tham số của đường thăng sang dạng phương trình tổng quát................................................ 61 Chủ để 3. Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng......................................67 Bài toán 1. Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng...........................67 Bài toan 2. Giả sử (d)r\(P)={A|. Lâp phương trình đường tháng (d,)) qua A vuông góc với (d) và năm trong mẫt phing (P)................ 75 Bài toán 3. Chủ đê 4. Bải toán về họ đường thăng (đm) ......................................................71 Vị trí tương đối của hai đường thăng...................................................... 77 Bàỉ toán 1. ứng dụng tích hổn tạp xét vị trí tương đôi của hai đườnjg thăng .77 Bàỉ toán 2. Bài toản 3. Xét vị trí tương đô'i của hai đường thăng......................................... 78 Viết phương trình măt phăng (P) song song và cách đểu Bài toán 4. hai đường thảng (đ,), (dj) chéo nhau.............................................79 Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đéu hai đường thăng song song (dj), (dj) và thuộc măt phăng chiứa Bài toán 5. hai đường thăng (dị), ( d j ................................................................. 79 Viết phương trình đường phân giác của hai đường thăn$ cắt nhau (dị), (cU)..............................................................................80 Chủ để 5. Hai đường thăng đổng phăng và các bài toán lièn quan............................ 83 Bài toán 1. Bài toán 2. Xác định toạ độ giao điôm của hai đường thăng.............................83 Viết phương trình mặt phăng (P) chứa hai đường tháng đổng phảng (dt) và (dj)....................................................................84 Chủ để 6. Hai đường thăng chéo nhau vả các bài toán liên quan.............................. 93 Bài toán 1. Bài toán z CMR hai đường thăng chéo nhau...................................................93 Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thăng chéo nhau................................................................... 94 Bài toán 3. Tính khoảng cách giừa hai đường thăng chéo nhau....................... 98 PHẦN IU ĐIỂM, ĐƯỜNG THĂNG VÀ MẶT PHĂNG w • Chủ để 1. Chủ đế 2. Đường thăng đi qua một điểm cắt cả hai dường thăng cho trướtc....... 109 Đường tháng đi qua một điôm vuông góc với hai Chủ để 3. đường thăng cho trước................. ......................................................... 119 Đường thăng đi qua một điôm vuông góc với một đường thãng vả cắt một đường tháng khác...................................... 123 Chủ để 4. Hình chiêu vuông góc của điểm lên mặt phăng.......................................129 Bài toán 1. Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lên một măt phăng.............. 129 Bài toán 2. Bài toán 3. Tìm điểm đối xứng của điểm A qua măt phăng (P).......................129 Xác định phương trinh đường thăng đối xứng với một đường thing cho trước qua một mặt phăng cho trước......... 130 Chủ đ í 5. Hình chỉéíi vuông góc của đường thing lén măt phăng......................137 Chủ để 6. Hình chiếu vuổng góc cùa điểm lên đường thăng.............................. 147 8 Bái toán 1. Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lén một đường thăng;.....147 Bái toán 2. Bài toán 3. Tìm điểm đôì xứng của điểm A qua đường thing (d )...................147 Xác định phương trình đường thảng đối xứng với một đường thăng cho trước qua một đường thăng cho trước......... 147 Chúi đề 7. DiCrn và một phàn>; ...............................159 Chúi đế 8. Diổm và đườn^ t h c l n ^ ............................... .................................. lf>7 Bài toán 1. Tìm trOn đưnin^ thãnp, (li) vliõm M(xN„ VM, /A1) thoti mãn tính chất K Bai toán 2. ............................. 167 Tim tròn đường tilling (li) đh'm \1(xM, yu, /v.,) sao cho xịt + V\1 + Bai toán 3. nhỏ nhát ...................................................168 Cho htii điốm A, Bvá đưỏng thàng (lỉ) Tim itiôm Me(d) sao cho MA+MB nho nhát................................................................ 168 C hủ đê 9. Góc trong không gian................................................................................ 173 Bài toán 1. Xác định góc giữa hai đưỡnj; thăn^.................................................. 173 Bài toán 2. Góc giữa đường thân}' va mặt phănj;............................................... 174 Bài toán 3. Xác dinh góc giữa 2 măt piling................................................... 175 Chủ để 10. Tam giác trong không gian.................................................................... 181 PHẦN IV M Ặ TC Ầ U Chủ đế 1. Phương trình một cẩu...........................................................................189 Chủ đê 2. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phăng................................................................ 197 Chủ đê 3. Măt cầu cắt mặt phàng.........................................................................203 Chủ để 4. Măt cầu tiếp xúc với đường tháng.............................................................. 207 Bài toán 1. Lập phương trình mặt cầu (S) cỏ tâm I(a, b, c) và tiếp xúc với đường thăng (đ) cho trước...................................... 207 Bài toán 2. Lâp phương trình mặt cấu (S) tiỏp xúc voi dường thăng (d) tại điỏm H(x(l/ V(í/ /-(») và thoả mán điều kiên K................................ 208 Bài toán 3. Lâp phương trình măt câu (S) tiêp xúc với 2 đường thăng cắt nhau (đj), (d2) cho trướr và thoa mãn điổu kiộn K.................. 209 Bải toán 4. Lập phương trình mặt cảu (S) tiếp xúc với 2 đường thăng (đ ,), ( d j song song với nhau cho trước và thoà mân điểu kiện K......210 Bài toán 5. Lâp phương trinh mặí cầu (S) tiôp xúc vơi 2 dường thăng chéo nhau (đ |), (d:) cho trước và thoà mànđiõu kiộn K................ 2i2 Chủ để 5. Mặt cầu cắt đường thỉỉng...................................................................... 219 Chu để 6. Mặt cầu ngoại tiếp khỏi đa diện...................................................................223 Chủ đê 7. Măt cầu nội tiếp khối đa điện................................................................. 231 Chủ đê 8. Vị trí tương đối cùa diêm và mặt c ầ u ......................................................... 237 Bài toán 1. Xác định vị trí tương đỏi cùa mạt câu (S) và điôm A cho trước. .237 Bài toán 2. Cho mặt cầu (S) và đỏm A khồng trùng với tâm ỉ của (S). Tìm toạ độ đi ỏm M thuộc (S) sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất............................................................ 237 Chù đế 9. Vị trí tương đối của đường thăng và măt c ầ u ............................................239 Bài toán 1. Xae định vị trí tương đối của mặt cầu (í- 'à đường thăng (đ) . ..239 0 Báỉ toán 2. Tìm toạ độ điếm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đỏn (d) đạt giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhất................................................. .. . 241 Chủ đế 10. Vị trí tương đối của mặt phăng vả mặt cầu ............................................ 245 Bái toán 1. Xác định vị trí tương đối của măt cầu (S) và mặt pháng ( P)...... 245 Bài toán 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách tử M <đẻn (P) đạt giá trị lớn nhâ*t, nhỏ nhâ't......................................................... 246 Bài toán 3. Chùm măt cầu dạng 1....................................................................248 Chủ đ í 11. Vị trí tương đối của hai măt c ầ u .............................. ...............................253 Bảỉ toán 1. Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu (S,) và (Sj).................... 253 Bài toán 2. Chùm mặt cầu dạng 2.................................................................... 254 Chủ để 12. Tiếp tuyến của mặt cầu, tiếp diện của măt cầu........................................257 PHẦN V CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chù Chủ Chủ Chủ đế 1. để 2. để 3. đế 4. Giải bải toán định lượng trong hình học không gian...............................263 Giải bài toán định tính trong hình học không gian..................................279 Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian.................287 Giải bài toán cực trị trong hình học khổng gian............................................ .. 291 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 302 10 MỞ ĐẨU Cho hệ toạ độ Oxyz. Vectơ Cho hai điểm Mj(xj, y u Zị) và Mị(x^ yy z2) thì: M1M2 = ( x 2- x „ y2-y1, Z2’ Z\) Các p h ép toán Vectơ y u Zj) Nếu c ó h a i v e c t ơ Vj ( x „ (i). V 1 4* v 2 = ( x , + x 2/ y , + y 2, z , + z 2) (ii) V, - V , = ( x r x 2, y r y 2, z r z 2) (iii). k V , (X j, y „ Z j ) = ( k x „ k y v k z j ) , k e R . v à v 2 ( x 2/ y 2/ z2) thì: Khoáng cách đ giữa hai điêm M^Xj, y u Zj) s p,( ?!) và Mj(x2/ y2, z2) s P2( r2) là đ ộ dài của vectơ M ịM 2 d = | M,M: I = >/(x1 - X,)2 + (y, - y2): + (z, - Z,)2 Chia m ột đoan thăng theo m ột tĩ số cho trưởc. Điểm M(x, y, z) chia đoạn thăng M,M2 theo một tỉ sốk: MMj =k MM, được xác định bởi các công thức: kx2 X= 1-k v =Z iz M 7 z = ( 1) l-k Zị - k z 2 1- k Đặc biệt nếu k=-l, thì M là trung điểm của đoạn thảng M ịM2 , khi đó toạ độ của M được xác định bởi: v = L lU ± y z = Góc ( 2) 2 Zt + z , —- a g i ữ a h a i v e c t ơ Vj (Xj, y t, Zị) v à v 2 ( x 2, cosa= y2/ Z2) x á c đ ị n h b ở i: *Ị-*2 + yi-y2 + *i-*2 (3) V*1 +yi + Z 1 V xí + y* + z* Các Emhoc smh hãv tham gia hoc tâp theo phưưng pháp" LJvhoc trò lit unetim " Dưới sự hỗ trợ cùa NhómCựlvtòn doThs. Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đào Thiớn Khái phụ trach. 11 Hình hoc Giài tích troiift Mionfi friian Côsin chĩ phương. Côsin của các góc giừa vectơ V (x, y, z) và hướng dương của các trục Ox, Oy, Oz được gọi ỉà Côsin chĩ phương cosax, cosay/ cosa, được xác định bởi: X cosa, I 2+ y 2 + z 2 ' COSCL. L 1 2 + y 2 + z2 ' yx y~ cosa, y X + y c o s : a v+ c o s 2a (4.1) (4.2) (4.3) 2+ z 2 / (4-4) + c o s 3a ?= l . Ba điểm th ăn g hàng. Ba diêm A(x„ y„ Z j), B(x-,, Vj, z2) và C(xv yv Z j) thăng hàng nếu (điểu kiện cần và đủ) AC = kAB o X, - X 1 = 11211 y2 - y . Yi Z1 1 o y , Z, 1 yj z3 1 z, X, 1 X1 y i = z 2 x2 1 = Zj (5) *2 X j-X , Xj 1 x 2 Y’ 1 =0 . (6) *3 yj 1 1 Bốn điếm đổng p h ỉn g . Bốn điêrn A(x„ y„ Z | ) , B(xj, y y D(x4, Ỵị, z4) đồng phăng nếu (diều kiện cần và đủ) X, y, Zj X, y , Zj 1 x 3 y 3 Zj 1 Z j) và C(xv yv Z j) và 1 0 = . (7) x4 y 4 z 4 1 Tích vỏ hưởng giữa hai vectơ V, (Xj, y„ Zj) và V, (Xj, yj, Zj) xác định bời: v , . v 2-x , .x,+ y, .y2+ Z, .Zj. (8) Tích vectơ (hay tích có hướng ) của hai vectơ Vj ( X |, y„ hiệu [ V ,, V, ] là m ột vectơ [ v ,,v ,] = v V yi h z, X, *1 yi y2 z 2 X, x 2 Ỹ2 (9) V j,v 2 cộng tuyến <=> [Vj ,v 2]= õ , (ii). V |l [ v 1 /v2], v2l [ v j , v : ], (iii). | [ v , , v , ] | = | V, |. | V; l-sina, trong đó a 12 là và v2 (x:, y„ Zj) kí được xác định bởi: C ic tin h c h ít (i). Z ị) góc giữa hai vectơ V) và v2. (iv). [ Vj #v2]=-[ v2 , Vj ]. (v). [ÀV, , v : ] = | V, ,x v 2 ]=/ h K ( vi ) . [ V , V, + v 3 ] = [ V, Vj J+ l \ Dỉẽn t í c h tam giác. Diện tíc h cù tì tam 1.11 <.ì '2 - y i ỵ3 “ y 1 ( 10) Tích hổn tap của ba vectcl Vj (Xị, V, , Zị), V. (x:, y:, z:) và V, (xv Vv z ì) được kí hiệu là D( Vị, V,, v3) được xác định bời: D (V,, v , , v 3)= 1 1 *1 Vi / > \ nỊ V-, |v- /-I = ' i.\ị + X, y . Vị + " ■ / , x ,j X, V, X3 y* 7 3 (11 ) Các tính chất. (i). D( Vj , Vọ , )=-D( v 2 , V, , V; )= -D( VỊ , V*>, V2 )= -D ( V „ V 2 ,V j ) . (ii). D(X Vj, v2,v 3)=D( Vj ,k V2 , V, )=D( Vj, v: (iii). D( Vj ,ả + b, v3 )=D(ã )=XD( Vj, v2, v3), ẰeR. ,V, )+D ( b, v 2 , V , ) , , V2 D( Vj ,ã + b / v,)=D ( Vị ,ã , Vi )+D( Vị h, V,), D( V j, v 2 , ẩ + b ) = D ( v , , v 2,ã )+D( V j, v : , b ). Ba vectơ đổng phăng. Điéu kiện cán và đù để 3 vectơ Vị (Xj, y v z1)( v 2 (x2/ y2/ z2) và v3 (xv y3, z3) đồng phảng là: X1 >'! Z] D ( v j , v2/ v3)= x 2 Y: 7 2 ( 12) =0. *3 y* Zj T h ể tích V của X,-X j N x4 - x , (13) pT 1 -r tích z2 " z l N (b). Thê V 2 - Yl 1 V = I I D( AB, AC, AD ) I= - , B(x2, y2, Z2)/ C ( xv y> zj) 1 X-, - Xj Zị) 1 N (a). Thể tích V của tứ diện có các đỉnh A ( X ị , y„ và D(x4/ y4/ z4) được cho bởi công thức: h ì n h h ộ p d ự n g trên ba v e c t ơ Vj (Xj, y „ Zj), v 2 ( x 2, y:, z2) Các Em hcx' sinh hãy tham gia học tập theo phưttng pháp" U y hoc trò làm trung tám " ^•rới sư hỗ trợ cùa Nhóm Cư Môn do Tlìs. Ịjô Ị ỉóny; Dm và Nhíì £Ìáo Ifu tú Đao Thiên Khtìi phu trai h Hình hoc Giải tích trong Khổng gian và v3 (X3, Ỵy, Zy) được cho bởi cổng thức: *1 yi *1 V =|D (à B ,à C ,à D )| = x2 y2 z2 *5 y 3 14 (14) PHẨN I MẶT PHẲNG CHỦ ĐỂ 1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG I. KIẾN T H Ứ C C ơ BẢN 1. CẶP VECTƠCHỈ PHƯƠNG VÀ VECTƠ PHÁP TUYẾN Đ ịnh nghĩa 1: Hai vectơ ấ ,b gọi là cặp vectơ c h ỉ ph ư ơ ng (vtcp) c ủ a măt phăng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thăng chứa chúng đểu song song với (P) (hoăc nằm trẽn (P)). Các tính chất của căp vectơ chỉ phương của măt phăng (i). Mỗi m ặt phăng có nhiều cặp vectơ chỉ phương. (ii). Hai mát phăng phân biệt có cùng một cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau. (iii). Một m ặt phăng (P) được hoàn toàn xác định nếu biết m ột điẽm M và cặp vectơ chỉ phương ( ã , b ) của nó. Đ ịnh nghĩa 2: Vectơ n là vtpt của mặt phăng (P) Ịn l(P ) N hân x é t fi là vtpt của (P) thì mọi vectơ k n với k*0 đều là vtpt của m ăt phăng đó. C hú ý . Toạ độ của vectơ fi vuông góc với hai vectơ không cùng phương ă (a,, a->, a3) và b (b|, b2, bj) cho trước, được xác định bời: \ / 3i a3 a i ai a: a3 n = [ ã , b ]= / / Vbi b, b, b, b, b2 / Ví dụ 1: a. Xác định toạ độ của vectơ n vuông góc với hai vectơ ă (2, -1, 2) và b. 6(3,-2,1). Tìm m ột vtpt của m ặt phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ã (2, 1, 2) và b (3, 2,1). Giải. a Ta có: ni3 _ - 1 2 2 2 2 -1 ^ , o n * [ã , b]= -2 1 1 3 3 -2 n lb b Gọi n là vtpt cần tìm của (P). Ta có: / n ia _ 1 2 2 2 2 1\ ^ r o n * [ ã ,b Ị ’ 9 / lh a lb V2 1 1 3 3 2 / - n (3, 4, -1). n ( '3 ,4 , 1 ). Vây m ặt phăng (P) có m ổt vtpt là n (-3,4,1). Cic Em học sóih hảy tham gia học tậổ ứieo phương pháp" Lầyhoe ệứ lim ừvrur Um" r ưóí sư tó trơ cùa NhómCự Mòn <ỉ>Ths. Lê Hổng Đúc và Nhà gi4o ưu tú Đào Thiện Khải phụ trách. 15 Phcìn 1: Mat phàntt 2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẢNG Măt phăng (P) trong không gian Oxyz có phướng trình tông q u á t : (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 nhận vectơ n (A, B, C) làm vtpt. (1) M ồt s ố trường hơ p đăc b iê t của p h ư ơ n g trìn h (1) • Nếu D=0, m ặt phăng (P) đi qua gốc toạ độ. • Nếu A=0, B*0, o o , m ăt phăng (P) có dạng (P): By+Cz+D=0 sẽ chứa hoăc song song với trục x'Ox. Thật vây, vtpt của (P) trong trường hdp này là n (0, B, C), do đó: n . ĩ =0 <=> n -Lĩ <=> n vuông góc với trục x'Ox. Vậy (P) song son^ với trục x'Ox. Tương tự, mặt phăng ^P) có dạng (P): Ax+Cz+D=0 sẽ chứa hoặc song song với trục y'Oy, m ặt phăng (P) có dạng (P): Ax+By +D=0 sè chứa hoăc song song với trục z'Oz. • Nếu A=0, B=0, o o , m ặt pháng (P) có dạng (P): Cz+D=0 sè chứa hoăc song song với trục x'Ox và y'Oy nên nó song song hoặc trùng với m ặt phăng xOy. Tương tự, mặt phăng (P) có dạng (P): Ax+D=0 sè song song hoặc trùng với mặt phăng yOz, m ăt phăng (P) có dạng (P): By +D=0 sè song song hoặc trùng với m ặt phăng xOz. Đặc biệt các phương trình x=0, y=0, z=0 theo thứ tự là phương trình của các m ặt phăng toạ độ yOz, xOz, xOy. • Nếu A*0, B*0, o o , D*0 thì bằng cách đăt a=- — , b=- — , c=- — ta đươc: 6 • A B c (P): £ + £ + £ - ! a b (2) c Phương trình (2) gọi ià phư ơ ng trình đoạn chăn của m ăt phăng (p). • Chia hai v ế của phương trình (1) cho M= V a: + B2 + c 2 . Khi đó, đặt A A n B _ c ^ D A0- — Bn3 — C0- — D()= — M M M M ta được: (P): AoX+B0y+CoZ+Do= 0 với Aổ + Bổ + C5 =1 Ị / f (3) Phương trình (3) được gọi là phư ơ n g trình p h á p dạng cùa m ặt phăng (P). PHƯƠNG PHÁPCHUNG Ta có: [qua M0(x0,y0,z0) [vtpt n(n1/n2/n 3) a. Phương trhứi vectơcủa m ặ tp h ã n g Điêm M(x, y, z)€(P) o M ()M ln o lị ị M0M . n *=0 Ị V b. 16 Phương trình tông q u á t Ciifi m ặ t ph ă n g (P)7n1 (x-x0)+n 2(y-y0) K ( Z-*0) *0 • '■* ìn ẵ u Ị ' ...» (1) ( hu lie I Phương tnnh mjit plì.^n^ C hú ý : 1. Mạt phăng (p) có vtpt ri (11 ,, n , n^), luôn ró đcỉiH': (P): n ,x + n :y+n^z+m =0 Đẽ xác đ ịn h (P), ta cần đi XtH định m. 2. Mạt phăng (P )//(Q ): Ax+By+Cz+D=0, luôn có dạng: (P): Ax+By+Cz+E=0 Dê xác định (P), ta cần đi xả< định E. Ví dụ 2: Láp phương trình tồng quát của mặt phăng (P) biết: a. (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và nhận ri (2, 3, 1) làm vtpt. b. (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và song song với (Q): x+y+z+l=0. Giãi. a. Ta có: jquaM (U .-2) Ịvtpt n(2,3,l) 2(x-l)+3(y-3)+z+2=0 <=> (P): 2x+3y+z-9=0. Vậy phường trình tổng quát cùa mặt phăng (P) là: (P): 2x+3y+z-9=0. b. Ta có: íquaM (U ,-2) ' ; [(P )//(Q ):x + y + z + l =0 • Vì (P )//(Q ): x+y+z+1=0, có dạng: x+y+z+E=0. • Vì M (í, 3,-2) e(P), ta có 1+3+2.(-2)+E=0 Cv E=0. Vậy phương trình tông quát của mặt phăng (P) có dạng: x+y+z=0. Bài toán 2 Lập pluíiTg trình măt ỊÌiàng (F) đi qua điêm M, , y,> và oó ựip vtLp la ă (&i,AyA^ và b PHƯONGPHÁPCHUNG Ta có: qua M(x0,y 0,z„) X = x0 + a J11 + bịt-, (P): hai vtcp ã ( a ,. a %,a ,) o (P): y = y0 + a2tj + b2t2, (tị, t2eR). ỉ. = /.() + ‘V j + b(bj/ b 2/ b,) ( 1) Phương trình (1) chính là phương trình tham sốcủa mặt phăng (P) Ngược lại: nếu (P) có pỉhương trình (1), ta có nhận xét: • Măt phăng (P) đi qua điêỉn Mofxjv y0/ z0). • Măt phăng (?) có căp vtcp ă (alr a2, a3) và b (bị, b2/ by). Ví d u 3: Lập phương trìr\h tham số của măt phăng (?) đi qua điểm M (l, 3, 2) vả c ó c ặ p v t c p là ã (2, - 1 , 2 ) v à b (3, - 2 , 1 ) . Giải. Ta có: X= 1 + 2tj + 3t, [qua M(l,3,2) -----------(P): ' r ^ ( p)- y = 3 - t/- 2 t* Ịhai vtcpã(2,-l,2)& b(3,-2,l) z = t 2 V 2 f { K t ,Q i i O C G ỈA HA INỤ! Đo chính là phương trình tham số của mặt pháng (p).1 iiỉj.ụ,.v im . 17 u - B = k2D . Ax* + By^ + Czj + D = 0 c =k Bước 3: Khi đó: (P): k 1Dx+k 2Dy+k:iDz+D,BS0 « (P): l^x+k-iy+kjZ+lK). Chủ ỷ. 1. 2. 3. tại sử dụng cách 1 ta nhận được phương trình tham số của mặt phăng (P). sử dung cách 2 , 3 ta nhận được phương trình tổng quát của mặt phăng (P) P hương trìn h m ặ t p h ă n g theo các đoạn chắn. M ặt phăng (P) cắt trục Ox A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình (P ):Ị + J Ù 4 - 1 . a 18 b c I Ví du 5: Lập phương t r ì n h mạt pỉuiiy, đi LỊUcì bcì đk ‘111 a. A(l, l! 0), B(l, 0, 0) vã c ( 0 , 1 , 1) b. A(1,0, 0), B(0,2,0) v à( Ịiựi.h). Chìị a. Cáclì /: Ta có AB,AC la một v/.ìp v k p của mật pluìn^ (ĩ>), ta được: ! Khi đó phương trình mặt phăn^ (P) được cho bời: íX : <=> I (P). y = I / = t, t2 t ị, (tị, t: eR) Cách 2 Gọi lĩ là vtpt của mật phăng (P), ta đước: n = [à B ,à C ]= (-l,0,-l) Khi itó phương trình mặt pỉìáng (P) dược cho bời: b. Nhện xét ràng A, B, c theo thứ tư thuộc bcì trục toa độ, do đó: (ABC): - + X + - =1 <=> (ABC): 6x+3v+7.-f»=0. 1 2 6 II.CÁC BÀI TOÁN C H Ọ N LOC z Bài 1 Gv>hai điẩìi A(l, 3); B((3,4>-1) ktàìg gian Gnhận fi| (1, 0, 0) làm một vtpt. vlạt phăng (Q) vuông góc với (yOz) nhận iĩ I (1, 0, 0) làm một vtcp. vlăt phảng (Q) vuông góc với (P) => nhân AB (2, 2, 4) làm một vtcp. "bây ràng n Ị, AB không cùng phương. Vậy X= 1 + 1J + 2ti ° (Q):< y = 2t: , tj, t2eR. / = 4t~ Đó chính là phương trình tham số của (Q). 19 Phán I: M at phàntt c. Ta có: Măt phăng (R) qua A và song song với (P) =s> (R) nhân AB (2, 2, 4) làm vtpt. Vây: (R): [qua A(l,2,3) 21 »(R):2(x-l)+2(y-2)-4(z-3)=0(R):x+y-2z+6=0. [vtpt AB{2,2,-4) Đó chính là phương trình tông quát của (R). / Bài2 (ĐHCĐ/chua phân ban-99): ViêtphutlTg trình mặt phăng tnnTgtnxcủdđoạntììăpg AB vớiA£l,4);B(-l,A5). HƯỚNG DAN GIẢI ™ Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm toạ độ trung điểm I là trung điểm của AB, bởi công thức: .. _ XA + * B XI = — 2— „ Ya+Yb / yI - — 2— T _ *A+*B / ZI - — 2— Bước 2: Gọi (P) là m ặt phăng trung trực đoạn AB, k h i đó: qua I (P): <=> (P): 6x+8y-2z+ll=0. vtpt AB Đó chính là phương trình tông quát của (P). III.BÀI TẬP ĐÊ NG H Ị Bài tâp 1. Lập phương trình tham số của mặt phăng (P) đi qua M(2, 3, 2) và có cặp vtcp là ã (2,1, 2) và b (3, 2,-1). Bài tâp 2. Lập phương trình tham số của m ặt phăng (P) đi qua M (l, 1,1) và a. Song song với các trục Ox và Oy. b. Song song với các trục Ox và Oz. c. Song song với các trục Oy và Oz. Bài tập 3. Lập phươne trình tham số của các mặt phăne đi qua hai điêm A (l,-1 ,1 ),B (2 ,1 ,1 ) và: a. Cùng phương với trục Ox. b. Cùng phương với trục Oy. c. Cùng phương với trục Oz. Bài tập 4. Xác định toạ độ của vectơ ii vuông góc với 2 vectơ ã (6, -1, 3) và b (3,2,1). Bàỉ tâp 5. Tìm m ột v tpt của m ật phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ẳ (2, 7, 2), 6 (3 / 2* 4). Bài tâp 6. Lập phương trình tổng quát của m ặt phăng (P) biết: a. (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và nhận n (2, 3, 4) làm vtpt. b. (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. Bài tập 7. Lập phương trình tổng quát của các m ặt phăng đi qua 1(2, 6, -3) và song song với các m ặt phăng toạ độ. Bài tập 8. (ĐHL-99): Trong không gian Oxyz cho điểm A (-l, 2, 3) và hai mặt phăng (P): x-2=0; (Q): y-z-l=0. Viết phương trình mặt phăng (R) đi qua A và vuông góc với hai m ặt phăng (P), (Q). 20 CHUYÊN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHĂNG I. K IẾN m ứ c C ơ BẢN > y Bài toán 1: Tìm niộtcặp vkpcua niặt plỲíi(í 'VI ’trutv. □ PHƯONíỉ PHAP( III N<» a. N ôít ĩĩhỉtphăng (P) cho dư ới íỉiìỉịíỊ thiìiìì sỏ X = x() + a ,t| + bịt2 (P): ' y = y« + a2*i + b2{2, (t|, t:eR). 7 = z0 + , + b-^ụ thì một cặp vtcp của (P) là: â(a I, ,a 3) b ( b |, b 2, b 3) b. N ếu m ặt phă n g cho dư ới dạng tổng L/Ucìt (P): Ax+By+Cz+D=0 với A:+B:+C:>0 ( 1) thì một cặp vtcp ã (aj, a-», a3) và b (b|, b:, bo của (P) được xác định bởi: n ã = 0 (2) - n.b = 0 (3) , trong đó n (A, B, C) là vtpt của (P). ã//b (4) Đê tìm ả (a„ a:, a3) và b (bv b2/ bi) thoả mần (2), (3), (4) ta có: - Từ (2) o A a1+Ba2+Ca3=0 (5) Từ (3) o A b1+Bb2-*'Cb3=0 (6) Từ (5), (6) ta chọn ă (aj, a2, a 3) v à b (bị, b 2, b^) s a o cho th oả m ãn (4). Vậy ta có một cặp vtcp của (P) là: ã (a,, a2, a,) và b (bị, b2, b3). Chú ý. Ta có thê chọn ba điểm không thăng hàng A, B, c thuộc (P). Khi đó, cặp vtcp cần tìm là A B , A C . Ví dụ 1: Tìm một cặp vtcp của các mặt phăng sau: X= 1 + 11 + t-> a. (P): - Xem thêm -